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正方形和梯形(上)

EFGH的形状，并证明你的结论；AB、BC、CD、DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，

上的点

连接EG，FH交点为O。

1则图

1cm，则图3中阴影部分的面积为___cm2。连结EG，则MA与EG的位置关系如何？

得O

1M与O2M在数量以及位置方面的关系如何？求证且

求证：BO

2

⊥O

1

O3，且BO2＝O1O3。

形试证明

形，试证明O

3

A⊥O1O2

矩形菱形正方形练习题及答案

1.矩形ABCD对角线是10cm，那么矩形的周长最大是_______，此时两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是 2.如图矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE=30°，BE=1cm，那么DE的长为_ 3、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为___ 4.如图，△ABC中，∠ACB=90度，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC 延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形； 5.已知:如图，在△ABC中，∠BAC≠90°∠ABC=2∠C，AD⊥AC，交BC或CB的延长线D。试说明:DC=2AB. 6、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。求证：DE=DF 7、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______． 8．若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为__。 9、菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是。 10、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。 11、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形； 12、如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD 上的动点，满足AE+CF=a。证明：不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形。 13、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。

培优专题7-菱形、矩形、正方形和梯形(含答案)

培优专题和梯形 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容． 例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？ 分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可． 解：∵FH`∥GE，FG∥EH， ∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知： △GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形． ∴EF、GH互相垂直平分． 练习1 1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，?∠BAE=18°，则∠CEF=________． (1) (2) (3) 2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________． 3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则∠EAB=________．

例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图， 若折痕EF 长为6，求另一边长． 分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若EF=6，求AB的长的问题． 解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y． 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2． 得y= 2 25 10 x - ，AE=5-y= 2 25 10 x + ． 又在Rt△AOE中，AO=1 2 AC= 2 25 2 x + ，EO= 1 2 EF= 6 2 ． 代入AE2=AO2+OE2得， （ 2 25 10 x + ）2=（ 2 25 2 x + ）2+（ 6 2 ）2． 即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去） ∴x=5． 练习2 1．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，?设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________． (4) (5) 2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF?交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．

组合图形长方形正方形梯形平行四边形图题

. 练习一长方形你、正方形、梯形、平行四边形图题 。你能想出几种方法。m）1、求下面图形的面积（单位：10 15 30 40 ）、求下面图形的面积。（单位：cm2 4

4 3 10 2 8 10 20 6 15 12 20 32 3、计算下面图形中阴影部分的面积。 30dm 12dm 5m 3m 25dm 5m ;. . 4、图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

5、计算下图的面积。（单位：厘米） 6、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。 7、下图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：分米） 8、下图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条

长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？（单位：米） ;. . 长方形你、正方形、梯形、平行四边形图题练习二 1、求图中阴影部分的面积。 2、求图中阴影部分的面积。 3、下图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。

厘米，已知阴8的直角边BCEEC长长、平等四边形4ABCD的边BC10厘米，直角三角形的长。CFEFG角形的面积大10平方厘米，求影部分的面积比三 ;. . 5、图中三角形的高为4，面积为16；长方形的宽为6，长方形的面积是三角形面积的多少倍？ 6、如图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 7、如图，BC长为5，求画斜线的两个三角形的面积之和。 8、下图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴影部

培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案

培优专题7 菱形、矩形、正方形和梯形 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容． 例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？ 分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可． 解：∵FH`∥GE，FG∥EH， ∴四边形FGEH为平行四边形，由 题意知：

△GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形． ∴EF、GH互相垂直平分． 练习1 1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，?∠BAE=18°，则∠CEF=________． (1) (2) (3) 2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________． 3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则∠EAB=________．

例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图，若折痕EF 长为 6，求另一边长． 分析 关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD 中，已知AD=5，过对角线AC 的中点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD 于F ，BC 于E ，若EF=6 ， 求AB 的长的问题． 解：设AB=x ，BE=y ，连结AE ．则AE=CE=5-y ． 在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即x 2+y 2=（5-y ）2． 得 y= 2 2510 x -，AE=5-y= 2 2510 x +． 又在Rt △AOE 中，AO=1 2 AC= 225x +，EO=12 EF= 6． 代入AE 2=AO 2+OE 2得， （ 2 2510 x +）2 =（ 225x +）2+（ 6 ）2． 即x 4+25x 2-150=0．解之得，x 2=5，x 2=-30（舍去） ∴x= 5． 练习2

矩形菱形正方形练习题.docx

矩形 A 组题 1 、⑴矩形ABCD中， AC与BD相交于点O，如果AC=8㎝，那么BD=________ ， OB=________ ； ⑵有三个角是直角的四边形是________________ ；对角线___________的平行四边形是矩 形； 2 、如图，平行四边形ABCD 中，∠ BAD=90 °，对角线AC 、BD 相交于点O，则∠ ___= ∠_______=∠ _______=_________=90 ° ,△ ABC 与三角形 __________ 重叠（只需写出一个）。 所以AC=___________ ，既矩形的四角都是_________ ，矩形的对角线____________ 。 A D O B C 3 、已知：平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O，且 AC=BD ，则四边形 ABCD 是__________,理由是 ________________________ ；OA=OB=OC ，由此可以得出直角三角形 斜边上的中线等于 ____________________. 4、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） . A 对角线相等B对边相等 C 对角相等 D 对角 线互相平分 5、下面说法中正确的是（）（可能有多个答案） . A有一个角是直角的四边形是矩形. B 两条对角线相等的四边形是矩形. C两条对角线互相垂直的四边形是矩形.D四个角都是直角的四边形是矩形. E 对角线互相平分且相等 F 对角线垂直且相等 6、已知平行四边形 ABCD 中对角线 AC ，BD 相交于 o，△ AOB 是等边三角形，求∠ BAD 的度 数。 解：∵△ AOB是等边三角形（∵四边形ABCD 是平行四边形（∴AC=_____ （ ∴平行四边形ABCD 是矩形（∴∠ BAD ＝ 90°（ ），∴ OA=_____=_____ （ ），∴ AC=2OA,BD=2BO ）， （ ） ） ） ） 7、下列各判定矩形的说法是否正确？为什么？ （ 1）对角线相等的四边形是矩形 （ 2）对角线互相平分且相等的四边形是矩 形（ 3）有一个角是直角的四边形是矩形 （ 4）有四个角是直角的四边形是矩 形（ 5）四个角都相等的四边是矩形 （ 6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形 （ 7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形（ 8）对角线相等且互垂直的四边形的矩形 8、某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案。要求设计的图案由圆和正方形组成(圆

矩形菱形与正方形测试题及答案

第19章 矩形、菱形与正方形测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（ ）。 （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2、若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必定是（ ） A 、菱形 B 、对角线相互垂直的四边形 C 、正方形 D 、对角线相等的四边形 3、如图1，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ） A.S 1 > S 2 B.S 1 = S 2 C.S 1

组合图形(长方形,正方形,梯形,平行四边形)图题

长方形你、正方形、梯形、平行四边形图题 练习一 1、求下面图形的面积（单位：m ）。你能想出几种方法。 10 2、求下面图形的面积。（单位：cm ） 15 3、计算下面图形中阴影部分的面积。 30dm 12dm 5m 15 30 40 20 10 6 4 3 4 8 2 10 32 20 12

25dm 5m 4、图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 5、计算下图的面积。（单位：厘米） 6、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。 3m

7、下图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：分米） 8、下图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是 长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？（单位：米） 长方形你、正方形、梯形、平行四边形图题练习二 1、求图中阴影部分的面积。 2、求图中阴影部分的面积。

3、下图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。 4、平等四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。 5、图中三角形的高为4，面积为16；长方形的宽为6，长方形的面积是三角形面积的多少倍？

6、如图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 7、如图，BC长为5，求画斜线的两个三角形的面积之和。 8、下图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴影部分的面积。 9、下图是一块长方形草地，长方形长为16，宽为12，中间有一条宽为2的道路，求草地（阴影部分）的面积。

矩形、菱形与正方形-专题训练

矩形、菱形与正方形专题训练(含答案) 班级________姓名________成绩________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°， 则矩形ABCD的面积是( ) A．12 B．24 C．12 3 D．163 第1题图第2题图第3题图第4题图 2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE， 则四边形ADCF一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．如图，?ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 第6题图第9题图第10题图 7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( ) A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1 8．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等 腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( ) A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋ S2的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．19 10．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积 为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )

(培优)经典讲义菱形、矩形、正方形)

菱形的性质及判定 【知识梳理】 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等． ③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 【例题精讲】 板块一、菱形的性质 【例1】⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E． 求证：DE=BE． 【例3】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长． 【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F． （1）求证：BE=BF； （2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

【例4】如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E 连接BE ． （1）证明：∠APD=∠CBE ； （2）若∠DAB=60°，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，为什么？ 【例5】如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点D 出发向点A 运动，同时点Q 从点B 出发向点C 运动，点P 、Q 的速度都是1cm/s ． （1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？ （2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积． 【例6】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=?，?沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积． 图2 D 【例7】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．

第13讲 正方形和梯形(上)

第十三讲 正方形和梯形(上) 正方形： 四个角相等，四条边也相等的四边形叫做正方形． 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； 正方形具有4条对称轴：两条对角线所在的直线和过两组对边中点连线所在的两条直线； 正方形的面积是边长的平方． 判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可采用以下方法： ⑴先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直 ⑴先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等 正方形相关的常见基本图形 【例1】如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA ＝EB ＝FC ＝GD ，连接EG ，FH 交点为O ． 【例1】⑴如图2，连接EF ，FG ，GH ，HE ，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论； 【例1】⑴将正方形ABCD 沿线段EG ，HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，HA ＝EB ＝FC ＝GD ＝1cm ，则图3中阴影部分的面积为________cm 2． 【例2】设正方形ABCD 的边CD 的中点为E ，F 是CE 的中点．求证：⑴DAE ＝1 2 ⑴BAF ． D C H G F B E A 图1 D C H G F B E A 图2 图3 A B C F E D

【例3】如图，以⑴ABC 的边AC 、AB 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结EC 交AB 于点H ．求证：BG ⑴CE ． ⑴在原题中设⑴ABC 的边BC 的中点为M ，连结EG ，则MA 与EG 的位置关系如何？ 【例3】⑴在原题中，再以EA 、AG 为边往外作平行四边形AEHG ，并使AD 、BE 交于点O ，则CO 与OH 的位置如何？ 【例3】⑴如图，以⑴ABC 的边AB 、AC 向三角形外分别作正方形ABDE 和正方形ACFG ，设O 1，O 2是两个正方形对角线的交点，点M 为BC 的中点，则能推得O 1M 与O 2M 在数量以及位置方面的关系如何？ 【例3】⑴如图，以⑴ABC 的三边AB 、BC 、CA 向三角形外侧作三个正方形ABDE 、ACFG 和BHKC ，设O 1，O 2、O 3分别是这三个正方形对角线的交点． 求证：BO 2⑴O 1O 3，且BO 2＝O 1O 3． 【例3】⑴在⑴中，若将⑴ABC 改成⑴A ＝90°的直角三角形，试证明O 3A ⑴O 1O 2 B C F G A E D H B C F G A E D H O M O 1 B A C M F G E D O 2 B H K C F G A O 2 E D O 1 O 3

(完整版)矩形、菱形、正方形经典难题复习巩固(教案)

DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 4讲 矩形、菱形、正方形 一、 导入 老先生与服务生 老先生常到一家商店买报纸，那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子，就连基本的礼貌都没有。做事追求效率固然重要，可是缺乏礼貌一定会流失客人，没有了客人服务速度再快，又有什么用？ 朋友对老先生说，为何不到其他地方去买？ 老先生笑着回答：“为了与他赌气，我必须多绕一圈，浪费时间，徒增麻烦，再说礼貌不好是他的问题，为什么我要因为他而改变自己的心情?” 大道理：不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情，也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。想想美好的一面，心情也会是很快乐的。 二、 知识点回顾 矩形、菱形、正方形 1.性质： （1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线 平分一组对角．③具有平行四边形所有性质． （3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直 平分，每条对角线平分一组对角． 2．判定： （1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的 平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形． （2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等 的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形． （3）正方形：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等 的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 3.面积计算： （1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：121 2 S l l =?（12l l 、是对角线） （3）正方形：S=边长2

矩形、菱形、正方形、梯形

矩形、菱形、正方形、梯形 一、几种特殊的平行四边形 关于矩形，我们要从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性——一个内角是直角的平行四边形。进一 步研究其特有的性质——对角线相等、内角都为直角、是轴对称图形。这里还要特别注意的是平行四边形的 特征，矩形也都具有。当然，识别矩形的方法也要从其特殊平行四边形的特殊性上去研究。 关于菱形，我们是通过折叠剪纸的趣味活动引入，当然也可以从平行四边形的边的变化上引入。同矩形 一样，同样注重对其特殊性进行研究，其特殊性表现在：四边都相等、对角线互相垂直且平分每一对对角、 是轴对称图形。 正方形是矩形和菱形的混合体，既具有平行四边形的一般性质，又具有矩形和菱形的独特性质。它本是 大家早就熟悉的几何图形，因此在研究前面矩形和菱形的经验的基础上，对正方形特征性质的研究同学们也 不难得出。这里值得注意的是，要重视研究平行四边形、矩形、菱形和正方形各种图形之间的联系，并结合 实际操作加深理解。 对于不同特殊平行四边形的不同特征与识别方式的区分与理解是本节的难点。 对于特征的理解都要通过边、角、对角线三方面进行分析：

菱形对边平行四 条边相等对角相等对角线互相垂直平分,每条对角 线平分一组对角 正方形对边平行四 条边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等,每 条对角线平分一组对角 以上内容都能够通过图形自己观察出来，只要在研究时注重研究和记忆，就不至于混淆。 菱形的面积公式：S= (其中ab是菱形的两条对角线的长) （对角线将菱形分成的四个直角三角形，它们的面积和等于菱形的面积，由此很容易推出上面的公 式。） 二、梯形 梯形也是大家早已熟悉的几何图形，所以教材直接介绍梯形、等腰梯形、直角梯形的定义，这里要特别 注意“只有”两个字的重要性，也就是说“一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形是梯形”。大家要 认识等腰梯形的轴对称性，并由此推理得到等腰梯形的特征：“等腰梯形同一底上的两个内角相等”及“等 腰梯形的对角线相等”通过将等腰梯形分割成平行四边形和等腰三角形来推理证明∠B=∠C的方法，应引起 足够的重视，因为这是解决有关梯形问题的常用方法。通过特殊的三角形和平行四边形可以将梯形的边和角 进行转移，从而达到解决问题的目的。 把一个梯形分成一个平行四边形和一个三角形来解决问题是本节的重点也是难点。这里应充分认识梯形 中腰的平行线的转换功能。 三、例题分析 例1、如图，直线l1 、l2时两条平行的江岸，现在要在l1上的点A和点B分

正方形 梯形经典例题

第 1 页 共 4 页 A B C D E F D C B A E G F 正方形 梯形常见经典例题 例题讲解： 1.已知：如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 的 交点，AF 、BE 交于点G ，连结CG ，求证：ΔCGB 是等腰三角形。 2.如图正方形ABCD 中，E 为AD 边上的中点，过A 作AF ⊥BE ，交CD 边于F ，M 是AD 边上一点，且有BM ＝DM ＋CD ． ⑴求证：点F 是CD 边的中点； ⑵求证：∠MBC ＝2∠ABE ． 3．如图，已知正方形ABCD ，M 是AB 边上一点，连DM ，作MN ⊥DM 交∠CBE 的平分线于N. （1）求证：MN = MD ； （2）连DN 交BC 于F ，求证：MN 平分∠FME ； 4.如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AD ∥BC ，AB=BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD 。 （1） 求证：BE=AD ；求证：AC 是线段ED 的垂直平分线； （2） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。 5.梯形ABCD 中，AD //BC ，M 、N 分别是底AD 和BC 的中点， ∠B +∠C ＝90°，BC ＝18，AD ＝6，求EF 的长进而探究一般规律， 若BC ＝x ，AD ＝y ，那么 EF 为多少？ 6梯形上下底长分别为1和4，两条对角线长分别为3和4，则此梯形面积为 ． 7如图，梯形 ABCD 中，AD //BC ，E 是CD 的中点，EF ⊥AB 于点F ，AB ＝6cm ，EF ＝5cm ，试求梯形 ABCD 的面积. M F E C D B A B C D M N A E A D C B

矩形、正方形和菱形的判定方法

P F E B A C D Q 一、考点分析： 矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。 二、教学目标： 1． 掌握矩形、正方形和菱形的判定方法 三、教学内容 正方形巩固练习 例题1 如图,正方形ABCD 的边长为12,点E 是BC 上的一点,BE=5,点F 是BD 上一动点.（1）AF 与FC 相等吗?试说明理由.（2）设折线EFC 的长为y ，试求y 的最小值,并说明点F 此时的位置. 【解】（1）AF 与FC 相等,其理由如下： 可证：△ABF ≌△CBF ，∴AF=CF （2）连接AE,则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,最小值为2212513+=. 例题2 如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F 小红同学发现：PD ⊥EF ，且PD=EF ，且矩形PEBF 的周长不变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法． 【解】小红的发现是正确，其理由如下： 连接BP,延长DP 交EF 于Q. （1）∵四边形ABCD 是正方形 ∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45° ∴△BCP ≌△DCP ，∴PD=PB 又∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ， ∴∠BEP=∠BFP=∠EBF=90°，∴四边形BEPF 是矩形 A B C D 第28题图 F E

∴PB=EF,∴PD=EF （2）∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，∴△AEP 和△CFP 均为等腰直角三角形 ∴AE=PE,CF=PF ∴矩形PEBF 的周长=AB+BC=2AB （为定值） （3）∵PF ∥CD ，∴∠FPQ=∠PDC ∵△BCP ≌△DCP ，∴∠PDC=∠PBF ∵四边形PEBF 是矩形,∴∠PBF=∠PEF ∴∠PEF=∠FPQ 又∵∠PEF+∠PFE=90°，∴∠FPQ+∠PFE=90° ∴∠PQF=90°，∴PD ⊥EF. 【另证】延长EP 交CD 于点R,则CFPR 为正方形 ∴可证△PEF ≌△RDF ∴∠PEF=∠PDR 又∵∠DPR=∠EPQ 而∠PDR+∠DPR=90°，∴∠PEF+∠EPQ=90° ∴∠EQP=90°，∴PD ⊥EF. 课堂练习1 如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE = （1）如图2，延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由； （2）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 梯形 图1 A D C B E 图2 B C E D A F P F

矩形菱形正方形练习题综合测

矩形菱形正方形练习题 一、选择题 1、下列说法不正确的是（） （A）一组邻边相等的矩形是正方形（B）对角线相等的菱形是正方形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形（D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 2、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则 BD：AC等于（）． （A） 2 （B）1（C）1：2 （D 1 3、矩形的边长为10 cm和15 cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（） （A）6 cm和9 cm （B）5 cm和10 cm （C）4 cm和11 cm （D）7 cm和8 cm 4、如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）（A）DE=AE （B）BD=CE （C） ∠EAC（D）E = 90 ∠2 = ABC∠ 5、菱形周长为20 cm，它的一条对角线长6 cm，则菱形的面积为（） （A）6 （B）12 （C）18 （D）24 6、矩形长是8cm，宽是6cm，和它面积相等的正方形的对角线的长是（） （A）4 cm （B）43 cm （C）8 cm (D)82 cm 7、如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（） A、AD=CF B、BF=CF C、AF=CD D、DE=EF 二、填空题 9、如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________． 10、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是． 11、如图所示，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，作AM的垂线GH交于G，交CD于H，若AM ＝10cm，则GH＝________。 12、正方形的边长a，则顺次连结四边中点 所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为________。 13、已知：如图，菱形ABCD中， AC=16cm,BD=12cm,菱形的高为________.

(完整版)菱形,矩形,正方形教案

2015年凹凸个性教育初二数学教案 菱形、矩形、正方形 教师姓名年级学员姓名课次：总课次，第次授课时间年月日（星期）时分至时分课题菱形、矩形、正方形 教学目标与重点【教学目标】 知识与技能 1菱形、矩形、正方形的概念及其与平行四边形的关系 2菱形、矩形、正方形的性质 3菱形、矩形、正方形的判定 4菱形、矩形、正方形既是轴对称图形也是中心对称图形 5能运用菱形、矩形、正方形的性质进行有关的证明和计算 【教学重难点】 1矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都满足平行四边形的一切性质2牢记矩形、菱形、正方形的性质和判定 3能灵活运用矩形、菱形、正方形的性质和判定进行证明和计算 【教学准备】 直角三角板 【教学工具】 板书加习题 课前检查 作业完成情况：优良中差 建议： 教学步骤 一，知识点回顾 1、矩形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质： （1）矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分。

（2）矩形的对角线相等。 （3）矩形既是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称线；也是中心对称图形，对角线的交点是矩形的对称中心 矩形的判定： （1）三个角是直角的四边形是矩形 （2）对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的面积计算公式：面积=长?宽； 周长计算公式：周长=2?（长+宽） 2菱形 一组临边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质： （1）菱形的四条边都相等，对角线相等，对角线互相平分。 （2）菱形的对角线互相垂直。 （3）菱形既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；又是轴对称图形，两条对角线都是它的对称轴。 菱形的判定： （1）四条边都相等的四边形是菱形 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形的面积计算公式：面积=对角线）对角线??(2 1； 菱形周长计算公式：周长=边长?4 3正方形 有一组临边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形的性质： （1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角 (2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分

菱形矩形正方形梯形及中心对称图形(原创)

初二数学同步班讲义（56期） 第十一讲菱形矩形正方形梯形 一、主要知识点回顾： 1、菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质： 1、菱形具有平行四边形的所有性质（即对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分）。 2、菱形的四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直且平分每组对角。 说明：菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的两条对称轴。 菱形的判别： 1、四条边都相等的四边形是菱形； 2、有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 3、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 菱形的面积公式：如果菱形的两条对角线长分别为a、b，则菱形的面积S=a b。 2、矩形：有一内角是直角的平行四边形叫做矩形。（也叫长方形） 矩形的性质： 1、矩形具有平行四边形的所有性质（即对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分）。 2、矩形的四个角都是直角。 3、矩形的对角线相等。 说明：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在直线是它的两条对称轴。（2）由矩形性质可得直角三角形的一个重要性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 矩形的判别： 1、三个角是直角的四边形是矩形； 2、一个角是直角的平行四边形是矩形； 3、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分。 说明： 1）正方形既可以看做特殊的菱形，也可以看做特殊的矩形，所以它具有菱形的所有性质（当然也具有平行四边形的所有性质）。 2）根据正方形四个角都是直角且对角线平分对角可知，正方形对角线与边的夹角为450。 3）正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线和对边中点连线所在直线是它的四条对称轴。 正方形的判定： 1、有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形； 2、有一组邻边相等的矩形是正方形； 3、有一个角是直角的菱形是正方形； 4、对角线相等的菱形是正方形。 4、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做

矩形、菱形、正方形单元试题(有答案)

华师大版八年级下册第１９章矩形菱形正方形单元复习题 一、选择题（４分×１２＝４８分） １、下列图形中，是中心对称但不一定是轴对称图形的是（Ｄ） A．等边三角形B．矩形C．菱形D．平行四边形 ２、下列命题正确的是（Ｄ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是正方形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 ３、矩形，菱形，正方形都具有的性质是（Ｃ） A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 ４、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（Ｄ） A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形 ５、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（Ｂ） A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm ６、菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（Ｃ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1

７、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8， AB=4，则DE的长为（Ｃ） A．3 B．4 C．5 D．6 ８、平行四边形ABCD中，AB≠BC，其四个内角的角平分线所围成的四边形一定是（Ｄ）A．有一个角为30°的平行四边形 B．有一个角为45°的平行四边形 C．有一个角为60°的平行四边形 D．矩形 ９、（2015辽宁省朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时， 则点B′到BC的距离为（Ａ） A．1或2 B． 2或3C． 3或4D． 4或5 １０、如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（Ｃ） A．28°B．52°C．62°D．72°

正方形与梯形同步练习

6.3-6.4 正方形与梯形 一、精心选一选（每小题3分，共30分） 1．已知正方形的边长为4cm ，则其对角线长是……………………………………………（ ） A ．8cm B ．16cm C ．32cm D ．42cm 2．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形，其中一定能拼成的图形是…………………………………（ ） A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①②⑤ D ．②⑤⑥ 3．下列命题中，错误的是……………………………………………………………………（ ） A ．有一个角是直角的菱形是正方形 B ．三个角相等的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相平分且相等 D ．菱形的对角线互相垂直平分 4．对角线互相垂直且相等的四边形一定是………………………………………（ ） A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．以上均不对 5．在等腰梯形中，下列说法：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④同一底上的两底角相等，其中正确的有……………………………………………………（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．连接等腰梯形各边中点所得四边形是……………………………………………… （ ） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 7．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是……………………………………………（ ） A ．梯形 B ．等腰梯形 C ．平行四边形 D ．等腰梯形或平行四边形 8．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是…（ ） 9．如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，将梯形对折，使点D 、C 分别 落在AB 上的点D '、，折痕为EF ，若CD =3cm ，EF =4cm ，则 D A '+C B '为…………………………………………………（ ） A ．2m B ．3m C ．4m D ．5m 10．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的 中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是…（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm A ． B ． C ． D ． N

八年级矩形菱形正方形知识点及

平行四边形的性质： 1、对边相等且平行 2、对角相等 3、对角线互相平分 平行四边形的判定： 1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、两组对角相等的四边形是平行四边形 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 5、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 矩形的性质： 1、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. 2、矩形的四个内角都是直角. 3、矩形的对角线相等且互相平分. 矩形的识别方法： 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2、对角线相等的平行四边形是矩形. 3、有三个角是直角的四边形是矩形. 菱形的概念：四条边都相等的四边形是菱形. 菱形的特征: 1、菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有特征. 2、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形. 3、菱形的四条边都相等. 4、菱形的两条对角线互相垂直平分，并且分别平分每一组对角. 菱形的识别: 1、四条边都相等的四边形是菱形. 2、有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 正方形的性质： 1、对边平行，４边相等. 2、４个角都是直角. 3、对角线相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角. 4、既是中心对称图形，又是轴对称图形． 正方形的识别： 1、有一组邻边相等的矩形是正方形. 矩形菱形正方形同步测试

一、填空 1. 菱形的两个邻角之比为2：3，周长为4a ，则较短的对角线的长为___________. 2. 正方形ABCD 中，对角线BD 的长为20cm ，点P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距 离之和是_______________-. 3. 如图，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，E 为垂足，∠DCE:∠ECB=3：1，那么∠AEC=_________. 4.矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则对角线的长为_______. 5.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别在AB 、CD 上，BF ∥DE ，若AD=12cm,AB=7cm ，AE:EB=5:2,则阴影部分的面积为________cm 2 . 6.如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边作菱形AECF ，则∠FAB=____________. 7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，AE 交BC 于E ，则∠BOE 的度数是_______________. 8.已知如图菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为_____ 9.已知菱形ABCD 的边长为6，∠A=60°，如果点P 是菱形内一点，且PB=PD=32,那么AP 的长为_______. 10.在四边形ABCD 中，给出四个条件：（1）AB=CD(2)AD ∥BC （3）AC ⊥BD(4)AC 平分 ∠BAD ，由其中三个条件可以推出四边形ABCD 为菱形你认为这三个条件是___________. 二、选择 11.在矩形ABCD 中AD 与BD 相交于点O ，作AP ⊥BD ，垂足为P,若PD=3PB,则∠AOB 的度数是 C B E O 第3题图 D C A B F 第5题图 C B E F 第6题图 O D C A E 第7题图 F D C A B E 第8题图 F D E C 第12题图

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