高中数学文科 推理与证明

高考要求

内容 要求层次

具体要求

A

B

C

推理与证明

√

①能利用归纳推理与类比推理进行简单的推理． ②了解数学证明的基本方法：综合法、分析法与反证法等．

推理一般分为合情推理与演绎推理．

1．合情推理：前提为真，结论可能为真的推理．

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．

⑴归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的

推理，叫做归纳推理（简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程．

归纳推理的一般步骤：

第1步 通过观察个别情况发现某些相同的性质；

第2步 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）．

⑵类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类

事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．

类比推理的一般步骤：

第1步 找出两类事物之间的相似性或一致性；

第2步 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 2．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理． 演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真． 几种数学中常用的演绎推理规则： ⑴三段论推理：如果b c a b ??，，则a c ?． “三段论”是演绎推理的一般模式； ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断． ⑵传递性关系推理：如果aRb bRc ，，则aRc ，其中R 表示具有传递性的关系．

⑶完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则． 【点评】 在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明，一道证明题，

往往要综合应用这些演绎推理规则，如果违背了这些规则，那么证明就是错误的．

①归纳是由特殊到一般的推理；②类比是由特殊到特殊的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理．

从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确．

知识点睛

2.1推理

新课标剖析

推理与证明

不等式证明中的放缩法就属于传递性关系推理；数学归纳法属于完全归纳推理； 复式三段论

一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论．可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论．

考点：归纳推理

【例1】 ⑴ 已知数列{}n a 的第1项10a =，且1313n n n

a a a +-=

+(12)n =，，，则20____a =；

⑵ 观察下列等式：

21

1122n

i i n n ==+∑ 2321

111326n

i i n n n ==++∑ 3432

1111424

n

i i n n n ==

++∑ 4

5431

111152330n

i i n n n n ==++-∑ 565421

1151621212n

i i n n n n ==++-∑ 6

76531

11111722642

n

i i

n n n n n ==++-+∑ ……………………………………

112112101

n

k

k k k k k k k k i i

a n a n a n a n a n a +--+--==++++???++∑

可以推测，当*2()k k ∈N ≥时，11211________12

k k k k a a a a k +--=

===+，，，． 【解析】 ⑴ 3- ⑵ 12

k ；0．

尖子班学案1

【拓1】 ⑴ 已知数列{}n a 满足12a =，111n

n n

a a a ++=

-（*n ∈N ），则3a 的值为 ， 1232007a a a a ???

?的值为 ．

⑵ 将全体正整数排成一个三角形数阵如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（3n ≥）从左向右的第3个数为 ．

经典精讲

【解析】 ⑴ 1

2

-；3

⑵ 262

n n -+

目标班学案1

【拓2】 观察如图所示的01-三角数表的规律．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第

2次全行的数都为1的是第3行，…，则第n 次全行的数都为1的是第______行；第61行中

1的个数是______．

第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1

…… ………………………………………

【解析】 21n -；32

考点：类比推理

【例2】 ⑴ 设函数()

f x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得

(5)(4)(0)(6)f f f f -+-+???++???+的值为 ．

⑵ 记等差数列{}n a 的前n 项和n S ，利用倒序求和的方法得：1()

2

n n n a a S +=

；类似的，记等比数列{}n b 的前n 项的积为n T ，且*0()n b n >∈N ，试类比等差数列求和的方法，可将n T 表示成首项1b ，末项n b 与项数n 的一个关系式，即公式n T =_______________．

⑶ 已知椭圆具有性质：若M N ，是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM PN ，的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位

置无关的定值．试对双曲线22

221x y a b

-=写出具有类似特性的性质，并加以证明．

【解析】 ⑴

⑵

⑶ 类似的性质为：若M N ，是双曲线22

221x y a b

-=上关于原点对称的两个点，

点P 是双曲线上任意一点，当直线PM PN ，的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时， 那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值． 证明如下： 设点M P ，的坐标为()m n ，、()x y ，，则()N m n --，．

因为点()M m n ，在已知双曲线上，所以22

222b n m b a

=-，同理22222b y x b a =-．

则222222

222222

PM PN y n y n y n b x m b k k x m x m x m a x m a -+--?=?==?=-+--（定值）

．

考点：演绎推理

【例3】 ⑴ 下面是一段“三段论”推理过程：

对于定义域为R 的可导函数()f x ，如果()0f x '<，那么对于M ?∈R ，0x ?∈R 使得

0()f x M <，因为函数1()2x

f x ??

= ???

的导函数()0f x '<，所以，对于1-，0x ?∈R ，使得

0()1f x <-，以上推理中（ ）

A ．大前提错误

B ．小前提错误

C ．推理形式错误

D ．结论正确

⑵ 如图，αβ⊥，l αβ=，A α∈，B β∈，A B ，到l 的距离分别是a b ，，线段AB 在αβ，内的射影分别是m n ，，若a b >，

则m ，n 的大小关系为________．

【解析】 ⑴ A ⑵ m n >

证明：分成直接证明与间接证明．

1．直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性． 常用的直接证明方法有综合法与分析法． ⑴ 综合法是从原因推导到结果的思维方法；

⑵ 分析法是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法．

2．间接证明：常用的有反证法．

反证法：先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性． 常见矛盾：①与假设矛盾；

②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； ③与公认的简单事实矛盾等．

考点：直接证明

【例4】 已知a b c >>，求证：

1110a b b c c a

++>---． 【解析】 （综合法）

∵a b c >>，∴000a b b c a c ->->->，，， ∴

1111

()()b c a b a b b c c a a b b c c a

-+-++=+

------ 2()()()()()()

a c a

b b

c a b b c a c ----=---

经典精讲

知识点睛

2.2证明

l

b

a

B

A β

α

222()()()a c b ac ab bc

a b b c a c +++--=

--- 222()()()02()()()

a b b c a c a b b c a c -+-++=>---

（分析法）

∵a b c >>，∴000a b b c a c ->->->，，， ∴

111111

0a b b c c a a b b c a c

++>?+>

------ 1

()()a c a b b c a c

-?>

--- 2()()()a c a b b c ?->--

而0a c a b ->->，0a c b c ->->， 即2()()()a c a b b c ->--成立， 所以原不等式成立．

尖子班学案2

【拓1】 已知a b c +∈R ，

，，且1a b c ++=，证明：(1)(1)(1)8(1)(1)(1)a b c a b c +++---≥ 【解析】 （综合法）

注意到1(1)(1)a b c +=-+-≥

同样1(1)(1)b a c +=-+-≥

1(1)(1)c a b +=-+-≥

三式相乘即可得不等式成立．

目标班学案2

【拓2】 设a ，b ，c 为一个三角形的三边长，I a b c =++，S ab bc ca =++，证明：234S I S <≤．

【解析】 （分析法）

22222()222I a b c a b c ab ac bc =++=+++++

2222a b c S =+++

欲证234S I S <≤， 只需证2222S a b c S ++<≤

只需证222ab ac bc a b c ++++≤且222222a b c ab bc ac ++<++ 先证222ab ac bc a b c ++++≤

只需证2222222220a b c ab bc ac ++---≥ 即222()()()0a b b c a c -+-+-≥， 显然成立，

对于222222a b c ab bc ac ++<++

只需证2220a ab ac b ab bc c bc ac --+--+--<

即()()()0a a b c b b a c c c b a --+--+--< 而a b c <+，b a c <+，c a b <+ ∴该式成立，

综上，234S I S <≤成立．

【例5】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AC CD ABC ⊥∠=?，，PA AB BC ==，

E 是PC 的中点．证明：平面ABE ⊥平面PCD ．

【解析】 由PA AB BC ==，60ABC ∠=?，可得AC PA =

∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ． 在四棱锥P ABCD -中，

∵PA ⊥底面ABCD ，CD ?平面ABCD ，故PA CD ⊥．

∵AC CD PA AC A ⊥=，，∴CD ⊥平面PAC ． 而AE ?平面PAC ，

∴CD ⊥AE ，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ． 而AE ?平面ABE ，

∴平面ABE ⊥平面PCD ．

【点评】 本小题应用了综合法和分析法．

【备选】 如图，四面体P ABC -，PA ⊥平面ABC ，

AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF ⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ． 【解析】 分析：要证线线垂直，可转化为线面垂直，本题关键在于线面垂直与

线线垂直的转化．可由分析法入手：

要证PC ⊥EF ?PC ⊥平面AEF ?PC ⊥AF （已知）， 需证PC ⊥AE ?AE ⊥平面PBC ?AE ⊥PB （已知）， 需证AE ⊥BC ?BC ⊥平面PAB ?BC ⊥AB （已知），

需证BC ⊥PA ?PA ⊥平面ABC ，从而问题得到解决．

∵PA ⊥平面ABC ，且BC ?平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，且BC ⊥AB ∴BC ⊥平面ABE

∴BC ⊥AE ，又PB ⊥AE ，且BC PB B =

∴AE ⊥平面PBC ，且PC ?平面PBC

∴AE ⊥PC ，又AF ⊥PC ，且AF AE A =

∴PC ⊥平面AEF ，且EF ?平面AEF ∴PC ⊥EF

【点评】 本小题应用了综合法和分析法．

考点：间接证明 尖子班学案3

【铺1】 已知0a b c ++=，a b c >>，求证：⑴0a >；⑵

2c

a

>-． 【解析】 ⑴ 假设0a ≤，因为a b c >>，所以0b <，0c <，

所以0a b c ++<，与0a b c ++=矛盾，所以0a >． ⑵ 因为b a c =--，a b >，所以a a c >--，

所以2a c >-，又0a >，所以2c a >-，所以2c

a >-．

P

E

D B A

F E

P

A B

C

【例6】 已知a ，b ，(01)c ∈，，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -中至少有一个不大于1

4

． 【解析】 反证法：

假设(1)a b -，(1)b c -, (1)c a -均大于

14

， 即1(1)4a b ->，1(1)4b c ->，1

(1)4c a ->，

则1(1)2a b ->，1(1)2b c ->，1

(1)2

c a ->，

因为a ，b ，(01)c ∈，，所以1a -，1b -，1(01)c -∈，， 所以(1)2(1)1a b a b -+->≥，同理(1)1b c -+>，(1)1c a -+>， 所以(1)(1)(1)3a b b c c a -++-++-+>，即33>，矛盾． 所以(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -中至少有一个不大于

1

4

．

目标班学案3

【拓2】 求证：形如43n +的正整数不能写成两个整数的平方和． 【解析】 反证法：

假设某一正整数43n +可以写成两个整数的平方和：

2243()n a b n a b +=+∈∈N Z ，，．

易知a b ，奇偶性不同，不妨设221()a s b t s t ==+∈Z ，，． 则2222434441k a b s t t +=+=+++

化简后为2221222k s t t +=++．

左右奇偶性不一致，故上式不可能成立，因此假设错误，原命题成立．

证明：若整系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠存在有理根，那么a ，b ，c 中至少有一

个偶数．

【解析】 反证法：

设a ，b ，c 均为奇数，

24b ac -a ，b ，c ∈Z ， 24b ac k -∈N ，∴224b ac k -=， 即()()4b k b k ac +-=，

∵a ，b ，c 均为奇数，

∴k 也必须为奇数，否则上式左边为奇数，而右边为偶数，矛盾． 设21b m =+，Z m ∈，21k n =+，0n =，1，2，… 则原式可化为(2121)(21(21))4m n m n ac ++++-+= 即4(1)()4m n m n ac ++-= (1)()m n m n ac ++-=

而1m n ++与m n -奇偶性一定不同（这是因为121m n m n m +++-=+为奇数）， 所以其中必然有一个偶数，所以a ，c 中必有一个偶数，这与假设矛盾． 所以原命题成立．

【演练1】 在数列{}n a 中，11a =，对任意自然数n ，当n a 为有理数时，12

n n a a +=

；当n a 为无理数时，122n

n n a a +??

=- ? ???

．试归纳出通项公式______n a =． 【解析】 1

2n n a -= ?

??

【演练2】 已知()22

x

f x x =

+，若()111n n x x f x +==，

，则5x =______，猜想n x =_______． 【解析】 1

3；21

n +

【演练3】 已知函数113

3

()5

x x

f x --=

，113

3

()5x x g x -+=，分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的

值，由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式_________

【解析】 2()5()()0.f x f x g x -?=

【演练4】 已知m n ，是奇偶性相同的正整数，a b ∈R ，，求证：()()2()m m n n m n m n a b a b a b +++++≤． 【解析】 不妨设a b ≥，要证原不等式，即需要证明2()m n m n m n m n m n m n a b a a b b a b ++++++++≤．

即m n m n m n m n b a a b a b ++++≤

即()()0m m n n a b a b --≥．…………①

当m n ，都为奇数时，显然00m m n n a b a b --≥，

≥，于是①式成立； 当m n ，都为偶数时，

⑴||||a b ≥时，有00m m n n a b a b --≥，

≥，于是①式成立 ⑵||||a b ≤时，有00m m n n a b a b --≤，

≤，于是①式成立 因此①式成立，故原不等式成立

【演练5】 若0a b c >，，，求证：()()()abc a b c b c a a c b +-+-+-≥． 【解析】 用综合法，不妨设a b c ≥≥．则00a b c a c b +->+->，

若0b c a +-≤，易知原不等式左边0>≥右边．

若0b c a +->：

注意到2()()2()()a a b c a c b a b c a c b =+-++-+-+-≥ 同理2()()2()()b a b c b c a a b c b c a =+-++-+-+-≥

实战演练

以及2()()2()()c a c b b c a a c b b c a =+-++-+-+-≥ 上述3个不等式相乘即可得原不等式．

（高中数学联赛四川赛区初赛）

设正实数a b c ，，满足a b c ≤≤，且2229a b c ++=．证明：13abc a +>．

【解析】 由条件知222293a b c a =++≥，故3a ≤．

又由2222)()0c a b a --（≥知222292bc a b c a a a +-=-≥ 只须证 229213a a a -+>． ⑴ 若01a <≤，则29

9274

a ->≥，从而2224929a a a -> 于是(

)

2

2

2

2229214929a

a a a a -+->≥

所以，229213a a a -+>．

⑵ 若13a <≤，则只须证 229231a a a ->- 即证 642299610a a a a -+-+<

又因为642642299612995a a a a a a a -+-+<-+-

2222(21)(1)(3)(2)0a a a a =----+<，结论成立．

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