第一章概率论典型例题

典型例题：

一．排列

1．特殊排列

相邻、彼此隔开、顺序一定和不可分辨

例1．晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？

①3个舞蹈节目排在一起；

②3个舞蹈节目彼此隔开；

③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例2．4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？

例3．5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？

2．重复排列和非重复排列（有序）

例4．5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

3．对立事件

例5．七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？

例6．15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？

例7．有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

4．顺序问题

例8．3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）

例9．3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）

例10．3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）

二．概率

1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.

2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的

概率；(3)目标被命中的概率.

3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.

4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.

1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为!13，事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含

!2!2!2!3个样本点。所以!

1348!13!2!2!2!3)(==A P 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-?个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

89

17)(=A P 1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79。事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于

“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A 个样本点，于是

7799

)(A A P =。 1.13 把n 个完全相同的球随机地放入N 个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k 个球的概

率为???

? ??-+???? ??---+n n N k n k n N 12，n k ≤≤0

(2)恰好有m 个盒的概率为???? ??-+???? ??---???? ??n n N m N n m N 111，1-≤≤-N m n N

(3)指定的m 个盒中正好有j 个球的概率为???? ??-+???

? ??---+-???? ??--+n n N j n j n m N m j m 1111，

.0,1N j N m ≤≤≤≤

解 略。

1.18 在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为c b a ,,（均小于d ），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然.0)()(21==A P A P 所求概率为)(3A P 。分别用bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,，二边bc ac ab ,,与平行线相交，则=)(3A P ).(bc ac ab A A A P ??显然)(a A P )()(ac ab A P A P +，=)(b A P )()(bc ab A P A P +，=)(c A P )()(bc ac A P A P +。所以

21)(3=A P [+)(a A P +)(b A P )(c A P ])(22c b a d ++=π)(1c b a d

++=π 1.20 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

解1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个

b b 1+ω，

则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+b ω}，并且b

a a P +=})({1ω， 1})({2-+?+=

b a a b a b P ω， 2

11})({3-+?-+-?+=b a a b a b b a b P ω，…， )

1()2()2(11})({--+?--+--??-+-?+=i b a a i b a i b b a b b a b P i ω

a

b a b a a b P b )1)((!})({1-++=+ω 甲取胜的概率为})({1ωP +})({3ωP +})({5ωP +…

乙取胜的概率为})({2ωP +})({4ωP +})({6ωP +…

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的；

(2)只订甲、乙两报的；

(3)只订一种报纸的；

(4)正好订两种报纸的；

(5)至少订一种报纸的；

(6)不订任何报纸的。

解 事件A 表示订甲报，事件B 表示订乙报，事件C 表示订丙报。 (1) ))(()(AC AB A P C B A P ?-==)()(AC AB P A P ?-=30% (2) %7)()(=-=ABC AB P C AB P (3) %23)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AB P B P C A B P %20)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AC P C P B A C P ?C B A P (+C A B +)B A C =)(C B A P +)(C A B P +)(B A C P =73% (4) =++)(A BC B AC C AB P %14)()()(=++A BC P B AC P C AB P

(5) %90)(=++C B A P (6) %10%901)(1)(=-=++-=C B A P C B A P

1.26 某班有n 个学生参加口试，考签共N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

解 用i A 表示“第i 张考签没有被抽到”， N i ,,2,1 =。要求)(1 N

i i A P =。

n i N N A P ??

? ??-=1)(，n j i N N A A P ??? ??-=2)(，……，0)(1=??? ??-=n N N N N A A P n N i i N N N A P ??? ??-????? ??=∑=11)(1n

N N N ??? ??-???? ??-=-11)1(11

n N i j i N N N A A P ??? ??-???? ??-=-∑≤≤22)(1n

N N N ??? ??-???? ??-=-22)1(12，…… 所以n N i i N i i N i N A P ??? ??--=∑=-=111

)1()( 1.27 从n 阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？

解n 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为n ni i i a a a 2121，当且仅当n ,,2,1 的排列)(21n i i i 中存在k 使k i k =时这一项包含主对角线元素。用k A 表示事件“排列中k i k =”即第k 个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

n i n n A P i ≤≤-=

1!)!1()( )1(!)!2()(n j i n n A A P j i ≤<≤-=，…… 所以!1)1(!)!()1()(11111i n i n i n A P n i i n i i N i i ∑∑=-=-=-=-???

? ??-= 1.31 n 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：

(1)已知前1-k )(n k ≤个人都没摸到，求第k 个人摸到的概率；

(2)第k )(n k ≤个人摸到的概率。

解 设i A 表示“第i 个人摸到”， n i ,,2,1 =。 (1) 1

1)1(1)|(11+-=--=-k n k n A A A P k k (2) =)(k A P =

-)(11k k A A A P n k n n n n n 111121=+-??--?- 1.32 已知一个母鸡生k 个蛋的概率为)0(!>-λλλe k k

，而每一个蛋能孵化成小

鸡的概率为p ，证明：一个母鸡恰有r 个下一代（即小鸡）的概率为p r

e r p λλ-!

)(。 解 用k A 表示“母鸡生k 个蛋”， B 表示“母鸡恰有r 个下一代”，则 )|()()(k r k k A B P A P B P ∑∞==r k r r k k p p r k k e -∞=--????

? ???=∑)1(!λλ

∑∞=----=r

k r k r

r k p e r p )!()]1([!)(λλλ)1(!)(p r

e e r p --?=λλλ p r

e r p λλ-=!

)( 1.37 证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则B A ?、AB 及B A -都与C 独立。

证明 （1）)()()())((ABC P BC P AC P C B A P -+=?

=)()(C P B A P ?

（2）)()()()()()C P AB P C P B P A P PABC ==

（3）)())(())((ABC AC P C AB A P C B A P -=-=-=)()(C P B A P -

1.39 设n A A A ,,,21 为n 个相互独立的事件，且)1()(n k p A P k k ≤≤=，求下列事件的概率：

(1) n 个事件全不发生；

(2) n 个事件中至少发生一件；

(3) n 个事件中恰好发生一件。

解 (1) ∏∏===-==n

k k k k n k k p A P A P n 111)1()()( (2) ∏===--=-=n

k k n k k n k k p A P A P 111)1(1)(1)( (3) ])1([)()]([111111 n

k j j j n k j j n k k j n k k n k n k j j j k p p A A A A P ≠=≠====≠=-==∑∑.

1.40 已知事件B A ,相互独立且互不相容，求))(),(min(B P A P （注：),min(y x 表示y x ,中小的一个数）。

解 一方面0)(),(≥B P A P ，另一方面0)()()(==AB P B P A P ，即)(),(B P A P 中至少有一个等于0，所以.0))(),(min(=B P A P

1.41 一个人的血型为AB B A O ,,,型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率

(1)两个人为O 型，其它三个人分别为其它三种血型；

(2)三个人为O 型，两个人为A 型；

(3)没有一人为AB 。

解 (1)从5个人任选2人为O 型，共有???

? ??25种可能，在其余3人中任选一人

为A 型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B 型，共有2种可能，另一

人为AB 型，顺此所求概率为：0168.013.011.040.046.023252≈?????????

? ??

(2) 1557.040.046.03522≈?????

? ?? (3) 8587.0)03.01(5≈-

1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功n 次之前已失败了m 次的概率。

解 用A 表示“在成功n 次之前已失败了m 次”， B 表示“在前1-+m n 次试验中失败了m 次”， C 表示“第m n +次试验成功”

则 p p p m m n C P B P BC P A P m n ?-???

? ??-+===-)1(1)()()()(1

m n p p m m n )1(1-???

? ??-+= 1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r 根火柴（n r ≤≤1）的概率。

解 用i A 表示“甲盒中尚余i 根火柴”， 用j B 表示“乙盒中尚余j 根火柴”，

D C ,分别表示“第r n -2次在甲盒取”

，“第r n -2次在乙盒取”， C B A r 0表示取了r n -2次火柴，且第r n -2次是从甲盒中取的，即在前12--r n 在甲盒中取了

1-n ，其余在乙盒中取。所以 2

12121112)(10???? ?????

? ?????? ??---=--r n n r n r n C B A P 由对称性知)()(00D B A P C B A P r r =，所求概率为： =?)(00D B A C B A P r r 12021112)(2--??

? ?????? ??---=r n r n r n C B A P