计算方法习题集及答案
练习一
1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？
2. 试导出计算积分1
(1,2,3,4)14n n x I dx n x ==+?的递推计算公式111()4n n I I n -=-，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解：1111
1111
0000
141()14414414n n n n n n n x x x x x I dx dx x dx dx x x x ----+-===-+++????
1
11
()4n n I I n -∴=
- 1
00
11
ln50.402144I dx x ==≈+? 1021324311
(1)0.150, (1)0.2134411
(1)0.197, (1)0.201
44
I I I I I I I I =
-≈=-≈=-≈=-≈
此算法是数值稳定的。 3. 试证明 n
T n i n
i x x x x x x R ∈==≤≤∞
),,(,
max 211 及.)(,max 1
1n n ij n
j ij n
i a A a A
?=≤≤∞
∈==∑R
证明：
（1）令1max r i i n
x x ≤≤=
1/1/1/1/1
11
lim()
lim [()]lim [()]lim n
n
n
p i r p
p p p p p i r r r r p p p p i i i r r x x
x
x x x x n x x x ∞
→∞
→∞→∞→∞=====≤=?=∑∑∑ 即r x
x ∞
≤
又1/1/1
1
lim(
)
lim()n
n
p p
p
p i r r p p i i x x x →∞
→∞
==≥=∑
∑
即r x
x ∞
≥ r x x ∞=
114
)1(...)(41e I I I I e n n
n n n n n -==--=-=--
⑵ 设1(,...)0n x x x =≠，不妨设0A ≠，
令11
max
n
ij
i n
j a
μ≤≤==∑11111
1
1
max max max max n n n
ij j ij j i ij i n
i n
i n
i n
j j j Ax
a x a x x a x μ∞
∞≤≤≤≤≤≤≤≤====≤≤=∑∑∑
即对任意非零n x R ∈，有
Ax x
μ∞∞
≤ 下面证明存在向量00x ≠，使得
00
Ax x μ∞∞
=，
设01
n
i j
j a
μ==
∑，取向量01(,...)T
n x x x =。其中0()(1,2,...,)j i j x sign a j n ==。
显然0
1x ∞
=且0Ax 任意分量为0
1
1
n n
i j j i j i i a x a ===∑∑，
故有00
1
1
max
n
n
ij j
i j i
i j Ax a x
a μ∞
=====∑∑即证。
4. 已知?
?
?
?
??--=6134A ，=1A ___________，=2A _______________ 。 5. 已知矩阵321230103A ??
??=??????
，试计算A 的谱半径()A ρ。
解： 23
21
()det()2
3
0(3)(64)01
3
A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--
max 3()3A λρ=+=+
6. 已知21
0121012A -????=-????-??
，试计算1||||A ，||||A ∞，||||F A ，2||||A
3
113
1
1||||max ||5ij j i A a ≤≤===∑解：（）
3
13
1
||||max ||5ij i j A a ∞≤≤===∑
13
3
22
1
1
||||(||)4F ij
i j A a
====∑
∑
2||||3A ==
7.
11471236,0,_________;________.0811A X A AX
∞
???? ? ?
==== ? ? ? ?????
则
8. 古代数学家祖冲之曾以113
355
作为圆周率π的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 解：1325
0.31415929210133
x =
=? 617355
0.266100.510113
x x π*---=-
=?≤?该近似值具有7为有效数字。 9. 若T (h )逼近其精确值T 的截断误差为
∑∞
==-=1
2)(:)(i i i h A T h T T R
其中，系数i A 与h 无关。试证明由??
???=--==-- ,2,1,14)
()2(4)(
)()(110m h T h
T h Tm h T h T m m m m 所定义的T 的逼近序列)}({h T m 的误差为∑∞
=+=-1
22)
()(i m m i
m h A
T h T ，
其中诸)
(m i
A 是与h 无关的常数。
证明：当m=0时 20i 1
T h T=
i
i h
∞
==?=∑左边（）-右边
设m=k 时等式成立，即()
22k i 1
T h T=
k k i i
h ∞
+=?
∑（）-
当m=k+1时
1()22()22111111
4[()][()]4()()
22T h T==4141
k k k i k k i k i i k k i i k k k h h T T h T T h T T ∞∞
++++==++++?-+?-----∑∑（）-
()2(1)21
()k k i i i h ∞
++==?∑ 即证。
练习二
1. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程： （1）4
sin cos x x x +=
; (2)x
x 24-=。
解：
（1）迭代公式1cos sin cos sin ,()k k k x x x x
x x ?+++=
=
，'()1x ?<公式收敛 *0.25098x ≈
（2）ln(4)
()ln 2x x ?-=
，0 1.5x =，'0()1x ?< 局部收敛
1ln(4)
k k x x +-=
* 1.386x ≈
2. 方程012
3
=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式： （1）2
1
1x
x +
=,对应迭代公式2111k k x x +=+; （2）2
31x x +=，对应迭代公式32
11k k x x +=+; （3）1
1
2
-=
x x ,对应迭代公式1
1
1-=+k k x x 。 判断以上三种迭代公式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛公式求出5.10=x 附近的根到4位有效数字。 解：
（1）21()1x x ?=+
'32()x x
?=- '
0()1x ?< 局部收敛 （2）()x ?= 2
'
232()(1)3
x x x ?-=-+ '
0()1
x ?< 局部收敛 （3）()x ?= 2'
31()(1)2
x x ?-=-- '0()1x ?> 不是局部收敛
迭代公式（1）：
* 1.466x ≈
迭代公式（2）：
* 1.466x ≈
3. 已知)(x x ?=在[a,b]内有一根*
x ，)(x ?在[a,b]上一阶可微，且13)(],,[<-'∈?x b a x ?，试构造一个局部收敛于*
x 的迭代公式。 解：
方程()x x ?=等价于0.5[()3]x x x ?=- 构造迭代公式10.5[()3]k k k x x x ?+=-- 令()0.5[()3]x x x φ?=--
由于()x ?在[a,b]上也一阶可微 '
[0.5(()3)]0.5()30.51x x x ??'--=-<< 故上述迭代公式是有局部收敛性.
4. 设)(x ?在方程)(x x ?=根*
x 的邻近有连续的一阶导数，且1)(*<'x ?，证明迭代公式)(1k k x x ?=+具
有局部收敛性。 证明：
()x ?在*x 邻近有连续一阶导数，则'()x ?在*x 附近连续，
令'
*
()1x L ?=<则取1L ε=-
则 *0x x σσ?>-<当时 有 ''*()()x x ??ε-< 从而 '''*'*()()()()(1)1x x x x L L ????≤-+<+-=
**'**()()()()()x x x x x x x x ????ξσ-=-=-<-<
故 **
x x σ?σ-+<(x)<
令 *a x σ=-，*
b x σ=+
由定理2.1知，迭代公式1()k k x x ?+=是有局部收敛性。 5.
)5()(2-+=x x x α?，要使迭代法)(1k k x x ?=+局部收敛到5*=x ，则α的取值范围是
______________。
6. 用牛顿法求方程0742)(2
3
=---=x x x x f 在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。
解：32
()247f x x x x =---
'
2
()344f x x x =--
y 次迭代公式3212
247
344
k k k k k k k x x x x x x x +---=---
* 3.63x ≈
7. 试证用牛顿法求方程0)3()2(2
=+-x x 在[1,3]内的根2*
=x 是线性收敛的。
解：
令2
()(2)(3)f x x x =-+
'
2()328(2)(34)f x x x x x =--=-+ y 次迭代公式1(2)(3)
34
k k k k k x x x x x +-+=-
+
故*
11(2)(3)(2)(21)
23434
k k k k k k k k k x x x x e x x x x x ++-+-+=-=--
=++
*2k k k e x x x =-=- 从而
121
34
k k k k e x e x ++=+，k →∞时，2k x → 故k →∞，
11
2
k k e e +→ 故牛顿迭代公式是线性收敛的
8. 应用牛顿法于方程03
=-a x , 导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。
解：3
()f x x a =- '2
()3f x x =
相应的牛顿迭代公式为33122
233k k k k k
x a x a
x
x x x +-+=-= 迭代函数3
2
2()3k k x a x x ?+=，3'322()3x a x x ?-=，''4
()2x ax ?-= 则'0?=，''
0?≠
练习三
1. 设有方程组
???
??=+-=++--=++3
103220241225321
321321x x x x x x x x x (1) 考察用Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi 法及Gauss-Seidal 法解方程组，要求当4)
()
1(10-∞
+<-k k x x
时迭代终止。
解：（1）5211442310A ??
??=-??
??-??
A 是强对角占优阵。
故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。
（2）2112
123555x x x =--- 11
213425x x x =-+
313135103
10
x x x =-++
雅克比法：
3(1)()
()321255125k k k x x x +=---
，3(1)()()1121425k k k x x x +=-+，2(1)()
()3131510310
k k k x x x +=-++， 取初始向量(0)
(0)(0)
1
230x x x ===，迭代18次有18174i 10i
x x --<（i=1,2,3） 1 3.999996x =-，2 2.999974x =，3 2.000000x =
高斯-塞德尔法：
3(1)()
()321255125k k k x x x +=---
，3(1)()()1121425k k k x x x +=-+，2(1)()
()3131510310
k k k x x x +=-++ 取初始向量(0)
(0)(0)
1
230x x x ===，迭代8次有874i 10i x x --<（i=1,2,3）
1 4.000033x =-，
2 2.999983x =，
3 2.000002x =
2. 设有方程组??
?=+=+2
2221211
212111b x a x a b x a x a , )0,(1211≠a a ,
迭代公式：???
????-=-=--)(1)(1)
1(221222)(2)
1(212111
)(1k k k k x a b a x x a b a x , ,2,1=k .
求证由上述迭代公式产生的向量序列{})
(k x 收敛的充要条件是122
1121
12
<=a a a a
γ.
证明：
迭代公式(1)
()k k x
Bx f +=+中的矩阵12112122
0a a B a a ??-
??
?
?=??
-????
，212211122det()a a E B a a λλ-=-，
由迭代收敛的充要条件知 1221
1122
()11a a B a a ργ
<即证。
3. 给定方程组???
?
??????=????????????????????1011010201321x x x a a ，确定a 的取值范围，使方程组对应的Jacobi 迭代收敛。
4. 用SOR 方法解下列方程组（取松驰因子2.1=ω）,要求4)
()
1(10-∞
+<-k k x x
.
??
?=-=+5
41
22121x x x x . 解：SOR 方法 12(1)
()()()1
11111211
()k k k k x x b a x a x a ω
+=+
--
12(1)
()(1)()
2
22212222
()k k k k x x b a x a x a ω
++=+
--
11122122122,1,1,4,1,5, 1.2a a a a b b ω====-===
故2(1)
()()1
10.20.60.6k k k x x x +=--+，1(1)()
(1)220.20.3 1.5k k k x x x ++=-+- 迭代初值(0)
(0)
1
20x x ==
(16)(15)
40.00005210x x -∞
-=<
(16)11 1.000017x x ==
(16)
220.999991x x ==-
5. 给定线性方程组AX =b ，其中2
,,141R b x a a A ∈??
??
??=， 1）求出使Jacobi 迭代法和G-S 迭代法均收敛的α的取值范围。
2）当0≠α时，给出这两种迭代法的收敛速度之比。
6. 用Gauss 消去法解方程组
???
??=++=++=++5
2262342321
321321x x x x x x x x x
7. 用选列主元高斯消去法求解方程组
???
??=---=-+-=+-0
232122743321
321321x x x x x x x x x
解：
()31
4
73147524122103
3323207
141403333147314
77
14147141400333333524004
20
33
3A D ?
???--???
?????→---→-??????--??????-
--??
?
?
??--???
???????→---→--
-????????--??
??-?
?
解得
()
2,1,0.5χT
=
8. 用追赶法解三角方程组
?????????
???????=????????????????????????????????--------00001210001210001210001210001254321x x x x x 解：高斯迶元
11100022
12100012010031210003
10121003001044
0012101400012000
01551000
1
6?
???-?????-?-????--????????→---????--????????--?????
????
?
回代得 5432116
141155631311
44321212332311252236
x x x x x =
=+?==+?==+?==+?=
解为 (
)
521116
3
2
3
6
x T
=
9. 用三角分解法求解方程组
????
??????=????????????????????-----76520261618484
2321x x x 解：系数矩阵三角分解为：
24
8100248418162100103262203110076--????????????--=-????????????----??????
原方程可表为：
12310024
8521001032831100767χχχ??
-????????????????-=??????????????--????????
?? 解 1231005210831
17y y y ??
????????????=??????????-??????
??
得 ()
5210y T
=--
解 12324850103220
07610
x x x ??-???
?
?????
?-=-
???????????
?--?????? 得291215,, 1.5316,0.2211,0.131********x ??
??
? ? ???
??
T
T
--==
10. 用选主元法去法计算下列行列式的值1
59423
6
21.
解：211
3311
31
9
9
51
126951
111324324033951126
1353099
m r r m =?=???→???→----
322
32333
539
15
915
53135313009999
111300003353
m r r l l =?????→--????→-----
533093
0953????
=?-
?-= ? ?????
11. 设???
?
??=111014A 计算 ∞)(A cond .
解：
14110441--110101144-11-1010A -????
??=????
????
()()
4110441
110104110cond A A A ??
+-==+≈ ?∞∞
?∞-??
12. 设方程组A x =b ，其中A=??????111015，b =??
?
???1105
① 计算∞)(A cond ，判断方程组是否病态。 ② 用全主元消元法求解，结果如何？
③ 用105除第一个方程所得方程组是否病态？ 解： ① =∞
A 105
+1 又 ??
????---=
-111011011
55
1
A =
∞
-1
A
5
5
101101+-+ ∞)(A cond =∞A ∞-1
A
=（1+105
）?5510
1101+-+=52
5101)101(+-+〉〉1 该方程组是病态
② 用全主元消元法求解。510111??????21x x ??????=??
?
???1105
()cond A ∞=5
2
510
1)101(+-+〉〉1 出现大数吃小数的现象，结果失真。
③ 用105
除第一个方程得：A 1=510111-??
????
1
1
15
2
2,101
A A -∞
∞
==
-，∞)(A cond =54101- 方程组是良态的。
练习四
1. 给出概率积分
dx e x f x
x ?
-=
2
2
)(π
的数据表：试用二次插值计算)472.0(f .
解：取插值节点：
0.46
x
= 1
0.47
x = 2
0.48
x =
()()
()()()()()()()()()()()()
2
20
0201120
12010210122021x x y l L i i i x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x =∑=------=++------
()()()22
0.4720.49556160.4720.4720.4955616
L f L
==
=
试构造出差商表，利用二次Newton 插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.
解：由题意得如下差商表
()
001,,,0 1.50.99749
1 1.60.999570.02080
2 1.70.99166
0.02915
0.49950
k
k
k k k
f
f f x
x x x x x x ????????
--
故 ()()()()(
)()()()
()
()()(
)22320.997490.02080 1.50.49950 1.5
1.6
1.609
0.99927
1.609 1.609 1.5 1.609 1.6 1.609 1.76
x x x x
N N R f ξ=+?-+-?--==
---
又 ()s i n ,f
x x =
()
()3c o s x x f =-
()
()3 1.5 1.7
cos 0.12884max x x f ξ≤≤≤≤
故：()261.609 1.9210R -≤? 3. 设j x 为互异节点(n j ,,1,0 =),求证 (1)
),,1,0()(0n k x x l
x n
j k j
k j =≡∑=
(2)
),,1,0(0)()(0
n k x l x x
n
j j k j
=≡-∑=
证明：()1 令 ()k
f x x
=
()()0
n
k
n j j j x x x l L ==∑
又
()()()()
()
()()11
1!
n n
n
n x f x x x n f
R L ξω++=-=
+ 所以 ()
()10n f
ξ+= 故
()0n
x R =
()()k
n x f x
x L ≡=
()2 原等式左边用二项式展开得：
()
()()()()()110
1k
n n
k
k k k
j j j n j j j
j j x x x x x j x x l x l C x l x l -==??=-++
????--∑∑
()()()()11001n
k
k
k k
j j n j j j j
j x x x x x l C x l x x l -=??=-+
+
???
?-∑
由()1结论
()0
n
k k
j
j
j x x x x
=≡∑ 得
()()()x x x
x
C x
C x l x x k
k
k n k n
k
j
n
j k
x x j 0
1
2
21
1
1-∑-+
++-=--=
()
011k
k
x ==- 即证
4. 若1)(57++=x x x f ，则=]2,,2,2[7
10 f ，=]2,,2,2[8
10 f 。 5. 若n n y 2=,求n y 2?和n y 4
?.
解：
()()2
1
n
n n
y y
y
y
+=??=?
-
?
2
1
2
1
222
2
22n n n n
n n n
y
y
y ++++=
-+
=-?+=
4
33
112
2
n
n n y y
y
δδδ+-
=-
()()2
2
2
2
1
1
n n
n
n y
y
y
y
δ
δ
δ
δ
+-=
--
-
3111222211132222n n n n n n n n y y y y y y y y δδδδδδδδ+++-+---??????=---??
? ??
???????????----??
? ??
?????
()()()(){}()()()(){}2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
n n n n
n n
n
n n n
n
n n
n n n y y
y y y y y y y y y y y y y y ++++-+----????=-------?
???
????--------?
???
2
1
1
2
21
1
2
2
4644642
2
22
2
2
n n n
n n n n n
n n n y
y
y y
y
++--++---=
-+-+
=-?+?-?+=
6. 设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的5次Lagrange 插值基函数，则
∑==+++5
23)()12(i i i i i x l x x x
___________________。
7. 证明两点三次Hermite 插值余项是
),(,)())((!
41)(1212)
4(3++∈--=
k k k k x x x x x x f x R ξξ 证明： ()()()3
3
f x x x s R =+
且 ()()()()3
3
3
3
1
1
0,0,0,0k
k k
k x x x x R R R R ++''====
即 1
,k k x x
+为
()3
x R 的二阶零点
设
()()()()
()()2
2
3
31x R x f x x k k x x x x s R ==-+--
令 ()()()()()()()
()()2
2
2
2
3
3
11k k t f t t f x x k k t t x x s s x x x x ?+??=---??+---- 易知 ()()()()1
1
0,0,0,0k
k k
k x x x x ????++''====
又
()0x ?=
由微分中值定理（Rolle 定理）))11
2,,,k k x x x x ξ
ξ+???
∈∈??，使得
()()1
2
0,0??ξξ'
'==
进而 ()x ?''有三个零点，?()x ?'''有两个零点，?()
()4x ?有一个零点，
即 ()1,k k x x ξ+?∈
使得()
()40ξ?
=
()
()()
()()()
()442
2
3
4!
001x k k f
R x x x x ξξ?
=--
=+--
得 ()()
()()()2
2
431
14!
x k k x x f
x x R ξ=
+-- ()1
,k k x x
ξ+∈
8. 设j
i j n
j
i j i x x x x x l --=
∏
≠=1)(是Lagrange 基函数，则____________
()____________
i j l x ?=?
? 。
9. 求一个次数不超过4次的多项式)(x P ，使它满足
,1)2(,1)1()1(,0)0()0(=='=='=P P P P P ，并写出其余项表达式。
10. 求一个四次插值多项式)(x H ，使0=x 时，2)0(',1)0(-=-=H H ；而1=x 时，
20)1(",10)1(',0)1(===H H H ，并写出插值余项的表达式。
11. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S (x )
解：已知
,3,1,0,13210
===-=x x x x
,31,3,1,13
2
1
===-=y y y y
边界条件 28,43
='
='
y y
2,1,0,1
=-=+i x x
h i i i
即2,1,1210===h h h
从而
,2
11
1=+=
h
h h
a ,3
12
1
1
2=+=
h
h h
a ()
6131
1
2
1
1
11=????????
-
+-
-=h f
f
a h
f f a b ()
18132
2
3
2
1
1
2
22=???
?
???
?
-
+-
-=h
f
f
a h
f
f
a b
28,430
==m m
解 ???
?????=????
?
??????-?-=?????????????
???
32642831
1842
1623
221221m m 得
4,12
1
==m
m
当 []x x x 1
,∈
即 []0,1-∈x 时
()32101212
2
010+=??? ?
?+++=??? ??---x x x x α ()()x x x x 210102111012
2
1-=
??
?
??---+=+???
??++α ()()112
2
010+=+=??
? ??---x x x x β
()()x x x x 11012
2
1
0+??
? ??++=-=β
故 ()()()()()13
11001100++=+++=
x x x x x x s x m m y y ββαα
同理，在[]1,0及[]3,1上均有 ()31s x x x =++
12. 已知实验数据
试用最小二乘法求经验直线x a a y 10+=。
13. 利用最小二乘法求一个形如2
210)(x a x a a x y ++=的经验公式，使它与下列数据拟合：
14. 用最小二乘法求一个形如2
bx a y +=的经验公式，使与下列数据相拟合
解：依题意 ()()x
x x m n 2
1
,1,
1,4====??
故
()()()5,0
4
00
==∑=x x i
i
i ????
()5327,4
21
==∑=i i
x
??
()5327,0
1
=??
()7277699,4
41
1
==∑=i i
x
??
()4.2710
40
==∑=x y i
i i
?α ()5
.3693211
4
1
==∑=x y i
i i
?α 正则方程为 ?
??=+=+5.369321727769953274
.271532751010αααα
解得
050
.0,973.010
==αα
故拟合曲线为 x
y 2
05.0973.0+=
计算方法_习题第一、二章答案..
第一章 误差 1 问3.142，3.141，7 22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？ 分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65… 记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=7 22. 由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知 34111 10||1022 x π--?<-≤? 因而x 1具有4位有效数字。 由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知 223102 1||1021--?≤-
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
数值计算方法大作业
目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)
4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)
数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）
1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
西工大计算方法作业答案
参考答案 第一章 1 *1x =1.7； * 2x =1.73； *3x =1.732 。 2． 3． （1） ≤++)(* 3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。 4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。 令3)1()1(1* 102 1 102211021)(-----?≤??=?= n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。 5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是* x 的相对误差的1/2倍； （2）n x )(* 的相对误差约是* x 的相对误差的n 倍。 6． 根据******************** sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =* *****) ()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20* π < 7．设20= y ，41.1*0 =y ，δ=?≤--2* 00102 1y y 由 δ1* 001*111010--≤-=-y y y y ， δ2*111*221010--≤-=-y y y y M δ10*991*10101010--≤-=-y y y y 即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小10 10-倍。而110 10 <<-δ，故计算过程稳定。 8. 变形后的表达式为： （1）)1ln(2--x x =)1ln(2-+-x x （2）arctgx x arctg -+)1(=) 1(11 ++x x arctg （3） 1ln )1ln()1(ln 1 --++=? +N N N N dx x N N =ΛΛ+-+- +3 2413121)1ln(N N N N 1ln )11ln()1(-++ +=N N N N =1)1ln()1 1ln(-+++N N N （4）x x sin cos 1-=x x cos 1sin +=2x tg 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 2020年奥鹏吉大网络教育《计算方法》大作业解答 (说明：前面是题目，后面几页是答案完整解答部分，注意的顺序。) 一、解线性方程 用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 用主元素消元法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 利用Doolittle分解法解方程组Ax=b，即解方程组 1、用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 0 2X1+2X2+8X3 = -4 -3X1-10X2-2X3 = -11 2、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 1 2X1– X2+9X3 = 0 -3X1+ 4X2+9X3 = 1 3、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 2X1+X2+X3 = 4 6X1+4X2+5X3 =15 4X1+3X2+6X3 = 13 4、用高斯消去法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 5、用无回代过程消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 6、用主元素消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 7、用高斯消去法求解线性方程组 123123123234 4272266 x x x x x x x x x -+=++=-++= 8、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b ，即解方程组 12341231521917334319174262113x x x x -? ????? ???? ??-??????=? ? ????--?????? --???? ?? 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 习题一 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 x max x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A n R n n . 2. 试证明 max a ij , A ( a ij ) 1 i n 1 i n 1 j 证明： （ 1）令 x r max x i 1 i n n p 1/ p n x i p 1/ p n x r p 1/ p 1/ p x lim( x i lim x r [ ( ] lim x r [ lim x r ) ) ( ) ] x r n p i 1 p i 1 x r p i 1 x r p 即 x x r n p 1/ p n p 1/ p 又 lim( lim( x r x i ) x r ) p i 1 p i 1 即 x x r x x r ⑵ 设 x (x 1,... x n ) 0 ，不妨设 A 0 ， n n n n 令 max a ij Ax max a ij x j max a ij x j max x i max a ij x 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n 1 i n j 1 即对任意非零 x R n ，有 Ax x 下面证明存在向量 x 0 0 ，使得 Ax 0 ， x 0 n ( x 1,... x n )T 。其中 x j 设 j a i 0 j ，取向量 x 0 sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。 1 n n 显然 x 0 1 且 Ax 0 任意分量为 a i 0 j x j a i 0 j ， i 1 i 1 n n 故有 Ax 0 max a ij x j a i 0 j 即证。 i i 1 j 1 3. 古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113 解： x 325 &0.314159292 101 133 x x 355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。 计算方法上机报告 姓名： 学号： 班级： 目录 题目一------------------------------------------------------------------------------------------ - 4 - 1.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 - 1.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 - 1.3Matlab源程序----------------------------------------------------------------------- - 5 - 1.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 5 - 题目二------------------------------------------------------------------------------------------ - 7 - 2.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 - 2.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 - 2.3 Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 8 - 2.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 9 - 题目三----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 11 - 3.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 13 - 3.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 14 - 题目四----------------------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 15 - 4.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 16 - 题目五----------------------------------------------------------------------------------------- - 18 - 计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021 计算方法实验报告 班级： 学号： 姓名： 成绩： 1 舍入误差及稳定性 一、实验目的 （1）通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； （2）通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性 二、实验内容 1、用两种不同的顺序计算10000 21n n -=∑，分析其误差的变化 2、已知连分数() 1 01223//(.../)n n a f b b a b a a b =+ +++，利用下面的算法计算f ： 1 1 ,i n n i i i a d b d b d ++==+ (1,2,...,0 i n n =-- 0f d = 写一程序，读入011,,,...,,,...,,n n n b b b a a 计算并打印f 3、给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分 1 041 n n x y dx x =+? (0,1,...,1 n = 4、设2 2 11N N j S j == -∑ ，已知其精确值为1311221N N ?? -- ?+?? （1）编制按从大到小的顺序计算N S 的程序 （2）编制按从小到大的顺序计算N S 的程序 （3）按两种顺序分别计算10001000030000,,,S S S 并指出有效位数 三、实验步骤、程序设计、实验结果及分析 1、用两种不同的顺序计算10000 2 1n n -=∑，分析其误差的变化 （1）实验步骤： 分别从1~10000和从10000~1两种顺序进行计算，应包含的头文件有stdio.h 和math.h （2）程序设计： a.顺序计算 #include 练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( ) 4.用 2 1 2 x - 近似表示cos x产生舍入误差。( ) 5. 3.14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算 ()()2334912111y x x x =+ -+ ---的乘除法次数尽量少，应将该 表达式改写为 ； 2. * x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ； 4. 截断误差为 ； 5. 设计算法应遵循的原则是 。 三、选择题 1．* x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在 时间t 内的实际距离，则s t - s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题 数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 : 第一次作业 1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝对误差限。 9800107480.566.385031.01021.1*65*5*4*3*2*1=?=====x x x x x x 解： 1* 11011021.01021.1?==x ，有5位有效数字，绝对误差限为4-5-1105.0105.0?=?； 1-* 2 1031.0031.0?==x ，有2位有效数字，绝对误差限为3-2-1-105.0105.0?=?； 3* 3103856.06.385?==x ；有4位有效数字，绝对误差限为-14-3105.0105.0?=?； 2* 41056480.0480.56?==x ；有5位有效数字，绝对误差限为3-5-2105.0105.0?=?； ; 65* 5 107.0107?=?=x ；有1位有效数字，绝对误差限为51-6105.0105.0?=?； 4* 6 109800.09800?==x ；有4位有效数字，绝对误差限为5.0105.04-4=?。 2.要使20的近似值的相对误差限小于%1.0，要取几位有效数字 解：由于110447213595.047213595.420??=?=，设要取n 位有效数字，则根据 定理，有()()%1.01081 1021111 计算方法大作业 题目：非线性方程求根的新方法 班级：xxx 学号：xxx 姓名：xxx 非线性方程求根的新方法 一、问题引入 在计算和实际问题中经常遇到如下非线性问题的求解： F(x)=0 (1) 我们经常采用的方法是经典迭代法： 经典迭代方法 不动点迭代方法是一种应用广泛的方法，其加速方法较多，如Stiffensen加速方法的局部收敛阶(以下简称为收敛阶)为2阶；牛顿迭代方法的收敛阶亦为2阶，且与其相联系的一些方法如简化牛顿法、牛顿下山法、弦截法的收敛阶阶数介于1和2之间；而密勒法的收敛阶与牛顿法接近，但计算量较大且涉及零点的选择问题，同时收敛阶也不够理想。 因此本文介绍一种新的迭代方法 从代数角度看，牛顿法和密勒法分别是将f(x)在xk附近近似为一线性函数和二次抛物插值函数，一种很自然的想法就是能否利用Taylor展开，将f(x)在xk附近近似为其他的二次函数?答案是肯定的.其中的一种方法是将f(x)在Xk处展开3项，此时收敛阶应高于牛顿法，这正是本文的出发点． 二、算法推导 设函数f(x)在xk附近具有二阶连续导数，则可将f(x)在xk处进行二阶Taylor展开，方程(1) 可近似为如下二次方程： f(xk)+f’(xk)(x-xk)+2^(-1)f’’(xk)(x-xk)^2=0，(2) 即 2^(-1)f’’(xk)x^2+(f’(xk)-xkf’’(xk))x+2^(-1)f’’(xk)xk^2-xkf’(xk)+f(xk)=0(3) 利用求根公式可得 X=xk-(f’’(xk))^(-1)(f’(xk))-sqrt((f’(xk)^2±2f’’(xk)f(xk)))(4) 其中±符号的选取视具体问题而定，从而可构造迭代公式 X k+1=xk-(f’’(xk))^(-1)(f’(xk))-sqrt((f’(xk)^2±2f’’(xk)f(xk)))(5) 确定了根号前正负号的迭代公式(5)，可称为基于牛顿法和Taylor展开的方法，简记为BNT 方法． 为描述方便起见，以下将f(xk)，f’(xk)，f’’(xk)分别记为f,f’,f’’．首先，二次方程(3)对应于一条抛物曲线，其开口方向由f’’(xk)，x∈U(xk)的符号确定，其中U(xk)为xk的某邻域，其顶点为 P(xk-(f’’)^(-1)f’，fk-(2f’’)^(-1)(f’)^2)．为使(5)式唯一确定x k+1，须讨论根式前正负号的取舍问题．下面从该方法的几何意义分析(5)式中正负号的取舍． 1)当f(xk)=o时，z。即为所求的根． 2)当f(xk)>O时，根据y=f(x)的如下4种不同情形(见图1)确定(5)式中根号前的符号． (a)当f’’(xk)《数值计算方法》试题集及答案
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