正弦量的相量表示法

5．2 正弦量的相量表示法

一、复数及其运算

1、复数的形式及其相互转换

（1）代数形式（直角坐标形式）：A j a b =+

其中：a 为实部，[]A a Re =，b 为虚部,[]A b Im =；每一个复数在复平面上都可找到唯一的点与之对应，而复平面上的每一点也都对应着唯一的复数。

复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。复数A j a b =+，可以用一个从原点O 到P 点的矢量来表示，这种矢量称为复矢量。由图可知：

复数A 的模——矢量的长度：A r ==

复数A 的辐角：矢量和实轴正方向的夹角?：规定 π?≤

a

b arctan =?（复数落于第Ⅰ、Ⅳ象限）

或π?±=a

b

arctan

（复数落于第Ⅱ、Ⅲ象限） 实部：??cos cos A r a == 虚步：??sin sin A r b ==

（2）复数的三角形式：()????sin j cos sin j cos +=+=A A A A （3）复数的指数形式：?

j e A A =（欧拉公式：???

jsin cos j +=e ）

（4）复数的极坐标形式：?∠=A A

例5-3 写出复数12A 4j3 , A 3j4=-=-+的极坐标形式。

解 1A 的模 15r =

=

辐角 3

arctan

36.94

?1-==-? （在第四象限） 则1A 的极坐标形式为1A 5=∠-36.9?。

2A 的模 25r =

=

辐角 9.1261803

arctan 2=+-=?（在第二象限） 则 2A 的极坐标形式为2A 5126.9=∠?。

例5-4 写出复数A 10030=∠?的三角形式和代数形式。 解 三角形式： A 100(cos30jsin 30)=?+?

代数形式： A 100(c o s 30j s i n 30)86.

==+?+? 2、复数的运算

设 11111jb ?∠=+=A a A

22222jb ?∠=+=A a A

（1）复数相等：两个复数相等，则其实部和虚部分别对应相等或模、辅角相等。

即：若12A A =，则一定有：1212 , a a b b ==或2121,??==A A 。

（2）复数的加减法：实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。

()()212121b j b a a A A ±+±=±

复数的加减运算也可用几何作图法——平行四边形法和三角形法。如图为复数相加减矢量图。

（3）复数的乘法运算：模相乘，辐角相加。

)(2121221121????+∠?=∠?∠=?A A A A A A

（4）复数的除法运算复数相除就是其模相除，辐角相减。

)(212

1221121

????-∠=∠∠=A A A A A A

一般来说，复数的乘除运算用极坐标形式较为方便，加减运算用代数形式较为方便。 3、旋转因子 旋转因子j 1e

?

?=∠，即它是一个模为1 、辐角为?的复数。

任何一个复数A r ?=∠′乘以j e ?，即：j A e ?，相当于复数A 逆时针旋转?角度，而模不变；当复数A r ?=∠′除以j e ?

时，即：j A /e ?

，相当于把A 顺时针旋转?角度，而模不变。如下图(a)所示。

当2

π

?±

=时，π

j

2

j e

±=±。若一个复数乘以j ，就等于这个复数向量在复平面上按逆

时针方向旋转

π

2

，如下图（b ）所示；若一个复数除以j ，就等于该复数乘以j -，即该复数在复平面中按顺时针旋转π

2

，如下图（c ）。

（a ） (b) (c)

二、正弦量的相量表示

1、相量

设()?ω+=t U u sin m ，在复平面上做一个矢量，如图所示，①矢量的长度按比例等于振幅m U ； ②矢量和横轴正方向之间的夹角等于初相角?；③矢量以角速度ω绕坐标原点逆时针方向旋转。当时间0t =，该矢量在纵轴上的投影为m 'sin O a U ?=。经过一定时间1t t =，矢量从OA 转到OB ，这时矢量在纵轴上的投影为

m 1'sin(O b U t ω?=+)，即为1t 时刻正弦

量的瞬时值。由此可见，上述旋转矢量既

能反映正弦量的三要素，又能通过它在纵轴上的投影确定正弦量的瞬时值，所以复平面上一个旋转矢量可以完整地表示一个正弦量。

复平面上的矢量与复数是一一对应的，用复数j m U e ?

来表示复数的起始位置，再乘以旋转因子j t

e

ω便为上述旋转矢量，即

j j j()m m m m cos(j sin(t t U e e U e U t U t ?ωω?ω?ω?+?==+)++)

则j j sin(]t u t e ?ωω?=

+)=?

可见，复指数函数中的j Ue ?

是以正弦量的有效值为模，以初相为辐角的一个复常数，这个复常数定义为正弦量的有效值相量，记为.

U ，.

j =U Ue

U ?

?=∠。

同理，设()?ω+=t I i sin m ，则正弦电流的有效值电流相量为?∠=I I

。

例：①电流30i t =+)?A ，则其有效值相量为2230I =.

∠?A 。 ②已知角频率100rad/s ω=的正弦量u 的有效值相量为.

1045V U =∠-?，则其正弦量

瞬时值表达式为45V u t =-)?。

2、相量图

正弦量的相量是复数，可以将相量在复平面上用矢量表示。相量在复平面上的表示图称为相量图。

注意：只有同频率的正弦量所对应的相量才能画在同一复平面上。 三、正弦量的基本运算 1、同频率正弦量的代数和

设，111222sin( , sin( ,i t i t ω?ω?=

+)=+)…，这些正弦量的和设为正弦量

i ，则

12.

.

j j 12 ]]t

t

i i i I e I e ωω=++=++…

…

..

j

12

]t

I I eω

=++…)

而

.

j]t

i I eω

=

有

...

j j

12

]]

t t

I e I I e

ωω

=++…)

上式对于任何时刻都成立，故有

...

12

I I I

=++…

2、正弦量的微分

设正弦电流sin(

i

i tω?

=+)，对i求导，有

d d

sin(

d d

sin(π/2

sin(π/2

i

i

i

i

i t

t t

t

t

ω?

ωω?

ω?

=+)]

=++)

=++)

′=

′

其中I Iω

=′，则

..

π/2)=j

i

I I I

ω?ω

=+

′∠(

上式表明：正弦量的导数是一个同频率正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以jω，此相量的模为原来的ω倍，辐角则超前原相量π/2。

3、正弦量的积分

设正弦电流sin(

i

i tω?

=+)，对i积分，有

d sin(d

π

sin(

2

π

sin(

2

i

i

i

i i t t t

I

t

I t

ω?

ω?

ω

ω?

==+)

=+-)

+-)

??

′

′

.

.

π/2)=

j

i i

I I

I??

ωω

=-

′∠(∠

上式表明：正弦量的积分结果为同频率正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以jω，其模为原正弦量有效值的1/ω，其辐角滞后原正弦量π/2。

例5-5 试求下列正弦电压u。

（1）3cos24sin2

u t t

=+

解因原式中各项均为同频率的正弦量，可用相量法求解。具体做法是：先将原式各项均统一成sin函数，即

3cos24sin23sin(290)4sin2

u t t t t

=+=++

?

再用最大值相量表示：

.

m

3904043536.9

U=∠+∠=+=∠

??j?

则5sin(236.9)

u t

=+?

（2）

.

[j7(4/j)5/(20

U=-++∠?45?+2∠-3?)（已知rad/s

ω=2）

解

.

[j7(4/j)5900 U=-++∠?45?+2∠-3?)

1]

(j6)/(1j2.2 2.290

-

=-+=-=

=[-j7-j4+j5]/[1+j+

∠-?

则

90) u t

=-?