人教版高中数学选择性必修第一册3.2.1 第一课时 双曲线及其标准方程 课件(共38张PPT)
人教版高中数学选择性必修第一册3.2.1 第一课时双曲线及其标准方程课件（共38
张PPT）
(共38张PPT)
3．2双曲线
3．2.1双曲线及其标准方程
第一课时双曲线及其标准方程(1)
[学习目标]
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．
2.掌握双曲线的标准方程及其求法．
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
必备知识自主探究
关键能力互动探究
课时作业巩固提升
问题1双曲线的定义中有怎样的限制条件？
问题2双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有怎样的区别与联系？[预习自测]
1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为()
A．椭圆B．两条射线
C．双曲线D．线段
解析：||MF1|－|MF2||＝4，且|F1F2|＝6，又4|F1F2|，点的轨迹为．
7．若|MF1|－|MF2|＝2a,0<2a<|F1F2|，则点M的轨迹为．
两条射线
不存在
双曲线的一支
[例1](1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹是
()
A．一条射线B．双曲线右支
C．双曲线D．双曲线左支
分析：利用定义，2a＝|F1F2|时动点P的轨迹为射线，又少“绝对值”，故只有一条．
[解析]因为|PF1|－|PF2|＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是一条射线．
A
(2)已知平面内的两点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||MF1|－|MF2||＝1的点M的轨迹是()
A．椭圆B．双曲线
C．一条线段D．两条射线
分析：利用定义，0<2a<|F1F2|时，动点M轨迹为双曲线．
[解析]由题意得||MF1|－|MF2||＝1，且|F1F2|＝4，因为1<4，符合双曲线的定义，所以点M的轨迹是双曲线．
B
在双曲线的定义中，注意三个关键点：(1)在平面内；(2)差的绝对值；(3)存在定值且定值小于两定点间距离．在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线．
1.已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
解析：根据双曲线的定义，乙甲，但甲乙，只有当2a<|F1F2|，且a≠0时，动点M的轨迹是双曲线．
双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴x轴y轴
焦点坐标_____________ _________________
a，b，c的关系式_____________
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
c2＝a2＋b2
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b(或m，n或点的坐标)代入所设方程即可得标准方程．
2．焦点三角形常用的关系式
(1)||PF1|－|PF2||＝.
(2)余弦定理：|F1F2|2＝
.
2a
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
22
24
在解与焦点三角形(∠PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|，|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|，|PF2|的关系式，从而求出|PF1|，|PF2|.但是，一般我们不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
1
1．知识清单：(1)双曲线的定义．
(2)双曲线的标准方程．
(3)双曲线的焦点三角形．
2．方法归纳：坐标法、待定系数法．
3．常见误区：(1)忽略双曲线定义中的限制条件．(2)忽略双曲线焦点的位置．
课时作业巩固提升
双曲线及其标准方程(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册
第二单元双曲线 一、内容和内容解析 （一）内容 双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质 本单元内容结构图如下： （二）内容解析 1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题. 2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比. 3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用. 4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.
5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质 二、目标及其解析 （一）单元目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用． 4．理解数形结合思想． （二）目标解析 达成上述目标的标志是: 1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程． 2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质． 3．能解决与双曲线有关的简单应用问题． 三、教学问题诊断分析 1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。 破解方法：在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程 课件(共53张PPT)
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程课件（共53张 PPT） (共53张PPT) 希腊几何学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)最重要的著作是《圆锥曲线论》．著作中将3种圆锥曲线命名为椭圆、抛物线、双曲线的做法便出自该书(分别出自第1卷的命题11,12,13)．《圆锥曲线论》的阿波罗尼奥斯是一位重量级人物．据公元6世纪的希腊数学家欧托修斯(Eutocius)“转发”的公元前1世纪的数学家杰米纽斯(Geminus)的记述，阿波罗尼奥斯被其同时代人称为“大几何学家”；美籍比利时裔科学史学家乔治·萨顿(George Sarton)则称阿波罗尼奥斯为 阿基米德之后一个时期里唯一可与阿基米德比肩的几何学家．《圆锥曲线论》的影响却是深远的．后世的知名数学家如吉拉德·笛沙格(Girard Desargues)、布莱兹·帕斯卡(Blaise Pascal)、皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)、詹姆斯·格雷果里(James Gregory)等都直接间接地受过它的影响．著名天文学家约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler)更是用圆锥曲线奠定了行星运动定律的基础，并为牛顿万有引力定律的发现埋下了伏笔．阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》虽久已淡出多数人的视野，却完成了很辉煌的历史使命. 1.加强对基础知识、基本方法的梳理，要在理解的基础上熟练掌握．虽
然高考对圆锥曲线的考查要求较高，但也不回避常规题型，因此必须熟练掌握解决有关圆锥曲线问题的通性通法. 2. 重视圆锥曲线的定义在解题中的应用，掌握推导圆锥曲线标准方程的方法. 3. 注意平面几何知识的应用．解析几何是用代数的方法解决几何问题，因此在解决有关圆锥曲线问题时，要注意数形转化思想的应用．具体应用时，要综合考虑数转化为形、形转化为数、数转化为数、形转化为形等多种角度，避免思维固化. 4. 加强运算能力的同时，关注一些常见的运算技巧．解决圆锥曲线问题的常规思路，一般从几何入手再转化为代数运算．这样最终主要体现在“算”上的功夫．所谓“算”，讲的主要是算理和算法，而不是“硬算”，因此要花一定功夫研究运算、训练运算能力. 3.1椭圆 3．1.1椭圆及其标准方程 第一课时椭圆及其标准方程 [学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 必备知识自主探究 关键能力互动探究 课时作业巩固提升 问题椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？
人教版高中数学选择性必修第一册3.2.1 第一课时 双曲线及其标准方程 课件(共38张PPT)
人教版高中数学选择性必修第一册3.2.1 第一课时双曲线及其标准方程课件（共38 张PPT） (共38张PPT) 3．2双曲线 3．2.1双曲线及其标准方程 第一课时双曲线及其标准方程(1) [学习目标] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 必备知识自主探究 关键能力互动探究 课时作业巩固提升 问题1双曲线的定义中有怎样的限制条件？ 问题2双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有怎样的区别与联系？[预习自测] 1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为() A．椭圆B．两条射线
C．双曲线D．线段 解析：||MF1|－|MF2||＝4，且|F1F2|＝6，又4|F1F2|，点的轨迹为． 7．若|MF1|－|MF2|＝2a,0<2a<|F1F2|，则点M的轨迹为． 两条射线 不存在 双曲线的一支 [例1](1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹是 () A．一条射线B．双曲线右支 C．双曲线D．双曲线左支 分析：利用定义，2a＝|F1F2|时动点P的轨迹为射线，又少“绝对值”，故只有一条． [解析]因为|PF1|－|PF2|＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是一条射线． A (2)已知平面内的两点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||MF1|－|MF2||＝1的点M的轨迹是() A．椭圆B．双曲线 C．一条线段D．两条射线
分析：利用定义，0<2a<|F1F2|时，动点M轨迹为双曲线． [解析]由题意得||MF1|－|MF2||＝1，且|F1F2|＝4，因为1<4，符合双曲线的定义，所以点M的轨迹是双曲线． B 在双曲线的定义中，注意三个关键点：(1)在平面内；(2)差的绝对值；(3)存在定值且定值小于两定点间距离．在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线． 1.已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B 解析：根据双曲线的定义，乙甲，但甲乙，只有当2a<|F1F2|，且a≠0时，动点M的轨迹是双曲线． 双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴x轴y轴 焦点坐标_____________ _________________ a，b，c的关系式_____________ (－c,0)，(c,0)
第2章 2.6.1 双曲线的标准方程-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程 学 习目标核心素养 1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解 决实际问题．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养． 2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养． 前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容． 1．双曲线定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线． 思考1：双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？ [提示]若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P 的轨迹不存在．
思考2：定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？[提示]此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴y轴 标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a＞0，b＞0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系式c2＝a2＋b2 [提示]双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．思考4：如何确定双曲线标准方程的类型？ [提示]焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． () (2)在双曲线标准方程x2 a2－ y2 b2＝1中，a>0，b>0且a≠b．() (3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b．() [答案](1)×(2)×(3)× [提示](1)×差的绝对值是常数，且0＜2a＜|F1F2|才是双曲线． (2)×当a＝b时，方程也表示双曲线，故该说法错误． (3)×在双曲线中a与b的大小关系不确定． 2．双曲线x2 15－y 2＝1的焦距为()
3.2.2 双曲线的简单几何性质 教案-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2 双曲线的简单几何性质 教学设计 一、教学目标 1. 理解双曲线的简单几何性质； 2. 能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题. 二、教学重难点 1. 教学重点 双曲线的几何性质. 2. 教学难点 双曲线几何性质的应用. 三、教学过程 （一）新课导入 思考：在学习椭圆的几何性质时，我们是从哪几部分进行研究的？ 答：范围、对称性、顶点、离心率. 类比椭圆的几何性质，来研究双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，的几何性质. （二）探索新知 1. 范围 如图，双曲线上点的横坐标的范围是x a ≤-，或x a ≥，纵坐标的范围是y ∈R . 下面利用双曲线的方程求出它的范围. 由方程22221(00)x y a b a b -=>>，可得22 2211x y a b =+≥， 于是，双曲线上点的坐标()x y ，都适合不等式2 21x y a ≥∈R ，，即22x a y ≥∈R ， . 所以x a ≤-，或x a ≥；y ∈R . 这说明双曲线位于直线x a =-及其左侧和直线x a =及其右侧的区域.
2. 对称性 双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，关于x 轴、y 轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲 线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 3. 顶点 在方程22 221(00)x y a b a b -=>>，中，令0y =，得x a =±，因此双曲线和x 轴有两个交点 12(0)(0)A a A a -，，，.因为x 轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它 们叫做双曲线的顶点. 令0x =，得22y b =-，这个方程没有实数解，说明双曲线和y 轴没有公共点，但也把12(0)(0)B b B b -，，，两点画在y 轴上（如图）. 线段12A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段12B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长. 4. 渐近线 实际上，经过两点12A A ，作y 轴的平行线3x =±，经过两点12B B ，作x 轴的平行线2y =±，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 032 x y ±=.可以发现，双曲线22194x y -=的两支向外延伸时，与两条直线032 x y ±=逐渐接近，但永远不相交.
抛物线(单元教学设计)高中数学人教A版2019选择性必修第一册
“抛物线”单元教学设计 一、内容和内容解析 （一）内容 1.抛物线及其标准方程 2.抛物线的简单几何性质 本单元内容结构图如下： 抛物线的几何情境 抛物线的几何特征 抛物线的标准方程抛物线的实际应用 抛物线的简单几何性质 范围、对称性、 顶点、离心率 （二）内容解析 内容本质：本单元是在抛物线的几何情境中，抽象出抛物线的几何特征，然后建立其标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决简单的实际问题. 蕴含的思想与方法：本单元最重要的、最根本的数学思想方法是数形结合与坐标法.当然，在解决问题的过程中，数形结合、转化与化归、分类整合等思想方法也发挥着重要作用.
知识点上下位关系：本单元是在学习了直线与圆的方程、椭圆、双曲线的基础上学习的，特别是抛物线与椭圆、双曲线同属圆锥曲线，其研究路径与椭圆、双曲线大致相同，是椭圆与双曲线知识的延续. 育人价值：本单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严密精准地分析问题与解决问题，有助于发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等方面的素养. 教学重点：抛物线的概念、标准方程与简单几何性质. 二、目标和目标分析 （一）单元目标 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.了解抛物线的简单应用. （二）目标解析 达成上述目标的标志是： 1.通过实例（抛物运动轨迹、探照灯反射镜面、卫星接收天线），知道抛物线在生产生活中有广泛应用. 2.通过实际绘制抛物线的过程认识抛物线的几何特征，给出椭圆的定义.能类比椭圆、双曲线的方法，通过建立适当的坐标系，得到抛物线的标准方程.能在直观认识抛物线的图形特点的基础上，用抛物线的标准方程推导出抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质.能用抛物线的定义、标准方程及简
双曲线的标准方程 教学设计-高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册
《双曲线的标准方程》的教学设计学校 教学目标 知识与技能：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程. 过程与方法：通过定义及标准方程的探究，使学生掌握类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力.培养学生的核心素养。情感态度价值观：学生亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的严谨性，培养学生对待知识的科学态度，勇于探索和创新的精神。 教材分析 1、教材的地位与作用 本节课选自人教b版高中数学选修2-1第二章第三节。双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，它是解析几何的重要内容之一.与椭圆相比，双曲线知识更加丰富、方法更加灵活，能力要求更高.学习双曲线不仅是对椭圆知识和方法的巩固、深化和提高.为进一步学习抛物线，奠定良好的基础.双曲线是一种重要的模型，在日常生产、生活和科学技术上应用广泛。因此，本节课十分重要，不仅知识上具有承前启后的作用，而且还具备现实意义。 2.设计理念 新课标提出在数学教学中，应该培养学生的数学抽象、数学建模、数学逻辑、逻辑推理、直观想象、数据分析六大核心素养。所以本节课课前我利用班级优化大师推送微课视频和习题，让学生预习并做简单课前测试，学生发现问题带着困惑走进课堂，更有针对性地进行学习。课上我借助微视频多媒体技术进行引入，创造问题情境，让学生们在实际问题中抽象出数学模型，培养学生的数学抽象和建模能力。 学习者 分析 本节课之前学生已经学习了直线、圆和椭圆，对曲线和方程的思想有一定的理解，对坐标法解决问题有了认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，能利用数形结合、类比推理的思想方法研究圆锥曲线. 高二学生有一定的分析问题、解决问题的能力，具备小组交流合作协同学习能力.
高二数学新教材选择性必修第一册3.2.1双曲线(第一课时)(精讲)(原卷版)
3.2.1 双曲线 平面内与两个定点A .用的距离的差的绝对值等于常数(小于I吊&1且不等于零)的点的轨迹叫曲线. 性质 定义 秒杀技巧 “绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的枕迹只有双曲线的一支 若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线 常敷等于,其余条件不交,则动点轨迹是以A .玛为端点的两条射线(包括端点) 常数大于IAQI” .其余条件不交,则动点轨迹不存 在 标准方程=1(»0 . b>0) ---=1(»0 . b>0) J g 对标性 15 点 轴长 渐近姓 “ ,b.c间的 关 可推9；川〃尸111p 尸?| 二 对界他：坐标簿；对称中心：原点 J5点坐标：A( •。⑼,43.0)顶点坐标4(。・・M.4(。./ 实Q长长：26 / y(r>・>0 . ob>Q) .ec(l , *8).其中 (1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2”.也叫通径. / / X2 / (2)与双曲线 -£ =0 . b> 0)有共同渐近线的方程可表示为_-7；= 4"0) •r Zr ir u (3)双曲线的焦点到耳渐近线的速幅为b (4)5。星双曲找右支上一点. A •8分别为双畸的左.右焦点. 则|"i|rnrn = m，c, = 3. 然点二.角形尸，/，当/尸，尸产/根据定义及余弦定理, 2b h2 1 -COSa .利用焦点三角形两底角a.，来表示:,当刍
【例1】（1）（2020日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））到两定点大（一3,0）,8（3,0）的距离之差的绝对 值等于6的点M的轨迹为（） A.椭圆 B.两条射线 C.双曲线 D.线段 2 2 （2）（2020•甘肃省民乐县第一中学高三其他（理））已知双曲线C:t-二=1的上、下焦点分别为6， 25 144 尸2,点P在双曲线C上，若归用=14,则归用=（） A. 38 B. 24 C. 38 或10 D. 24 或4 【一隅三反】 1.（2020•广东濠江.金山中学高三三模（文））已知M（—3,0）,N（3,0）,|PM—|/W| = 6,则动点f的轨迹是（） A. 一条射线 B.双曲线右支 C.双曲线D,双曲线左支 2（2020•浙江杭州高二期末）已知平面中的两点”（-2,0）,5（2,0）,则满足｛加I |吗|一眼山=1｝的点河的轨迹是（） A.椭圆 B.双曲线 C. 一条线段 D.两条射线
高中数学_双曲线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
人教A版选择性必修第一册《双曲线及其标准方程》 教学设计 一.教学目标 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 5.提高数学能力：通过类比椭圆，发现和提出数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作探究论证数学结论。 6.发展数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养。 二、教学的重点和难点 重点：双曲线的几何特征，双曲线的标准方程，坐标化的基本思想。难点：双曲线形成，标准方程的推导与化简，坐标法的应用。 三、教法、学法分析 根据这节课的特点和学生的认知水平，本节课的教法与学法定为：引导发现,问题串教学, 由浅入深、层层递进，将教材还原成生动活 泼的思维创造活动，启发学生积极思考，勇于探索，从而使学生产生浓厚的学习兴趣，体现学生的主体地位.在学法的选择上，采用自主探究法、实验操作、观察发现法、合作交流法、归纳总结法. 四、教学过程 结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：
导入 实验探究如图，A、B是两个定点，P在AB线段外 运动，在平面内取定点F1，F2，以F1为 圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为 圆心、线段PB为半径作圆，M为两圆交 点。 |F1F2| > |AB| 问（1）若｜F1 F2|＜｜AB|, 当点P在 线段AB上运动时，那么两圆相交，其交 点M的轨迹是什么？ 通过观察 几何画板 演示，观 察：哪些 量不变？ 动点在运 动过程中 满足什么 几何条 件？ 判断出动 点轨迹为 椭圆. 通过几何画 板演示，为椭圆、 双曲线之间的内 在关系留下伏笔 学生观察： （2）若｜F1 F2|＞｜AB|. 让点P在线段AB外运动， 问：这时交点M满足什么几何条件？ 两圆的交点M的轨迹是什么形状？ 通过观察 几何画板 演示， 哪些量不 变？ 动点在运 引导学生类比椭 圆的生成过程思 考双曲线的生成 过程，进而找到 双曲线满足的几 何条件，培养学 生的数学抽象能 力.
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--3.3.1 抛物线及其标准方程
3.3.1 抛物线及其标准方程 课标解读 课标要求 素养要求 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.理解p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线的标准方程问题. 1.逻辑推理—能够推导出抛物线的标准方程. 2.数学运算—会根据条件求抛物线的标准方程. 自主学习·必备知识 教材研习 教材原句 1.抛物线的定义： 把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离① 相等 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的② 准线 . 2.抛物线的标准方程： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y 2=2px(p >0) ③ F(p 2 ,0) ④ x =−p 2 y 2=−2px(p >0) ⑤ F(−p 2 ,0) x =p 2 x 2=2py(p >0) ⑥ F(0,p 2) ⑦ y =−p 2 x 2=−2py(p >0) ⑧ F(0,−p 2) y =p 2 自主思考 1.平面内与一个定点F(1,0) 和定直线l:x =1 的距离相等的点的轨迹是什么？ 提示 由已知l 经过点F ，所以轨迹是过点F ，且垂直于l 的直线. 2.已知抛物线y 2=8x ，则焦点到准线的距离是多少？ 提示 由已知得2p =8 ，所以p =4 ，根据p 的几何意义，焦点到准线的距离是4. 3.在左侧四个抛物线中，哪些可以看作是二次函数的图象？
提示第三个和第四个. 名师点睛 1.求抛物线的标准方程时需注意的两个问题 （1）把握开口方向与方程间的对应关系.根据抛物线的方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上. （2）当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的种数. 2.与抛物线定义有关的常用结论 （1）抛物线y2=2px(p＞0)上一点P(x0,y0)到焦点F(p 2,0)的距离|PF|=x0+p 2 ，也称 为抛物线的焦半径.（2）y2=ax(a≠0)的焦点坐标为(a 4,0)，准线方程为x=−a 4 . 互动探究·关键能力 探究点一抛物线的标准方程 精讲精练 例求适合下列条件的抛物线的标准方程. （1）过点(−3,2)； （2）焦点在直线x−2y−4=0上 答案：（1）设抛物线的标准方程为y2=−2px或x2=2py(p＞0)，将点(−3,2)代入方程 得2p=4 3或2p=9 2 ，∴所求抛物线的标准方程为y2=−4 3 x或x2=9 2 y. （2）当焦点在y轴上时，令x=0，由方程x−2y−4=0得y=−2，∴抛物线的焦点 为F(0,−2)，设抛物线方程为x2=−2py(p＞0)，则由p 2 =2得2p=8，∴所求抛物线方程为x2=−8y；当焦点在x轴上时，同理可得y2=16x. 综上所述，所求抛物线的标准方程为x2=−8y或y2=16x. 解题感悟 求抛物线标准方程的两种方法：（1）当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程.（2）当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0))，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程. 迁移应用 根据下列条件，求抛物线的标准方程. （1）焦点到准线的距离是6； （2）准线方程为y=−2 3 .
高中数学 新人教A版选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 教案
双曲线及其标准方程 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线及其标准方程 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。 从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 【教学目标与核心素养】 【重点难点】 重点：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 难点：双曲线的标准方程及其求法. 【课前准备】 多媒体 【教学过程】
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 我们知道，平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？121如图，在直线上取两个定点,，是直线上的动点。在平面内，取定点,，以点为圆心、线段为半径作圆，在以为圆心、线段为半径作圆。 l A B P l F F F PA F PB 12如图，在＞的条件下，让两圆的交点的轨迹是什么形状？ F F AB M 1.双曲线的定义
双曲线及其标准方程(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
3.2.1双曲线及其标准方程 教学设计 本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排： 第三章圆锥曲线的方程 课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质 所在位置教材第118页教材第121页 新教材 内容 分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用 拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义， 感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系， 建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何 性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握 标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关 系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与 方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具 有的程序化、普适性特点。 核心素养培 养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运 算的核心素养；通过对双曲线的定义理解， 培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运 算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关 系的判定，培养逻辑推理的核心素养。 教学主线双曲线的标准方程、几何性质 学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养． 2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.
重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程 难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题 （一）新知导入 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。 （二）双曲线及其标准方程 知识点一双曲线的定义 【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． ◆双曲线的定义
2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册教师用书：第3章 3.2 3.2.1 双曲
姓名，年级： 时间：
3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程学习目标核心素养 1。理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点）2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．（难点）1.通过双曲线概念的学习,培养学生的数学抽象的核心素养． 2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习,提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养. 做下面一个实验． （1）取一条拉链，拉开一部分． (2）在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上． （3）把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢,画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 1．双曲线的定义 文字语言平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2｜)的点的轨迹。
符号语言||PF1｜－｜PF2||＝常数(常数＜|F1F2｜) 焦点定点F1,F2 焦距两焦点间的距离 思考:（1)双曲线定义中，将“小于|F1F2｜"改为“等于｜F1F2|"或“大于｜F1F2｜”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ （2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<｜F1F2|，则点M的轨迹是什么? ［提示］（1)当距离之差的绝对值等于｜F1F2｜时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2｜时，动点的轨迹不存在． (2)点M在双曲线的右支上． 2．双曲线的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程x2 a2 －错误!＝1（a＞0，b ＞0） 错误!－错误!＝1(a＞0，b ＞0) 焦点F1(－c，0)，F2（c,0)F1(0,－c），F2（0，c) a，b,c 的关系 c2＝a2＋b2 1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”) （1）平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．（)（2）在双曲线标准方程错误!－错误!＝1中，a＞0，b＞0且a≠b． （)（3）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b．( ）
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 3
3.2.1 双曲线及其标准方程(精讲)
考点一 双曲线的定义及运用 【例1】2．(2021·全国高二课时练习)动点P 到点(1,0)M 及点(5,0)N 的距离之差为2a ，则当1a =和2a =时，点P 的轨迹分别是( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线 (2)(2021·全国高二课时练习)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点， 点(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为( ) A ．9 B ．5 C ．8 D ．4 (3)(2021·全国)设双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F P 是双曲 线C 上一点，且1260F PF ∠=︒.若12F PF △的面积为a =( ) A ．1 B ．2 C ．4 D (4)．(2021·全国高二课时练习)已知双曲线2 2 :13y C x -=的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点， ()0,2M ，则PFM △的周长的最小值为( ) A ． 2+B ．4+ C ． D ．3 【答案】(1)C(2)A(3)D(4)A 【解析】(1)由题意，知4MN =，当1a =时， ||||224PM PN a -==<，此时点P 的轨迹是双曲线的一支； 当2a =时，||||24||PM PN a MN -===， 点P 的轨迹为以N 为端点沿x 轴向右的一条射线．
故选：C. (2)设右焦点为F '，则(4,0)F '，依题意，有||4PF PF '=+， ||||||44549PF PA PF PA AF ''∴+=++≥+=+=，(当P 在线段AF '上时，取等号)． 故||||PF PA +的最小值为9. 故选：A. (3)设2PF m =，1PF n =.由1260F PF ∠=︒，12F PF △ 的面积为 可得222 242cos601 sin 602n m a c m n mn mn ⎧ ⎪-=⎪=+-︒⎨⎪⎪︒=⎩，∴()2224416c n m mn a =-+=+① c a = a =故选：D. (4)设双曲线C 的左焦点为1F ，则12PF PF a -=．由题可知1a =，2c =， ∴12PF PF =+，()12,0F -，()2,0F ， ∴MF =PFM △ 的周长为12MF MP PF MP PF ++=++． ∵当M ，P ，1F 三点共线时，1MP PF + 最小，最小值为1MF = ∴PFM △ 的周长的最小值为2+ 故选：A 【一隅三反】 1．(2021·河北定兴第三中学)已知双曲线22 1916 x y - =的左右焦点1F ，2F ，P 是双曲线上一点，17PF =，则2PF =( ) A ．1或13 B ．1 C ．13 D ．9 【答案】C 【解析】根据双曲线定义可得1226PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =或213PF =， 又22225c a b =+=，
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--3.2.1 双曲线及其标准方程
3.2.1 双曲线及其标准方程 课标解读课标要求素养要求 1.了解双曲线的定义和标准方程. 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简 单的实际问题. 3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分. 1.数学抽象——能够抽象出双曲线的定义. 2.逻辑推理——能运用定义推导出双曲线的 标准方程. 3.数学运算——能够掌握双曲线标准方程的 求法. 4.数学建模——能运用双曲线解决实际问题. 自主学习·必备知识 教材研习 教材原句 1.双曲线的定义： 一般地，把平面内与两个定点F1,F2，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的①焦距. 2.双曲线的标准方程： 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 ②x 2 a2−y2 b2 =1(a>0,b>0)③y2 a2 −x2 b2 =1(a>0,b>0) 焦点F1(−c,0),F2(c,0)F1(0,−c),F2(0,c) a,b,c的关系④c2=a2+b2 自主思考 1.已知F1(−5,0),F2(5,0)，动点P满足|PF1|−|PF2|=8，则P点的轨迹是什么？ 提示因为F1F2|=10>8，所以P点的轨迹是双曲线的一支. 2.已知F1(−5,0)，F2(5,0)，动点P满足PF1|−|PF2|=0，则动点P的轨迹是什么？ 提示此时动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 3.焦点在x轴上的双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有什么不同？ 提示①形式不同，双曲线等号的右边是“-”，而椭圆是“+”；②标注不同，双曲线标注a> 0,b>0，椭圆标注的是a>b>0；③a,b,c的关系不同，在双曲线中c2=a2+b2，而椭圆中a2=b2+c2. 名师点睛 1.双曲线定义中的限制条件 若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线（包括端点）.若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则此时动点的轨迹不存在. 2.双曲线中一些常用的结论
人教A版选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程作业(2)(2)
【特供】3.2.1双曲线及其标准方程作业练习 一．填空题 1．已知，分别是双曲线： 的左？右焦点.若双曲线与圆：的一个交点为，且双曲线的渐近线为 ，则 ______. 2．已知点F 为双曲线的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线， 垂足为A ，若（点O 为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率， 则a 的取值范围为__________． 3．已知双曲线的焦距为是的右顶点，在的 一条渐近线上存在两点，使得，且，写出符合 条件的双曲线的一个标准方程为___________. 4．若三个点，，中恰有两个点在双曲线 上，则双曲线的渐近线方程为_______. 5．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为 ，则此双曲线方程为_________. 6．已知F 是双曲线的右焦点，若点P 是双曲线的左支上一点， ，则周长的最小值为______． 7．设双曲线的焦点为．，为该双曲线上的一点，若， 则 _________. 8．已知双曲线与双曲线具有共同渐近线，且过点 ，则曲线的方程为____________ 1F 2F C 22 221x y a b -=()0,0a b >>C O 2222x y a b +=+()00,A x y ()000,0x y <> C y =±21cos AF F ∠= ()22 2210,0x y a b a b -=＞＞OAF △e ∈()22 22:10,0x y C a b a b -=>>2c A ，C C ,M N AM AN c ＝＝120MAN ︒∠＝C ()2,1-()2,3-()2,1-22 2:1(0)x C y a a -=>C 221166x y +=1 3y x =±22 1 45x y - =A APF 22 1916x y -=1F 2F P 17PF =2PF = C 2 2 14y x -=()2,2C
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第三章圆锥曲线的方程 3.1椭圆 ................................................................................................................................ - 1 - 3.1.1椭圆及其标准方程.............................................................................................. - 1 - 3.1.2椭圆的简单几何性质.......................................................................................... - 7 - 3.2双曲线 .......................................................................................................................... - 20 - 3.2.1双曲线及其标准方程........................................................................................ - 20 - 3.2.2双曲线的简单几何性质.................................................................................... - 26 - 3.3抛物线 .......................................................................................................................... - 33 - 3.3.1抛物线及其标准方程........................................................................................ - 33 - 3.3.2抛物线的简单几何性质.................................................................................... - 38 - 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0) 焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关 系 c2＝a2－b2 求椭圆的标准方程 (1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)；