高三数学期末冲刺卷(附答案)

期末冲刺卷

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 若a ＋i 1－i

(i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值是____________．

2. 已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪B ＝____________.

3. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：

据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,30]内的人数为____________．

4. 在如图所示的流程图中，输出的结果是______________．

(第4题)

5. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在圆x 2

＋y 2＝16内的概率为____________．

6. 在约束条件????

?

0≤x ≤1，0≤y ≤2，

2y －x ≥1

下，则(x －1)2＋y 2的最小值为__________．

7. 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18

米，P 是摩天轮轮周上的一个定点，从P 在摩天轮最低点时开始计时，则16分钟后P 点距地面高度为________米．

8. 已知集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2，r ＞0}，若点(x ，y )∈A 是点(x ，y )∈B 的必要条件，则r 的最大值是____________．

9. 已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物线于点B ，

过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________.

10. 若函数f (x )＝?

????

2x ，x ＜0，

－2－x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是____________．

11. 如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝CC 1＝2.若用平行于三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．

(第11题)

12. 已知椭圆x 24＋y 2

2

＝1，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭

圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．

13. 在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →

＝xAB →，AN →＝yAC →

(x 、y ≠0)，则4x ＋y 的最小值是______________．

14. 如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π

4

，OB ＝2，设∠AOB ＝q ，q ∈????

π2，3π4.

(1) 用q 表示OA ；

(2) 求OA →×OB →

的最小值．

如图，已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

(1) 求证：HG∥平面ABC；

(2) 请在面ABD内过点E作一条线段垂直于AC，并给出证明．

(本小题满分14分)

如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，且被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.

(1) 求圆C的方程；

(2) 当t＝1时，求出直线l的方程；

(3) 求直线OM的斜率k的取值范围．

心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x

天后的存留量y1＝4

x＋4

；若在t(t＞4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜

率为a

(t＋4)2

(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．

(1) 若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；

(2) 若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．

已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1、a3、a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项．

(1) 若k＝7，a1＝2.

①求数列{a n b n}的前n项和T n；

②将数列{a n}与{b n}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1的值；

(2) 若存在m＞k，m∈N*使得a1、a3、a k、a m成等比数列，求证：k为奇数．

已知函数f (x )＝ax 2＋ln x ，f 1(x )＝16x 2＋43x ＋59ln x ，f 2(x )＝1

2

x 2＋2ax ，a ∈R .

(1) 求证：函数f (x )在点(e ，f(e))处的切线恒过定点，并求出定点坐标； (2) 若f (x )＜f 2(x )在区间(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围；

(3) 当a ＝2

3

时，求证：在区间(1，＋∞)上，满足f 1(x )＜g (x )＜f 2(x )恒成立的函数g (x )有

无穷多个.

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修4-1：几何证明选讲

如图，过圆O 外一点M 作圆的切线，切点为A ，过A 作AP ⊥OM 于P . (1) 求证：OM ·OP ＝OA 2；

(2) N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点．过B 点的切线交直线ON 于K .求证：∠OKM ＝90°.

B. 选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M ＝??????1 b c 2有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e 1＝????

??23. (1) 求矩阵M ；

(2) 求曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程．

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的

极坐标方程为ρsin ???

?θ－π

4＝3 2. (1) 把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2) 已知P 为椭圆C ：x 216＋y 2

9

＝1上一点，求P 到直线l 的距离的最大值．

D. 选修4-5：不等式选讲

设x 、y 、z 为正数，求证：2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧面与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC1、BC、A1B1的中点．

(1) 求证：PN⊥AM；

(2) 若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．

23. 已知数列{a n}中，对任意n∈N*，a n＋1＝4a3n－3a n.

(1) 求证：若|a n|＞1，则|a n＋1|＞1；

(2) 若存在正整数m，使得a m＝1，求证：

①|a1|≤1；

②a1＝cos 2kπ

3m－1

(其中k∈Z)(参考公式：cos3α＝4cos3α－3cosα)．

数学参考答案及评分标准

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. －1

2. {x |x ＞0}

3. 100

4. 60

5. 29

6. 255

7. 14

8. 2

2

9. 2

10. ????－1，－12∪????12，1 11. 24 12. (0,0) 13. 9

4 14. 216(或者6

5 536) 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．

15. 解：(1) 在△ABC 中，因为OB ＝2，∠BAO ＝π4，∠ABO ＝π－π4－q ＝3π

4

－q ，

由正弦定理，得OB sin π4

＝OA

sin ∠ABO ，(3分)

即222＝OA

sin ????3π4－q ，所以OA ＝22sin ????3π4－q .(6分) 注：仅写出正弦定理，得3分．

若用直线AB 方程求得OA ＝2(sin q ＋cos q )或OA ＝22sin ???

?θ＋π

4也得分． (2) 由(1)得OA →×OB →＝|OA →||OB →

|cos q ＝42sin ???

?34π－q cos q (8分) ＝2(sin2θ＋cos2θ)＋2＝22sin ?

???2θ＋π

4＋2.(10分) 因为q ∈????π2，3π4，所以2q ＋π4∈????5π4，7π4， 所以当2q ＋π4＝3π2，即q ＝5π8

时，OA →×OB →

的最小值为2－2 2.(14分)

16. (1) 证明：因为BD ∥平面EFGH ，平面BDC ∩平面EFGH ＝FG ，所以BD ∥FG . 同理BD ∥EH ，又EH ＝FG ，

所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以HG ∥EF .

又HG ?平面ABC ，EF ?平面ABC ， 所以HG ∥平面ABC .(6分)

(2) 解：在平面ABC 内过点E 作EP ⊥AC ，且交AC 于点P ， 在平面ACD 内过点P 作PQ ⊥AC ，且交AD 于点Q ， 连结EQ ，则EQ 即为所求线段．(10分) 证明如下：

?

????EP ⊥AC

PQ ⊥AC EP ∩PQ ＝P ?

?

???

?AC ⊥平面EPQ EQ ?平面EPQ ?EQ ⊥AC .(14分) 17. 解：(1) 因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)， 所以圆心C 在直线y ＝1上．

设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B ，

由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π

3

，

所以CA ＝CB ＝2，圆心C 的坐标为(－2,1)， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(4分)

(2) 当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝mx ＋1，

由????? y ＝mx ＋1，(x ＋2)2＋(y －1)2＝4，得???

??

x ＝0y ＝1

或?????

x ＝－4

m 2＋1，y ＝m 2

－4m ＋1

m 2

＋1.

不妨令M ? ??

??－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)，

因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)， 所以OM →·ON →＝? ????－4

m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2±3，

故所求直线l 方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1.(10分)

(3) 设直线OM 的方程为y ＝kx ，

由题意知，|－2k －1|1＋k 2

≤2，解之得k ≤3

4，

同理得－1k ≤34，解之得k ≤－4

3

或k ＞0.

由(2)知，k ＝0也满足题意．

所以k 的取值范围是?

???－∞，－43∪????0，3

4.(14分) 18. 解：设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y ，

由题意知，y 2＝a (t ＋4)2

(x －t )＋8

t ＋4

(t ＞4)，(2分) 所以y ＝y 2－y 1＝a (t ＋4)2

(x －t )＋8t ＋4－4

x ＋4

(t ＞4)．(4分) (1) 当a ＝－1，t ＝5时，

y ＝－1(5＋4)2(x －5)＋85＋4－4x ＋4＝－(x ＋4)81－4x ＋4＋1≤－2481＋1＝59， 当且仅当x ＝14时取等号，

所以“二次复习最佳时机点”为第14天．(10分)

(2) y ＝a (t ＋4)2(x －t )＋8t ＋4－4x ＋4＝－－a (x ＋4)(t ＋4)2－4x ＋4＋8

t ＋4－a (t ＋4)(t ＋4)2

≤－2

－4a (t ＋4)2＋8－a

t ＋4，(14分) 当且仅当－a (x ＋4)(t ＋4)2＝4x ＋4，即x ＝2

－a (t ＋4)－4时取等号，

由题意2

－a

(t ＋4)－4＞t ，所以－4＜a ＜0.(16分)

注：使用求导方法可以得到相应得分．

19. (1) 解：因为k ＝7，所以a 1、a 3、a 7成等比数列．又{a n }是公差d ≠0的等差数列， 所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，整理得a 1＝2d . 又a 1＝2，所以d ＝1.

b 1＝a 1＝2，q ＝b 2b 1＝a 3a 1＝a 1＋2d

a 1

＝2，

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1，b n ＝b 1×q n －

1＝2n .(4分)

① 用错位相减法或其他方法可求得{a n b n }的前n 项和为T n ＝n ×2n ＋

1；(6分)

② 因为新的数列{c n }的前2n －n －1项和为数列{a n }的前2n －1项的和减去数列{b n }前n 项的和，

所以S 2n －n －1＝(2n －1)(2＋2n )2－2(2n －1)2－1＝(2n －1)(2n －

1－1)．

所以S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －

1＝－1.(10分)

(2) 证明：由(a 1＋2d )2＝a 1[a 1＋(k －1)]d ，整理得4d 2＝a 1d (k －5)．

因为d ≠0，所以d ＝a 1(k －5)4，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝k －3

2

.

因为存在m ＞k ，m ∈N *使得a 1、a 3、a k 、a m 成等比数列，

所以a m ＝a 1q 3＝a 1????k －323

.(12分)

又在正项等差数列{a n }中，a m ＝a 1＋(m －1)d ＝a 1＋a 1(m －1)(k －5)

4

，(13分)

所以a 1＋a 1(m －1)(k －5)4＝a 1????k －323

. 又a 1＞0，

所以有2[4＋(m －1)(k －5)]＝(k －3)3.(14分)

因为2[4＋(m －1)(k －5)]是偶数，所以(k －3)3也是偶数， 即k －3为偶数，所以k 为奇数．(16分)

20. (1) 证明：因为f ′(x )＝2ax ＋1x ，所以f (x )在点(e ，f (e))处的切线的斜率为k ＝2a e ＋1

e

，

所以f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝?

???2a e ＋1

e (x －e)＋a e 2＋1，(2分) 整理得y －1

2＝?

???2a e ＋1e ????x －e 2， 所以切线恒过定点????

e 2，12.(4分)

(2) 解：令p (x )＝f (x )－f 2(x )＝???

?a －1

2x 2－2ax ＋ln x <0，对x ∈(1，＋∞)恒成立， 因为p ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝(2a －1)x 2－2ax ＋1x ＝(x －1)[(2a －1)x －1]

x

(*)，(6分)

令p ′(x )＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝1

2a －1

.

① 当12＜a ＜1时，有x 2＞x 1＝1，即1

2

＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有p ′(x )＞0，

此时p (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有p (x )∈(p (x 2)，＋∞)，不合题意；

② 当a ≥1时，有x 2＜x 1＝1，同理可知，p (x )在区间(1，＋∞)上，有p (x )∈(p (1)，＋∞)，也不合题意；(8分)

③ 当a ≤1

2

时，有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有p ′(x )＜0，

从而p (x )在区间(1，＋∞)上是减函数；

要使p (x )＜0在此区间上恒成立，只须满足p (1)＝－a －12≤0?a ≥－1

2

，

所以－12≤a ≤12

.

综上可知a 的范围是????－12，1

2.(12分) (3) 证明：当a ＝23时，f 1(x )＝16x 2＋43x ＋59ln x ，f 2(x )＝12x 2＋4

3x .

记y ＝f 2(x )－f 1(x )＝13x 2－5

9

ln x ，x ∈(1，＋∞)．

因为y ′＝2x 3－59x ＝6x 2－5

9x

＞0，

所以y ＝f 2(x )－f 1(x )在(1，＋∞)上为增函数，

所以f 2(x )－f 1(x )＞f 2(1)－f 1(1)＝1

3

.(14分)

设R(x)＝f1(x)＋1

3

λ(0＜λ＜1)，则f1(x)＜R(x)＜f2(x)，

所以在区间(1，＋∞)上，满足f1(x)＜g(x)＜f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个．(16分)

苏北四市高三数学附加题参考答案 第页(共2页)苏北四市高三年级第三次模拟考试

数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 选修4-1：几何证明选讲

证明：(1) 因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM .

又AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理知，OA 2＝OM ·OP .(4分) (2) 因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同(1)，有OB 2＝ON ·OK .

又OB ＝OA ，所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OM

OK

.又∠NOP ＝∠MOK ，

所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.(10分) B. 选修4-2：矩阵与变换

解：(1) 由已知??????1 b c 2??????23＝?????

?812，即2＋3b ＝8,2c ＋6＝12，b ＝2，c ＝3，

所以M ＝????

??1 23 2.(4分) (2) 设曲线上任一点P (x ，y )，P 在M 作用下对应点P ′(x ′，y ′)，则??????x ′y ′＝??

????1

23

2????

??x y ，

即?

????

x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋2y ，解之得???

x ＝y ′－x ′2

，

y ＝3x ′－y ′4，

代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1得x ′2＋y ′2＝

2，

即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2＝2.(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程

解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin ????θ－π4＝32，则22ρsin θ－2

2

ρcos θ＝32， 即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(4分)

(2) P 为椭圆C ：x 216＋y 2

9

＝1上一点，设P (4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)，

则P 到直线l 的距离d ＝|4cos α－3sin α＋6|2＝|5cos (α＋φ)＋6|2

，其中cos φ＝4

5，

所以当cos(α＋φ)＝1时，d 的最大值为11

2

2.(10分)

D. 选修4-5：不等式选讲

证明：因为x 2＋y 2≥2xy ≥0，

所以x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)≥xy (x ＋y )，(4分) 同理y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，z 3＋x 3≥zx (z ＋x )，

三式相加即可得2(x 3＋y 3＋z 3)≥xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )． 又xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )＝x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )， 所以2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．(10分)

22. (1) 证明：建立如图所示直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，

C (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，P ????12，0，1，

M ????0，1，12，N ????12，12，0，NP →＝????0，－12，1，AM →

＝?

???0，1，12. 因为PN →·AM →

＝0×0＋1×12＋(－1)×12

＝0，

所以PN ⊥AM .(4分)

(2) 解：设平面PMN 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，

NP →＝????0，－12，1，NM →

＝???

?－12，12，12， 则?????

n 1·NP →＝0n 1·NM →＝0??

??

－1

2y 1＋z 1＝0，－12x 1＋12y 1＋12

z 1＝0.

令y 1＝2，得z 1＝1，x 1＝3， 所以n 1＝(3,2,1)．(6分)

又MB →

＝?

???1，－1，－12， 所以sin θ＝n 1·MB →|n 1||MB →|＝1

23

2

×14

＝14

42.(10分)

23. 证明：(1) 因为|a n |＞1，a n ＋1＝4a 3n －3a n

所以|a n ＋1|＝|4a 3n －3a n |＝|a n |(4|a n

|2－3)＞1.(2分) (2) ① 假设|a 1|＞1，则|a 2|＝|4a 31－3a 1|＝|a 1|(4|a 1|2

－3)＞1.

若|a k |＞1，则|a k ＋1|＝|4a 3k －3a k |＝|a k |(4|a k |2

－3)＞1.

所以当|a 1|＞1时，有|a n |＞1(n ∈N *)，这与已知a m ＝1矛盾， 所以|a 1|≤1.(6分)

② 由①可知，存在θ，使得a 1＝cos θ. 则a 2＝4cos 3θ－3cos θ＝cos3θ

假设n ＝k 时，有a n ＝cos3n －1θ即a k ＝cos3k －

1θ，

则a k ＋1＝4a 3k －3a k ＝4(cos3

k －1θ)3

－3(cos3k －1θ)＝cos3k θ. 所以对任意n ∈N *，a n ＝cos3n －

1θ，

则a m＝cos3m－1θ＝1,3m－1θ＝2kπ，其中k∈Z，即θ＝2kπ

3m－1

，

所以a1＝cos 2kπ

3m－1

(其中k为整数)．(10分)