高中数学新课程创新教学设计案例50篇__26_空间直角坐标系

26 空间直角坐标系

教材分析

这节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是以后学习“空间向量”等内容的基础．通过建立空间直角坐标系，可以将空间内任一点用有序数组来表示；反过来，任一有序数组就对应一个点，这样空间直角坐标系中的点就有了坐标表示．在空间中引入坐标的目的和物理学中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法．因此，研究空间图形就可以代数化，实现了形向数的转化，将数与形紧密地结合起来．这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角、二面角的平面角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用．

教学目标

1. 让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．

2. 理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．

3. 进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．

任务分析

点在三维空间内位置的确定是一个比较抽象的过程，学生在这个方面还没有形成清晰的认识，教学时应充分类比以往点在直线、点在平面内位置的确定方式．通过实例，激发学生的学习兴趣与探索欲望，充分发挥学生的主体作用，引导学生顺理成章地得出通过建立空间直角坐标系利用点的坐标来确定点在空间内的位置．要特别强调点与坐标的一一对应关系，来强化对点的坐标的理解．围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确定这一教学重点，通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐标这一过程，以巩固学生对新知识的理解，实现从感性认识到理性认识的飞跃．

教学设计

一、问题情景

1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．

2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．

例：如图26-1，要在一块长10cm、宽5cm的铁板上钻一个孔．若孔中心到铁板左边为2cm，到下边为4cm（铁板摆放位置已定），问孔中心的位置是否确定．

3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？

例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？

在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．

（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）

教师明晰：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．

这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．

二、建立模型

1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．

从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．

教师进一步明确：

（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．

（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长

度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．

2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．

思考：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？

在学生充分讨论思考之后，教师明确：

（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．

（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．

这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．

教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念

对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）

三、解释应用

［例题］

1. 在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．

注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．

2. （1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？

（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？

解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．

（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．

3. 已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．

注意：此题可以由学生口答，教师点评．

解：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）．

讨论：若以C点为原点，以射线CB，CD，CC′方向分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？

得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．

［练习］

1. 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．

2. 已知：长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．

3. 写出坐标平面yOz上∠yOz平分线上的点的坐标满足的条件．

四、拓展延伸

1. 分别写出点（1，1，1）关于各坐标轴和各个坐标平面对称的点的坐标．

2. 设ｚ为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的集合是什么图形？

3. 试将平面直角坐标系中的两点间距离公式类比到空间直角坐标系中去．

点评

这篇案例主要采用启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．首先，为了使学生比较顺利地实现从线到平面、再从平面到空间的变化，即从一维到二维、再从二维到三维向量的变化，采用了类比的数学教学手段，顺利地引导学生实现了这一变化，同时引起了学生的兴趣．

在整个教学过程中，内容由浅入深，环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生尝到了成功的喜悦．这对增强学生的学习信心，起到了很好的作用．在研究过程中，充分运用了类比、交换、数形结合等数学思想方法，有效地培养了学生的思想品质．在求空间直角坐标系中点的坐标时，学生不仅会很自然地运用类比的思想方法，也锻炼了他们的空间思维能力．

就整体而言，空间直角坐标系是空间向量的根基，这种课属于典型的起始课教学．这篇案例在体现坐标思想、概念教学等方面做了成功的探究．