高中数学必修一练习题及答案详解

一、选择题

1．函数f （x ）=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ）

A ．ab=0

B ．a+b=0

C ．a=b

D ．a 2+b 2

=0

2．设函数1

1(0)2

()1(0)

x x f x x x

?-≥??=??

A.4

B.-2

C.4或1

2

-

D.4或-2 3．已知集合2

{|ln(1),}A y y x x R ==+∈，则=A C R ( ) A.? B.(,0]-∞ C.(,0)-∞ D.[0,)+∞

4．已知集合1

{|

1}1

x M x x +=≥-，集合{|230}N x x =+>，则()R C M N ?=( ) A ．3(,1)2- B ．3(,1]2- C ．3[,1)2- D ．3[,1]2

-

5．设 2.8log 3.1,log ,log e a b e c ππ===，则（ ） A ．b c a << B ．b a c << C ．c a b << D ．a c b << 6．函数2()1log f x x x =-的零点所在区间是（ ）

A ．11(,)42

B ．1(,1)2

C ．(1,2)

D ．(2,3) 7．若幂函数)(x f 的图象经过点)2

1,41(A ，则它在A 点处的切线方程为 （A ） 0144=++y x （B ）0144=+-y x （C ）02=-y x （D ）02=+y x 8．y=x )5

1(-x 3在区间[-1,1]上的最大值等于（ ） A.3 B.

314 C.5 D. 3

16 9．已知幂函数()m

f x x =的图象经过点（4，2），则(16)f =（ ）

A.

D.8

10．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当2

0()2x f x x x ≤=-时，则(1)f = ( ) A.—3 B.—1 C.1 D.3

11．已知222

125

log 5,log 7,log 7

a b ===则 （ ） A ．3

a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a

b

12．设集合{}

2230M x x x =--<，{}

22<=x x N ，则N C M R 等于（ ） A ．[]1,1- B ．(1,0)- C ．[)3,1 D ．(0,1) 13．若3log 41x =，则44x x -+=（） A. 1 B. 2 C. 83 D. 103

二、填空题

14．若sinx 3)(+=x x f ，则满足不等式0)3()12(>-+-m f m f 的ｍ的取值范围为 ． 15．1

2

lg 4lg 254

(4-0++--π) ．

16．已知函数?????<+≥=4

),1(4

,)21()(x x f x x f x

，则)3log 2(2+f 的值为

17．函数()sin()3

f x x π

=-的图象为C ,有如下结论:①图象C 关于直线56

x π

=

对称;②图象C 关于点4(

,0)3π对称;③函数)(x f 在区间5[,]36

ππ

内是增函数。 其中正确的结论序号是 .(写出所有正确结论的序号) . 18．设函数???>+-≤-=1

,341

,44)(2

x x x x x x f ，则函数2

1

)()(+

=x f x g 的零点个数为 个． 三、解答题 19．已知1

{|39}3

x A x =<<，2{log 0}B x x =>. （1）求A

B 和A

B ；

（2）定义{A B x x A -=∈且}x B ?，求A B -和B A -.

20．已知幂函数y ＝f(x)经过点12,8?? ???

. (1)试求函数解析式；

(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．

21．画出函数y ＝ 31x －的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程 31x －＝k 无解？有一个解？有两个解？

22．已知函数()ln f x ax x =-.(a 为常数) （1）当1a =时，求函数()f x 的最小值； （2）求函数()f x 在[1,)+∞上的最值； （3）试证明对任意的n N *∈都有1ln(1)1n n

+<

参考答案

1．D 【解析】

试题分析：是奇函数有f （0）=0，得b=0，f （-1）=-f （1），得a=0，∴答案是D. 考点：函数的奇偶性. 2．C

【解析】因为1()2f x =-，所以得到011122x x ≥???-=-??或0

112x x

?=-??所以解得1x =或2x =-.

所以()1f a =或()2f a =-.当可()1f a =时解得4a =.当()2f a =-时可解得12

a =-. 【考点】1.复合函数的运算.2. 分类讨论的思想.

3．C 【解析】

试题分析：因为2

ln(1)ln10,y x =+≥=所以[0,),(,0].R A C A =+∞=-∞选C.解这类问题，需注意集合中代表元素，明确求解目标是定义域，还是值域. 考点：函数值域，集合补集 4．B

试题分析：因为

121011x x x +≥?≥--，1x ∴>，()1,M ∴=+∞，而3,2N ??

=-+∞ ???

，(]33()

,1,,122R C M N ????

∴=-∞-+∞=- ? ?????

，故选B.

考点：1.分式不等式；2.一次不等式；3.集合的运算.

5．C 【解析】

试题分析：易知01b <<， 2.8 2.81log 3.1log a π<=<，又1log 2.8log 0e ππ

>>>，所以

2.81log log e c ππ<<=，∴1a c <<，∴b a c <<，故选C

考点：1对数函数的单调性；2对数函数的图像。

6．C 【解析】 试题分析：解：

2111131log 1044422f ??

=-=+=> ???

2111131log 1022222f ??

=-=+=> ???

()211log 11010f =-=+=> ()2212log 21210f =-=-=-<

根据函数的零点存在性定理可以判断，函数2()1log f x x x =-在区间(1,2)内存在零点. 考点：1、对数的运算性质；2、函数的零点存在性定理.

7．B

【解析】解：∵f （x ）是幂函数，设f （x ）=x α

∴图象经过点)2

1,41(A

∴12=（14

）α

∴α=1

2

∴f （x ）=x 12

f'（x ）

它在A 点处的切线方程的斜率为f'（

1

4

）=1，又过点A 所以在A 点处的切线方程为4x-4y+1=0

8．B

【解析】解：由y=x )51(是减函数，y=3x

是增函数，可知y=x )5

1(-x 3是减函数，故当x=-1

时，函数有最大值3

14

．故答案为B ．

9．B 【解析】

试题分析：因为幂函数()m

f x x =的图象经过点（4，2），所以有24m

=，解得1

2

m =

，所以(16)4f =．

考点：幂函数解析式与图象． 10．A 【解析】

试题分析：由()f x 是定义在R 上的奇函数，且当2

0()2x f x x x ≤=-时， 得2

(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-，选A. 考点：函数的奇偶性 11．B 【解析】 试题分析

：根据对数的运算法则,有

b a -=-=-=-=37log 5log 37log 5log 7log 125log 7

125

log 22232222

. 考点：对数的运算法则. 12．C 【解析】

试题分析：直接化简得{}|(3)(1)0(1,3)M x x x =-+<=-，(,1)N =-∞，[1,)R C N =+∞，利用数轴上可以看出[1,3)R M

C N =.

考点：1、集合的交集、补集；2、一元二次不等式；3、指数函数单调性. 13．D 【解析】

试题分析：由14log 3=x 得34=x

，所以3

1031344=+

=+-x

x . 考点：指对数式的互化，指数运算法则. 14．m>-2 【解析】

试题分析：因为sinx 3)(+=x x f 的定义域为R 关于原点对称切满足()()f x f x -=-,所以函数()f x 为奇函数,又因为'()3cosx>0f x =+,所以函数f(x)在R 上单调递增.则

(21)(3)0(21)(3)

f m f m f m f m -+->?->--(21)(3)213f m f m m m ?->-?->-?m>-2,故填m>-2.

考点：奇偶性 单调性 不等式 15．

2

3 【解析】

试题分析：原式=()

2

3121212100lg 2

12=-+

=-+- 考点：指数与对数 16．

24

1

【

解

析

】

解

：

因

为

函

数

?????<+≥=4

),1(4,)2

1()(x x f x x f x

，则

2

3l

o

g

3

221

1f (2log 3)f (3log 3)()2

24

+

+=+==

17．①②③ 【解析】 试题分析：①把6

x π

=

代入()sin 3f x x π??

=-

??

?

得: 55sin sin 16632f ππππ????

=-==

? ?

????

,所以图象C 关于直线56

x π

=对称; ②把43x π=

代入()sin 3f x x π?

?=- ??

?得:

54sin sin 06

33f ππππ????=-== ? ?????

,所以图象C 关于点4,03π??

???

对称; ()sin 3f x x π?

?=- ?

?

?的

单

调增区间为

()()52,22,232266x k k k Z x k k k Z π

ππππππππ????

-

∈-++∈?∈-++∈????????

,取0k = 得到一个增区间5,66ππ??-

????

,显然有55,,3666ππππ????

?-???????? .

考点：三角函数的对称轴及对称中心的性质,三角函数的单调区间求法.

1

的图象向上平移个单位得()

g x的图象，由图象可知，

(1,2)

B=(1,)

-+∞；（2）(]

1,1

A B

-=-，[)

2,

B A

-=+∞．

（1）分别求出A B B；﹙2﹚根据元素与集合的关系，由新定义求得A B

-和B A

-．

试题解析：（1）A{12}

x x

=-<<，B{1}

x x

=>，

(1,2)

A B=；(1,)

A B=-+∞．

（2）(]

1,1

A B

-=-，[)

2,

B A

-=+∞．

考点：1、指数与对数不等式的解法；2、集合的运算；3、创新能力．

20．（1）f(x)＝x－3（2）(),0

-∞，()

0,+∞

【解析】(1)由题意，得f(2)＝2a＝

1

8

a＝－3，

故函数解析式为f(x)＝x－3.

(2)定义域为(),0

-∞∪()

0,+∞，关于原点对称，

因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．

其单调减区间为(),0

-∞，()

0,+∞

21．当k＝0或k≥1时，方程有一个解；当0

【解析】由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0

22．解（1）当1a =时，函数()f x =ln x x

-，(0,)x ∈+∞

∵1

'()1f x x

=-

，令'()0f x =得1x = ∵当(0,1)x ∈时，'()0f x < ∴函数()f x 在(0,1)上为减函数 ∵当(1,)x ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在(1,)+∞上为增函数 ∴当1x =时，函数()f x 有最小值，()(1)1f x f ==最小值 （2）∵1'()f x a x

=-

若0a ≤，则对任意的[1,)x ∈+∞都有'()0f x <，∴函数()f x 在[1,)+∞上为减函数 ∴函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，没有最小值，()(1)f x f a ==最大值； 若0a >，令'()0f x =得1x a

= 当01a <<时，

11a >，当1(1,)x a ∈时'()0f x <，函数()f x 在1

(1,)a

上为减函数

当1(,)x a ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在1

(,)a +∞上为增函数

∴当1x a =时，函数()f x 有最小值，11

()()1ln f x f a a

==-最小值

当1a ≥时，1

1a

≤在[1,)+∞恒有'()0f x ≥

∴函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，

函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()(1)f x f a ==最小值.

综上得：当0a ≤时，函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，()f x a =最大值，没有最小值； 当01a <<时，函数()f x 有最小值，1

()1ln

f x a

=-最小值，没有最大值； 当1a ≥时，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()f x a =最小值，没有最大值．

(3)由（1）知函数()f x =ln x x -在(0,)+∞上有最小值1 即对任意的(0,)x ∈+∞都有ln 1x x -≥，即1ln x x -≥， 当且仅当1x =时“＝”成立

∵n N *∈ ∴10n n +>且1

1n n

+≠ ∴11111ln ln n n n n n n n +++->?>111ln(1)1ln(1)n n n n

?>+?>+

∴对任意的n N *∈都有1

ln(1)1n n

+<．

【解析】略

23．解 (1) a >0 即 012

>+ax

∴ R x ∈

∴ 定义域为),(+∞-∞ )(1

1)()()(2

2x f ax bx

x a x b x f -=+-=+--?=- ∴是奇函数)(x f

(2)

①21

1b )1(=+=

a f 又 14log 2

1

)14(log 23==-a

∴34=-b a ② 由①②得1,1==b a