函数的图像导学案教学导案
函数的图像（第一课时）导学案
主备人：李丽荣执教人：时间：2009-10-17
学习目标：1、了解函数图象的意义；
2、初步掌握画函数图象的方法（列表、描点、连线）；
3、学会通过观察、分析函数图象来获取相关信息；
4、结合实例培养自己数形结合的思想和读图能力．
学习重点难点：初步掌握画函数图象的方法；通过观察、分析函数图象来获取信息.
一、知识回顾
1、在一个变化过程中，我们称数值____________的量为变量；在一个变化过程中，我们
称数值____________的量为常量.
2、长方形相邻两边长分别为x、?y?，面积为10?，?则用含x?的式子表示y?为____________，则这个问题中，____________是常量；________________是变量．
3、一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量
．．．．x与y，并且对于x?的每一个确定的值，
y?都有唯一
．．．．，?那么我们就说x?是_________，y是x的________．如果．．确定的值与其对应
当x=a时y=b，那么b?叫做当自变量的值为a时的___________．
4、已知三角形底边长为8，高为h，三角形的面积为s，则s与h的函数关系式为_______________，其中自变量是___________，自变量的函数是___________。
二、学习新知
（一）函数图象的画法
1、明确函数图象的意义：
阅读课本99页
2、描点法画函数图象：问题一：正方形的面积S与边长x的函数关系为_______________，其中自变量x的取值范围是__________，我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S 与x的关系．想一想：自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否能确定一个点（x，S）呢？
（1）列表：（计算并填写下表）
（2
格中数值对应的各点）
（3）连线：（按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来）想一想：这条曲线包括原点吗？应该怎样表示？
强调：用表示不在曲线上的点；在函数图象上的点要画成的点．
3、归纳总结：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的_________．
说明：通过图象可以数形结合地研究函数。
（二）解读函数图象信息
问题二：如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中能得到哪些信息？
可以认为，__________是________的函数，上图就是这个函数的图象。
问题三：下面的图象反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家。
其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一条直线上。
解：
三、巩固检测：
1．小芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分；再用10分赶到离家1 000米的学校参加考试．下列图象中，能反
映这一过程的是（．
根据图象回答下列问题：
１．菜地离小明家多远？小明从家到菜地
用了多少时间？
２．小明给菜地浇水用了多少时间？
３．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉
米地用了多少时间？
４．小明给玉米地锄草用了多少时间？
５．玉米地离小明家多远？小明从玉米地
回家的平均速度是多少？
y/米
1500
1000
y/米
1500
1000
500
y/米
1500
1000
500
y/米
1500
1000
2．近一个月来漳州市遭受暴雨袭击，九龙江水位上涨．小明以警戒水位为原点，用折线统计图表示某一天江水水位情况．请你结合折线统计图判断下列叙述不正确的是（ ）．
A ．8时水位最高
B ．这一天水位均高于警戒水位
C ．8时到16时水位都在下 降
D ．P 点表示12时水位高于警戒水位0.6米
3．一个装有进出水管的水池，单位时间内进、出水量都是一定的．已知水池的容积为800升，又知单开进水管20分可把空水池注满；若同时打开进、出水管，20分可把满水池的水放完，现已知水池内有水200升，先打开进水管3分钟，再打开出水管，两管同时开放，直至把水池中的水放完，则能确定反映这一过程中水池的水量（升）随时间（分）变化的函数图象是（ ）．
4．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（ ）．
A ．李华先到达终点
B ．弟弟的速度是8米／秒
C ．弟弟先跑了10米
D ．弟弟的速度是10米／秒
3 320 Ｏ Q /升 t /分 A ． 200
8 200 Ｏ 3 11 Q /升
t /分
320
200 Ｏ 3 11 Q /升
t /分 C ． 320 200 Ｏ 11 Q /t /分
3 0
4 8 12 16 20 24 0.2 0.4 0.6 0.8
1.0 水位／米
P
四、小结本节课学习的知识，有哪些收获和困惑？请你写出来
正弦函数的图像教学设计
正弦函数的图像教学设计 同济二附中 钱嵘 一、教材分析 《正弦函数的图象》是高中《数学》第四章第八节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数的图象与性质。过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学习过三角函数线，在此基础上学习过正弦函数、余弦函数的图象与性质，为今后对正切函数的图象、sin()y A x ω?=+函数图象的研究打好基础。因此，本节的学习有着极其重要的地位。 二、教学目标 （1）利用正弦线探究正弦函数的图象； （2）学习使用“五点作图法”画正弦函数、余弦函数的简图； （3）在教师引导下，学生在探究活动中培养观察能力、分析能力、归纳能力、表达能力;培养数形结合和化归转化的数学思想方法； 三、教学重点难点 教学重点：画正弦函数、余弦函数的图象 教学难点： (1)、利用单位圆画正弦函数图象； (2)、利用正弦函数图象和诱导公式画出余弦函数图象。 四、教学方法 1．教学方法 教学形式是为教学内容服务的，不同的教学形式会产生不同的效果.以“开放、多样、互动”为主旨的教学形式必然使教学过程丰富多彩.以学生为中心，在整个教学过程中由教师起组织者，指导者的作用，在教师的引导下,创设情景，通过开放性问题的启发学生思考,在思考中发挥学生的主动性、创造性，最终达到使学生有效的对所学知识自主建构.本节采用建构主义学习环境下的启发式教学模式. 2．学习方法 建构主义认为，学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以其自身己有的知识和经验为基础的主动建构.教学过程的实质是学生主动探索、主动建构的过程.本节课引导学生采用以下两种学习方式： (1)．交流合作的学习方式： 学生与学生之间交流、合作、探究,实践学习任务. (2)．归纳总结的学习方式： 学生由具体的演示过程，分析归纳，并从中抽象出数学方法与结论. 3．教学过程： 1. 课堂教学中，积极运用现代化教学手段，充分地发挥多媒体的形象性，直观性，同时也充分利用传统教学手段，在教学中体现教学手段的多样式，为学生的发展提供科学地、有效地保障.图文并茂的表现形式使学生更易理解.本节课利用多媒体演示“正弦函数的几何作图法”以及图象变换. 设计意图: 通过课件演示突破利用单位圆画正弦函数图象这一难点.培养学生观察能力、分析能力. 2. 五点法作正弦函数的图像，提问学生怎么作正弦函数的图像，取几个点描点，为什么取5个点，取那5个点等等。 设计意图: 注意渗透由抽象到具体的思想，促进学生数学思想方法的形成，引导学生确
函数的图像导学案
【学习目标】 使学生掌握函数图像的画法.并会用函数图像求定义域、值域 【课堂导学】 一、预习作业 1、描点法作函数图像步骤： 2、还可以用计算机生成。 二、典型例题 例1、本节开头的问题中：如果把人口数（百万人）看做是年份x 的函数，试根据表，画出这个函数的图像。 例2、试画出下列函数的图像，并根据图像，分别求这两个函数的值域。 ⑴()1;f x x =+ ⑵2 ()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈ 例3、试画出函数f (x )=x 2+1的图像，并根据图像回答下列问题； ⑴比较f (-2)、 f (1) 、f (3)的大小； ⑵若0 ★例4、作出下列函数的图像，并求值域 （1）、y=x2-2|x|－3 （2）、y=|x2－2x－3| 三、板书设计 【巩固反馈】 一、填空题 1．下列可作为函数y=f(x) 图像的是＿＿＿ (1) （2） (3) 2．函数y = f （x ）的图像与直线 x =a 的交点个数为＿＿＿ 3．根据函数y =(x －1)2－3(0≤ x ≤3)的图像，比较大小： f (0) f (1), f (0) f (3), f (1) f (3). 4．如右图，已知函数f (x )的图像关于直线x =1对称，则满足 不等式f (a )>f (3)的实数a 的取值范围是 。 二、解答题 5．作出下列函数的图像： （1）y =243x x -+； (2 ) y =12 x －1,x ,4z ∈≤且x ； (3 ) 2 (1)1(1)x x y x x ?≥-=?+<-? 6．借助函数y =x 2的图像，画出函数y = x 2－2x +1的图像。 §5正弦函数y＝sinx的图像导学案 班级：__________ 小组：___________姓名：_____________ 学习目标: 一．【三维目标】 1.知识与技能 （1）了解正弦线； （2）了解并理解利用单位圆画正弦函数的图像； （3）掌握正弦函数图像的“五点作图法”。 2.过程与方法 体会周期性在画函数y＝sinx图像过程中的应用，从图像中进一步分析验证诱导公式的正确性。 2、情感态度与价值观 通过从单位圆和图像两个不同角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二.【学习重点、难点】 重点:“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像；难点: 利用单位圆画正弦函数图像。 预习案【课前预习，成竹在胸】 1.复习：正弦函数是一个周期函数，最小正周期是____，所以，关键就在于画出________上的正弦函数的图像。 2.预习： （1）正弦函数x x∈的图像叫做正弦曲线。 =，R y sin （2）正弦线：①MP 是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP 是从M →P 。②不论哪种情况，都有MP ＝y ．③依正弦定义，有sin α ＝MP ＝y ，我们把MP 叫做α的正弦线．（如图1） (3)几何法的作图步骤。 ①建立直角坐标系，在y 轴左侧作单位圆,并把⊙O 十二等分 ②过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0、6π、3π、 2π 、……、π2角的正弦线 ③将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28) ○4取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合 ○5描点连线得y=sinx x ∈[0,2π]的图像 ○ 6利用周期性画出y=sinx （x ∈R ）的图像（如图2） （图1） （图2） （4）五点作图法： 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑 曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。 我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”，这五个关键点是： ___________________________，描出这五个点后，函数y=sinx ， α的终边 P M O x y 第11课时 【教学题目】§5.6.1正弦函数的图像和性质2——正弦函数的性质 【教学目标】 1.掌握正弦函数的性质； 2.会利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学内容】 1.正弦函数的性质； 2.利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学重点】 正弦函数的性质. 【教学难点】 利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学过程】 一、导课 回顾利用“五点法”作正弦函数的图像： 要求学生用“五点法”作函数x x f sin )(=在[0,2]π上的简图. 二、新授 正弦函数的性质 根据函数x x f sin )(=的图像，总结它的性质 ()0,0，,12π?? ???，(),0π，3,12π??- ??? ，()2,0π 三、例题讲解 例1、已知sin 4x a =-求a 的取值范围. 解：因为sin 1x ≤ 所以41a -≤ 即：141a -≤-≤ 解得：35a ≤≤ 故：a 的取值范围是[]3,5. 例2、求使得函数()sin 2f x x =取得最大值x 的集合，并指出最大值是多少？ 解：设2u x =，则使函数sin y u =取得最大值1的集合是 2,2u u k k Z ππ??=+∈???? ， 由 222x u k ππ== +， 得 4x k ππ= +. 故所求集合为,4x x k k Z ππ? ?=+∈???? ，函数()sin 2f x x =的最大值是1. 四、课堂练习 已知sin 3x a =-，求a 的取值范围． 五、课堂小结 （一）正弦函数的性质； （二）利用正弦函数的性质解答相关问题. 六、布置作业 （一）课本P128练习5.6.1第3题、第4题 ； （二）课本P130习题5.6 A 组第2题（1）、第4题（1）. 七、教学反思 本节课从知识上讲授了正弦函数的性质，即正弦函数的有界性、周期性、奇偶性、单调性.难点在于使学生学会应用正弦函数的性质解答相关问题.从上课和作业反映的情况来看，学生对正弦函数的有界性掌握较好，但对于奇偶性、单调性、周期性掌握的情况不太好，需要在以后的教学中继续加强指导和训练. 八年级数学（上）导学案 班级 姓名 学号 §4.3.2 一次函数的图像(2) 一、教学目标是： 1.了解一次函数两个变量之间的变化规律.在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质； 2.经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略； 二、教学过程 一、第一环节：问题引入： 1、作正比例函数图象的一般步骤有: 、 、 。 2、回顾正比例函数图象的性质？ 3、作一次函数图象的一般步骤有: 。 1、请作出一次函数12+=x y 的图象． 解： 第二环节： 活动探究 1、合作探究，发现规律 在同一直角坐标系内分别画出y=2x+3, y=-x,y=-x+3和y=5x-2的图象． . ； 得出结论：一次函数图像是 .因此作一次函数图像时，只要确定 点，再过这 点作直线就可以了.一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+. 议一议： 1、上述四个函数中，随着x 值的增大，y 的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？ 2、直线y=-x 与y=-x+3的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线y=-x 变为直线y=-x+3 吗？一般地，直线y=kx+b 与y=kx 又有什么关系？ 3、直线y=2x+3与y=-x+3有什么共同点？一般地，你能从函数y=kx ＋b 的图象上直接看出b 的值吗？ 4、如何确定直线y=kx ＋b 所经过的象限？ 归纳出一次函数图象的特点： 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而 ，当b >0时，直线必过 象限； 当b <0时，直线必过 象限； 当0k <时，y 随x 的增大而 ，当b >0时，直线必过 象限； 当b <0时，直线必过 象限. x … … y … … 1.4.1正弦函数、余弦函数的图像学案 学习目标 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 30~ P 33，找出疑惑之处） 1.请在右图中分别作出角 3 611π π，的三角函数线。 2.遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，面对一个新函数，一般采用什么方法画图象？ 3.如何在直角坐标系下描出点)3 sin ,3( π π ？ ①代数法：73.1314.3≈≈，π ②几何法：利用弧度与弧长的关系以及三角函数线 二、新课导学 ※ 预习探究 探究任务一：如何画正弦函数的图像？ 步骤一：如何画出正弦函数x y sin =在[]π2,0∈x 上的图像？ 1.在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线.； 2.在相应坐标系内，在x 轴上将区间[]π2,0分成12等份； 3.在相应坐标系内，将单位圆中12个角的正弦线进行右移到相应角的位置得到点列 ())12....3,2,1(sin ,=i x x i i 。. 4.通过刚才描点（x 0,sinx 0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，你能得到什么？ 步骤二：如何画出正弦函数x y sin =在R x∈上的图像？ 探究任务二：余弦函数的图像 x0ππx y cos = （2）方法2：用以前学过的诱导公式 cosx=________（用正弦式表示），你能根据这一关系利用x y sin =的图像画出y=cosx的图象吗？ 探究任务三：（1）观察所得正弦函数与余弦函数的图象，有五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？完成x x y sin = x y cos = （2）你能在同一个直角坐标系中画出x y x y cos , sin= =的图像吗？ 2 3π 2 π 教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+ 一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O 5.2.1二次函数的图像与性质⑷ 班级 姓名 【学习目标】 1.会用描点法画二次函数()k h x a y ++=2 的图像，掌握它的性质. 2.渗透数形结合思想. 【课前自习】 2 2.抛物线22+=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线()2 32--=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线()2121 +- =x y 与抛物线 关于x 轴成轴对称； 抛物线()212 1+-=x y 与抛物线 关于y 轴成轴对称 【课堂助学】 一、 自主探索： 1.画出二次函数()2121 -=x y 和()212 12+-=x y 的图像：正弦函数的图像(导学案)
正弦函数的图像和性质教案
§3.2 一次函数的图像导学案
正弦函数的图像学案
教案正弦型函数的图像和性质
5.2 二次函数的图像和性质(3) 导学案