八年级轴对称专题课讲义(精)

轴对称

【知识梳理】

一、轴对称与轴对称图形的区别与联系:

二、轴对称的性质:

1. 关于某条直线对称的两个图形是 _________。(全等图形一定轴对称吗?

2. 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的 __________。

3. 两个图形关于某直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在________上。

【典型题型】

轴对称、中心对称题型的识别:

例 1、(2010? 兰州观察下列银行标志,从图案看既是轴对称图形也是中心对称

图形的有 (个.

A . 1个

B . 2个

C . 3个

D . 4个

练习 1、写出以下轴对称图形的对称轴条数: (1直线 _______ (2线段 _______ (3角 _______ (4圆 _______

(5等腰三角形 _______ (6等边三角形 _______

作已知图形的轴对称图形

例 2、 (2009 四川眉山, 19 在 33 的正方形格点图中, 有格点△ ABC 和△ DEF , 且△ ABC 和△ DEF 关于某直线成轴对称,请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF 。

练习 2、画出以下图形的轴对称图形 :

轴对称的概念和性质应用

例 3、下列命题中 , 说法正确的是 (

A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形

B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形

C 关于某直线对称的两个三角形全等

D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等

练习 3、 1、下列说法中 , 正确的有( (1 . 两个关于某直线对称的图形是全等形 ;

(2两个图形关于某直线对称 , 对称点一定在直线两旁 ;

(3两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 ; (4平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称 . A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

图形的“折叠”问题

例 4、 (2009 江苏, 26将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,折痕为 BE (如图③ ;再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE 上的点D '处,折痕为 E G (如图④ ;再展平纸片(如图⑤ .求图⑤中α∠的大小.

练习 4、矩形纸片 ABCD 的边长 AB =4, AD =2.将矩形纸片沿 EF 折叠,使点 A 与点 C 重合, 折叠后在其一面着色 (如图 ,则着色部分的面积为( B

(A 8 (B

(C 4 (D52

E D C

F B A

图③ D C A B F '

A D E C 图④图⑤ A

(第 11题

利用对称轴解决几何最值问题

例 5、在一平直河岸 l 同侧有 A , B 两个村庄, A , B 到 l 的距离分别是 3 km和2 km, AB= a km(a >1 .现计划在河岸 l 上建一抽水站 P ,用输水管向两个村庄供水.

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图 13-1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为 d1,且 d1=PB+BA(km (其中 BP ⊥ l于点 P ;图 13-2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为 d2 ,且 d2=PA+PB(km (其中点与点 A 关于 l 对称, B 与l 交于点 P .

观察计算

(1在方案一中, d1= ___________km(用含 a 的式子表示 ;

(2在方案二中,组长小宇为了计算 d2的长,作了如图 13-3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算, d2=__________________km(用含 a 的式子表示 .

练习 5、如图 , 正方形 ABCD 的边长为 8, M 在 DC 上,且 DM=2, N 是 AC 上的一动点, DN+MN的最小值为 __________________。

全等三角形解题能力提升

1. 全等三角形的性质

(1全等三角形中,对应边相等,对应角相等。

2全等三角形的对应线段(对应边上的中线,对应边上的高,对应角的平分线相等。 (3全等三角形的周长相等,面积相等。 2. 全等三角形的五种判定公理:

(1三边对应相等的两个三角形全等, “边边边” (SSS ;

(2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等, “边角边” (SAS ; (3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等, “角边角” (ASA ; (4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等, “角角边” (AAS ; (5斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等, “斜边,直角边” (HL 一、挖掘“隐含条件”判全等

【提示】 :公共边,公共角,对顶角这些都是隐含的边,角相等的条件 1.如图(1, AB=CD, AC=BD,则△ ABC ≌△ DCB 吗 ? 说说理由

二、添条件判全等【提示】 :添加条件的题目 . 首先要找到已具备的条件 , 这些条件有些是题目已知条件 , 有些是图中隐含条件 . 如图,已知 AD 平分∠ BAC ,

要使△ ABD ≌△ ACD ,需要哪些条件?

三、熟练转化“间接条件”判全等

如图(4 AE=CF,∠ AFD=∠ CEB , DF=BE,△ AFD 与△ CEB 全等吗?为什么?

四、条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线

如图 3, AB=AC,∠ 1=∠ 2. 求证:AO 平分∠ BAC

B A

图 3

构造全等三角形的主要方法常见的构造三角形全等的方法有以下三种：①涉及三角形的中线问题时，采用延长中线一倍来构造一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线来构造一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形；（1）利用中点（中线）构造全等若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。例 1：如图，已知Δ ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求

证：Δ ABC 是等腰三角形。（2）利用角平分线构造全等遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例 2：已知，如图，AC 平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°。（3）用“截长补短”法构造全等证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形。具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 3：如图甲，

AD∥BC，点 E 在线段 AB 上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：

CD=AD+BC。

新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习

第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个 2．图中，轴对称图形的个数是【】 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质 4．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。 BC 5．如图，△ABC中，AB＝AC，PB＝PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分 6．如图,DE是?ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则?EBC 的周长为【】 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米

人教版八年级数学上册轴对称解答题专题练习(解析版)

人教版八年级数学上册轴对称解答题专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜ 103)；（2）1769 或32 【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H ∵∠C=45°，DH ⊥BC ∴△DHC 是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90° ∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8 ∴BH=BC －HC=6 ∴AD=6 （2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G ∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45° ∵EP ⊥PF ∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形 ∵AE=x ∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162 x + 同理，PR= 12y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR ∴8－x= ()11622 x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103 当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜103 （3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x= 83=AE

人教版-数学-八年级上册-讲义：画轴对称图形

画轴对称图形知识点讲解知识点一：轴对称变换轴对称变换定义：由一个平面图形得到与它关于某直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。轴对称变换性质：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。行图形上的每一点都是原图形上某一点关于直线l的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。例1：如图，△DEF是由△ABC经轴对称变换得到的，对称轴为直线l。 △DEF与△ABC全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？分别找出点C.点B关于直线l的对称点，如果点M在△ABC内，那么点M关于直线l的对称点一定在△DEF内吗？连接BE，线段BE与直线l有怎样的关系？画轴对称图形画关于直线对称的图形的步骤：找：在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；作：作各个特殊点关于已知直线的对称点；连：按原图对应连接各对称点。

作△ABC 关于直线l 对称的图形：如上图，过点A 作直线l 的垂线，垂足为点O ，在垂线上截取OA A O ='，点A '就是点A 关于直线l 的对称点；类似地，分别作出点B.C 关于直线l 的对称点B '、C '；连接B A ''、C B ''、A C ''，得到的△C B A '''即为所求作的图形。例2：如图所示，已知△ABC 和直线MN ，求作△C B A '''，使△C B A '''和△ABC 关于直线MN 对称。（不要求写作法）用坐标表示轴对称关于x 轴对称：点(a ，b)关于x 轴对称的点的坐标为(a ，﹣b)。关于y 轴对称：点(a ，b)关于y 轴对称的点的坐标为(﹣a ，b)。在直角坐标系中作已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法：写出坐标：写出对称点的坐标；描点：根据对称点的坐标描点；连接：按原图形对应连接所描各点得到所求作的图形。横坐标相同，纵坐标互为相反数的两点关于x 轴对称；横坐标互为相反数，纵坐标相同的两点关于y 轴对称。点(a ，b)在平面直角坐标系中的对称点：点(a ，b)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(b ，a)；

人教版数学八年级上册轴对称填空选择专题练习(解析版)

人教版数学八年级上册轴对称填空选择专题练习（解析版）一、八年级数学全等三角形填空题（难） 1．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．【答案】1或7 【解析】【分析】分点P在线段BC上和点P在线段AD上两种情况解答即可．【详解】设点P的运动时间为t秒，则BP=2t，当点P在线段BC上时， ∵四边形ABCD为长方形， ∴AB=CD，∠B=∠DCE=90°，此时有△ABP≌△DCE， ∴BP=CE，即2t=2，解得t=1；当点P在线段AD上时， ∵AB=4，AD=6， ∴BC=6，CD=4， ∴AP=BC+CD+DA=6+4+6=16， ∴AP=16-2t，此时有△ABP≌△CDE， ∴AP=CE，即16-2t=2，解得t=7；综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．故答案为1或7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等方法有：ASA、SAS、AAS、SSS、HL．解决本题时注意分情况讨论，不要漏解. 2．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．

【答案】12.5 【解析】【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=1 2 ×5×5=12.5，即可得出结论．【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E， ∵∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC， ∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB， ∴△ACD≌△AEB（ASA）， ∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等， ∵S△ACE=1 2 ×5×5=12.5， ∴四边形ABCD的面积为12.5，故答案为12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 3．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CDE＝55°．如图，则∠EAB的度数为_________

人教版八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版

人教版八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（word版一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点. (1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形. (2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】 (1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出 ∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； (2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出 ∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形. 【详解】解：（1）连结AD , ∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 , ∴AD⊥BC ,BD=AD , ∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°, 又∵BE=AF , ∴△BDE≌△ADF（SAS）, ∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF, ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°, ∴△DEF为等腰直角三角形. （2）连结AD

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 , ∴AD=BD ,AD⊥BC , ∴∠DAC=∠ABD=45° , ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE , ∴△DAF≌△DBE（SAS）, ∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB, ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF为等腰直角三角形. 【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定． 2．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且 AD=AE，连接DE． ⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数； ⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数； ⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设 ∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图

八年级数学上册轴对称知识点总结好

八年级数学上册轴对称知识点总结好 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

轴对称知识点总结1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。（2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。（3）对应点到对称轴的距离相等。（4）对应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线：（1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。如图2， ∵CA=CB，直线m⊥AB于C， ∴直线m是线段 AB的垂直平分线。（2）性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。如图3， ∵CA=CB，直线m⊥AB于C，点P是直线m上的点。 ∴PA=PB 。（3）判定。与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。如图3，∵PA=PB， m C A B 图2 图3

直线m 是线段AB ∴点P 在直线m 上。 6、等腰三角形：（1做等腰三角形。相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角。腰与底的夹角叫做底角。说明：顶角=180°- 2底角底角=顶角21-902180?=-?可见，底角只能是锐角。（2）性质。线” ，只有一条。等边对等角。如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 3）判定。 5，在△ABC 中， ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形。 5，在△ABC 中 ∵∠B=∠C ∴△ABC 是等腰三角形。 1）定义。三条边都相等的三角形，叫 2）性质。，有三条。 D'D C'B'A'K J I H B 图5

八年级数学——轴对称专项练习题

轴对称专题训练专题一轴对称图形 1．【2012·连云港】下列图案是轴对称图形的是（） 2．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质 3．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 4．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数． 5．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？

专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C D．1 7．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________． 8．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围 9．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（） A．1 B．－1 C．5 D．－5 10．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．

八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版

八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（word版一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此 CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出 EM=PN=1 2 AD，EC=MF= 1 2 AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结

(完整版)八年级数学《轴对称》练习及答案

E D C A B M N F 八年级数学《轴对称》同步练习题【基础达标】 1.选择题: ⑴下列说法错误．．的是( ) A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B.轴对称图形至少有一条对称轴 C.全等三角形一定能关于某条直线对称 D.角是关于它的平分线对称的图形 ⑵下列图形中，是．轴对称图形的为 ( ) ⑶下图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是( ) 2.填空题: ⑴观察右上图中的两个图案，是轴对称图形的为________，它有_____条对称轴． ⑵如右下图，△ABC 与△AED 关于直线l 对称，若AB=2cm ，∠C=95°，则AE= ，∠D= 度． ⑶坐标平面内，点A 和B 关于x 轴对称，若点A 到x 轴的距离是3cm ，则点B 到x?轴的距离是__________． 3.下图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴． 4.如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称．BC 与DE 的交点F 在直线MN 上. ⑴指出两个三角形中的对称点； ⑵指出图中相等的线段和角； ⑶图中还有对称的三角形吗？ 5.如图，把一张纸片对折后，用笔尖在纸上扎出图⑶所示的图案，将纸打开后铺平，观察你所得的图案.位于折痕两侧的部分有什么关系？与同伴交流你的想法．

D C A B E D C A B E D C A B 【能力巩固】 6.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。 ◇同步训练2◇ 【基础达标】 1.选择题: ⑴在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 ⑵△ABC 中，AC ＞BC ，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，已知AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 ⑶平面内到不在同一条直线的三个点A 、B 、C 的距离相等的点有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.填空题: ⑴如右图，△ABC 中，AB=AC=14cm ，D 是AB 的中点，DE ⊥AB 于D 交AC 于E ，△EBC 的周长是24cm ，则BC=_________． ⑵互不平行的两条线段AB 、B A ''关于直线l 对称，AB 和B A ''所在直线交于点P ，下面结论：①AB=B A ''；②点P 在直线l 上；③若点A 、A '是对称点，则l 垂直平分线段A A '；④若点B 、B '是对称点，则PB=B P '，其中正确的有 (只填序号). 3.△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P.求证：点P 在BC 的垂直平分线上. 4.如图，直线AD 是线段BC 的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD. 5.如图，△ABC 中∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．

苏教版八年级轴对称与轴对称图形讲义

第2章轴对称图形第1课时轴对称与轴对称图形知识点 1．轴对称如图①，把△ABC沿着直线m_______，如果它能够与△A'B'C'_______，那么称这两个图形关于这条直线_______，也称这两个图形成_______，这条直线叫做_______，两个图形中的对应点叫做_______．请写出图①中的一对对称点：_______． 2．轴对称图形如图②，把已知图形沿着某一条_______折叠，如果直线两旁的部分能够 _______，那么这个图形是_______，这条_______就是对称轴． 3．轴对称与轴对称图形的区别与联系区别：轴对称是指_______个形状、大小一样的图形的位置关系；轴对称图形是指 _______个具有特殊形状的图形．联系：如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个_______；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成_______．例题精讲例1．在下列永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是( ) 例2．(1)如图①是从镜子中看到的一串数字，这串数字实际上应为_______． (2)如图②是一辆汽车，的车牌在水中的倒影，你能确定该车的车牌号码吗？例3．如图，由4个全等的正方形组成L形图案，（1）请你在图案中改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图案．（2）请你在图中再添加1个小正方形，使它变成轴对称图案．例4．如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．

拓展提高为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形;⑵四块图形形状相同;⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法：⑴分别作两条对角线（图1）⑵过一条边的三等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法．．．．．．．．．．．．同步练习 1．下列图形是轴对称图形的是 ( ) 2．下列各网格中的图形，不是轴对称图形的是 ( ) 3．如图，下列图案中，轴对称图形的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，在长方形ABCD 中，连接AC 、BD 相交于点O ．用折叠的方法可以判断图中成轴对称的三角形有 ( ) A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对 5．请写出两个具有轴对称图形特征的汉字：_______． 6．如图，镜子中的号码对应的实际号码是_______． 7．数的运算中会有一些有趣的对称形式，如12×231＝132×21．仿照这一形式，写出下面两个等式：12×462＝_______，18×891＝_______．方法一方法二方法三图1 图2

初二八年级数学轴对称图形课后练习题(含答案)

《轴对称图形》课后练习 1．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是() ①②③④ A．①②③B．②③④ C．③④① D．④①② 2．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A．有两个角相等的三角形 B．有一个角为45o的直角三角形 C．有一个内角为30o，一个内角为120o的三角形 D．有一个内角为30o的直角三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( ) A．过顶点的直线 B．顶角的平分线 C．底边的垂直平分线 D．腰上的高 4．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A．角B．等边三角形 C．线段 D．不等边三角形 5．正五角星的对称轴的条数是( ) A．1条B．2条C．5条 D．10条

6．下列图形中有4条对称轴的是( ) A．平行四边形B．矩形 C．正方形D．菱形 7．下列说法中，正确的是( ) A．两个全等三角形组成一个轴对称图形 B．直角三角形一定是轴对称图形 C．轴对称图形是由两个图形组成的 D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形 8．如图，ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称，下列结论中： ①ΔABC≌ΔA’B’C’； ②∠BAC’≌∠B’AC； ③l垂直平分CC’； ④直线BC和B’C’的交点不一定在l上，正确的有( ) A．4个B．3个 C．2个D．1个 9．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2 = 5cm，则ΔPMN的周长是( ) A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm 10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（）

八年级轴对称练习题

轴对称一、选择题： 1.在平面直角坐标系中，点(5，6) 关于x 轴的对称点是（） A.(6，5) B.(－5，6) C.(5，－6) D.(－5，－6) 2.已知点P 关于x 轴的对称点为（a,－2），关于y 轴的对称点为（1，b ），那么点P 的坐标为（） A. （a,－b ） B.(b,－a) C.(－2,1) D.(－1,2) 3.到三角形三边距离都相等的点是三角形（）的交点. A.三边中垂线 B.三条中线 C.三条高 D.三条内角平分线 4.到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（）的交点. A. 三边中垂线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条内角平分线 5.下列图形中,是轴对称图形的有__________个:①角;②线段;③等腰三角形;④扇形;⑤三角形;⑥正方形;⑦平行四边形;⑧五边形. 个个个个 6.如图，∠AOB 内一点P ，P 1、P 2分别是P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于M ，交OB 于 N ，若P 1P 2 = 5cm ，则ΔPMN 的周长是( ) 7.若等腰三角形的周长为12，则腰长的取值范围是（） >5 <5

八年级数学轴对称画图题专题难点训练

八年级数学轴对称画图题专题难点训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，点P是线段AB上的一点，请在图中完成下列操作．（1）过点P画BC的垂线，垂足为H；（2）过点P画AB的垂线，交BC于Q；（3）线段的长度是点P到直线BC的距离． 2．作图题: （1）过点A画高AD；（2）过点B画中线BE；（3）过点C画角平分线CF． 3．在下面的方格纸中，（1）先画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l1对称；再画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于直线l2对称；（2）若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向平移格． 4．如图，在正方形网格上有一个△DEF．

（1）画出△DEF关于直线HG的轴对称图形（不写画法）；（2）画EF边上的高（不写画法）；（3）若网格上的最小正方形边长为1，则△DEF的面积为． 5．如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A、B、M、N 均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D，点B 的对称点为点C． 6．已知：如图，已知△ABC (1)点A关于x轴对称的点A1的坐标是，点A关于y轴对称的点A2的坐标是； (2)画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (3)画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2． 7．如图所示的点A、B、C、D、E．

（1）点和点关于x轴对称；（2）点和点关于y轴对称；（3）点A和点D关于直线l成轴对称，请画出直线l．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 8．如图，根据要求回答下列问题：（1）点A关于y轴对称点A’的坐标是；点B关于y轴对称点B’的坐标是；（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A’B’C’（不要求写作法）（3）求△ABC的面积是 9．如图，根据要求回答下列问题：（1）点A关于y轴对称点A′的坐标是；点B关于y轴对称点B′的坐标是（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′（不要求写作法）（3）求△ABC的面积． 10．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，分别作出△ABC关于x轴和y轴对称

初二数学轴对称练习题

初二数学轴对称练习题 1．在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．（1）作出M点和N点．（2）求出M点和N点的坐标． 2．如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．图2 3．已知：如图3，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F. 求证：EF平分∠AEB．图3 4．已知：如图4，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．图4 5．如图5，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答．（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角（2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观察线段DE、CE，有什么发现请证明你的猜想．（3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系

图5 6．已知：如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．（1）求证：BC＝AE＋BE；（2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢试证明之．图5 7．如图6，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE 并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）求证：AF＝BD．图6 8．已知：如图7，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B＝90°．求CD的长______．图7 9．（1）如图8，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；图8 （2）如图9，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．图9

八年级轴对称专题课讲义

轴对称【知识梳理】二、轴对称的性质： 1. 关于某条直线对称的两个图形是_________________ 。(全等图形一定轴对称吗？) 2. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________________________ 。 3. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在__________ 上。【典型题型】轴对称、中心对称题型的识别：例1、(2010?兰州)观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有( )个. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个练习1、写出以下轴对称图形的对称轴条数： (1)直线 __________ (2)线段 __________ (3)角 ___________ (4)圆 ___________ (5)等腰三角形 ___________ (6)等边三角形____________ 作已知图形的轴对称图形

例2、（2009四川眉山，19）在3 3的正方形格点图中，有格点 △ ABC 和厶DEF ，且△ ABC 和厶DEF 轴对称的概念和性质应用例3、下列命题中，说法正确的是（） A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形 B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形 C 关于某直线对称的两个三角形全等 D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等练习3、1、下列说法中，正确的有（）（1） .两个关于某直线对称的图形是全等形；（2）两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线两旁；（3）两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴；（4）平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个图形的“折叠”问题例4、（ 2009江苏，26）将矩形纸片 ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点 A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点 D 落在BE 上的点D 处，折痕为EG （如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中的大小. 例5、在一平直河岸I 同侧有A , B 两个村庄, A , B 到I 的距离分别是3 km 和2 km , D 的边长AAB=4厂ADE^.■将矩形纸片沿 E E 折叠］D 使点A 与点C 重合，折叠后在 ,则着色部分的面积为 C B 练习4、矩形:纸片--AB 其一面着色（如 I （A ） B （B ） 11 2 F 图③ ） G C 图④ B ------------- : _ C B F G 图⑤ D -----------------F （C ） 4 （D ） 5 C E （第 11 题）利用对称轴解决几何最值问题 △ DEF 。 L

八年级_轴对称练习题_

轴对称练习题一、选择题： 1.在平面直角坐标系中，点(5，6) 关于x 轴的对称点是（） A.(6，5) B.(－5，6) C.(5，－6) D.(－5，－6) 2.已知点P 关于x 轴的对称点为（a,－2），关于y 轴的对称点为（1，b ），那么点P 的坐标为（） A. （a,－b ） B.(b,－a) C.(－2,1) D.(－1,2) 3.到三角形三边距离都相等的点是三角形（）的交点. A.三边中垂线 B.三条中线 C.三条高 D.三条内角平分线 4.到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（）的交点. A. 三边中垂线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条内角平分线 5.下列图形中,是轴对称图形的有__________个:①角;②线段;③等腰三角形;④扇形;⑤三角形;⑥正方形;⑦平行四边形;⑧五边形. A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 6.如图，∠AOB 内一点P ，P 1、P 2分别是P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2 = 5cm ，则ΔPMN 的周长是( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 7.若等腰三角形的周长为12，则腰长的取值范围是（） A.a >5 B.a<5 C.4

八年级数学轴对称图形

轴对称图形 1、（江汉区八上期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（） 2、（汉阳八上期中）在平面直角坐标系中，点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是2,8，则点B的坐标是。轴对称图形的作法：作点的轴对称图形作线段的轴对称图形作三角形的轴对称图形知识点一：轴对称图形性质【知识梳理】找轴对称图形【例题精讲】例1.如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形。图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出个格点三角形与△ABC成轴对称。 C A B 例2.如图，在3×3的正方形网格中，与△ABC关于某条直线对称的格点三角形（顶点格线交点的三角形）共有（）个 A.5 B.6 C.7 D.8

A C B 【课堂练习】 1.如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（） A．A点B．B点C．C点D．D点 2.如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC为一个格点三角形，在图中画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，则最多可以画出符合条件的三角形有（） A．4 个 B． 5个 C．6个 D．7个 3.把一张正方形纸片按如图5对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（） A． B． C． D．

4.（粮道街中学八上期中）如图所示，在平面直角坐标系中，A（-1,4），B（-3,3），C（-2,1）, 直线m上每个点的横坐标都为1， (1)请你在平面直角坐标系中，作出△ABC关于直线m成轴对称的△A′B′C′； (2)写出坐标A′____________ B′_____________C′_____________； (3)点M（a，b）是△ABC上任意一点，则M关于直线m的对称点M′的坐标为___________。知识点二：利用轴对称图形的性质求角度【知识梳理】【例题精讲】例1.如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B=20°则∠E=（）° 例2.如图，五边形ABCDE是关于直线FC的轴对称图形，若∠A=130°，∠B=110°，则∠BCD= ____度。例3.（东湖高新八上期中15）如图：△ABC中，AB=AC, ∠BAC＝54°∠BAC 的平分线与AB的垂直平分线交于点0，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC