直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系（1）
田家炳实验中学 马晓红
一、考纲要求
1．了解空间直线和平面的位置关系；
2．掌握直线和平面平行的判定和性质.
二、知识梳理
1．直线和平面的位置关系 、 、 ．
2．直线和平面平行的判定定理
如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行．
(记忆口诀：线线平行 线面平行)
3．直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)
证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等.
三、基础训练
1．（1）若两直线a 、b 异面，且 a ∥ α,则b 与α的位置关系可能是
（2）若两直线a 、b 相交，且a ∥ α，则b 与α的位置关系可能是
（3）“直线a 垂直于平面α内的无数条直线”是“a 垂直于平面α”的 条件
2．对于直线m ，n 和平面α，下面命题中的真命题是
①如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n ∥α
②如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交
③如果m ?α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n
④如果m ∥α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n
3．在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ACD 和△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．
4．已知直线m ，n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m ，n 距离相等的点
的集合可能是(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是
5．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________．
① ?????m ?αl ∥m ?l ∥α ②
?????l ∥m m ∥α ?l ∥α ③ ?
????l ⊥βα⊥β ?l ∥α 6．已知P-ABC 为正三棱锥，D 为BC 中点，则直线BC 与平面P AD 的位置关系是
四、典型例题
例1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点.
求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ；
例2：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PD 平面⊥,DC PD =，
A
1B E
B C E 点E 是PC 的中点，PB EF ⊥作,垂足为点F 证明：PA ∥平面EDB
例3.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1
点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C 求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ； 五、回家作业
1．已知α∥β，a ?α，B ∈β，则在β内过点B A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在唯一一条与a 平行的直线
2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
A.若l m ⊥，m α?，则l α⊥
B.若l α⊥，l m //，则m α⊥
C.若l α//，m α?，则l m //
D.若l α//，m α//，则l m //
3．如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心. 从K 、H G 、B ′中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为
4．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
5. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3, BC ＝2 ,
D 是BC 的中点，F 是CC 1上一点，且CF ＝2，
E 是AA 1上一点，且AE ＝2.
求证：BE ∥平面ADF.
6. 如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. 设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE ．
课后反思: 本节课的教学目的是熟练掌握直线与平面平行的判定定理，会画
对判定定理作出归纳概括和重点说明。最后针对判定定理，给出两道例题三道练习来巩固熟悉判定定理。
这样的教学设计是为了让学生联系实际，在初步学习立体几何的时候能通过身边的空间感受来掌握知识内容。
需要改进的地方有：
1. 导入部分可以多加入一些本节课所要运用到的相关知识，为后面讲解
做好铺垫。
C A B
(精心整理)直线与平面的关系
第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈ L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2
空间中直线和平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
(完整版)讲义_直线与圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _ A _ l _ l _A _ l
上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A
直线与平面、平面与平面的位置关系知识点
//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b
【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b
点线圆与圆的位置关系
点、线、圆与圆的位置关系一：点与圆的位置关系： 1.点与圆的位置关系的判断 点与圆的位置关系 设O ⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： 点在圆外?d r>；点在圆上?d r=；点在圆内?d r<.如下表所示： 2.三角形外接圆的圆心与半径
三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 二：直线与圆的位置关系： 1.直线与圆的位置关系 设O ⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
2.切线的性质 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3.切线的判定 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4.切线长定理及三角形内切圆 ⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三：圆与圆的位置关系：
点线圆与圆的位置关系
点、线、圆与圆的位置关系 一：点与圆的位置关系： 1. 点与圆的位置关系的判断 点与圆的位置关系 设O ⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： 点在圆外?d r <. >；点在圆上?d r =；点在圆内?d r 2. 三角形外接圆的圆心与半径 三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 二：直线与圆的位置关系： 1.直线与圆的位置关系 设 2.切线的性质 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3.切线的判定 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4. 切线长定理及三角形内切圆 ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三：圆与圆的位置关系： 一：点与圆的位置关系： 1.点与圆的位置关系的判断： 例题1：⑴【易】一点到圆周上点的最大距离为18，最短距离为2，则这个圆的半径为___________ 【答案】10或8 【解析】当点在圆内时，圆的直径为18+2=20，所以半径为10． 当点在圆外时，圆的直径为18-2=16，所以半径为8． ⑵【易】已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M ． ①以点C 为圆心，4为半径作⊙C ，则点A 、B 、M 分别与⊙C 有怎样的位置关系？ ②若以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内，且至少有一点在圆外，求⊙C 的半径r 的取值范围． 【答案】①∵在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB 的中点为点M ∴AB ， 122 CM AM = = ， ∵ 以点C 为圆心，4为半径作⊙C ， ∴AC=4，则A 在圆上，42 CM = <，则M 在圆内，BC=5＞4，则B 在圆外； ②以点C 为圆心作⊙C ，使A 、B 、M 三点中至少有一点在⊙C 内时，2 r >， 当至少有一点在⊙C 外时，r ＜5， 故⊙C 的半径r 的取值范围为：52 r <<． 测一测1：【易】在△ABC 中，90,45,C AC AB ∠=?==， 以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.
直线与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0). [ 常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×) (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×) (5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√) (6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)
空间直线与平面平面与平面的位置关系
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_
D D所成的角， 2 = 3
D C P A B 解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60o ，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点， ∴PD= BC 2 7 , PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31 217 cos ==∠AD PD PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为 31 217 巩固练习： 1 选择题 （1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0o,90o ） （B ）[0o,90o] （C ）[0o,180o] （D ）[0o,180o) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④ 两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线 条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条 （C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题 （1）设斜线与平面?所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 .
即二面角A BC D --的大小为 2 arctan 2 （3）取AC的中点E，连接, EF OF，则//,// EF AB OE CD ∴OE与EF所成的锐角或直角即为异面直线AB和CD所成角 易求得45 OEF ∠= 即异面直线AB和CD所成角为45 例5、设P是△ABC所在平面M外一点，当P分别满足下列条件时，判断点P在M内的射影的位置． （1）P到三角形各边的距离相等． （2）P到三角形各顶点的距离相等． （3）PA、PB、PC两两垂直． 解析：设P在平面M内的射影是O． （1）O是△ABC的内心； （2）O是△ABC的外心； （3）O是△ABC的垂心．
直线与平面的关系
第二章直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为 A∈L,B∈L =>L α A∈α,B ∈α 公理1作用:判断直线就是否在平面内 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点,有且只有一个平面。 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理2作用:确定一个平面的依据。 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L 公理3作用:判定两个平面就是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调:公理4实质上就是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 异面直线:不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过这点的直线就是异面直线。这个定理就是判定空间两条直线就是异面直线的理论依据。 5 注意点:(1)直线所成的角θ∈(0, ]。 (2)条异面直线所成的角就是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b; (3)直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; (4)计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 a αa∩α=A a∥α L A · α C · B · A · α P · αL β 共面直线 2
机械制图教案-点、直线和平面的投影
教学设计
教学过程 教学环节教师讲授、指导（主导）内容 学生学习、 操作（主体）活动 时间 分配 一、二、三、组织教学与引入前言 问候同学，组织课堂教学，强调课堂纪律。 复习、提问 1、绘图工具的使用方法 2、草图如何绘制 导入新课 任何物体都是由点、线、面等几何元素构成的，只有学 习和掌握了几何元素的投影规律和特征，才能透彻理解机械 图样所表示物体的具体结构形状。本次课先来学习点的投影。 （一）点的投影及其标记 当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个 投影。如图2－11（a）所示，假设空间有一点A，过点A分 别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a′、a″，便 是点A在三个投影面上的投影。 规定用大写字母（如A）表示空间点，它的水平投影、 正面投影和侧面投影，分别用相应的小写字母（如a、a′和a″） 表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图2 －11（b）所示的带边框的三面投影图，即得到点A两面投影； 省略投影面的边框线，就得到如图2－11（c）所示的A点的 三面投影图，（注意：要与平面直角坐标系相区别。） （a）（b） 师生问好，强调课堂 纪律。 提问学生到黑板完成 练习题 详细讲解点在实际中 的应用 详细讲解点的投影及 标记 3 5 10 15
教学过程 教学环节 教师讲授、指导（主导）内容 学生学习、 操作（主体）活动 时间 分配 （c） 图2－11 点的两面投影 （二）点的三面投影规律 1、点的投影与点的空间位置的关系 从图2－11（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″分别为 点A到H、V、W面的距离，即： A a = a′a x = a″a y (即a″a YW)，反映空间点A到H面的距 离； A a′=a a x= a″a z ，反映空间点A到V面的距离； A a″= a′a z = a a y (即a YH)，反映空间点A到W面的距离； 上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关 系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。反之，若 已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。 2、点的三面投影规律 由图2－11中还可以看出： a a YH = a′a z 即a′a⊥OX a′a x= a″a YW即a′a″⊥OZ a a x= a″a z 这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定 的位置关系。而且这个关系不因空间点的位置改变而改变， 因此可以把它概括为普遍性的投影规律： （1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a ⊥OX； （2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″ ⊥OZ； （3）点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″ 到OZ轴的距离，即a a x = a″a z 。（可以用45°辅助线或以原 点为圆心作弧线来反映这一投影关系） 小结：总结本节课内容并布置课后作业。 学生练习，教师指导 详细讲解点的投影和 空间位置关系 详细讲解点的三面投 影 学生练习，教师讲解 总结并不知作业 10 15 15 15 2
专项---线与面、面与面的位置关系
1. 下面命题中，正确结论有 ① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ② 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； ③ 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④ 如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． 2. 给出下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ； ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中真命题的个数为________． 3. (10年广东)若a 不平行于平面α，且a ?α，则下列结论成立的是______． ①α内的所有直线与a 异面 ②α内与a 平行的直线不存在 ③α内存在唯一的直线与a 平行 ④α内的直线与a 都相交 4. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是________． ①,,m n m n αα若则‖‖‖ ②,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ ③,,m m αβαβ若则‖‖‖ ④,,m n m n αα⊥⊥若则‖ 5. 已知βα,、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。 其中正确命题的序号是 6. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若,,,m l A A m l m αα?=?I 点则与不共面； ②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα； ④若,,,//,//,//.l m l m A l m ααββαβ??=I 点则 其中为真命题的是 . 7. 【江苏·苏州】已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面， 有下列四个命题：
必修二数学点线面之间的位置关系
必修二数学点、线、面之间的位置关系 一、基本位置关系 【知识要点】 1. 公理： 公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号表示：ααα??∈∈∈∈l B A l B l A ,,,。 公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示：l P l P P ∈=??∈∈,,βαβα。 2. 直线之间的位置关系 （1）平行：在同一平面内，且没有交点。 （2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。 （3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共点。 公理4（平行公理）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示：313221////,//l l l l l l ?。 定理：空间中如果有两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3. 直线与平面之间的位置关系 （1）直线在平面内----有无数个公共点 （2）直线与平面相交--有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行----没有公共点 注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 4. 平面与平面之间的位置关系 （1）两个平面平行---没有公共点 （2）两个平面相交---有一条公共直线 【基础训练】 1. 不共线的四点可以确定平面的个数可能为（ ） A.1或2个 B.2或3个 C.3或4个 D.1或4个 2. 若直线上有两个点在平面外，正确结论是（ ） A.直线在平面内 B.直线在平面外 C.直线上所有点都在平面外 D.直线与平面相交 3. 以下命题正确的是（ ） A ．两个平面可以只有一个交点 B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点
直线和平面的关系
直线与平面平行的判定 一、教学思想：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，让学生在观察分析、自主探索，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。 二、学生学习情况分析： 学生基础差，学习积极性不高，学习方面有一定困难。 三，教学目标：本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。 四、教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 五、教学过程设计 （一）知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：(多媒体幻灯片演示) 提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。 （二）判定定理的探求过程 1、直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。 生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线②平面内一条直线③这两条直线平行 (2)如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？ 4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示） 直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。 简单概括：（内外）线线平行，线面平行
直线与圆的位置关系(教案)
《直线与圆的位置关系》的教学设计 一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直 线与圆的位置关系”第一课时。 二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。 三、教学目标： 1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点、关键： （1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系 （2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解 （3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。 五、教学方法与手段： 1．教学方法：探究式教学法 2。教学手段：多媒体、实物投影仪 六、教学过程： 1．创设情境，提出问题 教师利用多媒体展示如下问题： 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。 设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。 2．切入主题，提出课题 （1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式
空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：
β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα
点、线、面的位置关系
数学高考总复习：点、线、面的位置关系 知识网络： 目标认知 考试大纲要求 （一）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. （二）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. （三）理解以下性质定理，并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. （四）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 重点： 掌握平面的基本性质；掌握线线、线面、面面的位置关系及其判定定理和性质定理。 难点： 线线、线面、面面的位置关系的判定定理和性质定理的应用。 知识要点梳理： 知识点一：平面 1．概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。 2．平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍，画两个平面相 交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。 ②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面 等。 知识点二：点、线、面的基本位置关系 在直线上 点不在直线上 点在平面内
空间中直线与平面、平面与平面之间的关系
科目：数学 课题§2.1.3空间中直线与平面、平面与平面 之间的关系 课型新课 教学目标（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力. 教学过程教学内容备 注 一、自主学习 1.空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？空间两直线有哪几种位置关系？ 2.就空间点、线、面位置关系而言，还有哪几种类型有待分析？
二、质疑提问思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？ 思考3:如图，线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有几种位置关系？ 思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点； （2）直线与平面相交---有且只有一个共点； （3）直线与平面平行---没有公共点. 思考5:下图表示直线与平面的三种位置，如何用符号
语言描述这三种位置关系？ 思考6:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 用符号语言怎样表述？ 思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l平行于平面α，则直线l与平面α内的直线的位置关系如何？ 思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？ 思考2:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？ （1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线. 思考4:下图表示两平面之间的两种位置，如何用符号语言描述这两种位置关系？
第3章 点、直线和平面的投影
图3.1 中心投影法图3.2 平行投影法 1．中心投影法 该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。 2．平行投影法 投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。 平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。 3. 正投影法的基本特性 ⑴实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图3.5(a)所示。 ⑵积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图3.5(b)所示。 ⑶类似性 当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图3.5(c)所示。 (a) (b) (c)
图3.5 正投影法的基本特性 3.1.2 三视图的形成 根据GB/T14692—1993《技术制图投影法》规定，用正投影法所绘制的物体的图形，称为视图。 1．三投影面体系 图3.6 三投影面体系图3.7 三视图的形成过程 三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成。其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线称OZ轴。三根投影轴的交点为原点，记为O。 2．三视图的形成 (a) (b) ( c) 图3.8 三视图的形成 如图3.7所示,将物体放在三投影面体系内,分别向三个投影面投射。为了使所得的三个投影处于同一平面上，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，与V面处于同一平面上，如图3.8(a)所示。这样便得到物体的三个视图。V面上的视图称为主视图，H面
直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系（1） 田家炳实验中学 马晓红 一、考纲要求 1．了解空间直线和平面的位置关系； 2．掌握直线和平面平行的判定和性质. 二、知识梳理 1．直线和平面的位置关系 、 、 ． 2．直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行) 证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等. 三、基础训练 1．（1）若两直线a 、b 异面，且 a ∥ α,则b 与α的位置关系可能是 （2）若两直线a 、b 相交，且a ∥ α，则b 与α的位置关系可能是 （3）“直线a 垂直于平面α内的无数条直线”是“a 垂直于平面α”的 条件 2．对于直线m ，n 和平面α，下面命题中的真命题是 ①如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n ∥α ②如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交 ③如果m ?α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n ④如果m ∥α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n 3．在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ACD 和△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________． 4．已知直线m ，n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m ，n 距离相等的点 的集合可能是(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是 5．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________． ① ?????m ?αl ∥m ?l ∥α ② ?????l ∥m m ∥α ?l ∥α ③ ? ????l ⊥βα⊥β ?l ∥α 6．已知P-ABC 为正三棱锥，D 为BC 中点，则直线BC 与平面P AD 的位置关系是 四、典型例题 例1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； 例2：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PD 平面⊥,DC PD =，
第2章 点、直线和平面的投影概论
广东技术师范学院天河学院 教案
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第2章点、直线和平面的投影 一、本章重点： 1．点的坐标与投影，重影点； 2．直线在三面投影体系中的投影特性； 3．平面的投影特性，平面上的直线和点。 二、本章难点： 1．求线段的实长及其对投影面的倾角； 2．两直线的相对位置； 3．直线上的点和平面上的线。 三、本章要求： 掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影。了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。 四、教学手段 讲授法，演示法教学、习题集作业 五、本章内容： 2．1 投影法的基本知识 2.1.1 投影法概述 在日常生活中，我们经常看到物体在日光或灯光照射下，在地面或墙上产生影子，这种现象叫投射。人们根据这种自然现象，经过科学的抽象提出了投影法。 将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线，投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。投射线的方向称为投射方向，选定的平面称为投影面，投射所得到的图形称为投影。 图2.1 中心投影法图2.2 平行投影法
1．中心投影法 该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。 2．平行投影法 投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。 平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。 3. 正投影法的基本特性 ⑴实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图2.5(a)所示。 ⑵积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2.5(b)所示。 ⑶类似性 当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。 另外，平行投影法还有这样的规律： （1）平行两直线的投影仍互相平行。 （2）属于直线的点，其投影仍属于直线的投影 （3）点分线段之比，投射后保持不变。 (a) (b) (c) 图2.5 正投影法的基本特性