(完整版)数理统计考试题及答案

1、 离散型随机变量X 的分布律为P （X=x i ）=p i ，i=1.2…..，则

11

=∑=n

i i

p

2、 设两个随机变量X ，Y 的联合分布函数F （x ，y ），边际分布Fx （x ），Fy （y ），则X 、Y

相互独立的条件是)()(),(y F x F y x F Y X ?=

3、 X 1,X 2,….X 10是总体X~N （0，1）的样本，若2

102221X X X +???++=ξ,则ξ的上侧分位

数025.0ξ=

解：因为X~N （0，1），所以2102221X X X +???++=ξ~)10(2

χ，查表得025.0ξ=20.5

4、 设X~N （0，1），若Φ（x ）=0.576，则Φ（-x ）= 解：Φ（-x ）=1-Φ（x ）=1-0.576=0.424

5、设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2

σμN X 的样本，∑=-=

n

i i

X

Y 1

22

)(1

μσ，则EY=n

解：∑=-=

n

i i

X

Y 1

22

)(1

μσ

~)(2n χ，E 2χ=n ，D 2χ=2n

二、设设X 1,X 2,….X n 是总体),(~2

σμN X 的样本，∑=-=61

2

2

)(51i i X X s ，试求

)5665.2(22σ≤s P 。

解

：

因

为

)

,(~2

σμN X ，所以有

)5(~)(1

2

6

1

22χσ

∑=-i i X X ，则

?????

? ??≤-=?????? ??≤-=≤=≤∑∑==8325.12)(5665.25)()5665.2()5665.2(2

612

2612222

2σσσσi i

i i X X P X X P s P s P 查2χ分布表得=≤)5665.2(22σs P ????

?

? ??≤-∑=8325

.12)(2612σi i X X P =1-α=1-0.0248=0.9752 三．设总体X 的概率密度为f(x)= (1),(01)

0a x x α?+<

，其他，其中α>0，求

参数α的矩估计和极大似然估计量。

)X 1/()1X 2(?,)2/()1()1()()(1

1--==++=+==??++∞∞

-α

αααα得X dx x dx x xf x E 极大似然估计：

∑∑∑∑∏∏∏=======--==++=??++=++=+=+==n i i

n

i i n

i i

n

i i n

i i n

n

i i n i i x n

x n

L x n x n x L x x f L 1

1

1

111

1

ln 1?0

ln 1)(ln ln )1ln(ln )1ln()1(ln )(ln )1();()(α

ααααααααααααα

α

α

求得：：求导并令它等于零，得上式对两边取对数得：似然函数：四．设瓶装食用醋容量X : N （2,μσ），现从中取出16个瓶测得容量下506，508，499，503，504，510，497，512，514，505，493，496，506，502，509，496（毫升），试求均值μ置信度为0.95的置信区间。

解：

{}

）

，）即（，故置信区间为（所以有分布分位数表得：查由题意知的置信区间为的置信度为得：所以由因为：则修正样本方差）（样本平均值：05.50745.5003.375.5033.375.5033

.342

.6*1315.2)1(1315

.2)15(05

.0)1(,)1(11)1(P )1(~/X T 2.638.46667)(116175

.503496509502506496493

50551451249751050450349950850616

1*

22

05.0*

2*22*

*2

161

*2

+-==-==???

? ??-+----=-<--=

≈=--==+++++++++++++++=∑=n

S n t t t n S n t X n S n t X n t T n t n

S S X X S X n n n n n i i n

ααααααμαμ

五．设一批螺钉长度X :N （2,μσ），随即抽取5枚检验长度如下

试问在α=0.05的水平下，这批螺钉平均长度不超过1.25（cm ）？

解：假设H 0：25.1≤μ，H 1：25.1>μ n=5,05.0=α

035.0,00123.0)(151246.1X *251

*2==--==∑=n i i n

S X X S

则，修正样本方差平均值 统计量：)1(~/X T *0--=

n t n S n μ，则拒绝域：)1(/*

-≥-n t n S x n αμ 从而计算得：2556.05

/35.0.025

.1246.1/25.1x t *

-≈-=-=

n S n 查t 分布分位数表得：1318.2)4(05.0=t ，由于t=-0.2556<1318.2)4(05.0=t , 故接受原假设H 0，即这批螺钉平均长度不超过1.25（cm ）

六．现随即投一枚骰子600次，记录朝上点数如下表

问在α=0.05的水平下，该枚骰子是否均匀？

解：

均匀的。

即可以认为这颗骰子是，故接受假设）（因为）（分布表得，查对计算得

假设0205

.02205.02222222

6

102

0210,5?.1.111605.04

6

/600)6/60093(6/600)6/600108(6/600)6/60089(6/600)6/600109(6/600)6/60094(6

1*600)61

*600107()(?)6,...,2,1(6

1

:61:H np np N i p H p H n i i i i n i i χχχχαχ<=-==-+-+

-+-+

-+-=-==≠?=∑= 七．设三种类型电路的反应时间，随机测试5次结果如下表

Ⅱ 2.57 2.53 2.55 2.54 2.61 Ⅲ

2.58

2.64

2.59

2.67

2.62

利用方差分析的方法，在α=0.05下，试检验电路型号这一因素对反应时间有无显著差异？

解：r=3,n 1=n 2=n 3=5 n=n 1+n 2+n 3=15

由excel 方差分析得：

方差分析：单因素方差分析

SUMMARY

组 观测数 求和

平均 方差 1 5 12.1 2.42 0.00245 2 5 12.8 2.56 0.001 3 5 13.1

2.62 0.00135 方差分析

差异源 SS df MS F P-value F crit 组间 0.105333 2 0.052667 32.91667 1.34E-05 3.885294 组内 0.0192 12 0.0016 总计 0.124533 14

因为F=32.91667>F 0.05(2,12)=3.885294,故电路型号这一因素对反应时间有显著差异。 注意：Excel 方差分析步骤

1. 点击“工具”—“加载宏”—勾选“分析工具库和规划求解” —确定

2. 点击“工具”—“数据分析” —选择“方差分析：单因素分析” —确定

3. 输入区域选择图中虚线部分，按下图选择数据的话就不需要勾选标准那个选项，分组方

式选择行，填好05.0值为α，输出选项随便—确定，即可

八．下表给出了12个父亲和他们长子身高的观察值：

父亲的身高x 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71 长子的身高Y

68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70

（1） 试求Y 关于x 的线性回归方程

（2） 在α=0.05下，利用F 检验法检验回归方程的显著性

解：（1）、由公式??

???

=+=+∑∑==n i i i n i i Y x x x n Y n x n n 112????βαβα

得：???==476378.0?8248.35?βα

Excel 回归分析如下：

SUMMARY OUTPUT

回归统计

Multiple R 0.702652 R Square

0.493719 Adjusted R Square 0.443091 标准误差 1.403665

观测值 12

方差分析

df

SS MS F Significance F

回归分析 1 19.21391 19.21391 9.75189

0.010822249

残差 10 19.70276 1.970276

总计 11

38.91667

Coefficients

标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

下限 95.0%

上限 95.0%

Intercept 35.8248 10.17795 3.519844 0.00554 13.14691045 58.5027 13.14691 58.5027 X Variable 1

0.476378 0.152548 3.122802 0.010822 0.13647925 0.816277

0.136479

0.816277

（2）、经计算F=9.75189，查F 分布表得F 0.05(1,10)=4.96,因为F> F 0.05(1,10)=4.96,故所求线性

回归方程是显著的。