量子力学数学形式表述的由来和特点

量子力学数学形式表述的由来和特点

量子力学是用数学语言来调和两种对立的经典概念波和粒子应用到原子现象上描写同一微观客体的佯谬（表观矛盾）的。波概念的用场在于通过波动的各部分振幅的（线性）叠加引起加强削弱的所谓干涉效应来说明原子现象在空间时间上的强弱分布；粒子概念的用场在于说明原子过程的单个性特色。

尽管这两者在表观上是矛盾的，事实表明，两种概仿可借助作用量量子充当调停者的角色对应起来，写出如下两种等式：

普朗克（1900）——爱因斯坦（1905）——玻尔（1913）关系：

能量/h=频率；

爱因斯坦（1909）——德布罗意（1923）——薛定谔（1926）关系：

动量/h=波数

两式的左边由粒子概念组成，右边由波概念组成。象玻恩所说，等式本身就完全不合理。何以有这种对应到今仍是个谜。但是玻恩也认为，如果放弃物理学一向接受的决定论原理，这种等式就通过量子力学的建立而合理化了。

可以认为，为了解释原子现象在表观上的二得性，物理学家面临的问题是要把经典物理学作一个合理的推广，以便把作用量量子以合理的方式合并进去。这一困难任务终于通过引进合适的数学抽象完成了。完成的过程及其特点大致如下：

推导量子论的数学结构，不管用粒子图景还是用波图景，都靠两个来源：经验事实和玻尔的对应原理。但是，这种推导并不是数学意义上的推导，因为所得各方程本身就是所建立理论的假定。虽然这些假定看来很合理，最后的证明还得看它们的预言和实验符合得怎样。

（一）矩阵力学

1925——26年海森堡发起，随后经玻恩和约旦协助，从粒子类似出发，在“试图解开原子谜，必须只考虑可观察的数量”这个观念指导下，试图推出量子力学的数学结构。出发点仍是经典力学的数学结构，即哈密顿的正则运动方程。根据原子物理学中公认的经验事实（里德堡——里兹原子光谱线并合规则，分立的原子能量值的存在，玻尔频率关系），在对应原理的指引下，他们发出原子稳定态的理论要求电子坐标、动量及其函数都可用（厄米）矩阵来表示。这个稳定态理论构成量子力学的初始阶段，在其中分立能量值的存在是通过把多周期性振动这个经典运动固定下来而得到的。

他们不考虑原子内部是否有观察不到的电子轨道的存在，离开在空间时间上的客观过程这个观念，只用和光谱线联系的频率和振幅这两种直接可观测的数值来组成原子内部电子运动的力学量的表示，从而找到了能综合原子光谱线经验事实、确定原子稳定态的量子条件。这个条件相当于位置矩阵q和动量矩阵p的乘积次序不能随意对调的一个神秘方程，即所谓的对易关系：

qp=

-

pq

ηi

这个计算规则被认为反映着与q、p相应的测量操作的不可对易性。接受这个规则，稳定态力学性质，包括能量确定值和其他量的平均值，以及两稳定态之间量子跃迁过程发生的几率（相对次数）就都能推算出来，而不带任何任意性。这就是矩阵力学的功效。

实际上也就是整个量子力学能办到的那类功效。玻尔认为这是对应原理的第一次定量表述。由于把物理量看成是具有不连续结构的矩阵，把量子跃迁过程看成不能用传统概念（即不能作为空间时间上的过程）来描写或抗拒任何描写的不连续过程，所以矩阵力学在形式上强调了原子可观测量的不连续性和原子客体象粒子的这一面。

（二） 波力学

1923年德布罗意根据类比提出电子也和光子一样有其波粒二得性，认为和电子连在一起有个导航波在指导电子的行动，并发现可按前述第二个关系（动量和波数的关系）用驻波解释原子中稳定的玻尔电子轨道。德布罗意的导航波理论经哥派的泡里（1927）举出一个不能和事实符合的碰撞例子给否决了。

1926年初，薛定谔把电子看作实质上是一团带电物理作松紧振动的实体波，并据此从经典力学类似出发，试图建立原子发光理论。他也按上述第二个关系发出这个物质波的振幅服从一个微分方程（薛定谔方程）。它是物质波随时间在空间上演变的因果规律。解此方程，可以计算原子中电子的驻波式振动频率（相对于玻尔的稳态能量），并用经典电动力学计算以拍频率放出的辐射频率及强度。这样，他就从完全新的方式（不用不连续的代数法，恢复连续的微积分法）算出和矩阵力学一致的结果，但其运算远比矩阵力学简便。他在一不假定有分立能级存在，二不假定有量子跃迁，三不假定稳态方程的本征值有频率以外的任何其也意义的坚定信念下，得到了如同玻尔的量子假定都成立那样的相同结果。他认为物质波完全可以经作象电磁波、声波那样在时空上的过程，这立刻排除了象量子跃迁那样含糊的观念，原子发光就象无线电发射器的天线发出无线电波那样容易地理解，细锐光谱线的存在不再视为怪事。

哥派接受波力学方程这个数学形式，认为它是从波类似出发得出的量子论在形式表述上的新进展，对数学上的澄清和简化作出了莫大的贡献。但是，他们不能接受薛定谔完全放弃粒子图景，把电子看成一团带电物质的连续分帽或一个波包实体这一观点。他们论证了这一观点不但不能保持下去，并且认为也无助于解释普朗克辐射律。他们特别指出，爱因斯坦对普朗克律的推导不可避免地要求原子能量应取分立数值，并随时作不连续的突变。此外，哥派认为薛定谔 力景无法直接观测证实，并且许多事实证明不能放弃电子类似于粒子的一面。 人们曾试图跟随薛定谔把2ψm 作为物质分布密度，把2ψe 当作电荷分布密度，而玻恩则首先于1926年底站在粒子的立场上，把2ψ看成r ρ

处t 时找到这个电子的几率密度。这是对波函数作出的一个统计性解释，或者说非决定论的解释。这个解释不久就得到哥派的一致承认。他们把ψ看成仅是几率知识波，而不是客体存在的实体，即ψ不代表实在，而只代表人们对实在的不完备的知识。

按哥派的解释，一原子的物理场合的特征得由其波函数ψ业表示，它使我们能表示出任何一个力学量（可观测量）在它的各个可能有的数值上分布的几率定律。服从薛定谔方程的ψ圆满的描写出任何时刻的物理状况，即它能用一个几率性的统计说明来答复在经典概念上关于状况的一切有意义的问题。

（三） 整套量子力学（变换理论或表象理论）

1926-1927年间狄拉克和约旦发展出概括矩阵力学和波力学的普遍量子力学理论，即普遍的表象理论或变换理论。基本观念是从矩阵力学和波力学找出共同特色，连成一个体系，借助于这个体系得到量子论的各种不同形式，它们适合于在不同的特殊问题中使用，各有各的方便之处。这就说明了矩阵力学和波力学有其完全的等效笥，这个等效性最早由薛定谔本人证明了。

量子力学认为关于原子体系的一切信息都是以测量结果的形式 得到的，所以原子体系的运动状态决定于对它所做的各个测量。任何时刻体系都处于一定的运动状态上，这个态可看成是体系的可观察性质的总和。量子力学的特征之一是把一体系的几个不同状态叠加起来构造出一个新状态，正象很多具有一定单个频率的平面波叠加起来组成声波光波那样。即在量子力学中体系的动力学状态有个怪特征，即服从线性叠加大原理。根据这个叠加原理可以建立量子论的更为普遍的表示方式（表象），它可被应用到没有经典类似的那些新的量子化体系上。

线性叠加原理说的是同一客体可以存在于同时有两个以上的状态组成的线性叠加态，即同一客体的任两个态可组合成组合态2211ψ+ψc c 。这就迫使人们认为原子客体的任何状态ψ都不等同于客体，它只表达关于客体的信息或知识。这一原理可上某种操作步骤来实现。在观测之前，客体处于2211ψ+ψc c 态上被说成是客体同时部分地处于1ψ，部分地处于2ψ态上，客体的这两种性质在统计上共存。我们不能说在观测之前客体就已经处于1ψ或2ψ，因为在这个组合态上多次测量某个可观察量的平均值含有1ψ和2ψ的干涉项，它的存在只能被测量中客体和仪器的相互作用破坏。

线性叠加原理这个基本假定允许用数学的线性空间——希尔伯特空间——的（复数）矢量来代表原子客体的状态。这个空间对应于波力学中客体体系的位形空间的（复数）波函数，因为这种空间也有完备性特征，即任何一组合用的波函数的线性组合都收敛到另一个合用的波函数。在希尔伯特空间中线性独立矢量为数无限多，即这个空间的维数是无限大，但其子空间的维数则可以是有限的。希尔伯特空间的任何矢量都等于一组线性独立矢量即“基矢”的线性组合。这些基矢组成希尔伯特空间的坐标轴。

和状态联系着的位置和动量的函数都算是体系的可观察量。在量子力学中任何可观察量都用一个（厄米）算符来表示，它代表一个测量。可观察量的算符作用于状态上一般就把这个态变为另一个态。能同时有确定值的两个可观察量的算符对易；不同同时有确定值的两个可观察量的算符不可对易。成对的所谓共轭量A 及B 的对易关系是：

ηi BA AB =-

体系的任一可观察量在这个量的本征态上才有其确定值，这个确定值叫这个量的本征值。可对易量有共同本征态，所以可同时有确定值，不可对易量则否。任何可观察量的一组本征态在希尔伯特空间中是一组线性独立矢量，可取为希尔伯特空间的基矢。

对有经典类似的问题来说，用经典力学的哈密顿函数H ，在正则方程的启示下，得以建立原子体系的可观察量的统计平均值随时间演变的因果律方程。但这个因果律不是

原子客体本身在空间时间上行动的因果律，而只是确定几率振幅的统计知识的因果律。所以量子力学本质上是几率振幅的理论。薛定谔主程仅系其形式的一种，是在能量已知后求位置分布的几率振幅的理论。在其他表示形式上，已知量可以不是能量，所求的可以不是位置禁上的分布，命名如可以是动量坐标上分布的几率振幅。这些普遍性问题都能用变换理论来解出。

变换理论反映了原子现象测量的特色。以叠加原理为基础的这个统计理论，不但预言测量结果的各个可能数值，也预言在测量活动中某特殊数值出现的几率。实验安排可制备出某力学量A的本征态，随后测量另一不与之对易的力学量B时，政府只能预言多次等同实验所测得B的各个可能结果的几率分布，即各种结果发生的相对次数。它由原态按叠加原理用B的各个本征态展开，各态的系数作为几率振幅而给出。这个系数就是希尔伯特空间中原态矢量 和B的相应本征态的标量积，即原态在这个本征矢上的投影。但当这个观察已被做出且明确得到某值时，就不得不认为测量以前的原有状态立刻不连续的突变到量B的该本征态上。很多人不能接受测量活动导致的这种状态突变即状态收缩。它使知识因果律在测量时不能与此后的知识因果律连结上。

这个必然要有的状态突变或因果律中断的结论反映着“观察本身不连续地改变了几率函数，它人一切可能事件中挑选出实际上发生的那一个。因为通过观察，我们对体系的知识不连续地改变了，其数学表示也发生了不连续的改变，所以就有个“量子跳跃”。海森堡强调，我们的知识肯定能突然改变，这个事实就是用“量子跳跃”这个词的根据。所以，从“可能的”跃迁到“实在的”跃迁是在观测活动中发生的；可以说，一旦客体和测量装备发生了相互作用，从“可能的”到“实在的”这个跃迁也随即发生。显然，哥派的这一解释完全是主观的。

由以上可观，在量子力学里原子客体的状态可改变的方式有二：其一，在未受观察的干扰时，在严密的因果律支配着；其二，在对处于某状态上的客体做可观察量Q的测量时刻，这个状态立刻收缩到Q的某一个本征态上，观察到这一结果的几率由原态按态叠加原理所作的展开式中这个本征成的系数决定。后一种改变是不连续的突变，其过程本身量子力学不能描写（这点爱因斯坦很反对，他要求量子力学应该能描写在一切量子跃迁过程里粒子究竟干了些什么），这被认为是无决定性的因果律可循。这就意味着，量子力学定律只能提供对一原子体系相断做观测所得结果之间的几率联系。整个量子力学只不过是从某一时刻的一个实验结果计算后一时刻实验结果所发生的几率的一种方法。哥派认为，量子力学只能做到这一点，不能象经典力学中那样可以用客观实在来表述。由此可知，在相继做出的两个实验之间的时期内不必要求量子力学的状态函数（波函数）有任何物理意义。

在形式上强调波和连续性方面的波力学和在形式上强调粒子和不连续性方面的矩阵力学是整套量子力学中各种等效形式的两个极端。不管哪一形式都有着描写关于原子客体的知识随时间演变的严格数学定律。但是，这个因果律却不是描述客体本身在空间时间上行动的因果律，并且这个知识因果律也不能贯彻到底，因为每次观测都打断知识工事件的连续演变程序，并突然引进新的起始条件。这正是量子力学的特色。这个状态突变或因果链中断既然是由测量引起的，它就被认为起因于在每次观测时必然出现的客体和量具之间的相互作用，这个相互作用在原则上不能客观的描写，它是个抗拒任何描述

的量子跃迁过程。

可以体会，上述量子力学数学结构概貌已包括了前已申述的有h存在的各个直接后果。玻尔说过：“只要把作用量量子h看作为没有通常解释的要素，这个数学形式表示可被当作经典物理学概念结构的合理的推广。”而这个表示指的是：“在量子力学里，基本物理量已由符号算子所代替，这些符号受特设计算规则的支配，这些规则涉及到作用量量子，并反映着与这些量相就的测量操作的不能调换性。”