高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议

高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议

立体几何内容的设计：

1.定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能力、逻辑推理能力等。强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。

2.内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球→ 点、线、面→ 侧面积、表面积与体积的计算（如图1），而原教材是点、线、面→ 柱、锥、台、球，即从局部到整体（如图2），突出直观感知、操作确认，并结合简单的推理发现、论证一些几何性质．

3.内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位.在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修2中用向量处理.教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，不是不要证明，而是完善过程，既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。

4.教学内容增减：

删除（或在选修课内体现的）：

（1）异面直线所成的角的计算。（2）三垂线定理及其逆定理。（3）多面体及欧拉公式.（4）原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）．

增加：（7）简单空间图形的三视图．专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力．（8）台体的表面积和体积等内容．立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端．

立体几何初步是初等几何教育重要内容之一，它是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通过对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力．

一、考纲要求：

（1）空间几何体

①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.

③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.

（2）点、直线、平面之间的位置关系

①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.

理解以下判定定理.

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明.

◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.

◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

二、考查热点：

1.能画出简单空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形。注重培养学生的空间想象能力，

2.注重线面关系（线线平行、线面平行、面面平行之间的转移；线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转移；还有平行与垂直关系的转移）。

（1）从命题形式上看，立体几何解答题往往会设计成几个小问题，此类题往往以多面体为依托，考查线线、线面、面面的位置关系；空间角、面积、体积等度量关系，强调作图、证明和计算相结合。

（2）从内容上看，（1）线线、线面、面面的平行与垂直问题，重点考查直线与直线、直线与平面的位置关系，这类题既可考查多面体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，并将论证与计算有机地结合在一起，可以比较全面的考查学生的能力。（2）简单几何体的侧面积、表面积和体积问题。

（3）从方法上来看，着重考查公理化方法，如解答题注重理论推导和计算相结合；考查转化的思想方法，如常把立体几何问题转化为平面几何问题来解决；考查模型化方法和整体考虑问题、处理问题的方法，如有时把形体纳入不同的几何背景之中，从而宏观上把握形体，巧妙的把问题解决；考查等体积变换法，以及变化运动的思想方法等。

（4）从能力上，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：（1）会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线（面），作出图形要直观虚实分明；（2）会识图——根据题目所给的图形，想象出立体的形状和有关的线面关系；（3）会析图——对图形进行必要的分解、组合；（4）会复图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力和运算能力；考察探索能力。

三、教材分析：

（一）教学目标：

1.理解柱、锥、台、球的结构特征，了解二面角及其平面角的概念，掌握空间点、直线、与平面之间的位置关系分类。

2.理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图，掌握斜二测画法，能作简单几何体的直观图，了解柱、锥、台、球表面积和体积的计算公式，并能计算一些简单组合体的表面积和体积，理解并掌握平行关系和垂直关系的判断和性质，能利用公理和基本定理证明简单的几何命题。

3.新课程立体几何初步新增加了三视图以及与实物图之间的转换．新增这些内容的目的就是为了让学生更好的认识我们所生活的这个三维空间，能够准确地描述现实世界与图形之间的关系，能从课本还原到现实，来解决生活、生产中的各种问题，发展学生对数学知识的应用意识．例如，平行关系和垂直关系中都是从生活中的平行或垂直关系出发，引入新课，进而进行探究，最后回到生活中来解决实际问题．此外，教师也应注重学生画图能力的培养，特别是立体图形直观图的画法．良好的空间想象能力是学生应该具备的基本数学素养，对于学生更好的生存与发展具有重要意义．

4.《标准》在立体几何初步部分，要求学生首先通过观察实物模型，空间几何体等，直观认识和理解空间图形的性质以及点、线、面的位置关系，并用数学语言进行表述．这种由一般到特殊，从具体到抽象的推理、归纳、并抽象的过程更易于学生的理论创新．而以往的教材只注重知识的强化和变式应用来锻炼学生的逻辑推理能力，却忽略了知识的发现过程和呈现方式．新课程强调数学的本质，强调数学思维品质的培养．我们可以适当弱化演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发，进行合情推理，转向更全面的教育价值。

（二）教材解读：

§1空间几何体（4课时）

测画法画空间几何体的直观图．

难点：如何让学生概括柱、锥、台、球的结构特征．

教学建议：

1.新课标在几何教学中强调几何学习的直观性，强调实物、模型对几何学习的作用．因此对柱、锥、台、球的学习需要从实物图形的感知出发，抽象出其本质特征，来建立多面体、旋转体的概念，进一步研究它们的结构和分类．课外可让学生动手做一做，更直接的感受空间几何图形的特征．如建议学生用纸板或游戏棒或细铁丝（作骨架）做出下列几何体的模型：（1）正方体；（2）长方体；（3）三棱锥；（4）四棱锥；（5）三棱台．学生通过动手做，亲身体验柱、锥、台的结构特征，必会帮助学生逐步形成空间想像能力．

2.用斜二测画法画直观图，关键是掌握画水平放置的平面图形，它是画空间几何体直观图的基础．而水平放置的平面图形的画法可以归结为确定点的位置的画法．在平面上确定点

的位置我们可以借助直角坐标系来完成，因此画水平放置的直角坐标系是学生首先要掌握的方法．通过例题的教学使学生明确画直观图的基本要求．

3.关于“三视图”的一些补充说明：

（1）画三视图容易忽视的问题

①不给出“正方向”，把想当然的“正方向”看作是规定的“正方向” ．如某中考题： “下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）”

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

严格意义上来说，该题（属开放性问题）是没有答案的，因为你没有给出正方向，所以不知左视图为何形．

②视图中缺少应有的线段，尤其是缺少该用虚线描绘的不可见的物体轮廓线、分界线和棱．如常将四棱锥S －ABCD 的三视图作成图（10）而非图（11），即俯视图中缺少棱SC 。

（10） （11）

③主视图、左视图和俯视图的大小不符合“长对正、高平齐、宽相等”的要求．

§2空间几何体的表面积与体积（3课时）

难点：球的表面积与体积公式的推导．

教学建议：

1.应从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系．

2.通过对球的表面积、体积公式的运用，加深学生对公式的认识，突出公式在实际问题圆柱 圆锥 球 正方体

正 视 图 左 视 图 俯

视 图 俯 视 图 正 视 图 左 视 图

解决中的作用．

§3点、线、面之间的位置关系（10课时）

难点：文字语言、符号语言与图形语言的转化；对异面直线的认识．

教学建议：

1.平面的基本性质虽仅为了解，但却是进一步研究空间点、线、面位置关系的基础，在教学中，可以先给出一些实物图片，旨在激发学生学习空间图形的兴趣，然后引入最简单的几何体——长方体模型，有关点、线、面用彩色来突出，让学生仔细的观察；设计一些实例，再给出实物图片，，让学生觉得四个公理确实是显而易见的；设计一幅实物图片和直观图形进行对比，使学生从平面到空间理解等角定理，显得更直观、更可信．

2.空间点、线、面的位置关系应依托长方体模型，教学中，让学生仔细地观察“教室”这一长方体模型和其他长方体模型的点、线、面的位置关系，这样显得更直观，容易得出直线和平面平行的判定定理，平面和平面平行的判定定理以及直线和平面平行的性质定理，平面和平面平行的性质定理；例题和习题的设计要有意识的考虑长方体、正方体模型以及一些不太规则的图形．

3.本章教学中应重视文字语言、符号语言和图形语言的相互“翻译”转换．

4.在教学中，要努力浸透归纳、类比等数学思想方法，帮助学生形成辩证唯物主义世界观．

四、注意事项：

1.明确立体几何的教学目标，不拔高，也不降低。新增的内容不加深，删除的内容不增补。

2.注意概念定理的发生发展过程；加强几何直观、合情推理教学，适当进行思辨论证，从几何直观、合情推理、逻辑推理等多角度培养学生空间想象能力。

3.注意从不同角度认识几何体。

4.重视问题的数学化表达，加强“符号语言”、“图形语言”与“文字语言”的转换，在表述与证明中，科学准确地使用数学符号，尽量少用或不用汉字，在确需使用汉字时，应合理使用汉字。

5.充分依托长方体模型，在此基础上，认知三棱锥、四棱台、圆柱、球等常见的空间几何体．同时重视现代教育技术手段在认知常见空间几何体中的使用。

6.教学中，要注意联系平面图形的知识，利用类比、联想等方法，辨别平面图形和立体图形的异同，理解两者的内在联系，并逐渐地让学生感悟到，将空间问题转化为平面问题是处理立几问题的重要思想。

7.从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本。我们在复习备考中，一定要依纲靠本，控制好题目的难度，不出偏题、怪题。从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生“会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视。因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，要使学生在做解答题时作到“一看、二证、三求解”。

8.站在全局的角度了解学生，把握新课的定位。

新课改已经由义务教育到高中教育全面推行，很多高中老师却只关心高中的课标变化，而忽略了学生在初中的几何基础，学生学习最重要的因素就是学生已经知道了什么，这样才能了解学生的最近发展区，对学生提出适度的要求，以免造成学生过重的负担或浪费他们的能力．只有立足整体，通过联系初中平面几何中的知识，将其在三维空间中进行推广或演变，将前后知识连结为整体，增强学生知识的系统性。

9.主次分明，对于课标不要求的点到为止。

本章的重点在第三节到第六节，简单几何体的体积、球的体积和表面积，根据课标要求只需了解公式．在教这一节时，我们只要求学生初步了解公式导出过程中所隐含的数学思想方法，并不要求理解其证明过程。

10.书中有的旁白是对定义的补充，有的是方法指导，教师不得忽略，要做适当的讲解。

五、变式分析：

1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

改编如图是一个几何体的三视图（单位：cm）

（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

（2）求这个几何体的表面积及体积；

（3）设异面直线AA'与BC'所成的角为θ，求cosθ．

O O

O O O 'O '22

【解析】（1）如图所示：

（2）表面积1221322382=???+?+?=+2(cm )．

几何体的体积121332

ABC V S BB ?'=?=???=3(cm ) （3）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．

在Rt BB C ''?中，BC '===cos BB BC θ'===' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何

体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）．

（1）画出它的直观图（不要求写画法）；

（2）求这个几何体的表面积和体积．

【解析】（1）这个几何体的直观图如图所示．

（2）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是

一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部

是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，cm ）。表面积为7π平方厘米，体积为2π+33π立方厘米。 3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形

的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系.

改编 已知直角三角形ABC ，其三边分为c b a ,,,（c b a >>）.分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,,S S S 和321,,V V V ,则它们的关系为 ( )

A .321S S S >>, 321V V V >>

B .321S S S <<, 321V V V <<

C .321S S S >>, 321V V V ==

D .321S S S <<, 321V V V == 【解析】a a bc V c b a bc S 211)(31),)((ππ=+=,22223

1,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 23233

1,πππ=+=, 选B. 4.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是( )

(1)

(2)(3)【解析】（1）、（4）． 5.原题（必修2第37页复习参考题B 组第三题）

改编 1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为 60的直线共有 对.

【解析】计算可得共有12对．

改编2 如图正方体中，o ，1o 为底面中心，以1oo 所在直线为旋转轴，线段1BC 形成的几何体的正视图为（ ）

A A 1

(A)

(B)(C)(D)

【解析】C ． 6.原题（必修2第37页复习参考题B 组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？

改编 如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（ ）

(A)(B)(C)(D)

【解析】选项A 、B 、D 中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A 、B 、D 不可能，故选

C.

7.原题（必修2第59页例3）改编 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ）

A ．不存在

B ．只有1个

C ．恰有4个

D ．有无数多个

【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n, 直线 m 、n 确定了

一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的

四边形必为平行四边形，而这样的平面 α 有无数多个．答案：D.

8.原题（必修2第62页习题2.2A 组第八题）如图，直线AA 1，BB 1，CC 1相交于点O ，AO=A 1O ，BO=B 1O ，CO=C 1O ，求证：平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.

改编 如图，直线AA 1、BB 1、CC 1相交于点O ，AO=A 1O ，BO=B 1O ，CO=C 1O ，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______.

【解析】1 2

73

. A

A 1

A

1A B

1B C 1C D

1D F 图4－1

E 9.原题（必修2第63页习题 2.2B 组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？

(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值；

(4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ?是定值. 改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______.

(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值；(4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图

（3）所示时，BF BE ?是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.

（1） （2） （3）

【解析】（1），（2），（4），（5），（6），（7）。

10.原题（必修2第66页例2）改编 如图4－1，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F ．

（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BED ；

（Ⅱ）求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．

【解析】1A B 与平面BDE

． 11.原题（必修2第79页复习参考题A 组第十题）如图，已知平面,αβ，且

,,,,AB PC PD C D

αβαβ=⊥⊥是垂足，试判断直线AB 与CD 的位置关系？并证明你的结论. 改编 如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足．

（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；

（Ⅱ）若1,PC PD CD ===α与平面β的位置关系，并证明你的结论．

【解析】（Ⅱ）平面α⊥平面β.

12.原题（必修2第79页复习参考题B 组第一题）如图5，边长为2的正方形ABCD 中，

（1）点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,AED DCF ??分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点A '，求证：A D EF '⊥．

（2）当14BE BF BC ==

时，求三棱锥A EFD '-的体积． 改编 如图5－1，在矩形ABCD 中，2,1,AB AD E ==是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ?向上折起，使D 为D '，且平面D AE '⊥平面ABCE ．

（Ⅰ）求证：AD EB '⊥；

（Ⅱ）求直线AC 与平面ABD '所成角的正弦值．

D A '

E B

D F 图5

【解析】（Ⅱ）直线AC 与平面ABD '． 13.原题（必修2第90页习题3.2B 组第一题）已知点)2,5(),2,2(-N M ,点P 在x 轴上，且MPN ∠为直角,求点P 的坐标.

改编：已知点)2,5(),2,2(-N M ,P 在x 轴上，若MPN ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是________. 【解析】用向量的数量积判别：0>?NP MP ，易求答案为6>m 或1

以上所述，请大家批评指正。谢谢！