一元二次方程根的判别式及根与系数的关系练习题
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(9.16--17)
易错知识辨析:
(1)在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不
为零这个限制条件.
(2)应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意:
① 根的判别式042
≥-ac b ;
② 二次项系数0a ≠,即只有在一元二次方程有根的前提下,才能应用根与系数的关系.
1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2. 若方程kx 2-6x +1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .
3.设x 1、x 2是方程3x 2+4x -5=0的两根,则=+2
111x x ,.x 12+x 22= . 4.关于x 的方程2x 2+(m 2-9)x +m +1=0,当m = 时,两根互为倒数; 当m = 时,两根互为相反数.
5.若x 1 =23-是二次方程x 2+ax +1=0的一个根,则a = ,该方程的另一个根x 2 = .
6. 当k 为何值时,方程2
610x x k -+-=,
(1)两根相等;(2)有一根为0;(3)两根为倒数.
7.菱形ABCD 的一条对角线长为6,边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根,则菱形
ABCD 的周长为 .
【综合演练】
1.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根,则(x 1+1)(x 2+1)= __________,x 12+x 22=_________, 12
11x x +=__________,(x 1-x 2)2=_______. 2.当c =__________时,关于x 的方程2280x x c ++=有实数根.(填一个符合要求的数
即可)
3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0,且12
x =是方程的根,则a b +的值为 . 4. 已知a b ,是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根,则22a b +的最小
值是 .
5.已知α,β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根,且满足1
1
1αβ+=-,则m 的值是( )
A.3或1-
B.3 C.1 D.3-或1 6.一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ,,则221212x x x x +的值是( )
A.3 B.3-
C.13 D.13- 7.若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根,则实数m 的取值范围是( )
A .m B .m>-1 C .m>l D .m<-1 8.设关于x 的方程kx 2-(2k +1)x +k =0的两实数根为x 1、x 2,,若 ,4 171221=+x x x x 求k 的值. 9.已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=. (1)若方程有两个相等的实数根,求m 的值; (2)若方程的两实数根之积等于292m m -+ 一元二次方程根与系数的关系练习题(1) 一、 填空: 1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数,那么m = ;如果两根互为倒数,那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-4,那么m = ,n = . 6、以1x ,2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3,两数积为-4,则这两数分别为 . 9、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . 10、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2 221x x += . 11、若方程062=+-m x x 的一个根是23-,则另一根是 ,m 的值是 . 12、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k = , 若两根互为倒数,则k = . 13、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 14、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ,则 (1)1x 2+2x 2= _; (2)2111x x += ; (3)=-221)(x x _ _; (4))1)(1(21++x x = . 二、选择题: 1、关于x 的方程p x x --822=0有一个正根,一个负根,则p 的值是( ) (A )0 (B )正数 (C )-8 (D )-4 2、已知方程122-+x x =0的两根是1x ,2x ,那么=++12 21221x x x x ( ) 一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x -k=0根的判别式是 ;当k 时,方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x -k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根,则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时,关于x 的方程3x 2-2(3m+1)x+3m 2-1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax -4)-x 2+6=0没有实数根,那么a 的最小整数值 是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m -1)x -2=0的根的判别式的值等于4,则m= 。 8、设方程(x -a)(x -b)-cx=0的两根是α、β,试求方程(x -α)(x -β)+cx=0的根。 9、不解方程,判断下列关于x 的方程根的情况: (1)(a+1)x 2-2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时,方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证:关于x 的方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2-1)x 2+2(m+1)x+1=0,试问:m 为何实数值时,方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2-2x -m=0无实根(m 为实数),证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2- 1)(x 2+1)=0也无实根。 14、已知:a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时,方程2(m+1)x 2+4mx+2m -1=0。 (1)有两个不相等的实数根; (2)有两个实数根; (3)有两个相等的实数根; (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k -1)x 2-4x -6=0无实根时,k 应取何值? 17、已知:关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根,y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2-b)y+4=0的两实根,求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+p x+q=0的两个实根,且23x x x x 222121=++,25x 1x 12221=+求p 和 q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根,且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1, 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++,求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2-(3m -5)x -6m 2=0的两个实数根,且23x x 21=,求常数m 的值。 精心整理北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习 一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题 1.设α,β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根,则αβ的值是( ) A.2B.1C.-2D.-1 2 3 4.p,q 5.) 6.2的值为( A.-1B.9C.23D.27 7.已知一元二次方程的两根之和是3,两根之积是-2,则这个方程是( ) A.x2+3x-2=0B.x2+3x+2=0 C.x2-3x-2=0D.x2-3x+2=0 8.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=- 6,则a的值为( ) A.-10B.4C.-4D.10 9.菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO,BO的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根,则m的值为( ) A.-3B.5C.5或-3D.-5或3 10.2 x1x2 11. 12.+n= 13. 14. 15. 16. 17. (1)求m的取值范围; (2)当x12+x22=6x1x2时,求m的值. 18.关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在,求出k的值;若 不存在,说明理由. 19.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积. (1)x2+2x+1=0; (2)3x2-2x-1=0; (3)2x2+3=7x2+x; 2 20. (1) (2) 21. (1) (2) 10. 11. 13.10 14.10-400 15.m>1/2 16.x2-10x+9=0 17.解:(1)∵原方程有两个实数根,∴Δ=(-2)2-4(m-1)≥0,整理得:4-4m+4 一元二次方程根与系数的关系习题 主编:闫老师 [准备知识回顾]: 1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为:ac b 42-=? (1) 当0>?时,方程有两个不相等的实数根。 (2) 当0=?时,方程有两个相等的实数根。 (3) 当0 在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时,如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++.如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1:已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是 ,=k 。 解: 变式训练: 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少? 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少? 例2:设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值: (1)2221x x + (2))1)(1(21++x x (3)2111x x + (4)221)(x x - 一元二次方程根的判别式练习题 (一)填空 1.方程x2+2x-1+m=0有两个相等实数根,则m=____. 2.a是有理数,b是____时,方程2x2+(a+1)x-(3a2-4a+b)=0的根也是有理数. 3.当k<1时,方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0有____实数根. 5.若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根,则m的值为____. 6.方程4mx2-mx+1=0有两个相等的实数根,则 m为____. 7.方程x2-mx+n=0中,m,n均为有理数,且方程有一个根是2 8.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,如果a,b,c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数,则方程必有__.9.若m是非负整数且一元二次方程(1-m2)x2+2(1-m)x-1=0有两个实数根,则m的值为____. 10.若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根,则k的取值范围是____. 11.已知方程2x2-(3m+n)x+m·n=0有两个不相等的实数根,则m,n的取值范围是____. 12.若方程a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0的两个实数根相等,则a,b,c的关系式为_____. 13.二次方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个实数根,则k为___. 14.若一元二次方程(1-3k)x2+4x-2=0有实数根,则k的取值范围是____. 15.方程(x2+3x)2+9(x2+3x)+44=0解的情况是_解. 16.如果方程x2+px+q=0有相等的实数根,那么方程x2-p(1+q)x+q3+2q2+q=0____实根. (二)选择 那么α= [ ]. 18.关于x的方程:m(x2+x+1)=x2+x+2有两相等的实数根,则m值为 [ ]. 19.当m>4时,关于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实数根的个数为 [ ]. A.2个; B.1个; C.0个; D.不确定. 20.如果m为有理数,为使方程x2-4(m-1)x+3m2-2m+2k=0的根为有理数,则k的值为 [ ]. 则该方程 [ ]. A.无实数根; B.有相等的两实数根; C.有不等的两实数根; D.不能确定有无实数根. 22.若一元二次方程(1-2k)x2+8x=6没有实数根,那么k的最小整数值是 [ ]. A.2; B.0; C.1; D.3. 23.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,那么k的最大整数值是 [ ]. A.1; B.2; C.-1; D.0. 24.方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b+12=0有相同实根,则b的值是 [ ]. A.4; B.-7; C.4或-7; D.所有实数. [ ]. A.两个相等的有理根; B.两个相等的实数根; C.两个不等的有理根; D.两个不等的无理根. 26.方程2x(kx-5)-3x2+9=0有实数根,k的最大整数值是 [ ]. A.-1; B.0; C.1; D.2. 29.若m为有理数,且方程2x2+(m+1)x-(3m2-4m+n)=0的根为有理数,则n的值为 [ ]. A.4; B.1; C.-2; D.-6. 30.方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]. A.1; B.2; C.3; D. 4. 1、韦达定理(根与系数的关系) 韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明:定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空: 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = , 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x = ,1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数,那么m = ;如果两根互为倒数,那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-4,那么m = ,n = . 6、以1x ,2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 . 7、以13+,13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3,两数积为-4,则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-,则另一根是 ,m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k = ,若两根互为倒数,则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 初三数学根与系数关系式习题精选 一、填空题与选择题: 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12,b b -=12,且b a ≠,则=--)1)(1(b a . 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6,那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( ) A 、、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题: 8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: (1))3)(3(21--x x ; (2)2221)1()1(+++x x (3) 112112+++x x x x (4)||21x x - (5))31)(31(1221x x x x ++ (6)3231x x + (7) 21x x 9、已知1x ,2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根,且满足022 21=-x x ,求m 的值; 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和,方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ,求m 和n 的值。 一元二次方程根与系数的关系习题 主编:闫老师 [准备知识回顾]: 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为:ac b 42-=? (1) 当0>?时,方程有两个不相等的实数根。 (2) 当0=?时,方程有两个相等的实数根。 (3) 当0 在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时,如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++.如果 方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1:已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是 , =k 。 解: 变式训练: 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少? 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少? 例2:设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值: (1)2 22 1x x + (2))1)(1(21++x x (3)2 11 1x x + (4)221)(x x - 一元 二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x -k=0根的判别式是 ;当k 时,方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x -k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根,则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时,关于x 的方程3x 2-2(3m+1)x+3m 2-1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax -4)-x 2+6=0没有实数根,那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m -1)x -2=0的根的判别式的值等于4,则m= 。 8、设方程(x -a)(x -b)-cx=0的两根是α、β,试求方程(x -α)(x -β)+cx=0的根。 9、不解方程,判断下列关于x 的方程根的情况: (1)(a+1)x 2-2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时,方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证:关于x 的方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2-1)x 2+2(m+1)x+1=0,试问:m 为何实数值时,方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2-2x -m=0无实根(m 为实数),证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2-1)(x 2+1)=0也无实根。 14、已知:a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2 +bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时,方程2(m+1)x 2+4mx+2m -1=0。 (1)有两个不相等的实数根; (2)有两个实数根; (3)有两个相等的实数根; (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k -1)x 2-4x -6=0无实根时,k 应取何值? 17、已知:关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根,y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2-b)y+4=0的两实根,求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+p x+q=0的两个实根,且23x x x x 222121=++,25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根,且x 21+3x 1x 2+x 22=1,0)x 1(x )x 1(x 2211=+++,求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2-(3m -5)x -6m 2=0的两个实数根,且 23x x 21=,求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根,且α3 -α2β-αβ2+ β3=0,求证:p=0,q<0 22、已知方程(x -1)(x -2)=m 2 (m 为已知实数,且m ≠0),不解方程证明: (1)这个方程有两个不相等的实数根; (2)一个根大于2,另一个根小于1。一元二次方程根与系数的关系练习题
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