立体几何教程
“Z+Z”智能教育平台--《立体几何》
培训教程（初级篇）
第一部分：《立体几何》简介
（一）界面介绍
在桌面上双击图标“”即可启动《立体几何》软件。可以看到《立体几何》窗口由“标题栏”、“功能菜单”、“工具条”、“工作区”、“作图区”、“解题工作区”和“状态栏”七部分组成。
标题栏：显示软件的名称、版本信息和当前活动文档的名称；
功能菜单：各菜单中包括同类的菜单命令项；例如“测量”菜单中包含了测量各种数据的
命令；
工具条：包含最常用的命令的工具图标。例如新建文档、打开文档、保存文档、
填充颜色、选择工具、作自由点、取线段中点、增加自动点等； 工作区：包括 “工程”、“问题”和“推理库”三部分。其中“工程”界面中列出了当前活动
页作图区中的所有对象；
作图区：用来作图、图形变换、增加文本等对对象进行操作的区域；
解题工作区：分为“图形条件”、“附加条件”和“推理规则”三部分。“图形条件”自动记录
几何作图过程中出现的各几何对象的图形条件及相互之间的关系；
工作区
解题工作区
状态栏 工具条 功能菜单 标题栏 作图区
状态栏：当鼠标指向菜单项和工具图标时，在状态栏中显示对该菜单项或图标的解释；
当鼠标选择对象时，在右半部分显示鼠标所选择的对象。
（二）建立个性化的窗口界面
（1）对于“工具栏”（包括“标准工具栏”和“轨迹工具栏”两部分）、“工作区”、“解题工作区”和“状态栏”来说，都是可以随时关闭或显示。例如，关闭平时作图过程中
不常用到的“解题工作区”以简化软件窗口界面，方法是：鼠标点击菜单命令“查
看|工具栏|解题工作区”即可；同样的操作将可以使之显示。
（2）对于“工作区”等界面的大小和位置等可以任意调整。例如，鼠标移动到“工作区”
右边界处按下左键后向左或向右拖动可以使界面的大小改变，鼠标移动到“工作
区”上边界处按下左键后拖动可以改变窗口的位置。
（3）对于经常用到的菜单项，为方便使用还可以拖动到工具条中。例如将菜单命令“作图|特殊图形|正方形”放到标准工具栏上：
（a）点击菜单命令“查看|工具栏|自定
义…”，在打开的自定义对话框中，首
先在“类别”列表中选定“作图”，然后
在“命令”列表框中找到“正方形”；
（b）鼠标指向“正方形”命令后，按下并拖
动到工具栏中的“中点”图标之后
；然后点击“关闭”按钮
即可。
（三）快速入门
【制作目的】：通过测量数据检验空间任意四边形邻边中点连线组成的四边形是否平行四边形
【操作步骤】
（1）点击作点图标“”，鼠标指向y轴，当y轴变
红色变粗进行提示时点击鼠标即可作出y轴上
的点A；重复类似操作做出z轴上的点B、x轴
上的点C；
（2）鼠标在作图区空白处任意位置点击鼠标作出空
间中的自由点D，按“↑”键或“↓”来调整其Z轴方
向的值）；
（3）点击选择图标“”；
（4）按下Ctrl键，依次选定点A、点B、点C和点D，点击取中点图标“”；按下Ctrl键，依次选择点A、点D、点B和点C，点击取中点图标“”；这样就得
到了四个中点E、F、G、H；
（5）按下Ctrl键，依次选定点E、点H、点F
和点G，点击作线段图标“”；按下Ctrl
键，依次选定点F、点G、点H和点F，点
击作线段图标“”；
（6）在工作区中鼠标点击“坐标系O-xyz”前的方
框（结果隐藏坐标系）；
（7）点击菜单名令“作图|自动搜索用于消隐的平面”；
（8）按下Ctrl键，依次选定线段EH、线段FG、线段HF和线段EG，点击菜单命令“测量|距离|两点间的距离”；
【请你动手】
鼠标拖动点A、点B、点C或点D，观察测量数据的变化。（注：对于z轴上的点B，不断按“↑”键或“↓”的同时鼠标拖动点才能实现点的拖动。）
【给你提示】
（a）当鼠标点击作点图标“”后，计算机进入作自由点的状态，这时在坐标轴上点击鼠标可作出坐标轴上的自由点，在作图区空白处点击鼠标即可作出空间中的自由点；
当作例如线段AB的中点时，点击取中点图标“”前需要选择点A和点B（或线段AB）--作图条件，当选择几何对象时光标需要处于选择状态，点击选择图标“”即可进入选择状态。
（b）进入选择状态后，鼠标指向几何对象并单击，即可选定该几何对象；如果要选择多个几何对象，需要选择第一个几何对象后，按下Ctrl键然后再选择其他几何对象，或按下Ctrl键后再依次选择要选定的几何对象。
（四）得到及时的帮助
当鼠标指向工具条中的图标和菜单中的菜单项时，在状态栏中即可显示出对该命令的解释。
鼠标指向菜单项时，按下F1键即可打开与该命令对应的更详细的联机帮助和解释。
第二部分：范例学习
（一） 作出动态的几何体
【制作目的】：通过简单的命令，作出一个动态的正方体，并将部分表面多边形进行填
充颜色。
【操作步骤】
（1） 点击鼠标菜单命令“作图|正多面体|正六面体（正方体）”，即可作出如图正方体
ABCD-A1B1C1D1；
（2） 按下Ctrl 键，选定点A 、点B 、点
C 和点
D ，点击菜单命令“作图|填充
多边形”；
（3） 鼠标点击选定填充的面ABCD ，点
击填充颜色图标“ ”，修改面
ABCD 的填充颜色为青绿色。
【请你动手】
（a ）请用鼠标分别拖动点A 、点B 和
点C ，观察图形变化规律；
（b ）作为练习，填充面DCC1D1和面
CBB1C1，并设置不同的填充颜色；
【给你提示】
通过拖动点A 或点B ，正方体可以旋转和放缩；通过拖动点C 能该改变几何体在空间中的位置。
其他的点你也能拖动吗？
【请你观察】
你发现了吗？在正方体中无论你怎样拖动它，被遮挡部分总会自动以虚线的形式显示。
（二） 几何体绕选定的轴自动旋转
【制作目的】：将上述立方体绕选定的直线A1C 为轴自动旋转。
【操作步骤】
（1） 按下Ctrl 键，依次选定点A1和点C ，点击菜单命令“运动|绕轴旋转几何体|任意
直线”；
这时候，正方体并不绕轴A1C 旋转，是因为增加了运动对象，而还没有执行“开
始运动”命令。
（2） 在工作区中点击运动对象“绕轴A1C 旋转几何体”
前的方框“□”内部，立方体开始绕A1C 轴旋转；
此时运动对象前方框的状态也变为“”，表示正
在运动；
（3） 在作图区中任意空白位置双击鼠标即可停止运
动；此时运动对象前方框的状态又变回为“”，
显然，在工作区中点击运动对象“绕轴A1C
旋转
几何体”前的方框同样可以停止运动。
【请你动手】
（a ）隐藏坐标系；
（b ）将正方体ABCD-A1B1C1D1绕轴BD1旋转，绕轴AC 旋转。
【给你提示】
对于作图区中的几何对象或其他对象来说，在左边工作区中都有与之对应的对象；通过鼠标点击工作区中对象前的方框“□”，可以对作图区中的对象进行显示或隐藏。 对于运动对象来说，在工作区中通过鼠标点击该对象前的方框，可以使该对象运动或停止。
灵活通过工作区控制对象，会极大提高工作的效率并带来方便。
【请你研究】
如果要求正方体绕中心对称轴旋转，应该通过哪些点才能做到？对于一个正方体来 说，有几条中心对称轴？
（三） 作空间平面和多面体的截面
【制作目的】：作空间中，三点确定的面与正方体的截面
【操作步骤】
（1）点击新建页面图标“”，新建页面；鼠标
右键单击坐标系，在弹出快捷菜单项中点击
“隐藏对象”，隐藏坐标系；
（2）点击菜单命令“作图|棱柱|长方体”，作出长
方体ABCD-A1B1C1D1；
（3）点击作自由点图标“”进入作点状
态，鼠标指向长方体的棱A1B1，当线段A1B1变成红色且变粗时点击鼠标，即可作出A1B1上的点E ；
重复类似操作，作出棱BB1上的点F 、棱B1C1上的点G ；
结束后点击对象选择图标“”，进入对象选择状态；
（4）按下Ctrl 键，依次选定点E 、点F 和点G ，点击菜单命令“作图|特殊图形|多边形”；
选定多边形EFG （点击三角形EFG 内部即可选定），点击填充颜色图标“ ”选定填充颜色为青绿色；
（5）按下Ctrl 键，选定点E 、点F 和点G ，点击菜单命令“作图|截面|平面和凸多面体
的截面…”，在弹出的选择框中选择“长方体ABCD-A1B1C1D1”，然后点击“确定”按钮即可。
【请你动手】和【请你观察】
（a ）拖动点E 到长方体外部，这时截面的形状和性质发生了怎样了变化？
（b）然后，拖动点F到长方体外部，这时截面的形状和性质发生了怎样的变化？
（c）接着，拖动点G到长方体外部，截面的形状和性质又发生了怎样的变化？
【请你研究】
点E、点F和点G在什么位置时，空间中的平面EFG与长方体ABCD-A1B1C1D1的截面是三角形？什么时候是四边形？又什么时候是五边形、六边形呢？自己动手拖动点E、点F和G进行研究。
上述截面可能是七边形、八边形吗？截面的边数和被截的多面体有什么关系？
【给你提示】
上述操作步骤（1）中通过点击右键隐藏坐标系的方法不同于在工作区中的操作。
既是，实现同样的目的有时会有不同的方法和途径，您只需要找到自己认为方便的操作方式。
*（6）按下Ctrl键，依次选定点A和点C1，点击菜单命令“运动|绕轴旋转几何体|任意直线”，在工作区中，点击运动对象前的方框，开始运动，从不同角度观察截面的
形状。
（四）作空间多边形的正视图形（正面观察空间多边形）【制作目的】：将上述空间平面EFG与长方体ABCD-A1B1C1D1的截面（六边形）投
影到平面
【操作步骤】
（1）按下Ctrl键，依次选定点E、点F、点G和线
段AA1，点击菜单命令“作图|约束点|直线和平
面的交点”，作出面EFG与棱AA1的交点H（既
是截面六边形的顶点）；
（2）重复类似操作作出面EFG和棱A1D1、AB、BC、
CC1、C1D1的交点，分别为：点I、点J、点K、点L、点M；
（3）按下Ctrl键，依次选定点H、点I、点J、点K、点L和点M，点击菜单命令“作图|克隆平面多边形到投影平面”；
（4）按下Ctrl键，依次选择新得到的克隆点H、点I、点J、点K、点L和点M，点击菜单命令“作图|填充多边形”。
（5）鼠标拖动克隆点H平移投影面至适当位置，拖动克隆点I旋转投影平面；
【请你动手】
拖动点E或点F或点H（保持截面为六边形），观察截面的变化情况和投影平面的形状；
【请你研究】
拖动点E或点F或点H（截面可以是五边形或四边形等），在投影平面上找到与截面中对应的部分；
【给你提示】
上述克隆平面多边形HIJKLM中，拖动点H可以平移投影图形，拖动点I 可以旋转投影图形，而其他点均不能被拖动；
在投影平面图形中可以被拖动的点与作图过程选择点的顺序有关：所选择第一个点对应的点通过被拖动可以平移几何图形，所选择的第二个点对应的点通过被拖动可以旋转几何图形
（五）立体的切割
【制作目的】：将正方形沿三角形截面切割
【操作步骤】
（1）点击新建页面图标“”，新建页面；在工作区中，点击坐标系对象前的方框“□”隐藏坐标系；
（2）点击菜单命令“作图|正多面体|正六面体（正方体）”，作出正方体ABCD-A1B1C1D1；
（3）点击作点图标“”，鼠标指向线段C1D1，当C1D1变
红色粗线提示时点击鼠标，即可作出棱C1D1上的点E；
重复类似操作，作出棱C1B1上的点F、棱C1C上的点
G；结束后点击对象选择图标“”，进入对象选择状态；
（4）按下Ctrl键，选取点E和点F，点击作线段图标“”，
作出线段EF；重复类似操作，作出线段FG和线段EG；
（5）按下Ctrl键，依次选定点C1、点E、点F和点G，点击菜单命令“作图|特殊图形|克隆子几何体”，作出选定图形的克隆子几何体C1’-E’F’G’和克隆体的把
手点“★”；
（6）隐藏线段C1D1、C1B1和线段C1C；连接线段C1’E’、C1’F’、C1’G’；
（7）按下Ctrl键，依次选取点D1、点E、点B1、
点F、点C、点G，点击作线段图标“”，
即可同时作出三条线段D1E、B1F和CG；
（8）按下Ctrl键，选取点E、点F和点G，点击
菜单命令“作图|填充多边形”；类似地填充三
角形E’F’G’;
（9）点击菜单命令“作图|自动搜索用于消隐的平面多边形”。
【请你动手】
鼠标拖动克隆体的把手“★”，手动演示截体合拢、分离的过程。
【请你研究】
（a）拖动点E、点F或点G，观察截面的形状变化；
（b）拖动点A或点B，从不同角度观察截面以及截体的形状。
【给你提示】
选择两个点就确定1条线段，选择四个点（第一个和第二个点、第三个和第四个点）就确定2条线段，在操作（7）中选择的点确定并作出了3条线段。
在该软件中，可以对多组对象同时进行操作，并得出对应结果。还例如，选择四条线段，然后执行作中点命令即可作出四条线段的中点。
（六）展示多面体的切割体自动分离、合拢过程
【制作目的】：自动演示上述正方体的切割体的分离、合拢过程。
【操作步骤】
（1）在上面第（五）的结果中，显示坐标系；
（2）按下Ctrl键，依次选定坐标原点O和克隆体的把手“★”，点击增加自动点图标
“”；在工作区中，鼠标右键点击运动对象“★
从O运动到先前位置”，在弹出“运动对象属性”对话框中，设置运动类型为：“一
次运动”，点击“确定”按钮；
（3）按下Ctrl键，依次选定点“★”和点O，点击增加自动点图标“”；同样将运动对象“★运动到O”的运动类型设置为“一次运动”；
（4）点击菜单命令“编辑|所有点的名字”，隐藏所有点的名字；
（5）点击菜单命令“课件|插入文本…”，在作图区中按下鼠标、拖动，然后松开，在弹出的文本编辑对话框中输入：“正方体的切割”，设置字体的大小和颜色等，
点击“确定”按钮；
（6）隐藏坐标系；
（7）在工作区中，点击运动对象“★从O运动到
先前位置”前的方框，自动演示切割体自动
分离的过程；结束后在作图区任意空白位置
双击鼠标，取消运动状态；
（8）重复操作（7）类似操作，自动演示切割体
与母体合拢的过程；结束后取消运动状态；
【请你研究】
拖动克隆体的把手“★”到任意位置，然后让运动对象“★从O运动到先前位置”开始运动；重复操作，能发现什么规律？
【请你动手】
（a）在工作区中，鼠标右键单击运动对象“★从O运动到先前位置”，在弹出的“运动对象属性”对话框中将运动类型改为“重复运动”；再次让该对象开始运动，然后在作图区双击鼠标停止运动；
（b）重复类似操作，将运动对象“★从O运动到先前位置”的运动类型该为“往复运动”；
再次让该对象开始运动，然后停止运动；
通过操作（a）、（b），相信你已形象地理解了三种运动类型的意义。
（七）空间中的线动成面
【制作目的】：在展示空间中点动形成线、线动形成面的过程
【操作步骤】
（1）点击新建页面图标“”，新建页面；隐藏坐标系；
（2）点击菜单命令“作图|正多面体|正六面体（正方体）”，作出正方体ABCD-A1B1C1D1；
（3）按下Ctrl键，依次选定点D、点C、点C1和点D1，点击菜单命令“作图|自由
点|多边形的边上点”，作出正方形CC1D1边上的点E；
（4）按下Ctrl键，依次选定点E和线段CB（通过窗口下
方的状态栏可以查看选择的内容），点击菜单命令“作
图|约束点|线段的比例点…”，在弹出的对话框中输
入：1，点击“确定”按钮，作出线段EF；
（5）选定点E，点击增加自动点图标“”；在工作
区中鼠标右键点击“自动点E”，在弹出的运动属
性对话框中，设置运动频率为：100，参数范围
为：0～4，运动类型：“一次运动”，点击“确定”
按钮结束；
（6）选定点E，点击菜单命令“运动|轨迹点”，跟踪点E的轨迹；重复同样操作跟踪点F的轨迹；选定线段EF，点击菜单命令“运动|轨迹线”，跟踪线EF的轨迹；
（7）双击线段EF，在弹出的“对象属性”对话框中，点击“轨迹”选项，设置轨迹线宽为：2，颜色为：青绿，点击“确定”按钮结束；
（8）隐藏正方体ABCD-A1B1C1D1所有的棱和顶点；
（9）点击运动图标“”，展示点动成线、线动成面的过程。
【请你动手】
（a）将自动点E的运动频率分别设置为：20和200，然后点击运动图标“”，查看生成的轨迹图像；
（b）将自动点E的运动参数（x）范围分别设置为0～3、0～2、2～4，然后点击运动图标“”，查看生成轨迹的图像；
【请你研究】
（a）显示点B，将B拖动到不同位置，然后点击运动图标“”，从不同角度观察生成的轨迹面；
（b）显示点C，拖动点C到不同位置，然后点击运动图标“”，从不同角度观察生成的轨迹面；
（八）空间中的面动成体
【制作目的】：展示空间中面动形成几何体的过程
【操作步骤】
（1）点击新建页面图标“”，新建页面；
（2）作坐标点A（5*cos(t),5*sin(t),0）：点
击菜单命令“作图|自由点|坐标点”，弹出
坐标输入对话框，在“坐标”对应的编辑
框中输入x坐标：5*cos(t)，点击“x坐
标”按钮；重复类似操作完成y坐标、z
坐标的输入；在“拖动参数”对应的第一
个编辑框中输入：t，点击“确定”按钮完
成；
（3）点击作点图标“”，在z轴正半轴上任取一点B；点击对象选择图标“”，进入选择状态；
（4）按下Ctrl键，依次选定点B、点O和点A，点击菜单命令“作图|约束点|线段的比例点…”，在弹出的对话框中输入：1，点击“确定”按钮作出点C；
（5）点击作点图标“”，在线段BC上任取一点D；连接线段AD、BD；隐藏线段BC；
（6）选定点A，点击增加自动点图标“”；将自动点A的运动频率设置为：100，参数范围为：0～12.56，运动类型：重复运动；
（7） 跟踪点A 、点D 的轨迹；跟踪线段OA 、线段AD 、线段DB 的轨迹；并设置线
段OA 和线段AD 的轨迹颜色为：绿色，线段DB 的轨迹颜色为：青绿；
（8） 按下Ctrl 键，依次选定点A 、点D 、点B 和点O ，
点击菜单命令“作图|填充多边形”，修改填充颜色
为：浅绿；
（9） 点击菜单命令“查看|投影方式|正等测”；点击运动
图标“”生成圆台；
【请你动手】
（a ）将点D 拖动到点B 处，然后点击运动图标“”，观
察生成的几何体；
（b ）将点D 拖动到点C 处，然后点击运动图标“”，观察生成的几何体；
（c ）将点D 拖动到线段BC 的延长线上，然后点击运动图标“”，观察生成的几何体； （d ）将点D 拖动到线段CB 的延长线上，然后点击运动图标“”，观察生成的几何体；
【给你提示】
对于点A 的坐标，我们传统的书写格式是（5cos t,5sin t,0），而在计算机软件中需要输入的格式为：（5*cos(t),5*sin(t),0），将平时我们书写时省略的符号补充完整，例如x 坐标表示“5与变量t 的余弦值的乘积”，计算机中的乘积符号用“*”表示。否则计算机会产生歧义，例如：
对于5a ，计算机将把“5a”作为一个整体理解成一个变量，而不是我们所希望的“5×a”；
对于cos 2a,计算机的理解与我们所希望的更是大相径庭。
（九） 多面体的表面展开图
【制作目的】：作出三棱锥的边面展开图
【操作步骤】
（1） 点击新建页面图标“”，新建页面；隐藏坐标系；
（2） 点击菜单命令“作图|棱锥|三棱锥”，作出三棱锥A-BCD ；
（3） 点击菜单命令“作图|多面体的展开图…”，在弹出的列表框中选择“三棱锥
A-BCD”，点击“确定”按钮；
（4） 拖动展开图中水平线段中的点A 平移展开
图，拖动点B 旋转展开图。
（5） 按下Ctrl 键，选取棱锥中的点A 、点B 和
点C ，点击菜单命令“作图|填充多边形”；鼠
标点击展开图中三角形ABC 的内部，点击
填充图标“ ”右侧的下箭头，选择填充
颜色为：绿色。
【请你动手】
（a ）将三棱锥的各表面三角形填充成不同颜色，
并将展开图中对应的面填充成相同的颜色；
（b ）拖动点A 、点B 、点C 或点D ，观察展开
图形状的变化。
（十）正方体表面的动态展开
【制作目的】：动态展示正方体表面展开的过程
【操作步骤】
（1）点击点击新建页面图标“”，新建页面；
（2）作坐标点A（0，0，5）：点击菜单命令
“作图|自由点|坐标点”，弹出坐标点输入
对话框，在“坐标”对应的编辑框中输
入：0，点击“x坐标”按钮，完成点的x
坐标输入；在“坐标”对应的编辑框中输
入：0，点击“y坐标”按钮；在“坐标”对
应的编辑框中输入：5，点击“z坐标”按钮；点击“确定”按钮完成；
（3）重复类似操作（2）作坐标点B（0，0，0）、坐标
点C（0，5，0）；
（4）按下Ctrl键，依次选定点A、点B和点C，点击
菜单命令“作图|特殊图形|平行四边形”，作出平行
四边形（正方形）ABCD；
（5）按下Ctrl键，选择点B和线段AD点击菜单命令
“作图|约束点|点以直线为轴的折叠点…”，在弹出
的对话框中输入折叠弧度：t1，点击“确定”按钮作出点E；作出由点E、点A和
点D确定的平行四边形（正方形）EADF；
（6）作坐标点G（0，t1，0），在“拖动参数”第二个编辑框（与y坐标）中输入：t1；
将点G设置为自动点，参数（y）范围：-3.14～-1.57，运动类型为：一次运动，
选择“逆向运动”；
（7）重复步骤（5）类似操作，作出点C以线段AB为轴折叠t2弧度的点H；作出点A、点B和点H确定的平行四边形（正方形）ABHI；作出坐标点J（0，t2，
0），并设置y坐标拖动参数为t2；设置点J为自动点，参数（y）范围：1.57～
3.14，运动类型：一次运动；
（8）重复步骤（5）类似操作，作出点B以线段CD为轴折叠t3弧度的点K；作出点D、点C和点K确定的平行四边形（正方形）DCKL；作出坐标点M（0，t3，
0），并设置y坐标拖动参数为t3；设置点M为自动点，参数（y）范围：1.57～
3.14，运动类型：一次运动；
（9）作出点A以线段CB为轴折叠t4弧度的点N，作
出点C、点B和点N确定的平行四边形（正方形）
CBNP；作出点B以线段NP为轴折叠t5弧度的
点Q，作出点P、点N和点Q确定的平行四边形
（正方形）PNQR；
（10）作坐标点S（t5，0，0）、T（t4，0，0），其中点
S、点T的x坐标拖动参数分别为t5、t4；将点S
设置为自动点，参数（x）范围：1.57～3.14，运
动类型：一次运动；将点T设置为自动点，参数（x）范围：3.14～4.71，运动
类型：一次运动。选择“逆向运动”；
（11）点击菜单命令“课件|插入按钮…”，在作图区按下鼠标、拖动然后松开鼠标，弹出按钮设置对话框；
（12）增加第一个状态：在工作区中显示所有线段（鼠标点击线段前的方框即可），
在按钮对话框左下侧输入状态的名
字：显示正方体，点击“增加状态”按
钮；
增加第二个状态：开始运动自动
点G的，输入状态的名字：上开，点
击“增加状态”按钮；
增加第三个状态：在作图区空白
位置双击鼠标，取消点G的运动状
态，并开始运动自动点J，输入状态的名字：左开，点击“增加状态”按钮；
增加第四个状态：在作图区空白位置双击鼠标，取消点J的运动状态，并开始运动自动点M，输入状态的名字：右开，点击“增加状态”按钮；
增加第五个状态：在作图区空白位置双击鼠标，取消点M的运动状态，并开始运动自动点S，输入状态的名字：前开，点击“增加状态”按钮；
增加第六个状态：在作图区空白位置双击鼠标，取消点S的运动状态，并开始运动自动点T，输入状态的名字：下开，点击“增加状态”按钮；
增加第七个状态：取消点T的运动状态，在工作区中鼠标右键单击“自动点G，在弹出的“运动对象属性”对话框中取消选择“逆向运动”，重复类似操作，修
改自动点J、点M和点S的类型均为选择“逆向运动”、修改自动点T的运动类
型为取消选择“逆向运动”（既是，各自动点运动方向均设置为相反），输入状态
名字：停止，点击“增加状态”按钮；
增加第八个状态：点击运动图标“”，输入状态名字：折叠合拢，点击“增加状态”按钮；
增加第九个状态：在作图区双击鼠标取消各自动点的运动状态，输入状态名字：结束，点击“增加状态”按钮；
点击“结束”按钮，完成按钮设置；
（13）点击菜单名令“编辑|所有点的名字”，隐藏所有点的名字；
（14）逐步单击按钮，演示正方体逐面展开的过程。
【请你动手】
上述正方体的表面是逐步展开，而是同时合拢的；请你重新增加按钮，能够演示正方的各个面逐步展开后，再按适当的顺序逐步折叠合拢。
【给你提示】
在上述设置自动点G的参数（x）范围时，输入的是：-3.14～-1.57，两个边界值（-3.14和-1.57）对应于面DAEF完全展开和作为正方体上底面时参数t1的值。
了解这些状态对应参数t1的值是容易的。点击菜单命令“测量|变量的值”，在弹出的列表框中选择“t1”，点击“确定”按钮，在作图区即可显示出t1的测量文本；拖动点G，当折叠面在不同状态时查看参数t1的值。
【请你研究】
正方体的表面展开后除了上述情形外，还有其他哪几种情形？其他种类展开图的动态演示过程，你能用类似的方法实现吗？
（十一）生成可自动播放的课件
【制作目的】：将（十）中的内容生成可以自动播放的课件
【操作步骤】
（1）在（十）的页面中，点击菜单命令“课件|
生成可自动播放的课件”，在弹出的“课件
自动演示序列对话框”中双击“001页：
Start”，将第一页添加到自动播放列表框
中；点击“返回”完成；
（2）点击菜单命令“课件|自动放映”，计算机
将自动播放课件；在作图区空白处双击鼠
标可停止放映；
（3）按下Ctrl键和Home键，按钮回到开始状态；通过按PageDown键继续。
【请你动手】
将第（五）和第（八）内容分别增加按钮，可以通过点击按钮逐步演示各动态过程；将这增加按钮的三页内容生成可自动播放的课件。
（十二）空间图形的测量
【制作目的】：测量正四面体中异面的两条棱之间的距离
【操作步骤】
（1）点击新建文档图标“”；隐藏坐标系；
（2）点击菜单命令“作图|正多面体|正四面体”，作出正四面体D-ABC；
（3）选定线段AB，点击菜单命令“测量|距离|两点间的距离”；
（4）按下Ctrl键，选定线段AB和线段CD，点击菜单命令“测量|距离|两条直线间的距离”；
异面直线AB和CD间距离与正四面体的棱长比较才有实际的意义，所以我们将线段AB设置为“标尺”；
（5）选定线段AB，点击菜单命令“测量|设定测量的
比例”，在弹出的编辑框中输入线段AB的长度
为：1，点击“确定”按钮；
会发现操作（3）、（4）的测量结果同时发生变
化；
【请你动手】
鼠标拖动点A、点B或点C，观察作图区中的测量结果是否发生变化？
【请你研究】
上述测量值中，无论怎样拖动点A、点B或点C都不会变，这说明在正四面体中互为异面关系的两条棱之间的距离相对与棱长是个常数。这个猜想怎样证明正确或不正确呢？
当|AB|=1时，|
（十三）计算机自动推理
【制作目的】：在上述题目中，假设线段长度为a，求异面直线AB和CD间的距离；
【操作步骤】
（1）在上述页面中，点击菜单名令“解题|
附加条件…”，在弹出的“附加条件或
问题对话框”中，点击“平面和空间共
用”栏前的“+”打开该列表后鼠标选定
附加问题的类型“线段的长度”，在右
侧几何对象列表框中双击“线段AB”，
在“条件值”对应的编辑框中输入：a，
点击“增加条件”按钮，点击“返回”按
钮退出；
（2）点击菜单命令“解题|问题…”，在弹出的“附加条件或问题对话框”中打开“空间的直线和平面”栏，选定（最后一项）“两条异面直线之间的距离”，在右侧几何对
象列表框中依次双击“线段AB”和“线段DC”，点击“增加问题”按钮；
（3）点击菜单命令“解题|自动解题”，推理结束后点击
工作区中的“问题”选项卡，在“问题”界面中点击
问题前的“+”展开（结果是问题没有解决，而给出
了解决问题的提示）；
（4）按下Ctrl键，同时选定线段AB和线段CD，点击
作中点图标“”作出线段AB的中点E、线段CD
的中点F；连接线段EF；
（5）点击菜单命令“解题|自动解题”，推理结束后查看
“问题”界面中的解答过程。
对于本题目，计算机缺省是使用向量的方法推理。下面设置为不运用向量的方
法推理。
（6）点击菜单命令“解题|调整学习进度和规
则…”，在弹出的对话框中，取消选择“向
量方法”，点击“返回”按钮；
（7）重复操作步骤（5）；
在计算机给出的解答过程中，得出|FA|
的值就用了4步，而且整个推理过程有相当一部分输入重复推理。下面我们按照
自己思路整理解答过程。
（十四）得出个性化的解答过程
【制作目的】：让计算机按照我们自己的要求整理出解答过程
【操作步骤】
（1）点击工作区中“推理库”选项，在该界面中打开“两条异面直线之间的距离”栏；
打开“两直线DC和AB之间的距离=a/(2^(1/2))”前的加号“+”，会看到推导结论
的“条件”，然后继续打开各“条件”前的“+ ”，查看推导出这些“条件”的“条件”，
直到你认为条件十分显然或为已知为止；然后鼠标右键单击“两直线DC和AB
之间的距离=a/(2^(1/2))”即可在作图区中导出推理过程；
（2）双击该推理文本，在对象属性对话框中，设
置字体大小为：六号；点击“填充”选项卡，
在该界面中选择“填充”，取消选择“透明”，
设置填充颜色为：青绿；点击“确定”按钮结
束；
【给你提示】
（a）对于文本的内容还可以自己编辑，方
法是双击该文本，在打开的文本对象
属性框中进行修改即可；
（b）在推理文本中，例如得出
“|DF|=a*3^(1/2)/2”是由规则55及条件（0）、（1）、
（2）、（3）推导得到的。条件（0）即使上面的
第0式：“|FA|=a/2”；在“解题工作区”中的“推理规则”选项窗口中，可看到规则55的内容。
（3）在工作区“推理
库”界面中，可
以看到“两条异
面直线之间的
距离”只是计算
机所推导出的结论中的一种。即是，计算机根据记录作图过程中的条件和增加
的附加条件不但推导出了我们所要求的结论，还推导出了各种其他信息，例如
“线段相等”、“直线垂直”、“点到直线的距离”等。
（十五）空间中的曲线
第一章《立体几何初步》教材分析
第一章《立体几何初步》教材分析 昌平一中张全合2014-9-10 一、本章的地位和作用 立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义．《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《课程标准》对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的． 二、本章知识结构图 三、对2011-2014年高考试题分析 （一） 2011-2014年高考试题集锦 1.（2010年北京理3文5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左） 视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( ) 2.（2011年北京理7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（） A．8 B．C．10 D ． 3.（2011年北京文5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ） A．32 B ．16+C．48 D．16+ 4.（2012年北京理7 文7）某三棱锥的三视图 如图所示，该三棱锥的表面积是（） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125 5.（2013文8）如图，在正方体 1111 ABCD A BC D -中，P为对角线 1 BD的三等分点，P到各顶 点的距离的不同取值有（） （A）3个（B）4个（C）5个（D）6个 6.（2013理14）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1 的距离的最小值为. 正（主）视图侧（左）视图 俯视图 2题图 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 3题图 4题图 A 5,6题图
高中数学立体几何教学研究
高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.
平面的基本性质(一)
平面的基本性质(一) 教学目的： 1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2理解平面的无限延展性 3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系 4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性 教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用 9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何 为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形 这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图 教学过程： 一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形 当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？ 二、讲解新课： 1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
高中立体几何典型题及解析
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 及CN 所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O
高中数学教学论文 高中数学立体几何学习的几点建议
高中数学立体几何学习的几点建议 一逐渐提高逻辑论证能力 立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确 无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充 分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出 二立足课本，夯实基础 直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线 与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处： （1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。 （2）培养空间想象力。 （3）得出一些解题方面的启示。 在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。 三“转化”思想的应用 我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如： 1. 两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影 所成的角。 2. 异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转
《直观图》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《直观图》教学设计 教材分析: 三视图的直观图是空间几何体的重要的起始课，是学习立体几何的基础之一．学好三视图的直观图有利于培养学生空间想象能力、几何直观能力，有利于培养学生学习立体几何的兴趣，为高中的后续学习打下基础．因此将从投影的角度加深对三视图概念的理解和会画简单几何体的三视图作为本节课的重点.可以培养学生的直观感受能力、作图能力、空间想象能力，三视图在工程建设、机械制造中有着广泛应用，所以在人们的日常生活中有着重要义，所以直观图也不可忽视. 教学目标： 【知识与能力目标】 1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图. 2.通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图 的能力. 【过程与方法】 学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图. 【情感态度与价值观】 1.提高空间想象力与直观感受能力，培养探究精神和意识； 2.体会对比转化在学习中的作用，以及化归的数学思想方法； 3.感受几何作图在生产活动中的应用. 教学重难点： 【教学重点】 空间几何体直观图的画法--斜二测画法：能由直观图想出其对应的几何体，并能由几何体的三视图画出其直观图，顺利由三视图到空间几何体再到直观图的互化. 【教学难点】 用斜二测画法画空间几何值的直观图时，如何选择合适的坐标系. 课前准备： 课件、学案、实物模型. 教学过程： 一、课题引入： 三视图能从细节上刻画空间几何体的结构，我们可以得到一个精确的几何体，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，且作图方法比较复杂，又不易度量.那么有
没有一种画法，既能对空间几何体整体刻画，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图. 因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图. 二、新课探究： 1. 斜二测画法 在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法． 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 斜二测画法的步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． （3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图． 注：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段． 2.立体图形的直观图 （1）用斜二测画法画空间几何体的步骤 ①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°； ②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°， x′O′y′所确定的平面表示水平平面； ③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′
高中空间立体几何典型例题
高中空间立体几何典型 例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F. 求证：EF ∥平面ABCD. 证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN. 又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ， 故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ?平面ABCD ，EF ?平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD. 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则B B G B A B E B 1111=， ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴B B G B B C E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ?平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD . 2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心.
（1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △3 21G G G ∶S △ABC . （1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ， 连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD =2∶3， PG 2∶PE =2∶3，∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC . （2）解 由（1）知PE PG PD PG 21 =32，∴G 1G 2=32DE . 又DE =21AC ，∴G 1G 2=31 AC . 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=3 1BC . ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △3 21G G G ∶S △ABC =1∶9. 3如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高， D 、 E 、 F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断S G 与平面DEF 的位置关系，并给予证明. 解 SG ∥平面DEF ，证明如下： 方法一 连接CG 交DE 于点H ， 如图所示.
《立体几何》教材分析.doc
《立体儿何》教材分析 立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。所以，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。宜观感知，操作确认，思辩论证，度量计算，是探索和认识空间图形及性质的主要方法。 一、木章教育目标 通过本章学习，学生从对空间几何体的整体观察入手，直观认识空间几何体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系，并会用数学语言表述空间有关平行、垂直的性质与判定，能运用这些结论对有关空间位置关系的简单命题进行论证。了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。进而培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力。 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 2.能画出简单几何体的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图。 3.通过观察用两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 4.完成实习作业，能画出一些简单实物的视图与直观图。 5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式(不要求记忆公式)。 6.了解公理1、公理2、公理3、公理4及其推论1、推论2、推论3。了解定理：空I'可中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 7.通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： (1)平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 (2)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 (3)一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (4)一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。 8.通过直观感知、操作确认、思辩论证，归纳并证明出以下性质定理： (1)一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。 (2)两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
数学问题表征形式的教学探索
数学问题表征形式的教学探索 摘要：对问题进行表征是问题解决的一个首要环节，提高学生的问题表征能力是提高学生解题能力的有效途径之一。问题表征从水平上可分为初始表征和深层表征。从形式上可分为内在表征和外部表征，其中外部表征又分为文字、符号、图形(表)和操作四种方式，结合实例说明了四种外在表征在教学中的应用，并建议在平常的教学中要引导学生对问题进行适当的多元表征。 关键词：数学问题；表征；探索 表征，在辞海中的解释是“揭示；阐明”。同时，它又是认知心理学中的一个重要的概念，意指知识在学习者头脑中的呈现和表达方式，是一个以已有的知识和经验为基础的建构过程。表征是客观事物的反映，又是被加工的客体。同一事物，其表征形式不同，对它的加工也不同。著名的科学家、认知心理学家和人工智能的创始人西蒙（simon）指出：“表征包含了两个方面的含义：信息和对信息的加工。” 问题表征是指解题者通过审题,认识和了解问题的结构,通过联想,激活头脑中与之相关的知识经验,从而形成对所要解决的问题的一种完整的印象。 对一个问题作出的表征不是固定不变的，在问题解决过程中，随着信息的积累，可以从不适宜的表征过渡到适宜的表征，数学问题从形式上看以简单地分为两种：一种是内在表征,即学习者将外在
的问题信息转化为头脑中内在的命题形式，其外在的表现就是学习者能有自己的话陈述问题的条件和目标。另一种是外在表征，即将问题以文字、符号、图表、模型等具体的东西表示出来。外在表征以内在表征为基础。外在表征以内在表征为基础。外在表征可以大大减轻工作记忆的负担，有利于问题的解决。数学问题的有效解决往往依赖于对问题的适宜表征，如何对数学问题进行外在表征呢？下面介绍几种外在表征的形式在教学中的应用。 一、文字表征 数学问题一般都以十分严谨而精练的数学语言表述，因此解释信息就成为表征问题的一项非常重要的工作。学生首先要用自己的语言重述问题，即用自己熟悉的方式对问题进行编码，使得许多问题成分变为自己熟悉的信息，从而便于理解和思维操作。 集合论是现代数学的基础，集合语言是现代数学的基本语言.学好集合语言是高中学生学好后继各章节知识的前提。但因集合语言的高度抽象性，使得许多学生在表征问题时出现困难。这题如果先引导学生用自己的语言写出两个集合a、b分别代表是什么？集合a 表示由所有曲线x2+mx-y+2=0上的点构成的集合，集合b表示线段x-y+1=0（0≤x≤2）上所有点构成的集合，a∩b≠φ的含义是什么？表示两条曲线有公共点，即方程x2+mx-y+2=0x-y+1=0（0≤x≤2）有解，只有把这些问题回答正确了，该题也就解决了。 二、符号表征
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
立体几何题型归类总结
立体几何题型归类总结(总8 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
立体几何专题复习 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ① ???????? →???????→?? ??? 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为正方形 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★② r =d 、 球的半径为R 、截面的半径为r ） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.
注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2 3 44,3 S R V R ππ== 球球（其中R 为球的半径）
俯视图 二、【典型例题】 考点一：三视图 1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________. 第1题 2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________. 第2题 第3题 3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 . 4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 . 第4题 第5题 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视 3 俯视图 1 1 2 a
(完整版)非常好高考立体几何专题复习
立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B
1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
立体几何教学反思
高中立体几何教学反思 杨月红 新课程标准理念要求教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养，教师不仅要关注学生学习的结果，更重要的是要关注学生的学习过程，促进学生学会自主学习、合作学习，引导学生探究学习，让学生亲历、感受和理解知识产生和发展的过程，培养学生的数学素养和创新思维能力，重视学生的可持续发展，培养学生终身学习的能力，因此我们应该更新教育观念，真正做到变注入式教学为启发式，变学生被动听课为主动参与，变单纯知识传授为知能并重。在教学中让学生自己观察，让学生自己思考，让学生自己表述，让学生自己动手，让学生自己得出结论。 立体几何是高中数学相对比较容易的一部分，从目前复习情况来看，学生学不好的原因大致有三个：一是没有建立立体感和空间概念；二是基础知识不牢固；三是表述不规范。以下是我在教学中对如何帮助学生学好立体几何的一些反思： 1建立空间概念，强化空间思维能力 从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。建立空间观念要做到： （1）重视看图能力的培养：对于一个几何体，可从不同的角度去观察，可以是俯视、仰视、侧视、斜视，体会不同的感觉，以开拓空间视野，培养空间感。 （2）加强画图能力的培养：掌握基本图形的画法；如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等；对线面的位置关系，所成的角，所有的定理、公理都要画出其图形，而且要画出具有较强的立体感，除此之外，还要体会到用语言叙述的图形，画哪一个面在水平面上，产生的视觉完全不同，往往从一个方向上看不清的图形，从另方向上可能一目了然。 （3）加强认图能力的培养：对立体几何题，既要由复杂的几何图形体看出基本图形，女口点、线、面的位置关系；又要从点、线、面的位置关系想到复杂的几何图形，既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分。能实现这一些，可使有些问题一眼看穿。 此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。 案例一：起始课中注意空间立体感的培养 立体几何第一节课导入部分中，我要求学生共同完成一个任务。首先，用一张纸经过剪 裁、折叠做成一个正方体；然后，画出所做的正方体。通过这个任务的完成大大提高了学生的学习兴趣，使学生感悟数学世界的简洁美、和谐美，培养学生审美意识。课后，我留的作业是画可两个课本中你感兴趣的立体图形。进一步帮助学生建立空间立体感。 案例二：游戏中感受数学美 在讲解《9、2空间直线》这节课中我让学生做一个游戏：用一张纸对折，把它看成两个相交平面，我们在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：①平行直线；②相交直线；③ 异面直线。然后画出你做的图形并观察所画直线和两平面交线的关系。游戏中同学们都积极动手、动脑，充分调动学生主观能动性，通过自己的努力认识到3种直线的位置关系，建立空间立体观念，并进而研究三种直线位置关系的画法。 其实在每节课中都能设立这样的实际操作的问题，并且让同学在自制一些空间几何模型后反复观察，这样有益于建立空间观念。让同学对这些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，同样也是建立空间观念的好方法。 2、平面几何基础使立体几何学习事半功倍 因为无论什么样的立体几何问题，都是在平面上处理的，因而平面几何知识的掌握与否也影响立体几何的学习。因而在教学过程中要注意对平面几何知识的复习。要让学生在做题时找到所需平面和相应的点、线的位置关系，要把立体问题，转化为平面问题，其实也需要很多经验和技巧，通过多给学生作题，使他们自己慢慢体会。
专题一立体几何经典练习题
2 专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中 任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点 不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ． 若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ． 若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直
高中数学必修2立体几何教材分析报告和教学建议
高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议 立体几何内容的设计： 1.定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能力、逻辑推理能力等。强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。 2.内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球→点、线、面→侧面积、表面积与体积的计算（如图1），而原教材是点、线、面→柱、锥、台、球，即从局部到整体（如图2），突出直观感知、操作确认，并结合简单的推理发现、论证一些几何性质． 3.内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位.在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修2中用向量处理.教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，不是不要证明，而是完善过程，既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。 4.教学内容增减： 删除（或在选修课内体现的）： （1）异面直线所成的角的计算。（2）三垂线定理及其逆定理。（3）多面体及欧拉公式.（4）原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）． 增加：（7）简单空间图形的三视图．专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力．（8）台体的表面积和体积等内容．立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端． 立体几何初步是初等几何教育重要内容之一，它是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通过对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力． 一、考纲要求： （1）空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （2）点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.
长方体和正方体的认识教学设计(精品课)
长方体和正方体的认识 【教学内容】 小学数学义务课程标准实验教科书（苏教版）六年级（上册）P10的例1、例2，完成随后的“练一练”。 【教材简析】 “长方体和正方体的认识”是苏教版六年级上册第二单元“长方体和正方体”的第一课，在学生初步认识了一些简单立体图形的基础上学习，系统地研究它们的几何特征还是第一次。长方体和正方体是最基本的立体几何图形，从二维空间到三维空间，是学生空间观念的一次飞跃，同时也是学习长方体和正方体表面积、体积计算以及进一步学习其他立体几何图形的基础。 【教学目标】 1.通过观察、测量、推理等数学活动，认识长方体和正方体的特征，理解长方体的长、宽、高。 2.在探索长方体和正方体特征的过程中进一步积累探索图形经验，发展学生初步的空间观念其数学思考。 3.在学习活动中获得积极的情感体验。 【教学重点】 认识长方体和正方体的特征。 【教学难点】 理解长、宽、高的价值，形成长方体、正方体空间观念。 【教学过程】 一、确定研究视角 1.引入：出示长方体直观图，并在长方体上剥离一个长方形。 2.谈话：比较长方体和长方形有什么不同？ 3.过渡：研究长方形时我们研究了它的边和角，今天这节课我们要研究长方体的特征，可以从哪几个方面着手？ 引出：面、棱、顶点
介绍：两个面相交的线，叫做“棱”；三条棱相交的点，叫做“顶点”。 【设计意图：本课是学生学习立体图形的起始课，研究方法的迁移和积累至关重要，通过唤醒学生研究二维平面图形的研究经验，引导学生自主确定三维立体图形的研究视角。】 二、探索长方体的特征 1.发现长方体“面”的特征 （1）借助长方体物品，你能发现长方体面有什么特征？你是怎么发现的？（四人小组交流） （2）集体汇报。 （3）小结：刚才我们通过观察、测量、推理等方法，知道了长方体有6个面，6个面都是长方形，相对的面完全相同，特殊情况，相对的两个面为正方形时，其余的4个面是完全相同的长方形。 2.发现长方体“棱”和“顶点”的特征 （1）同桌两人合作搭一个长方体框架，边操作边思考： ①支架点需要几个？为什么？ ②小棒选几种？每种几根？为什么？ （2）集体汇报：搭成功的小组介绍成功经验，没搭成功的说说失败的原因，在搭的过程中感悟到了长方体棱有什么特征？ （3）小结：通过搭一搭，我们知道了长方体共有12条棱，将12条棱按相对位置进行分类，可分成3组，每组的4条棱长度相等；长方体有8个顶点。 【设计意图：通过创设观察、操作、推理等数学活动，引导学生在活动中感悟、发现长方体面、棱、顶点的特征，积累数学活动经验。】 3.认识长方体的“长、宽、高” ①出示长方体直观图，想象看不见的三条棱在哪儿？ ②想一想，至少保留几条棱，还能想象出长方体原来的样子？追问：这三条棱有什么特点？ ③相机教学：长方体相较于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。 变化长方体摆放方向，请学生指长方体的长、宽、高。 ④变化长、宽、高，感受长方体大小的变化。 【设计意图：长、宽、高的认识不能只是停留在字面的机械记忆，通过想象至少保留几条棱还能确定原来长方体的样子和变化长方体的长、宽、高，帮助学生体会长方体长、宽、高的价值，即长、宽、高决定了长方体的形状和大小。】
立体几何典型例题精选(含答案)
F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．