中职数学函数的单调性教案
高中数学《函数的单调性》教案
《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与
《函数的单调性与极值》教学案设计
《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1
2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
(完整版)中职数学教案——函数的单调性
3.2 函数的基本性质——单调性 教学目标】 1 、知识目标： （1）理解函数的单调性的概念； （2）会借助于函数图像讨论函数的单调性； （3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。 2、能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、比较、分析、概括的逻辑思 维能力，使学生体验数学的一般思维方法，提高分析问题、解 决问题的能力。 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证 3、德育目标： 的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般， 从感性到理性的认知过程． 教学重点】 函数的单调性定义。 教学难点】 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。 教学方法】 讲授法、讨论法、谈话法、分析法、举例法、演示法 教具准备】 多媒体课件 课时安排】 两课时（90 分钟）
环节时间目的方法 12 分钟直观 认识 函数 的单 调性 分析： ①函数fg x 2的图像始终沿x轴正方向逐渐上 升，即：在（一X, + %）上，y随x的增大而增大。 ②函数f（X）X 2的图像始终沿X轴正方向 逐渐下降，即：在（一X, + X）上, y随X的增大 而减小。 ③函数f（x> X2的图像在y轴左侧逐渐下 降，在y轴右侧逐渐上升， 即：在（一X，0 ［上，y随X的增大而减小。在 ［0, + X）上, y随X的增大而增大。 2 ④函数f （X）的图像在y轴左侧逐渐下 X 降，在y轴右侧也逐渐下降。 即：在（一X, 0）上, y随X的增大而减小。在 （0, + X）上, y随X的增大而减小。 小结： 类似地，函数值随着自变量的增大而增大 （或减小）的性质就是函数的单调性。 课件示图 代表 发言 引导 归纳 演示 法 培养学生 数学语言 的表达能 力 分别出示 图像，逐 一分析 函数图象 的逐渐上 升、下降用 动画演示， 增加直观 性，便于学 生理解。
高中数学必修一教案-函数的单调性
课题：§1.3.1函数的单调性 教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？ ○2能否看出函数的最大、最小值？ ○3函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学
（一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 课题：1.3.1函数的单调性 教学目标 （一）、知识目标 1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念； 2、初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法； （二）、能力目标 1、对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力； 2、对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． （三）、情感目标 1、由知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯； 2、让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，感受数形结合的美． 教学重点：函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性． 教学难点：归纳抽象函数单调性的定义，用定义证明函数的单调性． 教学用具：直尺，彩色粉笔，小黑板 课型：新授课. 课时：第1课时. 教学方法：探究研讨法，讲练结合法。 教学过程： （一）创设情境，引入课题 这是某市2010年元旦这一天24小时的温度变化图，观察这个温度变化图， （1） 什么时候温度最低，什么时候温度最高 （4点最低，14点的时候最高） （2）从0点到14点，温度是怎样变化的，从4点到14点，温度有事随着时间怎样变化的（0点到4点，逐渐下降，4点到14点逐渐上升的） 随着时间的推移，气温先下降，后上升再下降. 这里的上升和下降在数学中就反映出函数的一个基本性质-单调性. （二）讲授新课 函数，我们在初中的时候都已经学过了，也学过函数的增减性，那对于一个函数的“上升”和“下降”的性质，我们是如何知道的呢？通过观察图像 那我们先来看一下几个简单的函数图像，画出 2y x =+，2y x =-+，2y x =函数的图像 大家先观察第一个图像，从左至右上升 第二个图像，从左至右下降 那对于第三个图像呢，(,0)-∞下降，(0,)+∞上升，图像这种上升和下降的性质描述的就是单调性，也就是说函数的单调性描述的是函数图像的上升和下降，那思考一下，如何来描述函数的单调性呢？我们先来看一下2y x =这个图像，我们可以再y 轴右边取一些 通过这个表格，我们可以发现， 自变量x 增大时，函数值y 也相应的增大，那如果我们在y 轴右边不是取的一些整数点，而是任意的取两点，1x ，2x ，同学们思考一下是不是有 22 12 x x <，函数2()f x x =图象在y 轴左侧从左至右“下降”，函数图象在y 轴右侧从左至右 中职数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 3.包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 4．集合12 {,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式 12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 6.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2- =处及区 间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若 []q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{} min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若 []q p a b x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 7.一元二次方程的实根分布 8充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 9.函数的单调性 (1)任取 []2121,,,x x b a x x ≠∈那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果 0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 晖 函数的单调性与最 值 、函数的单调性 1．单调函数的定义 2. 单调区间的定义 如果函数 y＝f(x) 在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A为单调区间． 3 求函数单调区间的两个注意点： (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 4 必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设 x1，x2∈[a ，b] ，那么 f x1 － f x2 ① 1 － 2 >0? f(x) 在[a ，b]上是增函数； x1－x2 x1－x2 <0? f(x) 在[a ，b] 上是减函数． f x1 －f x2 ②(x 1－x 2)[f(x 1) － f(x 2)]>0 ? f(x) 在[a ，b] 上是增函数； (x 1－x 2)[f(x 1) －f(x 2)]<0 ? f(x) 在[a ，b] 上是减函数． 2．复合函数 y ＝f[g(x)] 的单调性规律是“同则增，异则减”，即 y ＝f(u) 与 u ＝g(x) 若具有相同的单调性，则 y ＝f[g(x)] 为增函数，若具有不同的单调性， 则 y ＝ f[g(x)] 必为减函数． 考点一 函数单调性的判断 1．下列四个函数中，在 (0 ，＋∞) 上为增函数的是 ( 解析：当 x>0 时，f (x)＝3－x 为减函数； 32 当 x ∈ 0，2 时，f(x)＝x 2－3x 为减函数， 3 当 x ∈ 2，＋∞ 时，f(x)＝x 2 －3x 为增函数； 1 当 x ∈ (0 ，＋∞ )时， f (x)＝－x ＋1为增函数； 当 x ∈ (0 ，＋∞ )时， f (x)＝－| x| 为减函数．故选 C.答案： C －2x 2．判断函数 g(x) ＝ 在(1 ，＋∞ )上的单调性． x －1 解：法一：定义法 任取 x 1，x 2∈(1 ，＋∞ )，且 x 1 3.2 函数的基本性质——单调性 【教学目标】 1、知识目标： （1）理解函数的单调性的概念； （2）会借助于函数图像讨论函数的单调性； （3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。 2、能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、比较、分析、概括的逻辑思 维能力，使学生体验数学的一般思维方法，提高分析问题、解 决问题的能力。 3、德育目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证 的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般， 从感性到理性的认知过程． 【教学重点】 函数的单调性定义。 【教学难点】 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。 【教学方法】 讲授法、讨论法、谈话法、分析法、举例法、演示法。 【教具准备】 多媒体课件 【课时安排】 两课时（90分钟） 【教学过程】 教学环节教学 时间 教学 目的 教学呈现 教学 方法 说明 复习旧知5 分 钟 检查学 生对函 数奇偶 性的掌 握情况 （出示2 ) (x x f=及 x x f 2 ) (=两函数图像） 1、提出问题： （1）何为奇函数？何为偶函数？ （2）怎样判断一个函数的奇偶性？ 2、回顾归纳： （1）图像：关于y轴对称---偶函数 关于x轴对称---奇函数 （2）表达式：在定义域内 ．．．．． 满足) ( ) (x f x f= ----偶函数 满足) ( ) (x f x f- = ----奇函数 指名 回答 引导 归纳 课件出示 函数图 像，进一 步直观上 帮助学生 理解巩固 概念。 导入新课5 分 钟 创设 情境 引出 课题 1、引言：同学们对函数的奇偶性掌握得很好， 本节课我们继续来研究函数的性质。 2、问题情境： （1）下图为某股票在9∶00～11∶30内的行情 图，请描述此股票的涨幅情况。 从上图可以看到，有些时候该股票的价格 随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也 增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌， 即时间增加股票价格反而减小． （2）其它：气温时段图、水位变化图、心 电图等。 3、归纳： 上述现象都反映出了函数的一个基本性质 ——单调性 自由 发言 举例 法 板书： 3.2函数的 基本性质 课件示图 鼓励学生 积极发 言，培养 学生语言 表达能 力。 课件示图 使学生体 会函数单 调性的实 际意义 板书： --单调性 新授课1、函数的单调性 （1）观察下列函数图像 讨论：各函数图像的变化趋势是怎样的？ 当自变量x在定义域内逐渐增大时，其对应的 函数值y是怎样变化的？ 分组 讨论 培养学生 的观察、 分析、概 括能力。 课题：函数的单调性 授课教师：王青 【教学目标】 1.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用 函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。 2.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法， 培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。 3.情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣。【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【使用教具】多媒体教学 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 1、下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题： (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (3)哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？ 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数1+=x y ，1+-=x y ，2)(x x f =的图象，并且思考 （1） 函数1+=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上) (x f 的值随x 的增大而_______ （2） 函数1+-=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上 )(x f 的值随x 的增大而_______ （3） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而增大 （4） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而减小 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．抽象思维，形成概念 问题：你能用数学符号语言描述第（3）（4）题吗？ 任取2121),,0[,x x x x <+∞∈且,因为0))((21212 221<-+=-x x x x x x ,即2 221x x <，所以()()21x f x f > 任意的x 1，x 2∈（0-，∞），x 1 函数的单调性 教学目标 1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力． 3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育． 教学重点与难点 教学重点：函数单调性的概念． 教学难点：函数单调性的判定． 教学过程设计 一、引入新课 师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？ （用投影幻灯给出两组函数的图象．） 第一组： 第二组： 生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小． 师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在 函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容． （点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．） 二、对概念的分析 （板书课题：函数的单调性） 师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍． （学生朗读．） 师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？ 生：我认为是一致的．定义中的“当时，都有”描述了y随x的 增大而增大；“当时，都有”描述了y随x的增大而减少． 师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“”和“或 ”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！ （通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．） 师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数和的图象，体会这种魅力． （指图说明．） 师：图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有， 因此在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数的单调增区间； 而图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有， 因此在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数的单调减区间．（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应…… （不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．） 生：较大的函数值的函数． 师：那么减函数呢？ 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数． （学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．） §2.2.1 函数的单调性 一、教学目标 1、通过对函数概念的认识，了解函数的单调性、单调区间的概念 2、使学生能用自己的语言来表述函数单调性的概念，并能根据函数的图象指出单调性，写出单调区间 3、运用函数的单调性定义来证明一些简单函数的单调性 二、课型：新课程 三、课时：（略） 四、教学工具与教学方法 使用多媒体辅助教学工具；采用自主学习、合作探究的教学方法。 五、教学重点 函数单调性的概念 六、教学难点 利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性 七、教学过程 （一）知识导入 第2.1.1节开头的第三问题中，气温θ是关于时间t 的函数，记)(t f =θ。观察这个气温变化图（如图所示），问： （1）从图中你能得出什么信息？ （2）说出在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？ （3）怎样用数字语言刻画上述时段内“随时间的增加 气温逐渐升高”这一特征？ 讨论并与观察下例图象： -2 -1 引出：什么是函数的单调性？单调区间？ （二）定义 设)(x f y =的定义域为A ，区间A I ?。 如果对于区间I 内的任意两个值x x 2 1 ,，当x x 2 1 <时，都有 )()( 2 1 x x f f < 那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 c /θh t /o 14 4 9 24 12)^1(--=x y x y 1 y x o 1 2+=x y 若对于区间I 内的任意两个值x x 2 1 ,，当x x 2 1 <时，都有 )()( 2 1 x x f f > 那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 如果)(x f y =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数)(x f y =在区间I 上具有单调性；单调增区间和单调减区间统称为单调区间 （三）例题讲解 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间： （1）22 +-=x y （2）)0(1 ≠= x x y 解：（1）函数图象如图（1）所示，单调曾区间为]0,(-∞，单调减区间为),0[+∞ （2）函数图象如图（2）所示，)0,(-∞和),0(+∞是两个单调区间 注：先让学生练习，然后再讲解 例2：求证：函数11 )(--=x x f 在区间)0,(-∞上是单调曾函数 证：设 x x 2 1 ,为区间)0,(-∞上的任意两个值，且x x 2 1 <，则 0,0212 1 ><-x x x x 因为 )11 ()11 ()()( 2 1 21----- =-x x x x f f x x 2 1 1 1 - = x x x x 2 1 21 -= 2 o x y (1) -1 1 -1 1 x y (2) 1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与 课题：函数的单调性教学目标： 1．知识与技能 （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性概念； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； (3)了解数形结合的思想及严密的逻辑推理，培养学生良好的数学思想和数学方法； （4）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．2．过程与方法能够观察研究函数图象的特点，来研究函数的单调性性质． 3．情感、态度、价值观：培养学生学习数学的兴趣，体会函数图象的变化规律及蕴含本质 教学方法：引导发现法 教学重点：函数的单调性． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学程序与环节设计： 1．创设情境 ：问题引入 2．组织探究：通过几个函数的图象的“上升“和”下降 “的整体认识探究函数的单调性的定义及判断函数单调性的方法步骤 3．尝试练习：利用函数的图象确定函数的单调区间 4．巩固提高：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 5．作业反馈：单调性定义的应用 教学过程： 一、 引入课题 1． 在初中，有没有学过函数的增减性？（学过） 一些函数的增减性是怎样知道的？（观察图象得出） 2 （1）． f(x) = -x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大， f(x)的值随着 ________ ． （2）． f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x) 随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x的增大而 ________ ． （3）．如何把上述的图象所反映的特征用数学符号语言表示出来？{引导学生探讨，归纳} 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 函数的单调性 教学过程设计 一、引入新课 师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？ （用投影幻灯给出两组函数的图象．） 第一组： 第二组： 二、对概念的分析 引入定义 师：图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有，因此在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数的单调增区间；而图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有， 因此在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数的单调减区间．（师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应…… 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数． 生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语． 师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？ 生：不能．因为此时函数值是一个数． 说明单调性是局部性质 三、概念的应用 例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？ 例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数． 师：他的证明思路是清楚的．一开始设，是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并 设（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看 ，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但 美中不足的是他没能说明为什么＜0，没有用到开始的假设“”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以 ，从而＜0，即．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）． 这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以 小． 调函数吗？并用定义证明你的结论． 1.3.1：《函数的单调性》 一、本节内容在教材中的地位与作用： 《函数的单调性》是人教版高中数学必修一第一章第三节第一课时的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中从形和数来判断函数的增减性。函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数最值性和奇偶性，合称为函数的简单性质。函数的单调性为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。 对于函数单调性，学生的认知困难可能存在以下两个方面的问题： （1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的； （2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的． 因此，在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标 1.知识与技能： (1)使学生理解函数单调性和最值的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性和最值。 (2)能够利用函数的单调性及最值进行综合运用。 (3)启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。 2.过程与方法： 函数的单调性教案优秀标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 课题：函数的单调性 授课教师：王青 【教学目标】 1.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用 函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。 2.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方 法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。 3.情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐 趣。 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【使用教具】多媒体教学 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 1、下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题： (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (3)哪些时段温度升高哪些时段温度降低 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数1+=x y ，1+-=x y ，2)(x x f =的图象，并且思考 （1） 函数1+=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上 )(x f 的值随x 的增大而_______ （2） 函数1+-=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上 )(x f 的值随x 的增大而_______ （3） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而增大 （4） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而减小 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．抽象思维，形成概念 问题：你能用数学符号语言描述第（3）（4）题吗 任取2121),,0[,x x x x <+∞∈且,因为0))((21212 221<-+=-x x x x x x ,即 2221x x <，所以()()21x f x f > 任意的x 1，x 2∈（0-，∞），x 1 函数的单调性（教案） 数学科学学院陈曼 一、三维目标 （一）、知识与技能 1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。（二）、过程与方法 1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力； 2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 （三）情感态度与价值观 1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯； 2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，简历学习数学的自信心。 二、教学重点 领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。 三、教学难点 利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。 四、教学过程 （一）创设情景，引入新课 师：同学们，在初中的时候我们已经学过了函数图像的一些基本 画法，而且我们也知道，函数的图像在一定的程度上能够反映一个函数的基本性质。那么现在就让我们通过函数的图像来进一步研究函数的性质。请同学们观察下面两组在相应区间上的函数图像，然后指出这两组图像有什么区别？ （多媒体显示下面两组图像） 第一组： 第二组： （请一位同学回答：从第一组函数的图像可以看到，图像从左到右是上升的；第二组函数图像，从左到右是下降的。 师总结：对，这位同学回答得很好。在第一组图像中，我们可以看到，在给定的区间上图像呈上升趋势；在第二组图像中，在给定区间上呈下降趋势。函数图像的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性。那么如何描述函数的“上升”“下降”呢？ 函数的单调性 一、基础知识梳理: 1.函数的单调性定义： 2.单调区间： 3.一些基本函数的单调性 （1）一次函数b kx y += （2）反比例函数x k y = （3）二次函数c bx ax y ++=2 （4）指数函数x a y =()1,0≠>a a （5）对数函数x y a log =()1,0≠>a a 二、基础能力强化： 1.下列函数中，在），（0∞-内是减函数的是（ ） A.21x y -= B.x x y 22+= C.21x y = D.1-=x x y 2.x x x f -=1)(在（ ） A.），（），（∞+∞-11 上是增函数 B.），（），（∞+∞-11 是减函数 C.），）和（，（∞+∞-11是增函数 D.），）和（，（∞+∞-11是减函数 3.函数3)1(22+--=x a x y 在区间(]1，∞-内递减，在），（∞+1内递增，则a 的值是 （ ） A.1 B.3 C.5 D.-1 4.函数54)(2+-=mx x x f 在区间[)∞+-，2上是增函数，在区间(]2-∞-，上是减函数，则)1(f =（ ） A.-7 B.1 C.17 D.25 5.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间4，（∞-]上是减函数，那么实数a 的取值范围 是（ ） 3-≤a B.3-≥a C.5≤a D.3≥a 6.设函数b x a x f +-= ）（12)(是R 上的增函数，则有（ ） A.21>a B.21≤a C.21->a D .2 1 7.已知函数???≥+-<=) 0(4)3()0()(x a x a x a x f x ，满足对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是（ ） A.??? ??41,0 B.）（,10 C.?? ????141， D.）（3,0 三、课堂互动讲练： 考点一、函数单调性的证明方法： （1）定义法： （2）求导法： （3）定义的两种等价形式： 例1:证明：函数)(x f =x x -+12在定义域上是减函数. 例2：求函数()m x x x x f ++=9-6-23的单调区间. 例3：试讨论函数)(x f =)0(>+a x a x 的单调性. 考点二、复合函数的单调性： 例1：求下列函数的单调区间，并指出其增减性。 （1）)4(log 221x x y -= （2）322 12-+= x x y 练习： 1.函数322)21(-+=x x y 的单调递减区间是 ；函数)23(log 23 1x x y --=的单调递增区间是 2.已知)2(log ax y a -=在[],10上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.()1,0 B.()1,2 C.()2,0 D.[)∞+， 2函数的单调性教案
中职数学公式大全(1)
(完整版)2017高考一轮复习教案-函数的单调性
(完整版)中职数学教案——函数的单调性
函数的单调性教案课程(优秀)
高一数学函数的单调性教案2
高一函数单调性教案
1.3.1函数的单调性与导数教案
新课标必修一函数的单调性的教学设计
高一数学函数的单调性教案[1]
《函数的单调性》公开课教案
函数的单调性教案优秀
函数的单调性(教案)
高三文科数学复习教案：函数的单调性