以平面波展开法分析光子晶体能带结构.

以平面波展開法分析光子晶體能帶結構

廖淑慧講師

中州技術學院電子工程系

黃坤賢學生

黃照智學生

中州技術學院電子工程系

摘要

光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙—電磁波無法在能隙中傳播。雖然三維的光子晶體被認為是最具應用潛力的，但是二維光子晶體的結構在製程上卻佔有較易製作的優勢，所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用。我們使用平面波展開法，分別計算一維和二維光子晶體的能帶結構。根據理論分析的結果，我們發現一維光子晶體無論介電常數差異如何，總是存在著光子能隙。對於二維正方晶格的結構計算，我們發現正方晶格對TM波有能隙，對TE波則無。

關鍵詞: 光子晶體，光子能隙，平面波展開法

壹﹑前言

當半導體中的電子受到晶格的週期性位勢(periodic potential)散射時，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(energy gap)，導致電子的色散關係(dispersion relation)呈帶狀分佈，此即所謂的電子能帶結構(electronic band structure)。西元1987年，E. Yablonovitch 與S. John不約而同地提出相關見解[1][2]，說明類似的現象亦存在於所謂的光子系統中。根據他們提出的研究報告顯示，在介電係數呈週期性排列的三維介電材料中，電磁波被散射後，某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數衰減，無法在該材料內傳遞，這樣的現象相當於在對應的頻譜上形成能隙，因此，色散關係也具有帶狀結構，此即所謂的光子能帶結構(photonic band structure)。這種具有光子能帶結構的介電物質，就稱為光子晶體(photonic crystal)。

事實上，在三維光子能帶結構的概念尚未被提出之前，科學家們對於一維的光子晶體(層狀介電材料) 的研究早已行之多年。電磁波在一維的光子晶體中的干涉現象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產品之中，例如作為波段選擇器、濾波器、繞射光柵元件或反射鏡等。因為科學界一直未能以「晶格」的角度來看待週期性光學材料，所以遲遲未能將固態物理上已發展成熟的能帶理論運用在這方面。直到1989年，Yablonovitch與Gmitter首次嘗試在實驗上證明三維光子能帶結構的存在[3]，終於引起相關研究領域的注意，並且開始大舉投入這方面的研究。

目前，光子晶體在光通訊系統中已有非常多的應用，例如光開關、光放大器、光交換等元件，甚至於非線性光子晶體光纖、多模態光子晶體光纖等，都在光電領域中有著非常具大的應用潛力。若能在元件中或電路製作前，先以演算法分析所需的光子晶體，必能為龐大的半導體製程省下大量的費用。

目前計算光子能帶結構的數值方法最常見的主要有: 平面波展開法(plane wave expansion method, PWM)[4]-[7]有限元素法(finite element method, FEM)[8]-[10]及時域有限差分法(finite difference time domain, FDTD)[11]-[14]。在本論文中將利用平面波展開法，計算一維與二維光子晶體的色散曲線(dispersion curve)，找出其能隙所在。

貳﹑光子能帶結構分析

平面波展開法主要的功能是用來求解光子晶體的色散關係(dispersion relation)。透過平面波展開法，可以了解光子晶體能隙的形成，並且可以利用超晶胞(supercell)的技巧求解含有缺陷(defect)的光子晶體的色散關係。

考慮一無源、線性、非損耗性(0=ρ)介質的Maxwell 方程式如下： t

H E ??-=?? 0μ (1) t E E r o ??εε=?? (2) 0E =?? (3) 0H =?? (4) 其中E 為電場強度，H 為磁場強度，r ε為相對介電常數，o ε、o μ為真空中的介電常數和導磁係數。

假設電場與磁場都是時間的諧和場，可令: t j e r E t r E ω)(),( == (5) t j e r H t r H ω)(),( == (6)

將(5)及(6)式代入(1)、(2)式中，整理之後可得到磁場的赫姆霍茲方程式(Helmholtz's equation)：

)()()(122r H c

r H r r o ωεε=???? (7) 其中ω和c 分別為光在真空中的角頻率及光速，)r (r ε為介電常數函數。根據布洛赫定

理(Bloch's Theorem)，在週期性排列結構中的電磁場可以用平面波展開如下： r G k j G G e e h r H ?+∑∑=)(,?)(λλλ (8) 其中G 為倒晶格向量，1=λ、2，k 為布洛赫波向量(Bloch's wave vector)，G h ,λ為磁場沿著λe

?方向的係數，λe ?為兩個與)G k ( +相互垂直的單位向量。

由於)

r (1r ε為一週期函數，所以可用傅立葉級數展開之： ∑?κ=κ≡εG r G j r e )G ()r ()r (1 (9) Ωκ=κ?-Ω

???d e )r (V 1)G (r G j (10) 其中Ω為單位晶格(unit cell)，V 為單位晶格的體積。

接著將(8)及(9)式代入(7)式，透過一些整理後可得到一特徵方程式如下：

??????????=????????????????'?'?-'?-'?++-∑G G G G G h h c h h e e e e e e e e G k G k G G ,2,122',2',111211222'')'(ωκ (11) 由(11)式，可根據不同的k

值解出對應特徵值{ωn }及特徵向量{}

G h ,λ。若只考慮二維的問題時，(11)式可分解為兩個特徵值方程式，分別對應於橫磁波(TM mode)和橫電波(TE mode)。

一﹑橫磁波(TM mode)

假設電磁波的傳播方向在x-y 平面上)0k (z =，在TM 模態下僅考慮z E 、x H 和y H 三個場量，則(11)式可化簡如下：

G G G h c h G G G k G k ,122

'

',1)'()'()(ωκ=-++∑ (12) 二﹑橫電波(TE mode)

在TE 模態下，電場方向在x-y 平面上，磁場在z 方面上(z H 、x E 和y E )，(11)式可化簡如下：

G G G h c h G G G k G k ,222

'',2)'()'()(ωκ=-+?+∑ (13)

若考慮一維的問題，k 和G 只有兩個方向，分別是+x 與-x ，此時可將21?,?e e

分別取為z e y e

??,??21==，所以，特徵方程式可簡化為: G G G h c h G G G k G k 22

'')'()'()(ωκ=-++∑ (14) 在此情況下，E 和H 都在y-z 平面，所以TE mode 和TM mode 的情況是一樣的。

參﹑結果分析

在本論文中，我們使用了一部份參考文獻[15].中的數據，以作為確認數值演算的結果依據。

在一維光子晶體結構中，無論介電常數比值為何，只要1≠b

a εε，永遠存在著能隙(圖1.)。由圖1.、圖2.及圖3.能隙的比較，我們也發現介電常數差額愈小者，能隙亦較

小。

對於二維光子晶體結構，則主要計算正方晶格(square lattice)結構排列的二維光子晶體，探討其在橫磁波與橫電波下的色散特性曲線。

考慮一介電質圓柱在x-y 平面的週期排列，圓柱在z 方向上無窮延伸出去，晶格基底向量(primitive lattice vector)為)0,1(a a 1= ，)1,0(2a a = ，a 代表晶格間距，R 為圓柱半徑，圓柱的材質為鋁(Al ，其介電常數9.8=a ε)。正方晶格的倒晶格還是正方晶格，

倒晶格基底向量(reciprocal lattice vector)為)0,1(a 2b 1π= ，)1,0(a 2b 2π= ，根據(9)、(10)式可以求得)G ( κ如下所示：

0G if )f 1(1f 1)G (b a =-ε+ε=κ (15) 0G if )

R G ()R G (J 2f )11()G (1b a ≠ε-ε=κ (16) 上式中1b =ε，2

c R a R a a f π==為填充係數(filling factor)，R a 為圓柱的截面積，c a 為單位晶胞的面積，)x (J 1為貝索函數(Bessel function)。令a 2.0R =，選取足夠的G ，利用(12) 、 (13) 、 (15) 及(16)式，代入不同的k 值求出其對應的特徵值，分別畫出TM 模態下和TE 模態下的色散曲線如圖4.、圖5.所示。由圖4.、圖5.可發現，此狀況下的晶格排列在TM 模態下存在著一光子晶體能隙，但在TE 模態下並未發現能隙的存在。

肆﹑結論

經由對光子晶體能帶的特性曲線探討，我們更加確信利用適當設計的週期性介電質結構與適合的介電係數，可以在光波範圍內的色散關係中產生能隙結構。因為在能隙範圍內，任何傳播方向的電磁波均無法傳遞，所以，我們可以配合不同的幾何結構與材料相關參數，設計出具有不同能隙位置與不同能隙大小的光子晶體。

光子晶體的理論發展已日益成熟。實驗的部分，隨著半導體製程的進步，近年來，用在光波段的光子晶體已被製造出來，並驗證了理論，引起電機、電子、物理、通訊等相關研究領域的注意，並且開始大舉投入這方面的研究。光的平行處理能力以及光速般的處理速度，讓光子晶體和積體光學在高運算量及高資訊量、高速度的系統上必能表現其潛力。未來經由積體光路與電子電路整合，將能發揮更大的效用。

圖1.The one dimentional photonic band structure of a multilayer film with lattice constant a and alternating layers of different widths. The width of theεa=11.58 layer is 0.2a, and the width of theεb=1 layer is 0.8°

.

圖2.The one dimentional photonic band structure of a multilayer film with lattice constant a and alternating layers of different widths. The width of theεa=8.9 layer is 0.2a, and the width of theεb=1 layer is 0.8a.

圖3.The one dimentional photonic band structure of a multilayer film with lattice constant a and alternating layers of different widths. The width of theεa=5.2 layer is 0.2a, and the width of theεb=1 layer is 0.8a.

圖4.The TE mode photonic band structure for a square array of dielectric columns with R=0.2a.The band structure is for a crystal consisting of alumina(εa=8.9) rodsembedded in air(εb=1).

圖5. The TM mode photonic band structure for a square array of dielectric columns with R=0.2a.The band structure is for a crystal consisting of alumina(εa=8.9) rodsembedded in air(εb=1).

誌謝

本研究工作之完成承蒙中州技術學院專題研究計畫(編號:CCUT-94-EE09)之經費

補助，也參考了Shangping Guo先生提供的Matlab cod e，特此致謝。

參考文獻

[1].E.Yablonovitch,"Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and

electronics."Phys.Rev.Lett.58,2059(1987).

[2].S.John."Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices,

"Phys.Rev.Lett.58,2068(1987).

[3].E.Yablonovitch and T.J.Gmitter, "Photonic band structure: the face-centered-cubic

case."Phys.Rev.Lett.63,1950(1989).

[4].K.M.Ho,C.T.Chan,and C.M.Soukoulis, "Existence of a photonic gap in periodic

dielectric structures."Phys.Rev.Lett.65,3152(1990).

[5]. J.Arriaga,B. Meneses, " Band structure of air-photonic crystal fiber cladding."Physica E

17,443(2003)

[4]. Shangping Guo and Sacharia Albin, " A simple plane wave implementation for photonic

crystal calculations."Opt. Express 11, 167(2003),

[6].J.Arriaga,J.C. Knight,P.St.J. Russell,"Modeling the propagation of light in photonic

crystal fibers, "Physica D 189,100(2004).

[7].Tao Pan,Fei Zhuang,Zhen-Ya Li, "Absolute photonic band gaps in a two-dimensional

photonic crystal with hollow anisotropic rods."Solid State Communications 129,501(2004).

[8].K.Saitoh andM.Koshiba, "Chromatic dispersion control in photonic crystal

fiber:application to ultra-flattened dispersion." Opt. Express 11,843(2003).

[9].T.Fujisawa and M. Koshiba, "Finite element characterization of chromatic dispersion in

nonlinear holey fibers." Opt. Express 11,1481(2003).

[10]. K.Saitoh ,Y.Sato, and M. Koshiba, "Polarization splitter in three-core photonic crystal

fibers." Opt. Express 12,3940(2004).

[11].Dennis M. Sullivan, "Electromagnetic simulation using the FDTD method." New York,

IEEE Press,2000.

[12].Allen Taflove,Susan C. Hagness, "Computational Electrodynamics."2nd edition,

Boston/London, Artech House,2000.

[13].T. Uusitupa, K. Karkkainen, and K.Nikoskinen, "Studying 120° PBG waveguide bend

using FDTD."Microwave and Optical Technology Letters,39,326(2003).

[14].R.Todd Lee and Glenn S.Smith, "A conceptually simple method for incorporating

periodic boundary conditions into the FDTD method." Microwave and Optical Technology Letters,45,472(2005).

[15].D. Joannopoulos, R. D. Meade, J. N. Winn, "Photonic Crystals-Molding the Flow

of Light, " New Jersey ,Princeton University Press, 1995.

,

Plane Wave Expansion Method for Photonic Crystal Band Structure

Computations

Shu-Hui Liao

Department of Electronic Engineering, Chungchou Institute of Technology

Kun-Hsien Huang

Department of Electronic Engineering, Chungchou Institute of Technology

Chao-Chih Huang

Department of Electronic Engineering, Chungchou Institute of Technology

Abstract:

The major property of photonic crystals is photonic band gap—a frequency region where propagating waves are forbidden. Although three dimensional photonic crystals may provide the most potential applications, two dimensional photonic crystals have also been widely studied, since they are much more easier to fabricate, and may be used in optical and electronic system or devices. The plane wave expansion method is used to calculate photonic band gaps for one dimensional and two dimensional structures. According to the theoretical analysis, we find that band gaps always appear in one dimensional photonic crystal for any dielectric contrast. It seems that the smaller the contrast,the smaller the gaps. For the case of two dimensional structures, the square lattices are studied,and we find that the photonic crystal has a complete band gap for the TM modes between the first and the second bands, but not for the TE modes.

Keywords: photonic crystal, photonic band gap, the plane wave expansion method