江苏省无锡市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1.已知集合，，则______．

【答案】

【】

∵，

∴

点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

2.______．

【答案】

【】

【分析】

直接利用诱导公式化简求解即可．

【详解】．

故答案为：

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．

3.若幂函数的图象过点，则______．

【答案】4

【】

【分析】

根据已知求出函数的式，将代入可得答案．

【详解】设幂函数，

幂函数的图象过点，

，解得：，

，

，

故答案为：4

【点睛】本题考查的知识点是幂函数的式，函数求值，难度不大，属于基础题．

4.若向量，，且，则|______．

【答案】

【】

【分析】

利用向量共线定理即可得出．

【详解】，，解得．

．

则．

故答案为：．

【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5.函数的单调增区间是______．

【答案】

【】

【分析】

根据题意，将函数的式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．

【详解】根据题意，，

即当时，，

令，

在上，，此时为增函数，也为增函数，则函数为增函数；

当时，，

令，

在上，，此时为增函数，为减函数，则函数为减函数；故函数的单调增区间是；

故答案为：．

【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.计算：=______．

【答案】

【】

【分析】

利用对数的运算性质即可得出．

【详解】原式=3+4+

=7+4

=11．

故答案为：11．

【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

7.已知圆心角是的扇形的面积是，则该圆心角所对的弧长为______cm．

【答案】

【】

【分析】

利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．

【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，半径为r，扇形的面积为S，则：．解得，

可得：扇形的弧长为cm．

故答案为：．

【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.已知函数是周期为2的奇函数，且时，，则______．【答案】

【】

【分析】

根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的奇偶性与式可得分析可得

，综合即可得答案．

【详解】根据题意，函数是周期为2的函数，则，

又由为奇函数，则，

则；

故答案为：

【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.将函数向右平移个单位所得函数记为，当时取得最大值，则______．

【答案】

【】

【分析】

利用函数的图象变换规律求得的式，再根据正弦函数的最大值，求得的值．

【详解】将函数向右平移个单位，所得函数记为，

当时取得最大值，则，，令，可得，故答案为：．

【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.若，______．

【答案】

【】

【分析】

由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得，两边平方得答案．

【详解】，

，即，

，两边平方得：，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.若，且，则实数的取值范围是______．

【答案】

【】

【分析】

讨论在和的单调性，可得在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．

【详解】，

可得时，递减；

时，递减，

且，

可得在R上递减，

，可得，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．

12.在中，已知，，点M在边BC上，，，则

______．

【答案】

【】

【分析】

由向量加法及减法的三角形法则可得，，结合已知即可求解

．

【详解】，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题．

13.函数，若，且，则的取值范围是______．【答案】

【】

【分析】

作出的图象，求得，m的范围及的式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．

【详解】作出函数的图象，

可得，，

则在递增，可得

的范围是．

故答案为：．

【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．

14.函数在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】

【】

【分析】

根据题意，设，则，作出的草图，据此分析可得方程

在区间有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即

可得答案．

【详解】根据题意，对于函数，设，

则，

的图象如图：

若函数在R上有4个零点，

则方程在区间有2个不同的根，

则有，

解可得：，

即m的取值范围为；

故答案为：

【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．

二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15.设集合，全集．（1）若，求；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）

【】

【分析】

（1）求定义域得集合A，求出时集合B，再根据集合的定义计算即可；

（2）由得出，由此列不等式求出实数a的取值范围．

【详解】（1）集合，

时，，，

又全集，或，

或；

（2），

又，，

，

解得实数a的取值范围是．

【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．

16.在△ABC中，已知=（1，2），=（4，m）（m＞0）

（1）若，求m的值；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）（2）

【】

【分析】

（1）由题意可知，结合向量的数量积的性质即可求解m

（2）由，结合向量数量积的性质可求m，然后结合，及向量夹角公式

即可求.

【详解】（1）若，则，

，

，

．

（2），

，

，

，

，

，，

而，

，

．

【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．

17.如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若，，且点A的坐标为．

（1）若，求实数m的值；

（2）若，若的值．

【答案】（1）（2）

【】

【分析】

（1）由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．

（2）利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦公式求得的值．

【详解】（1）由题意可得，，或．

，，即，．

（2），

，

，

，，

．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．

18.某公司对营销人员有如下规定：

（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；

（ⅱ）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式y＝log a x+b，（a＞0，且a≠1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y关于x的函数式；

（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围．

【答案】（1）（2）

【】

【分析】

（1）由已知可得在上是增函数，再结合已知列关于a，b的方程组，求解可得函数式；又时，y是x的一次函数，设，再由已知可得关于m，k的方程组求解可得时，，则函数式可求；

（2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．

【详解】（1），年销售额越大，奖金越多，

在上是增函数．

，解得．

时，；

又时，y是x的一次函数，设，

由题意可得：，解得．

时，．

∴y关于x的函数式为；

（2）当时，不合题意；

当时，，解得．

．

当时，，解得，

．

综上，．

所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．

【点睛】本题考查函数式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．

19.已知奇函数，函数，，，．

（1）求b的值；

（2）判断函数在上的单调性，并证明；

（3）当时，函数的最小值恰为的最大值，求m的取值范围．

【答案】（1）0（2）在递增（3）

【】

【分析】

（1）由奇函数的性质可得，解方程即可得到b；

（2）在单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；

（3）由（2）可得的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．

【详解】（1）奇函数f（x），可得f（0）＝0，

即b＝0；

（2）f（x）在[0，1]单调递增，

证明：设x1，x2是[0，1]上任意两个值，且x1＜x2，

f（x2）﹣f（x1）（）?，

由x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，

可得x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，

即有f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

可得f（x）在[0，1]递增；

（3）由（2）可得f（x）在[0，1]递增，可得f（x）max＝f（1），

可得g（t）的最小值为，

令s＝cos t，所以s＝﹣s2+2s的最小值为，

所以s，即cos t≤1，t∈[m，]，

由y＝cos t的图象可得m．

【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

20.已知向量，，，，函数，

的最小正周期为．

（1）求的单调增区间；

（2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；

（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为

【】

【分析】

（1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间．

（2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；

（3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围．

【详解】（1）函数f（x）?1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1

＝sin（2ωx）cos（2ωx）

＝2sin（2ωx）

∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0

∴，

∴ω＝1．

那么f（x）的式f（x）＝2sin（2x）

令2x，k∈Z

得：x

∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．

（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在[0，]上有且只有一个解，

转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．

∵x在[0，]上，

∴（2x）

那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，2]，结合图象可知

函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．

那么2n＜1或2n＝2，

可得或n＝1．

（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）

∴f（x2）min＝﹣2．

实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，

使得m（）+1＞f（x2）成立．

即m（）+1＞﹣2成立

令y m（）+1

设t，那么（）2+2＝t2+2

∵x1∈[﹣1，1]，

∴t∈[，]，

可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立．

令g（t）＝t2+mt+5＞0，

其对称轴t

∵t∈[，]上，

∴①当时，即m≥3时，g（t）min＝g（），解得；

②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；

③当，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；

综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．