用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值

用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值

1、实验内容：

用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值。

2、实验目的：

1）学会使用MATLAB软件；

2）会使用MATLAB软件进行拉格朗日插值算法和分段线性

差值算法；

3、实验原理：

利用拉格朗日插值方法进行多项式插值，并将图形显式出来。

4、实验步骤及运行结果

（1）实现lagrange插值

1）定义函数：f = 1/(x^2+1) 将其保存在f.m 文件中，具体程序

如下：

function y = f1(x)

y = 1./(x.^2+1);

2）定义拉格朗日插值函数：将其保存在lagrange.m 文件中，

具体实现程序编程如下：

function y = lagrange(x0,y0,x)

m = length(x); /区间长度/

n = length(x0);

for i = 1:n

l(i) = 1;

end

for i = 1:m

for j = 1:n

for k = 1:n

if j == k

continue;

end

l(j) = ( x(i) -x0(k))/( x0(j) - x0(k) )*l(j);

end

end

end

y = 0;

for i = 1:n

y = y0(i) * l(i) + y;

end

3）建立测试程序，保存在text.m文件中，实现画图：

x=-5:0.001:5;

y=(1+x.^2).^-1;

p=polyfit(x,y,n);

py=vpa(poly2sym(p),10)

plot_x=-5:0.001:5;

f1=polyval(p,plot_x);

figure

plo t(x,y,‘r',plot_x,f1)

输入n=6,出现下面的图形：

通过上图可以看到当n=6是没有很好的模拟。

于是重新运行text.M并选择n=11

由此可见n=11时的图像是可以很好的实现模拟

（2）分段线性插值：

建立div_linear.m文件。具体编程如下

/*分段线性插值函数：div_linear.m 文件*/

function y = div_linear(x0,y0,x,n)

%for j = 1:length(x)

for i = 1:n-1

if (x >= x0(i)) && (x <= x0(i+1))

y = (x - x0(i+1))/(x0(i) - x0(i+1))*y0(i) + ( x - x0(i))/(x0(i+1) -

x0(i))*y0(i+1);

else

continue;

end

end

%end

测试程序（text2.m）:

n = input(‘输入n =:’);

x0 = linspace( -5,5,n);

for x = -5:0.01:5

y = div_linear(x0,f(x0),x,n);

hold on;

plot(x,y,'r');

plot(x,f(x),'b');

end

2）运行测试程序，这是会出现：

输入n=:

2)输入n=6，并按Enter键，出现：

4）关掉图形界面后，重新运行程序，输入n=11，并按enter键后

出现：

5）再次关掉图形界面，输入n=100，并按enter键，出现：

此时。图形将于原函数图形基本吻合，说明分割区间越多,图像接近

真实的图像。

（3）用lagrange插值观察y = |sin(k*π*x)|的误差分析：

1）编写函数文件，保存在f2.m 中

x=0:0.01:1;

k= input('输入k:')

n= input('输入n:');

y=abs(sin(k*pi*x));

p=polyfit(x,y,n-1);

py=vpa(poly2sym(p),8);

plot_x=0:0.01:1;

f1=polyval(p,plot_x);

plot(x,y,plot_x,f1);

2）运行该程序：

输入k=:1

输入n=:2

出现如下图形界面：

关掉图形界面后重新运行f2.m，输入k=：1，n=：3

出现如下界面：

再次关掉图形界面，

输入k=：1，n=：6 后出现：此时图形基本吻合。

类推，

输入k=2，n=3后出现：

k =2, n =11,出现如下图形：k =2,n =15,这时出现：

k =2,n =19,出现：

当k=2,n=21时，图形如下：

此时基本吻合。

5、实验总结：

通过本次课程设计，我初步掌握了MATLAB运用，加深了对于各种线性插值的理解；培养了独立工作能力和创造力；综合运用专业及基础知识，解决实际数学问题的能力；在本次课程设计中，在老师的精心指导下，收益匪浅。同时对数学的研究有了更深入的认识。