2020版高考数学培优考前练文科通用版练习：7.2 圆锥曲线的标准方程与性质 Word版含解析

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7。2圆锥曲线的标准方程与性质

高考命题规律

1。每年必考考题,多数年份有2道小题，主要考查圆锥曲线方程、性质的应用。

2.选择题或填空题,5分,中档难度.

3.全国高考有4种命题角度,分布如下表。

命题角度1圆锥曲线的定义及

标准方程

高考真题体验·对方向

1。（2017全国Ⅰ·5)已知F 是双曲线C ：x 2

-y 2

=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是（1,3)，则△APF 的面积为( ) A .1

3 B 。1

2

C 。2

3

D .3

2

c 2

=a 2

+b 2

=4,得c=2，所以点F 的坐标为（2，0）。将x=2代入x 2

—y 2

=1,得y=±3，所以PF=3。又点A 的坐标是（1，3),故△APF 的面积为12×3×(2-1）=32

，故选D 。

2。(2016全国Ⅱ·5)设F 为抛物线C ：y 2

=4x 的焦点,曲线y=k x

(k>0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k=( )

A 。12

B 。1

C.32

D.2

F 为抛物线y 2

=4x 的焦点,所以F (1,0）.

又因为曲线y=k

x (k 〉0）与抛物线交于点P ，PF ⊥x 轴, 如图所示，可知P （1，2）,故k 1=2，解得k=2，故选D 。

3.（2017北京·10)若双曲线x 2

—y 2=1

的离心率为√3，则实数m= .

a=1，b=√m ,m 〉0，c=2+b 2=√1+m ，则离心率e=c

a =√1+m =

√3,解得m=2.

4。（2016山东·14）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2

b

2=1(a>0,b>0).矩形ABCD 的四个顶点在

E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB ｜=3|BC ｜,则E 的离心率

是 。

AB=3,则BC=2.

设AB ,CD 的中点分别为M ,N ,如图，

则在Rt△BMN 中，MN=2， 故BN=

√BM 2

+MN 2

=√(32)2

+22=52。

由双曲线的定义可得2a=BN —BM=52−3

2=1，而2c=MN=2,所以双曲线的离心率

e=2c 2a =2。

典题演练提能·刷高分

1。已知椭圆C:x2

a2+y2

b2

=1(a〉b>0），若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分，则

此椭圆的标准方程为(）

A.x2

36+y2

32

=1 B。x2

9

+y2

8

=1

C.x2

9+y2

5

=1 D。x2

16

+y2

12

=1

椭圆长轴长为6，焦点恰好将长轴三等分，∴2a=6，a=3,

∴6c=6,c=1，b2=a2—1=8,

∴椭圆方程为x2

9+y2

8

=1,故选B。

2。已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A,B两点，若｜AB|=8，则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为(）

A.2

B.4

C.8

D.16

,抛物线y2=4x的焦点为F（1,0）,准线为x=—1，即x+1=0，分别过A，B作准线的垂线,垂足为C,D,

则有｜AB｜=|AF｜+｜BF|=|AC|+|BD｜=8，过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC的中位线,则｜MN｜=1

2

（｜AC|+|BD｜)=4,即M到准线x=—1的距离为4。故选B。

3.已知双曲线C:x2

a2−y2

b2

=1（a>0,b〉0）过点(√2,√3）,且实轴的两个端点与虚轴的一

个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是()

A.x2

1

2-y2=1 B.x2

9

−y2

3

=1

C。x2—y2=1 D。x22

3−y23

2

=1

C:x2

a2−y2

b2

=1(a>0，b>0）过点（√2,√3）,且实轴的两个端点与虚轴的

一个端点组成一个等边三角形,可得{2

a2-3

b2

=1,

b a =√3,

解得{

a=1,

b=√3,

∴双曲线C的标准方程是x2—y2

3

=1。故选C.

4.已知点A（—1,0)，B(1，0）为双曲线x2

a2−y2

b2

=1（a>0,b〉0)的左、右焦点,点M

在双曲线上,△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的方程为（）

A.x2—y2

4

=1 B.x2—y2=1

C。x2—y2

3=1 D.x2—y2

2

=1

M在双曲线上,△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，得|AB|=|BM｜,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,则∠NBM=60°,如图所示。

在Rt△BNM中,｜BM｜=｜AB|=2a，∠NBM=60°,则|BN｜=2a cos

60°=a,|MN|=2a sin 60°=√3a，

即M(2a,√3a）,代入双曲线方程得4-3a2

b2

=1，即b2=a2.

∵点A(-1，0),B（1,0)为双曲线的左、右顶点，

∴a=b=1,∴双曲线的方程为x2—y2=1。

5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°。设线段AB的中点M在l上的投影为N，则()

A。｜AB|≥2｜MN｜ B.2｜AB｜≥3｜MN|

C.｜AB｜≥3｜MN|

D.｜AB|≥｜MN｜

|AF｜+｜BF|=2｜MN|,在△AFB中，|AB｜2=｜AF｜2+|BF|2—2|AF|·|BF|cos 60°=|AF｜2+|BF|2-|AF｜·|BF｜=(｜AF|+｜BF|）2—3|AF｜·｜

BF|≥（｜AF｜+|BF|)2—3×(|AF|+|BF|

2)

2

=(|AF|+|BF|)

2

4

=｜MN|2,

所以｜AB|≥｜MN|，故选D。

6。已知抛物线C：y2=8x上一点P，直线l1：x=—2，l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为（)

A。2 B.2√34

C。16

15

√34 D.1817√34

l

1

：x=—2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA，点P 到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA｜+|PB|=｜

PF|+|PB｜,当P，B，F三点共线时,距离之和最小。此时,最小值为|3×2-5×0+30|

√3+(-5)

=

18

17

√34，故选D.

7。如图，椭圆x2

a2+y2

4

=1的焦点为F

1

，F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点，交y轴于

点H.若F1,H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为(）

A.20 B。10 C.2√5 D.4√5

H为线段F

1N的中点，且F

1

（-c，0),b=2,由中点坐标公式得点N

的横坐标为c,

即NF2⊥x轴,所以N c，4

a ，则H0,2

a

.

又F1为线段HM的中点，由中点坐标公式可得M—2c,-2

a

，代入椭圆方程得

4c2 a2+1

a2

=1,

∴a2=1+4c2,∴1+4c2=4+c2，

∴c 2=1，a 2=b 2+c 2=5。

由椭圆的定义可知，△F 2MN 的周长为4a=4√5。

命题角度2圆锥曲线的简单性

质及其应用

高考真题体验·对方向

1。(2019全国Ⅱ·9）若抛物线y

2

=2px (p>0）的焦点是椭圆x 23p +y 2

p =1

的一个焦点,则

p=( ）

A.2 B 。3 C.4 D.8

解析 ∵y 2

=2px 的焦点坐标为p 2,0，椭圆x 23p +y

2

p

=1的焦点坐标为（±√3p -p ，0),∴3p —p=p 2

4，解得

p=8，故选D .

2。(2019全国Ⅲ·10)已知F 是双曲线C :x 2

4−y 2

5=1的一个焦点,点P 在C 上,O 为坐标原点.若｜OP|=|OF ｜，则△OPF 的面积为（ ) A.32 B.52 C.72 D 。92

P (x 0,y 0),则x 0

2

4−y 02

5=1.

①

又｜OP|=|OF|=√4+5=3,

∴x 02+y 02

=9.

②

由①②得，y 02=259，即|y 0｜=53.

∴S △OPF =12｜OF|·｜y 0|=12×3×53=5

2

.故选B 。 3.(2018全国Ⅲ·10）已知双曲线C :x 2a 2−y 2

b

2=1（a 〉0，b 〉0）的离心率为√2,则点

(4,0）到C 的渐近线的距离为( ) A 。√2 B .2

C 。3√2

2

D 。2√2

双曲线C 的离心率为√2，∴e=c a =√2，

即c=√2a ,a=b.∴其渐近线方程为y=±x ,则(4，0)到c 的渐近线距离

d=|4|

√2

=2√2。

4.(2018全国Ⅱ·6)双曲线x 2a 2−y

2

b

2=1（a>0，b 〉0)的离心率为√3，则其渐近线方程

为( ） A 。y=±√2x

B 。y=±√3x

C 。y=±√22

x D 。y=±√3

2

x

e=c

a

=

√3,∴c 2

a 2

=

b 2

+a 2a 2

=

(b a )2

+1=3。

∴b a

=±√2. ∵双曲线交点在x 轴上,∴渐近线方程为y=±b a

x ，∴渐近线方程为y=±√2x. 5。(2017全国Ⅰ·12）设A ，B 是椭圆C :x 2

3+y 2

m =1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是（ ）

A .(0,1]∪[9，+∞)

B 。(0，√3］∪[9,+∞）

C 。（0,1]∪［4,+∞）

D .(0，√3］∪［4,+∞)

M 为短轴的端点时，∠AMB 最大.当0

≥tan 60°=√3，即√3m

≥√3，解得0〈m ≤1；当m>3时,椭圆C 的焦点在y 轴上,要使椭圆C 上存在点M

满足∠AMB=120°,则a b ≥tan 60°=√3，即√m √3

≥√3，解得m ≥9，综上m 的取值范围为（0,1］∪[9,+∞）,故选A .

6。（2017全国Ⅱ·12)过抛物线C ：y 2

=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点

M (M 在x 轴的上方），l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l ,则M 到直线NF 的距离为

( ） A .√5 B 。2√2

C .2√3

D 。3√3

F （1，0）,准线l 的方程为x=-1,可得直线

MF :y=√3（x —1），与抛物线y 2=4x 联立，消去y 得3x 2-10x+3=0,解得x 1=13

，x 2=3。

因为M 在x 轴的上方，所以M (3,2√3). 因为MN ⊥l ，且N 在l 上,所以N (-1,2√3).

因为F （1，0）,所以直线NF ：y=—√3(x-1）.所以M 到直线NF 的距离为

|√3×(3-1)+2√3|

√(-√3)+1=2√3。

7。（2019全国Ⅲ·15）设F 1，F 2为椭圆

C :x 236+y 220=1

的两个焦点，M 为C 上一点且

在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为 .

，√15)

a 2

=36，b 2

=20,

∴c2=a2-b2=16，

∴c=4。

由题意得，|MF1|=｜F1F2｜=2c=8.

∵｜MF

1|+|MF

2

|=2a=12,

∴|MF

2

｜=4。

设点M的坐标为(x0,y0)（x0〉0,y0>0),

则S△MF

1F2

=1×|F1F2｜×y0=4y0。

又S△MF

1F2=1

2

×4×√82-22=4√15,

∴4y

=4√15，解得y0=√15。

又点M在椭圆C上,∴x02

36+(√15)

2

20

=1，

解得x0=3或x0=—3（舍去）。

∴点M的坐标为（3，√15).

典题演练提能·刷高分

1。(2019安徽滁州一中高三模拟)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点.点A在抛物线上,若点P是抛物线准线上的动点,O为坐标原点，且｜AF|=5，则|PA|+|PO｜的最小值为（）

A。√5 B.√13 C.2√5 D.2√13

AF｜=5，∴点A到准线的距离为5，由抛物线焦半径公式可知:点A的横坐标为4.又点A在抛物线上，∴点A的坐标为（4，±4）。∵坐标原点关于准线对称点的坐标为B(—2，0),

∴｜PA｜+｜PO｜=｜PA｜+|PB|≥｜AB|=√(-2-4)2+(0±4)2=2√13.故选D.

2。（2019江西新八校高三第二次联考）已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是B，A点坐标为(3，4).则｜PA｜+|PB｜的最小值是(）

A.5

B.4

C。2√5D。2√5-1

x=—1,焦点F(1,0），由抛物线定义可得|PA｜+｜PB|=|PA｜+|PF|-1≥｜AF｜—1=√22+42-1=2√5-1.故选D.

3。已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=3

4

x，焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准方程为（)

A.x2

16−y2

9

=1 B。x2

9

−y2

16

=1

C。x2

64−y2

36

=1 D.x2

36

−y2

64

=1

双曲线的一条渐近线方程是y=3

4

x,

∴b

a =3

4

.∵

√3+4

=6,∴c=10。

∵c2=a2+b2,∴a2=64,b2=36，

∴双曲线方程为x2

64−y2

36

=1。

4。（2019四川宜宾高三第三次诊断性考试)已知双曲线x2

a2−y2

3

=1的左、右焦点分别

为F1,F2，以它的一个焦点为圆心，半径为a的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A,B两点,则四边形F1AF2B的面积为（)

A.3 B。4 C。5 D.6

解析因为双曲线x2

a2−y2

3

=1的左、右焦点分别为F

1

(—c,0）,F2(c，0）,双曲线的渐

近线方程为y=±√3

a

x，即其中一条渐近线方程为√3x—ay=0.以它的一个焦点为圆心，半径为a的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A，B两点,根据焦点到渐近

线的距离及双曲线中a、b、c的关系，可得{

|√3c|

√a2+3

=a,

c2=a2+3,

所以解得{a=√3,

c=√6,

进而可求得

切点A√6

2,√6

2

.则四边形F

1

AF

2

B的面积为S F

1AF2B

=2S F

1AF2

=2×1

2

×2√6×√6

2

=6.故选D。

5.

如图F1，F2是椭圆C1：x2

4+y2=1与双曲线C

2

的公共焦点，A,B分别是C1，C2在第二、

四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的虚轴长为。

C

2

的半实轴长为a,半虚轴长为b，

则｜AF2｜-｜AF1｜=2a，|AF2｜+|AF1｜=2×2=4,

∵｜AF

2|2+｜AF

1

|2=｜F

1

F

2

|2=（2√4-1）2=12，∴42+(2a)2

2

=12,∴a2=2,b2=c2-a2=3-

2=1。

∴2b=2,即C

2

的虚轴长为2.

命题角度3求椭圆、双曲线的离心率

高考真题体验·对方向

1。（2019全国Ⅰ·10）双曲线C:x2

a2−y2

b2

=1（a>0,b〉0）的一条渐近线的倾斜角为

130°，则C的离心率为(）A。2sin 40°B。2cos 40°

C.1

sin50°D。1

cos50°

—b

a

=tan 130°=—tan 50°，

则e=c

a =√1+(b

a

)

2

=√1+tan250°

=√1+sin250°

cos250°=√sin250°+cos250°

cos250°

=1

cos50°

。

故选D。

2.（2019天津·6）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2

a2

−

y2

b2

=1(a>0，b〉0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB｜=4｜OF|(O为原点），则双曲线的离心率为()

A。√2B。√3C。2 D.√5

l的方程为x=-1.

由{y =b

a x ,x =-1,得y 1=—

b a .由{y =-b

a x ,x =-1,得y 2=

b a 。∴AB=2b

a .

由|AB|=4｜OF ｜得2b a =4,故b a

=2。

c

a

2

=a 2+b 2

a 2

=

5a 2

a 2

. ∴e=√5，故选D 。

3.(2019全国Ⅱ·12）设F 为双曲线C ：x 2

a 2−y

2

b

2=1(a 〉0，b 〉0)的右焦点，O 为坐标

原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2

交于P ,Q 两点.若｜PQ|=|OF ｜，则C 的离心率为( ) A 。√2 B.√3

C 。2

D.√5

图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴。

∵｜PQ ｜=|OF ｜=c ，

∴|PA|=c

2.

∴PA 为以OF 为直径的圆的半径，A 为圆心,∴|OA|=c 2。∴P

c 2,c

2

.

又点P 在圆x 2

+y 2

=a 2

上，∴c 2

4+c 2

4=a 2

,即c 2

2=a 2

,∴e 2

=c

2

a 2=2,∴e=√2，故选A .

4。(2018全国Ⅰ·4)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2

4=1的一个焦点为(2,0）,则C 的离心率为

（ )

A .1

3 B .1

2

C .√2

2

D .

2√2

3

C 的一个焦点为（2，0),所以其焦点在x 轴上，c=2，所以a 2

-4=c 2

,所以a 2

=8，a=2√2，所以椭圆C 的离心率e=c a =

√2

2

.

5。(2018全国Ⅱ·11)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点，若PF 1⊥

PF 2,且∠PF 2F 1=60°，则C 的离心率为（ )

A.1-√3

2

B.2-√3

C 。√3-12

D.√3-1

不妨设椭圆方程为x 2

a 2

+

y 2b

2

=1（a>b 〉0),F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点,则

|PF 1|+|PF 2|=2a.

∵∠F 2PF 1=90°，∠PF 2F 1=60°， ∴√3c+c=2a ,即(√3+1)c=2a.

∴e=c =3+1=√3(3-1)(3+1)

=√3—1。

6。(2017全国Ⅱ·5)若a 〉1，则双曲线x

2

a 2—y 2

=1的离心率的取值范围是( )

A .（√2，+∞）

B 。（√2，2）

C .（1,√2)

D 。(1，2）

e 2

=c 22

=

a 2+12=1+1

2

。因为a 〉1,所以1〈1+1

2<2.所以1

C .

典题演练提能·刷高分

1.（2019四川棠湖中学高三适应性考试)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上,一条渐近线方程为3x+4y=0，则该双曲线的离心率是( ） A 。5 B 。5

C.43或5

3

D 。53或5

4

x+4y=0⇒y=-34

x ,当焦点位于x

轴时,b

a

=

34

⇒

b 2

a 2

=9

16,而c

2

=a 2+b 2，所以c 2-a

2

a 2=

916⇒e=c

a

=

5

4

;当焦点位于y

轴时,b

a

=43

⇒

b 2

a 2

=16

9，c

2

=a 2+b 2⇒c 2

-a 2

a 2=169⇒e=c a =5

3。故选

D 。 2。

如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为( ） A 。12

B.√3

3

C 。√2

2

D.√32

,椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个直角三角形,且长轴与直径的夹角为30°.b=r ,a=r

sin30°=2r ，

∴c=√4r 2-r 2=√3r ,e=c a =√3

2

。故选D 。

3。(2019广东揭阳高考二模）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2

b

2=1(a 〉b>0)的左、右焦

点，P 为直线x=2a 上一点，△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形，且直线PF 1的斜率为13,则椭圆E 的离心率为（ ) A.10

13 B.5

8

C 。3

5

D.2

3

解析 由题意,因为△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形,∴｜PF 2|=|F 2F 1|。因为P 为直线x=2a 上一点，直线PF 1的斜率为13

,△PDF 2是直角三角形，所以2a+c

3

2

+(2a —

c )2=4c 2，可得13e 2+16e —20=0，解得e=c a =10

13或e=—2（舍去)。故选A .

4.(2019黑龙江大庆实验中学高三下学期二模）在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2

a 2+x 2

b 2=1（a>b 〉0）的下顶点，M ,N 在椭圆上,若四边形OPMN 为平行四边

形,α为直线ON 的倾斜角,若α∈

π6,π

4

,则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）

A 。0，√6

3 B 。0，√3

2 C 。

√63,√3

2

D 。

√63

,2√2

3

解析 ∵OP 在y 轴上，且平行四边形中,MN OP ，∴M 、N 两点的横坐标相等,纵坐

标互为相反数,即M ，N 两点关于x 轴对称,而MN=OP=a ，可设M x ,—a 2,N x ，a

2

，代入椭圆方程得｜x|=√32b ,得N

√3

2b ,a

2

。因为α为直线ON 的倾斜角,tan α=

a

2√32b

=

√3b

，因为α∈

π6,π4

,∴√33

3<√3b ≤1.∴1

3≤

b

2

a 2

〈1。而e=c a

=√1-b 2

a 2。∴0

。故选

A . 5.设椭圆

C :x 2a 2

+

y 2b

2

=1（a>b 〉0）的左、右焦点分别为F 1,F 2，其焦距为2c ，点Q c ，

3c 2

在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点,且｜PF 1｜+|PQ|〈4|F 1F 2｜恒成立,则椭

圆离心率的取值范围是 . 答案

413,12

解析 ∵点Q

c ,3c

2在椭圆的内部,∴b

2

a

>3c

2。∴2b

2

〉3ac ，即2c 2+3ac-2a 2〈0,∴

2e 2

+3e —2<0。

解得0

。|PF 1|+|PQ ｜=2a-｜PF 2｜+｜PQ|, ∵|PQ ｜-｜PF 2｜≤|QF 2｜，且|QF 2|=3c 2

，要使｜PF 1|+|PQ|〈4｜F 1F 2|恒成立，即2a-｜PF 2｜+｜PQ ｜≤2a+3c

2〈4×2c ,2a<

13c 2，∴e 〉4

13

。 则椭圆离心率的取值范围是413,1

2

。