几何模型：半角模型
半角模型
一、90°夹45°
定义：过正方形的一个顶点作一个45°角可形成90°夹45°的夹半角模型。
（1）角含半角模型90°-1
条件：①；②或者②
；
（2）角含半角模型90°-2
?条件：①；②；
（1）（2）
（3）角含半角模型90°-3
条件：①；②；
（4）角含半角模型90°变形
?条件：①正方形；②；
（3）（4）
二、120°夹60°
（1）内夹（120°角完全包含60°角）（2）外夹：（120°角不完全包含60°角）?条件：①∠CAB=120°；②∠EAF=120°；
F
E
C
F
C
(1)(2)
核心思想：
（1）内夹角补短，外夹用截长；(2)先证小全等，再证大全等。
一、内嵌45°
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上一点.并且∠EAF=45°，AE、AF分别交对角线于M、N.
（1）求证：求证：EF=BE＋DF；（或△EFC周长为定值）
F （2）求证:∠AEB=∠AEF=∠ANM，∠AFD=∠AFE=∠AMN；
F （3）求证:MN 2=BM 2＋DN 2；
F （4）求证：2AM 2=BM 2＋DM 2，2AN 2=BN 2＋DN 2；
F （5）连接NE，求证：AN=AE，AN⊥NE；
F （6）连接MF，求证：AM=MF，AM⊥MF；
F
（7
=BA＋BE=DA＋DF；
F
F
（9）求证：EF
；
F
（10）过点E作EG⊥BC交BD于点G，求证：N是DG中点；
F （11）过点F作FH⊥DC交BD于H，求证：M是BH中点；
F
（12）过点E作EP⊥BD交BD于点P，求证：NP=1
2
BD；
F
（13）过点F 作FQ ⊥BD 交BD 于点Q ，求证：MQ =
1
2
BD ；
F
（14）求证：S △AMN =
1
2
S △AEF (或S △AMN = S 四边形MEFN )
F
二、外嵌45°
如图，在正方形ABCD 中，若∠BEC =45°，连接AE ，DE
.
E
（1）求证：∠AEC =∠BED =90°；
（2）求证：∠AEB=∠CED=45°；
E （3）求证：EB平分∠AEC，EC平分∠BED；
（4）求证：EB＋
ED EC；
（5）求证：EA＋EC
EB；
（6）求证：S四边形ABCE=1
2
EB 2．
正方形.gsp
（1）内夹（120°角完全包含60°角）
已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠D=60°∠EAF=60°，证明：BE+CF=EF
变式：已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠D=60°，BE+CF=EF，证明：∠EAF=60°
B
（2）外夹：（120°角不完全包含60°角）
已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠BDC=60°，CF-BE=EF，证明：∠EAF=60°
变式：已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠BDC=60°，∠EAF=60°，证明：CF-BE=EF Array
C
E
4.在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M,N，使∠MCN=45°,若AM=3,BN=4，求△ABC的面积
5、在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
6、如图1，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形．如图2，点P
是边BC上一点，PH⊥BC交BD于点H，连接AP交BD于点E，点F为DH中点，连接AF．
（1）求证：四边形ABCD为正方形；
（2）当点P在线段BC上运动时，∠PAF的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF的值；若变化，
请说明理由；
（3）求证：BE2+DF2=EF2．
7.如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）若EG=4，GF=6，BM=3 2，求AG、MN的长．
8.如图，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D 在线段AC上。
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（00<α<900）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。
G
F
E
D C
B
A
9、如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=
∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为
D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2＋CE2=DE2.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
10、如图1，等腰R t△ABC中，∠BAC=90°，∠DAE=45°，∠DAE绕A旋转，直线AD、直线AE与直线BC 交于点D、E两点，CG⊥AC交AE于G.
（1）求证：AB=CG+2BD.
（2）当∠DAE旋转至图2，图3时，上述关系是否改变？若改变，写出新关系；
（3）图3中，若当BE:CE=3:1，BD=22时，连BG交直线AD于H，求GH 的长。
G
y
x
O
F
E
D C
B
A
11.已知正方形ABCD 的边长为a ，EF ∥GH ，且EF 与GH 之间的距离等于a ．
（1）如图1，若EF 经过A ，GH 与BC 、CD 分别交于点I 、J ．作AP ⊥GH ，垂足为P ．求证：△API ≌△ABI ，且∠IAJ=45°；
（2）如图2，若EF 与AD 、AB 分别相交于点K 、L ，GH 与BC 、CD 分别相交于点I 、J ，IK 与JL 相交于点M ．作KP ⊥GH ，垂足为P ，作KQ ⊥BC ，垂足为Q ．求证：△KPI ≌△KQI ，且∠IMJ=45°．
12.如图10，正方形ABCD 的边长为2，点E 在边AD 上（不与A 、D 重合），点F 在边CD 上，且0
45=∠EBF ，
ABE ?的外接圆O 与BC 、BF 分别交于点G 、H .
（1）在图10中作出圆O ，并标出点G 和点H ；
（2）若EF ∥AC ，试说明⌒
BG 和⌒
GH 的大小关系，并说明理由； （3）如图11所示，若圆O 与CD 相切，试求BEF ?的面积。
图10 图11
13.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
14.如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。（1）若AG=AE，求证：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，求证：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。