数形结合例题选集

数形结合

一、在一些命题证明中的应用举例： 1、证明勾股定理：

2222

c b a b a 0.5ab 4=+=-+?）（）（

解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。 2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：

））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222

++=+）（

解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、证明基本不等式：

解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为

2

b

a +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为a

b ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、证明正（余）弦定理：

解析：

（1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 2

1

h a 21S ABC =??=?=

?的面积； 即sinC

c sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得； 根据圆的性质（等弧对等角）2R sinA

a 2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，； 综上，得正弦定理：

2R sinC

c

sinB b sinA a ===。 （2）根据勾股定理2

2222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即?--=?--=-；

整理可得余弦定理：2ac

b c a cosB 2

22-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。

5、证明结论），（，2

0x sinx x x tan π

∈>>

解析：如上图所示，根据y=tanx 、y=x 、y=sinx 在）

，（20x π

∈上的图像可看出tanx>x>sinx ，）

，（20x π

∈。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图的单位圆中，当）

，（20x π

∈时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式x 1x R =?==θl ，即图中黑色弧线的长度表示x ，显而易见。红线长度>弧线长度>蓝线长度，即tanx>x>sinx ，）

，（20x π

∈。 6、证明两角差的余弦公式：

解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标

表示。左图中，2

22sin sin cos cos AB ）（）（βαβα-+-=，将B 点旋转至（1，0）处（右

图所示）。此时，222][sin ]1[cos AB ）（）

（βαβα-+--=，因为线段AB 的长度没有发生变化，即

2

2sin sin cos cos ）（）（βαβα-+-22][sin ]1[cos ）（）（βαβα-+--=，化简：

βαβαβαsin sin cos cos cos +=-）（。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。如左图，11sin cos sin cos OB

OA OB OA cos ??=

??=

-）

，（），（）（ββααβα βαβαsin sin cos cos +=。

二、在考试中的具体应用：

1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面： 例1 （14奉贤）已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意x 都满足f （x+2）=-f

（x ），当，若函数）（时，3x x f 1x 1-=<≤x log x f x g a -=）（）（只有四个零点，

则a 的取值范围是

答案：）

，（），（533

1

51? 解析：根据已知条件，f （x ）的周期为4，先画f （x ）一个周期图像，当1≤x<3

时，2

22x -x f x -f 2x 2x f ）（）（），（）（）（-==-=-，由此画出[-1，3）的图像，

此为一个周期，图像如下，x log x f x g a -=）（）（只有四个零点即f （x ）与y=x log a 只有四个交点，需分类讨论： （1）当0

此时5个交点，代入点（-5，-1），解得a=5

1

此时3个交点，代入点（3，-1），解得a=3

1

（2）当a>1时，也有两个界值，如下图所示：

此时3个交点，代入（-3，1），解得a=3。

评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。

例2（14闵行）

??

?

?

?

>

+

-

<

<

=

4

x

3

70

8x

x

3

2

4

x

x

log

x

f

2

2

，

，

）

（，若a、b、c、d互不相同，且f （a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是

答案：（32，35）

解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=2c

12

c

12

c-

=

-）

（，4

评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相

关性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图时，虽说是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间时，务必考虑区间的开闭情况。

变式已知函数f（x）=||x-1|-1|，若关于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有四个

互不相等的实数根

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x?

+

+

<

<

<），则

（

、

、

、的取值范围是

答案：（3，4）

解析：根据题意，如下图所示，）

（

，

3

3

4

3

4

3

2

1

2

1

x

4

x

x

x

x

x

x

x

x

x-

?

=

?

=

?

+

+

=

+

=）

，

（

，2

1

x

x

4x

3

2

3

3

∈

-。

例3（14杨浦）定义一种新运算：

?

?

?

<

≥

=

?

b

a

a

b

a

b

b

a

，

，

。已知函数f（x）=（1+ x

log

x

4

2

?

），若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围是（）A.（1，2]；B.（1，2）；C.（0，2）；D.（0，1）

答案：B

解析：

??

?

?

?

≤

<

>

+

=

?

?

?

??

?

?

+

<

+

≥

+

=

?

+

=

4

x

x

log

4

x

x

4

1

x

4

1

x

log

x

log

x

4

1

x

log

x

4

1

x

log

x

4

1

x

f

2

2

2

2

2

，

，

，

，

）

（

）

（，如下图所示：

令g （x ）=f （x ）-k=0，问题转化为函数y=f （x ）与函数y=k 有两个交点，则k ∈（1，2）。

评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k 的取值范围等。 例4 （14宝山）关于函数f （x ）=

1

x x -，给出下列四个命题：

①当x>0时，y=f （x ）单调递减且无最值； ②方程f （x ）=kx+b （k ≠0）一定有解；

③如果方程f （x ）=k 有解，则解的个数一定是偶数； ④y=f （x ）是偶函数且有最小值。 则其中真命题是 答案：②、④

解析：含绝对值、分类讨论。先画x>1和0

①明显错误；③k=0时，解的个数为1；②、④正确。

评注：含绝对值的数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，画出函数图像，再结合函数性质，一般是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进行分析筛选。

例5 （14奉贤）定义在）

，（∞+0上的函数f （x ）满足： ①当），3[1x ∈时，??

?<<-≤≤-=3x 2x 32x 11x x f ，，）（； ②f （3x ）=3f （x ）。

设关于x 的函数F （x ）=f （x ）-1的零点从小到大依次记为54321x x x x x 、、、、、 ……，则=++++54321x x x x x 答案：50

解析：结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，

4321x x x x +++ =+5x 2+4+8+10+26=50

评注：数学结合最直观，或根据函数的对称性，找到对称关系，图像就画出来了，答案也就呼之欲出，这就是数形结合在直观呈现方面的快捷。 2、与三角函数的综合运用：

例1 （14十三校联考）已知f （x ）=asin2x+bcos2x （a 、b 为常数），若对于任

意内的解为，在区间）（），则方程（）

（都有][00x f 12

5f x f R x ππ

=≥∈ 答案：x=

3

2x 6

ππ

=

或 解析：根据“若对于任意）（）

（都有125f x f R x π≥∈”可知，当x=12

5π时，函数图像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为π，因为函数的最值横坐标与相

邻零点之间相差41个周期，即4π

，所以在区间[0，π]内的解（即在区间[0，π]

内的零点）为x=32x 6x 4125π

πππ=

=±或，即。 评注：本题看似复杂，因为有字母a 、b ，但只要理解了“三角函数的最值横坐标与相邻零点急间相差4

1

个周期”这样的图像性质，结合图像原理，就迎刃而解了。

例2 （14闸北）设a>0且a ≠1，已知函数f （x ）=）（0x 2x sin22a x >-+π至少有5个零点，则a 的取值范围为 答案：（0，1）?（1，2）

解析：就是求函数），（在与函数∞+∈-==0x a 2y x sin22y x π上的交点个数，分两种情况：

（1）当0

，（∞+∈0x 两个函数图像有无数个交点，如下图所示：

所以0

（2）当a>1时，如下图所示，在），（∞+∈0x 要至少5个交点，x a 2y -=函数在x=1处要大于0

即2-a>0，a<2，满足至少有5个交点。

评注：这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数交点个数问题，注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。

例3 （14虹口）函数f （x ）=2sin x π与函数31x x g -=）

（的图像所有交点的横坐标之和为 答案：17

解析：画出函数f （x ）=2sin x π与函数31x x g -=）

（的图像，如下图所示：

这俩图像都是关于点（1，0）对称，所以它们的交点也是关于点（1，0）对称，即一对对称交点的横坐标之和为2，总共有8对关于点（1，0）对称的点，再加上（1，0）点本身，即所有交点的横坐标之和为17。

评注：本题首先要熟悉函数的图像变换，精确画出函数图像，然后再研究交点的特性，在这道题中，交点关于点（1，0）对称的，在这个前提下，求横坐标之和就转化成简单的中点问题。 例

4 已知函数

y=f （x ），任取

t ∈R ，定义集合：

））（，（），点（t f t P x f y |{y A t ==，

2

PQ x f x Q ≤），（，（}

，

设

中元素的最大和最小值分别表示集合和t t t A m M ，记，则：）（t t m M t h -=

（1）若函数f （x ）=x ，则h （1）= （2）若函数f （x ）=sin x 2

π

，则h （t ）的最大值为 答案：（1）2；（2）2

解析：定义的意思是函数y=f （x ）在以定点P （点P 在函数图像上）为圆心半径为2的圆内的部分，这部分函数图像的值域即t A

（1）定点P （1，1），如下图所示，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以h （1）=2

（2）对于f（x）=sin x

2

π

，函数最大值与最小值之差2，如下图所示，通过理

解观察，可得出

t

A能够同时包含最大值和最小值，所以h（t）的最大值为2，此时t=2k，k Z

∈。

评注：这是一道理解性的定义体型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像分析就不难了。

例5 （14闵行）对于函数f（x）=

??

?

?

?

∞

+

∈

-

∈

）

，

（

），

（

，

，

2

x

2

x

f

2

1

2]

[0

x

x

sinπ

，有以下四个命题：①任取2

x

f

x

f

[0

x

x

2

1

2

1

≤

-

∞

+

∈）

（

）

（

），都有

，

、恒成立；

②f（x）=2kf（x+2k）（k*

∈N），对于一切x）

，∞

+

∈[0恒成立；

③函数y=f（x）-In（x-1）有3个零点；

④对任意x>0，不等式f（x）

x

k

≤恒成立，则实数k的取值范围是）

，∞

+

8

9

[

则其中所有命题的序号是

答案：①、③

解析：根据下图所示可知：②选项是k2，④选项反比例函数图像至少要满足点

（21,25）上，此时，4

5k ≥

评注：数形结合的思想，国家题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图像尽量做到精确，才能避免差错 3、与解析几何的综合运用：

例1 （14闸北）设曲线C ：）（y x 322y x 22+=++，则曲线C 所围封闭图形的面积为 答案：

383

32

+π 解析：因为图像关于x 轴、y 轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限x>0，y>0，绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于x 轴、y 轴对称翻折，如下图所示，根据题目数据，可得?=∠150AB C ，AB=2，可以先算第一象限的面积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4，全面积为

383

32

+π。

评注：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出方程图像，割补法求面积。

变式 由曲线y x y x 22+=+所围成的封闭图形的面积为

答案：2+π

例2 （14金山）已知直线l ：4x-3y+6=0，抛物线C ：4x y 2=图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是 答案：1

解析：结合题意，画出直线与抛物线的草图，找到点P 到直线l 与y 轴的距离之和，如下图所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-1'PH ,1'PH -≥用点到直线距离公式求出来等于2，所以答案为1。

评注：注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，如本题中用到了“抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离”这个性质，然后结合图像进行转化。

例3 （14金山）已知有相同焦点21F F 、的椭圆222

2y n

x 1m 1y m x ->=+）和双曲线（

=0

=>?21PF F S P 0n 是它们的一个交点，则），点（（ ） A.2

1

；B.22；；

答案：Ｄ

解析：法一：如下图所示，由题意得：-=++=-=2212PF m 2PF PF 1n 1m c ，，

2

212221211PF PF PF PF 2n m PF PF n 2PF ）（，所以，两式平方相减得：+=+=-=?=

1S PF PF F F 4c 44m PF PF 21221221=⊥==-=?-，得，即

法二：对于椭圆而言，焦点三角形的面积为2

tan

b S 2θ

=，对于双曲线而言焦点三

角形面积2cot b S 2θ=，而这是同一个三角形，所以22cot 2tan π

θθθ==，即，所

以=?21PF F S １。

评注：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题时，很多时候要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。

例４（14金山）设双曲线），（）（*∈=+-N n 1y 1n nx 22上动点Ｐ到定点），（

01Q 的距离三最小值是=+∞

→n n n d d lim ，则（ ）

A.2

1

；B.22；C.0；

答案：Ｂ

解析：双曲线方程两边同时除以n ，得到0n

1

n n 1y n 11x 22→+∞→=+-，，当）（，

即方程置，这就是方程的极限位0y x 22=-，即求点x y 01Q ±=）到直线，（

的距离，选Ｂ

评注：这是一类要考虑极限位置的极限体型，在高考中出现过类似的题目，一般找到了极限的位置，题目就很容易解的，很多同学不会因为没有想到极限的位置，而像＝想把表示出来就复杂了用n d n 。

例５（14闵行）若曲线0y x f =），（上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）

A.01y x 2=-+；

B.01y 4x 2=+--；

C.01x x y x 22=---+；

D.+-x y 3x 2

01= 答案：Ｃ

解析：A 、B 、C 、D 选项图像依次如下图所示，根据题意，选Ｃ

评注：利用数形结合的方法，考查了含绝对值曲线方程的画法，一般根据图像的对称性，或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限的图像，再结合题意解题。

４、与向量的运用：

例１（14徐汇）如下图所示，已知点AC AB G ABC G 、作直线与的重心，过是?两

边分别交于=+==y

x x y

AC y AN AB

x AM N M ，则，两点去，且、

答案：3

1

解析：法一：1N G M =++=μλμλ三点共线，设、、，

x =， ?=y y x μλμλ+=+=，因为3

1

AG G =

是重心，所以 3

1

y x x y 13y 13x 131y x AC 31AB =+=+==+，化简，，即μλ

法二：取特殊值，3

2y x =

=取。 评注：作为填空题，本题的第一做法是法二，同时也要知道具体过程，注意向量一些常用知识点及一些转化技巧。

例２（14闵行）设j j i

-a y x 轴上的单位向量，且轴、系依次表示平面直角坐标、

的取值范围是则i j

2a ,52a +=-+ 答案：3]5

5

6[

， 解析：根据题意，j -a 52a =-+j

的几何意义为一个点到），（01的距离加上这个点到），（ 20的距离等于5，如下图所示，即到Ａ点的距离加上到Ｂ点的距离等于5，而5AB =，所以这个点的轨迹为线段AB ，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB 上的点到点（02-，）的距离的取值范围，最短距离是下图中CD 的长度，用点到直线的距离公式或等面积法可求得==

BC ,5

5

6CD 因为 33AC 22，距离的最大值为，=。

评注：用代数的方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题就简明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用。 例3 （14徐汇）如下图所示，在边长为２的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为１，圆心在线段量上及内部的动点，设向是圆（含端点）三上运动，Q P CD

的最大值为），则、（n m R n m AF n AB m AP +∈+=

答案：5

解析：如上图所示，（2

5

+=。

评注：本题结合动态图像考查了向量的分解，要求能够理解题意，本题也可建系分析

5、与其他知识点的综合运用：

例1 （14浦东）用），，为集合，称（、、中的元素的个数，设集合C B A C B A S S 有序三元组。如果集合C B A 1C A C B B A C B A ??=?=?=?，且满足、、

＝φ的子集构成，，，

合）为一最小相交，由集、、，则称有序三元组（4}32{1C B A 的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 答案：96

解析：设为、、C B A 的三个子集，，，4}32{1，如下图所示，因为=??S C B A ，所以

不含任何元素，因为φ中个各有

，，，所以321M M M 1C A C B B A =?=?=?一个元素，将中，，，4}32{1的元素排入，有3

43334P P C =种方法，由题意得，还剩下的一个元素，可排在4P 1R Q P 1

3=+，也可不排入，共有、、种方法，由分步原理得

964P 34=。

评注：本题要注意分步原理与分类原理的综合运用，抽象出解题模型，从而使问

题得到解决，当然也可以用列举法，个非空子集有，，，

154}32{1，显然C B A 、、中Ａ为含有个元素的子集，个或者为含有意，个元素的子集不符合题

个或者32A 41列举即可求解。对于新定义题型，要善于将陌生问题化为熟悉模型，注重基本原理的运用。

例2 （14十三校联考）集合、、且、、），，（x z y z y x N z y x |z y x {S <<<<∈=*

S x w z S z y x }y x z ∈∈<<），，且（），，，若（恰有一个成立，则下列选项正确

的是（ ）

A.S w y x S w z y ?∈），，，（），，（；

B.S w y x S w z y ∈∈），，，（），，（；

C.，，（z y

S w y x S w ∈?），，，（）；D. S w y x S w z y ??），，，（），，（

答案：Ｂ

解析：根据题意，可将题目中的定义画成直方图，如下图所示，各个元素只要在顺时针方向，即满足题目要求，就可得到答案。

评注：这是一个非典型的数形结合题型，题目的定义很抽象，但可以用图形将其具象化，从而能够更好的理解，帮助解题。 例3 的交集，则所有，，，，其中，k 2

k A 201432k 1}t k 1

kt 1kt x |{x A ??=≤≤+==为

答案：]2

5

[2，

解析：因为1k

1

k 1201432k 2<

]k

1

k [2A 1t k 1k 2

+=≤≤，，，因为递增，所以所时，，，，k 1k 201432k +??=有]2

5

[2A k ，的交集为。

评注：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像及函数的定义域，求值域问题，难度不大，但学生可能会因为含参数ｋ而产生畏惧心理，可让学生先求、2A

结归纳。，发现一般规律，再总、43A A