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圆的标准方程与一般方程(含参考答案)

圆的标准方程与一般方程(含参考答案)
圆的标准方程与一般方程(含参考答案)

圆的标准方程与一般方程

知识要点：

1. 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点是圆心，定长是半径。

2.以()b a C ,为圆心，r 为半径的圆的标准方程

是： 。 3. 过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的圆的切线是：200r y y x x =+。

4.圆的一般方程：()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；

5.点与圆的位置关系：

点在圆上： 圆内： 圆外：

例1. 已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的

长为8，

求此圆的标准方程. ()()253522=-+-y x

例2、求过点A （2，-3）、B （-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程.

()()102122=+++y x

例3、求过三点A （1，1）B （3，1）和C （5，3）的圆的方程.0108422=+--+y x y x

一、选择题

1、若一圆的标准方程为（x-1）2+（y+5）2=3，则此圆的的圆心和半径分别为 （b ） A.(-1,5),3 B.(1,-5), 3 C.(-1,5),3 D.(1,-5),3

2、圆13)2()3(22=++-y x 的周长是( b )

A.π13

B. π132

C. π2

D. π32

3、圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为（-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（ d ）

A.-4、-6、3

B.-4、6、3

C.-4、6、–3

D. 4、-6、-3

4、已知圆的方程是

122=+y x ，则它的在y 轴上的截距为2的切线方程是(c)

A 、02=+-y x

B 、02=-+y x

C 、02=+-y x 与02=-+y x

D 、02=++y x 与02=-+y x

5.点)5,(2m 与圆

2422=+y x 的位置关系是(A) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定

6. 已知直线l 的方程为34250x y +-=，则圆221x y +=上的点到直线l 的距离的最小值是(B)

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

7.已知圆

:M 2)2()3(22=-+-y x ，直线03:=-+y x l ，点)1,2(P ，那么(C) A.点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B. 点P 在圆M 上，但不在直线l 上

C. 点P 既在圆M 上，又在直线l 上

D. 点P 既不在圆M 上，又不在直线l 上

8．过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线0x y -=上的圆的标准方程是(A)

A ．22(3)(3)2x y -+-= B. 22(3)(3)2x y +++= C. 22(3)(3)2x y -+-= D. 22(3)(3)2x y +++=

二、填空题

1、圆()003322222>=+--+a a ay ax y x 的半径为 ；圆心坐标为 。 圆

3)2()1(22=-++y x 的圆心坐标是 ，半径是 .

2、方程02222=--+b ax y x 表示的图形是 。

3、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .

4、圆02222=--+by ax y x 在x 轴上截得的弦长为 .

1、a ，()a a 3,；

2、一个点或一个圆；

3、04=-+y x ；

4、||2a 。

5、经过原点，圆心在x 轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是 .

6、圆心在x y -=上且过两点（2，0），（0，-4）的圆的方程是 .

7、圆心在02=+y x 上，且与直线01=-+y x 切于点（2，-1）圆的方程是 .

5、()25522=+-y x ；

6、()()103322=++-y x ；

7、()()22122=++-y x ；

8. 圆1)4()3(2

2=++-y x 关于直线0=-y x 对称的圆的方程是 . 22(4)(3)1x y ++-=

9.圆()()93322=-+-y x 上，到直线01143=-+y x 的距离为1的点有 3 个。

三、解答题

1、求圆心在原点，且与直线07034=-+y x 相切的圆的标准方程.19622=+y x

2、求过点A （2，-3）、B （-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程.

2、()()102122=+++y x 。

圆的标准方程导学案1(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ 2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 3.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？ 4.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：________________ 5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在原点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？ 预习自测 1.写出下列各圆的方程： （1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3；

（2） 圆心在圆点，半径为5； （3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。 2.圆22 (3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为 二、课/堂/探/究：合作探究————取长补短 基础知识探究 1.圆的标准方程是一个____元____次方程. 2.写出圆心为(2,3)A -，半径长为 5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M -- 是否在这个圆上.

3.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是 4.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足 怎样的关系式P P P ???????? 点在圆内点在圆外点在圆上 综合应用探究 1.已知ABC Rt ? 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？ 2.ABC ?的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，求它的外接圆的方程. 3.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。 三、达/标/检/测 1. 求满足下列条件的圆的方程

圆的标准方程 练习题

第四章 4.1 4.1.1 A 级 基础巩固 一、选择题 1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是 ( ) A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 2．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足 ( ) A ．是圆心 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．在圆外 3．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为 ( ) A ．(－1,2)，2 B ．(1，－2)，2 C ．(－1,2)，4 D ．(1，－2)，4 4．(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1 5．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝ ( ) A ．－4 3 B ．－34 C ．3 D ．2 6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0 二、填空题 7．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是 . 8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是 三、解答题 9．圆过点A (1，－2)、B (－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程． 10．已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0). (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值； (2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．

人教版高中数学《圆的标准方程》教案导学案

圆的标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程． (二)能力训练点 通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． (三)学科渗透点 圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 二、教材分析 1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程． (解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．) 2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． (解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．) 三、活动设计 问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读． 四、教学过程 (一)复习提问 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． 问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

高中数学-圆的标准方程练习题

高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案：D 2.以点A(-5，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析：∵圆与x 轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案：A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则P A⊥x 轴，∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立，得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1，0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0，1). 答案：(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析：令 x y =k,即y=kx ，直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案：D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0)，直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此，所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案：C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径，即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.

圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1

高中数学《圆的标准方程》导学案

2.1 圆的标准方程 [学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系. 【主干自填】 1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程 (1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □ 04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)的中点坐标为□06? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 4．点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM |

(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在□10圆上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在□11圆外?(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在□12圆内?(m－a)2＋(n－b)2

椭圆及其标准方程练习题

椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1。椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点 的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 二．椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质 椭圆的图象和性质 数学定义式 |MF 1｜+｜MF 2|=2a 焦点位置 x 轴 y 轴 图形 标准方程 焦点坐标 焦距 顶点坐标 a , b ， c 的关系式 长、短轴 长轴长=2a , 短轴长=2b 对称轴 两坐标轴 离心率 a c e = = （ 0 〈 e 〈 1） 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B,C 是两个定点，｜BC ｜＝6,且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点,| F 1 F 2|=8, 动点M 满足｜M F 1|+|M F 2｜=8，则点M 的轨迹是 (A ）椭圆 （B )直线 （C ）圆 (D ）线段 y x o y x o

例2。写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2)和（0,2)且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是（-3，0)，（3，0)，椭圆经过点(5,0）. (2）两个焦点坐标分别是（0，5），(0，—5),椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍,则椭圆离心率是 ; 2。如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为 ; 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； ［典型练习]： 1 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为( ） A 。5 B.6 C 。4 D 。10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是( ） A 。（±5，0) B 。（0，±5） C 。（0，±12) D 。(±12，0) 3。已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A 。228m - B.2m -22 C 。28 2-m D.222-m 4。1,6==c a ，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是

(完整版)高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练).doc

专题：直线与圆 1．圆 C1 : x2＋ y2＋ 2x＋ 8y－ 8＝0 与圆 C2 : x2＋ y2－ 4x＋4y－ 2＝ 0 的位置关系是 ( ) ． A ．相交B．外切C．内切D．相离 2．两圆 x2＋ y2－4x＋ 2y＋ 1＝ 0 与 x2＋ y2＋ 4x－4y－ 1＝ 0 的公共切线有 ( ) ． A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条 3．若圆 C 与圆 ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1 关于原点对称，则圆 C 的方程是 ( ) ． A ． ( x－ 2) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1 B． ( x－ 2) 2＋ ( y－ 1) 2＝1 C． ( x－ 1) 2＋ ( y＋ 2) 2＝ 1 D．( x＋ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 1 4．与直线 l : y＝ 2x＋ 3 平行，且与圆x2＋ y2－2x－ 4y＋ 4＝0 相切的直线方程是 ( ) ． A ． x－ y± 5 ＝ 0 B． 2x－ y＋ 5 ＝ 0 C． 2x－ y－ 5 ＝ 0 D．2x－ y± 5 ＝ 0 5．直线 x－ y＋ 4＝ 0 被圆 x2＋ y2＋ 4x－4y＋ 6＝ 0 截得的弦长等于 ( ) ． A ． 2 B． 2 C．2 2 D． 4 2 6．一圆过圆 x2＋ y2－ 2x＝0 与直线 x＋ 2y－ 3＝0 的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( ) ． A ． x2＋ y2＋4y－ 6＝ 0 B． x2＋ y2＋ 4x－ 6＝ 0 C． x2＋ y2－ 2y＝ 0 D． x2＋ y2＋ 4y＋ 6＝ 0 7．圆 x2＋ y2－ 4x－4y－ 10＝ 0 上的点到直线 x＋y－ 14＝ 0 的最大距离与最小距离的差是( ) ． A．30 B． 18 C．6 2 D． 5 2 8．两圆 ( x－ a) 2＋ ( y－b) 2＝ r 2和 ( x－ b) 2＋( y－ a) 2＝ r 2相切，则 ( ) ． A ． ( a－ b) 2＝ r2 B． ( a－ b) 2＝ 2r2 C． ( a＋ b) 2＝ r 2 D．( a＋ b) 2＝ 2r 2 9．若直线 3x－ y＋ c＝ 0，向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位，平移后与圆 x2＋ y2＝ 10相切，则 c 的值为 ( ) ．A．14 或－ 6 B．12 或－ 8 C．8 或－ 12 D．6 或－ 14 10．设 A( 3，3，1) ，B( 1，0，5) ，C( 0，1，0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 | CM| ＝( ) ． 53 B．53 53 D． 13 A ．C． 2 4 2 2 11．若直线 3x－ 4y＋ 12＝ 0 与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________． 12．已知直线x＝ a 与圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1 相切，则a 的值是 _________． 13．直线 x＝ 0 被圆 x2＋ y2― 6x― 2y―15＝ 0 所截得的弦长为_________． 14．若 A( 4，－ 7， 1) ，B( 6， 2， z) ， | AB| ＝ 11，则 z＝ _______________ ． 15．已知 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 上的动点， PA，PB 是圆 ( x－ 1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为． 三、解答题 16．求下列各圆的标准方程： ( 1) 圆心在直线y＝0 上，且圆过两点A( 1， 4) ， B( 3， 2) ； ( 2) 圆心在直线2x＋ y＝0 上，且圆与直线x＋y－ 1＝ 0 切于点 M( 2，－ 1) ．

最新高考数学解题技巧-极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即

圆的标准方程优秀教案

第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用． 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程． 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆？ 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答． 问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）． 【设计说明】教师引导，学生回答． 问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题． 二、探究新知

圆的标准方程 练习题

第四章４.１4、1.１ A级基础巩固 一、选择题 1、圆心就是(４,－1),且过点(5,2)的圆的标准方程就是( ) Ａ、(ｘ－4)2＋(y+1)2=1０Ｂ.(x+4)2+(ｙ－1)２＝10 C.(ｘ-4)2＋(y＋1)2=１00 D、(ｘ－4)2＋(ｙ+1)2=１０ 2、已知圆的方程就是(x-2)２＋(ｙ－3)2=4,则点P(3,2)满足( ) A.就是圆心 B.在圆上?C、在圆内D、在圆外 3、圆(x＋1)2+(y－2)2＝４的圆心坐标与半径分别为( ) A、(-１,２),2 B、(1,－２),２ C.(-1,2),4D、(１,－２),4 4、(2016·锦州高一检测)若圆C与圆(x＋２)２+(y-1)2=1关于原点对称,则圆Ｃ的方程就是( ) A.(ｘ-２)2+(y＋１)２=1? B.(x-2)２+(ｙ-1)2=1 C.(x-1)2＋(y＋2)2＝１D、(ｘ+1)2＋(y+２)2＝１ ５.(20１6·全国卷Ⅱ)圆ｘ2+y２-2x-8y+1３=0的圆心到直线ax＋y-1=0的距离为1,则a＝( ) A、－错误!Ｂ.－错误! C.错误!D、２ 6、若P(2,-1)为圆(x-1)2＋y２=25的弦AB的中点,则直线AＢ的方程就是(A) Ａ、ｘ－y－3＝0?B、2ｘ＋y－3＝0?C、ｘ+y-1=0 D.2x-y－5＝0 二、填空题 7、以点(2,-1)为圆心且与直线x+ｙ=6相切的圆的方程就是、 8.圆心既在直线x-ｙ=０上,又在直线x+ｙ－４＝0上,且经过原点的圆的方程就是 三、解答题 9、圆过点Ａ(1,－2)、B(－1,4),求 (1)周长最小的圆的方程; (２)圆心在直线2ｘ-ｙ－4=0上的圆的方程、 1０、已知圆N的标准方程为(x-５)2+(ｙ－6)2=a2(a>0)、 (1)若点M(６,９)在圆上,求a的值; (2)已知点Ｐ(3,3)与点Q(5,３),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点,求a的取值范围、

圆的方程练习题答案

圆的方程练习题答案 A级基础演练 一、选择题 1．(2013·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 ( )．A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－ 1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案 B 2．(2013·太原质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若00，所以原点在圆外． 答案 B 3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为 ( )．A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5. 答案 D 4．(2013·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ( )． A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16 解析设P(x，y)，则由题意可得：2x－22＋y2＝x－82＋y2，化简整理得x2＋y2＝16，故选B. 答案 B 二、填空题 5．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．

极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略

极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略 【考纲要求】 （1）坐标系 ①了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 ②了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 ③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 ④了解参数方程，了解参数的意义。能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 ⑤能选择适当的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解他们的区别。 （2）参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 ③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。 ④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨迹中的作用。 【热门考点】 高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程。冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，摆线在实际中的应用，摆线在表示行星运动轨道中的作用。涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用。多以选做题形式出现，以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档题。 【常见题型】

圆的标准方程学案

高二数学必修2 圆与方程 班级________ 姓名_________ 圆的标准方程 【课标要求】 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 【学习目标】 1.能在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程。 2.能根据圆的标准方程写出圆心和半径，会根据条件求圆的方程。 【学习重、难点】 重点：圆的标准方程的求法及其应用。 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程，以及选择恰当的坐标系解决 与圆有关的实际问题。 【问题探究】 请认真阅读教材P118—P119例1以前的内容，完成下列问题： 1.在直角坐标系中，当_________与_________确定后，圆就唯一确定了。因此，确定圆的最基本 的要素是_____________ 2.在直角坐标系中，设),(y x M 是圆心为),(b a A ，半径为r 的圆上任意一点，你能根据圆的定 义推到出圆的标准方程吗？ 3.（1）圆的标准方程有哪些特征？ （2）圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为_______________ 4.（1）若点),(00y x M 在圆2 22r y x =+内，则满足条件____________ （2）若点),(00y x M 在圆2 22r y x =+外，则满足条件____________ 同理，（3）若点),(00y x M 在圆2 22)()(r b y a x =-+-内，则满足条件____________ （4）若点),(00y x M 在圆2 22)()(r b y a x =-+-外，则满足条件____________ 【例题剖析】 例1：完成教材P119例1 例2：完成教材P119例2 思考：（1）你能说说本题的解题思路吗？ （2）你能根据三角形外心的定义给出其他解法吗？ 例3：完成教材P120例3 思考：（1）你能用类似例2的方法解答本题么？ （2）比较例2和例3，你能说说求任意ABC ?外接圆方程的方法有几种？ 试比较各自的优越性。 【自主测评】 独立完成教材P120练习1，3，4（两种方法） 【作业布置】 习题4.1A 组3，4，5， 【本节收获】 通过本节的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？

参数方程题型大全

参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________

最新椭圆及其标准方程导学案

2.2.1 椭圆及其标准方程 【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用 红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。 2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。 【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆 的标准方程。 【学习重、难点】 学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因． 【预习案】 预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题） 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什 么曲线 在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。 3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹 是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨

迹存在吗？ 结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。 a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。 预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题） 结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 【探究案】 探究一、椭圆定义的应用 设P 是椭圆11625 2 2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ） A.10 B.8 C.5 D.4 （解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。） 解：椭圆中=2a ，a 2= 。 由椭圆的定义知21PF PF += = 。

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202=r ． 所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢 例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-： ．

4用椭圆和圆的参数方程解题

用椭圆和圆的参数方程解题 题1 (2004年全国高中数学联赛四川省初赛第16题)已知椭圆 )0(1:22 22>>=+b a b y a x C 和动圆)(:222a r b r y x T <<=+.若点A 在椭圆C 上，点B 在 动圆T 上，且使直线AB 与椭圆C 、动圆T 均相切，求点A ,B 的距离AB 的最大值. 解 如图1所示，可不妨设点A ,B 均在第一象限. 图1 由点A 在椭圆C 上，可设?? ? ? ? <<20)sin ,cos (παααb a A ，得椭圆C 在点A 处的切线方程为 1sin cos =+y b x a α α ① 由点B 在动圆T 上，可设?? ? ? ? <<20)sin ,cos (πβββr r B ，得圆T 在点B 处的切线方程为 r y x =+ββsin cos ② 因为①②表示同一条直线，所以 r b a 1 sin sin cos cos ==βαβα αβαβsin sin ,cos cos b r a r == 222221 sin cos r b a =+αα ) ()(cos 2222222 b a r b r a --=α 所以 22222222222 22cos )(sin cos r b b a r b a OB OA AB -+-=-+=-=ααα

2 2222222 2 )(2)()(b a ab b a r b a r b a -=-+≤???? ? ?+-+= 进而可得AB 的最大值是b a -. 题2 (2015年浙江省高中数学竞赛第17题)已知椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离 心率为 2 3 ，右焦点为圆7)3(:222=+-y x C 的圆心. (1)求椭圆1C 的方程； (2)若直线l 与曲线21,C C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A 的坐标. 解法1 (1)(过程略)14 22 =+y x . (2)如图2所示，可设直线l 与椭圆1C 相切于点)sin ,cos 2(ααB ，得椭圆1C 在点B 处的切线方程为 2sin 2cos =+ααy x ③ 图2 还可设直线l 与圆2C 相切于点)sin 7,3cos 7(ββ+A ，得圆2C 在点A 处的切线方程为 7cos 3sin cos +=+βββy x ④ 由③④表示同一条直线，可得 7 cos 32 sin sin 2cos cos +==ββαβα 所以 7 cos 3sin sin ,7cos 3cos 2cos +=+= ββ αββα

高考数学总复习 圆的标准方程学案(1)

河北省二十冶综合学校高中分校高考数学总复习 圆的标准方程学案 一、学习目标 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程 学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 三、使用说明及学法指导: 1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。 2、不会的，模棱两可的问题标记好。 3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、知识链接： 1．两点间的距离公式？ 2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究) A 问题1阅读教材118页内容，回答问题 已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？ 问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 例1：1写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9 (3) 222 ()()x a y a ++= 例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

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