向量法在中学数学中地指导应用
存档编号学士学位论文
题目：向量法在中学数
学中的应用
教学学院: 数学与计算机科学学院
届别: 2017届
专业: 数学与应用数学
学号: 130700046
姓名: 王雨晴
指导教师: 颖芬
完成日期: 2016年12 月
向量法在中学数学中的应用
摘要
在数学学习中，涉及到的相关解题方法是非常多的，如向量法、几何法、面积法、三角法等，本论文主要针对向量法在中学数学中的应用来进行研究及分析，对于向量法相关的解题方法及技巧进行了详细的研究。本论文采用归纳演绎的方法对向量法的相关概念、常用公式及定理等进行了介绍，并采用举例分析法对向量法在解题中的实际应用进行了论证，且选择了几个不同的方面来对向量法在中学数学中解题的巧用进行了研究，希望本论文的研究及分析工作能够为类似数学方面的研究带来一定的指导意义。
关键词：向量法；应用；举例分析法；中学数学
Abstract
In Learning Mathematics, related to problem-solving approach is very much involved, such as Vector, geometric method, area method, trigonometry, etc., the main application of Vector paper in middle school mathematics for research and analysis carried out on solving Problems associated with the vector methods and techniques have been studied in detail. This paper uses the method of induction and deduction related concepts vector method, commonly used formulas and theorems were introduced, and then, using the example of vector analysis method in solving problems of practical application were demonstrated. The paper chose several different aspects of vector method in middle school mathematics problem solving clever use were studied, hoping to research and analysis work in this paper can bring a certain significance for the study of mathematics is similar.
Keywords: Vector; applications; for example analysis; Middle School Mathematics
目录
Ⅰ
1 引言 (1)
2 相关理论知识介绍 (2)
2.1 向量的概念 (2)
2.2 向量的表示 (2)
2.3 向量的运算 (4)
2.3.1 加法运算 (4)
2.3.2 减法运算 (4)
2.3.3 数乘运算 (4)
2.3.4 向量的数量积 (4)
2.3.5 向量的平移公式 (5)
2.3.6 线段定比分点公式 (5)
2.4 向量的基本定理 (5)
2.4.1 平面向量的基本定理 (5)
2.4.2 空间向量的基本定理 (5)
2.4.3 共线向量的基本定理 (6)
2.4.4 共面向量的基本定理 (6)
3 向量法在中学几何中的应用 (6)
3.1 向量法在平面几何中的应用 (6)
3.2 向量法解决立体几何问题 (7)
3.3 向量法在解析几何中的应用 (10)
4 向量法在中学代数中的应用 (15)
4.1 求函数的最值 (16)
4.2 求参变数围 (16)
4.3 解方程 (17)
4.4 解复数问题 (17)
4.5 证明条件等式 (18)
4.6 向量法在证明解不等式问题中的应用 (18)
4.7 向量法解决方程组问题 (18)
5 向量法解三角函数的问题 (19)
5.1 求值 (19)
5.2 证明恒等式 (21)
结论 (22)
参考文献 (23)
致 (24)
1 引言
对于向量及向量法在中学数学中的应用等相关理论知识而言，它是我国中学数学进行改革之后新增加的容，目的在于为学生提供更好的工具来解决相关数学问题及更好的拓展学生的思维能力。它具有代数形式以及几何形式等的双重身份，即它把数、形融为一体，从而更好的帮助解决相关几何及代数问题。在中学数学的诸多知识点里面，向量法及其计算应用等是一个非常重要的交汇点，它经常与复数、平面解析几何、函数、导数、空间解析几何等方面的容进行交叉渗透，从而使得相关的数学问题更加具有综合性、更加具有新颖性，这样才能够更好的反应学生对所学知识的融会贯通的能力。向量法作为中学数学一项有力的解题工具，通过对其熟练掌握和灵活应用，能够帮助我们提高解题的效率、拓展我们解题的思维能力、以及对知识进行融会贯通的能力等。
向量作为中学数学的一个基本概念，只有对其进行良好的掌握及理解，才能够更好的把向量法应用到相关数学问题中去求解。对于向量而言，它除了具有方向之外，还具有大小的一个量。因此，其对我国中学数学的发展起着非常重要的作用，向量是代数课程、函数分析、几何分析等相关课程研究的基本容。
向量及向量法在相关数学问题中的应用等理论知识是作为我国新课改之后引入的新的容，对我国数学的发展起到很重要的作用。它不但具有代数形式的身份，而且还具有几何形式的身份，可见，它是中学数学的一个交汇点。通过把向量引入到我国中学数学课程里面，它能够促进高中数学的整个体系架构更加完善，通过对向量法进行灵活应用，能够把许多传统的代数问题、几何问题等变得简单化，从而进一步的拓展了学生解决数学问题的思维能力及方法，也为学生进行创新等方面奠定了良好的基础。对于平面向量而言，它主要是将代数知识以及几何知识等进行有机的结合到一起，从而更好的帮助解决相关数学问题，它主要渗透到函数、平面几何、数列、三角函数、解析几何、立体几何等相关的知识体系中，并且，在研究这些数学问题的时候得到了非常广泛的应用。
2、相关理论知识介绍
2.1 向量的概念
在中学数学的学习中，向量是一个非常重要的知识点，只要把向量的相关理论知识及应用掌握透彻了，便可以灵活的应用向量法在中学几何中进行解题或者在代数中进行应用。在进行向量法的基本应用之前，我们需要先了解向量的基本理论知识，那么，什么是向量？我们把既有大小又有方向的量称之为向量。我们把具有方向的线段称之为有向的线段，比如，以A 作为起点，B 作为终点的有向线段，可以把它记为。另外，对于有向线段AB 的长度，则把它称为向量的模，故把其记为∣∣。通过上述介绍可以很明确的知道向量的三要素为：起点、方向以及长度。
我们把两个方向相反或者方向相同的非零向量称之为平行向量，如向量a 、b 平行，可以把它记为a →//b →
。把长度相等并且方向也相同的向量称之为相等向量。对于任何一组平行向量来讲，都可以把它移动到同一条直线上面，因此，也可以把平行向量叫做共线向量。
对于长度为0的向量，把它称之为零向量，记为0。零向量具有很多特点，如它与任何向量都是垂直的，它的方向也是任意的，与任意向量也都是平行的。把长度等于1个单位长度的向量称之为单位向量。
2.2 向量的表示
（1）向量的代数表示：通常情况之下，它是采用黑体小写字母a 、b 、c …等来进行表示，而对于手写，则在a 、b 、c 、d …等字母上加一箭头来进行表示。
（2）向量的几何表示：向量的几何表示图法，对于向量来讲，它可以采用有向线段来进行表示。而有向线段的长度，它则表示向量的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。假如规定线段AB 的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。假如规定线段AB 的端点A 为起点，B 为终点，那么，该线段就具有了从起点A 到终点B 的方向、长度。因此，我们把这种具有长度、方向的线段称之为有向线段。
（3）坐标表示：
1）在平面直角坐标系XY 中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→
i ，→j 作为一组基底。对于→
a 来讲，它是为平面直角坐标系xy 的任意一个
向量，以坐标原点o 为起点作向量→
--OP =→
a 。由平面向量基本定理可以知道，有且只有一对实数（x ，y ），使得→a =向量→
--OP =x →
i +y →
j ，因此，我们就可以把实数对（x ，y ）叫做向量→a 的坐标，记作→a =（x ，y ）。这就是向量→
a 的坐标表示。其中，（x ，y ）就是点P 的坐标。向量→
--OP 称之为点P 的位置向量。
2）在立体三维坐标系xyz 里面，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的3个单位向量→
i ，→j ，k 作为一组基底。假设→
a 为xyz 坐标系里面的任意一个向量，那么，采用坐标原点O 为起点来作向量→--OP =→
a 。因此，通过空间基本定理便可以知道，有且只有一组实数（x ，y ，z ），使得→
a =向量→
--OP =x →
i +y →
j +zk ，因此，我们把实数对（x ，y ，k ）称之为向量→
a 的坐标，记作→
a =（x ，y ，z ）。这也是向量→
a 的坐标表示。其中（x ，y ，k ），也就是点p 的坐标。向量→
--OP 称为点P 的位置向量。
图1 向量的坐标表示图
3) 另外,对于空间多维向量来讲,它也是可以通过类似的方法来得
到的，本论文对于空间多维向量就不在进行介绍。
2.3 向量的运算 2.
3.1 加法运算
已知，向量a →、b →，在空间平面之任意取一个点A ，做=b →，=a →
，故向量被称之为向量a →与向量b →的和，把它记为a →+b →
，即+=，故把这种求和的方法叫做向量加法的三角形法则。 向量加法的运算规律为：
a b b a →→→→+=+；()()a b c a b c →→→→→→
++=++。
2.3.2 减法运算
假设向量a →、b →，并且在平面任意取一点O ，作 =a →，=b →，那么，=a →-b →
，即a →-b →可以表示为向量b →的终点指向向量a →
的终点的向量。对于这种求差的方法，我们把它称之为向量减法的三角形法则。对向量减法来讲，它的实质就是加法的一种逆运算。
2.3.3 数乘运算
对于实数与向量a →
来讲，它们的积是一个向量，因此，我们把这种运算叫做向量的数乘，把它记为，对于∣∣=∣∣∣a →∣而言，如果<0，则的方向与a →
的方向
是相反的；如果＞0，则的方向与a →
的方向是相同的；如果=0，则 =0.
设定、μ为实数，那么，实数与向量的积有：
1）()a b a b λλλ→
→
→
→
+=+ 2）()a a b λμλμ→
→
→
+=+ 3）()()a a λμλμ→
→
=
2.3.4 向量的数量积
已知，两个非零向量a →、b →
，它们之间的夹角为θ，那么，它的数量积定义表
达式为cos ,a b a b a b →→
→→
→→
?=??，当,2
a b π
→→
??=
时，称向量a → 与b →互相垂直，记作a →⊥b →
．
零向量与任意向量的数量积都是为0的。
2.3.5 向量的平移公式
如果点(,)P x y 按照向量(,)a h k →
=平移至(,)P x y '''，则???+=+=k
y y h
x x ''，则分别
称(,)x y ，(,)x y ''为旧、新坐标，a →
为平移法则．
2.3.6 线段定比分点公式
如下图2所示，设→
--→--=21PP P P λ,则定比分点向量式：
→
--→--→
--++
+=21111OP OP OP λ
λλ； 定比分点坐标式：设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，
则 121
2
,11x x y y x y λλλλ
++==++．
图2 线段定比分点图形
2.4 向量的基本定理
2.4.1 平面向量的基本定理
假设a →、b →
是同一个平面之的两个不共线的向量，那么，对于该平面之的任何一个
向量p →
，则有且只有一对实数λ、μ，从而使得p →
=λa →+μb →
。
2.4.2 空间向量的基本定理
对于空间向量来讲，它的基本定理为：假设三个向量,,a b c →→→
不共面，那么，对于空间里面的任一向量p →
，它是存在一个唯一的有序实数组,,x y z , 使
p x a y b z c →
→
→
→
=++．
2.4.3 共线向量的基本定理
关于共线向量的定理：对空间任意两个向量,(0)a b b →→→
→
≠，a →∥b →
?存在实数λ使a b λ→→
=.
2.4.4 共面向量的基本定理
对于共面向量来讲，我们把平行于同一平面的向量称之为共面向量。 关于共面向量的定理：假设两个向量不共线，那么，向量p →
与向量,a b →→
共面?存在两个实数,x y 使p x a y b →
→
→
=+。
3、向量法在中学几何中的应用
3.1 向量在平面几何中的应用
通过对向量加减法、数乘以及积的相关几何意义进行灵活的应用，可以把复杂的问题进行简单化，能够很巧妙并且也非常简洁的对相关几何证明问题进行求解，也能够很简单的对几何问题中涉及到的相关夹角问题进行求解。
例1：试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形。
对例1进行分析：如下图3所示，,,AD BE CF 分别为ABC ?三条边上的中线，假如要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，那么，只须证明
AD BE CF --→--→--→++=0→
即可。
图3 三角形ABC
证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →
, 则0a b c →
→
→
→
++=，而AD AB BD --→--→--→
=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→
=+12
a b →→=+,
所以 CF CA AF --→
--→
--→
=+12b c →
→
=+．
于是 AD BE CF --→--→--→
++=1()02
a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可以
构成一个三角形。
3.2 向量法解决立体几何问题
由于立体几何是一项比较复杂的求解问题，因此，采用传统的方法来进行求解，是比较复杂的，也需要很繁琐的分析工作等。所以，通过引入向量法来对立体几何进行求解，能够使复杂问题变得简单化，使解题思路更加清晰等。通过采用向量法来把复杂问题由繁化为简，由难化为易等，这样能够起到很好的解题效果。
例2：已知，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，它的底面边长AB=2，侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F. （1）求证：A 1C ⊥平面BED ；
⑵ 求A 1B 与平面BDE 所成的角的正弦值.
图4 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1
对于该题来讲，它是由两种解题方法的，下面分别对这两种方法进行介
A
B
D C
A 1
B 1
D 1
C 1
E
F
绍。
解法（一）：
（1）证明：连AC 交BD 于点O ，
由正四棱柱性质，便可以知道AA 1⊥底面ABCD ， AC ⊥BD ，∴A 1C ⊥BD
又∵A 1B ⊥侧面BC 1且B 1C ⊥BE ， ∴A 1C ⊥BE ， ∵BD ∩BE=B ， ∴A 1C ⊥平面BDE
（2）解：设A 1C 交平面BDE 于点K ，连BK ， 则∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成的角，
∵在侧面BC 1中BE ⊥B 1C ，∴△BCE ∽△B 1BC ，
1,4,2,11
=∴===∴CE BB BC BB BC BC CE 又 连结OE ，则OE 为平面ACC 1A 1与平面DBE 的交线，
1
,1,22
,
OE
AC K Rt ECO CO AC AB OE OE CK EC CO CK ∴=?=
==∴==?=?∴=
=在中又
3
6
53662,
62121221=
-=∴=++=
K A AA BC AB C A
6304
26
35sin 221111=+==
∠?∴B
A K
A BK A BK A Rt 中在
即为A 1B 与平面BDE 所成的角的正弦值. 解法（二）：
（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐
标系0－xyz ，则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），B （2，2，0）， A 1（2，0，4），D 1（0，0，4），C 1（0，2，4），B 1（2，2，4）， 设E （0，2，t ），则∵),4,0,2(),,0,2(,11--=-=⊥B t C B BE
,1,
04041=∴=-+=?∴t t B
404),0,2,2(),4,2,2(),
1,0,2(),1,2,0(11=-+=?∴=--=-=∴BE C A DB C A E 又 且,00441=++-=?DB C A
,11BE C A DB C A ⊥⊥∴且
BDE C A BE C A DB C A 平面且⊥∴⊥⊥∴111, （2）设A 1C ∩平面BDE=K ， 设A 1C ∩平面BDE=K ，
),
4,22,22(),
,22,2(),,22,2()1,2,0()0,2,2(1-+-=∴+∴+=+=?+?=n n m m A n n m m K n n m m n m n m 设
0120)22(2)22(211=-+?=++-=??⊥n m n m m A A …①
同理有045404)22(211=-+?=-++=??⊥n m n n m A A …②
由①，②联立解得),3
10
,35,35(,32,611--=∴==A n m
,52||,3
6
5||11==∴A A 又易知 ,630
526
35||||sin 111===∠∴B A A BK A 即所求角的正弦值是630
1
图5 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1
通过上面的两种分析方法，很明显的可以看出采用向量法来进行求解是非常方便的，其比传统方法更加具有优越性，比如：解题的思路是很清晰的，也比较容易被理解。唯一的不足之处在于其运算量是非常大的。
3.3向量在解析几何中的应用
对于平面向量来讲，它作为一种有向线段，其本身就是线段当中的一段，因此，它的坐标用起点和终点坐标来进行表示，可见，向量与平面解析几何之间存在着非常密切的联系．把向量方法应用到解析几何中，可以把以前非常多的形式逻辑证明转变成为数值的一种计算，从而使得复杂的问题简单化，可见，向量法成为解析几何当中的一种解决问题的重要手段及重要方法。
例3：已知，我们把一个圆的直径的两端点设为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆的方程.
解：设(,)P x y 为圆上不同于,A B 的点，通过圆周角定理，可以得到AP --→
⊥
BP --→
，假设(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，那么，则有AP --→=0→或者BP --→=0→
，故
有AP --→
?BP --→
=0成立，从而使得1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，即为所求圆的方程。
例4：求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．
图6 圆
解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→
(6,9)x y =--，
(1,3)O M --→
'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→?O M --→
'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此
即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→?O M --→
'=0，因为此时
MN --→=0→
)．
例5：已知，椭圆162422y x +=1，直线l:8
12y x + =1。P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又知，点Q 在射线OP 上，并且它是满足|OQ|·|OP|=|OR|2。
当点P 在直线l 上进行移动的时候，此时，来求点Q 的轨迹方程，并且，也要说明该轨迹是属于什么曲线。
图7 椭圆
解：如图7所示，不妨设?→
?OQ =(x,y)， =(x p ,y p )，?→
?OR =(x R ,y R )。
因为、?→
?OQ 是同方向，并且|OP|·|OQ|=|OR|2，故=
OQ
OP ·?→
?OQ =
2
2OQ
OR ·?→
?OQ 。
同理，由于?→
?OR 、?→
?OQ 是同方向的，所以：
例6：如图8所示，过点A （-1,0），并且斜率为k 的直线l 与抛物线C ：2y =4x 交于P ，Q 两点。
图8 抛物线C
（1） 假如曲线C 的焦点F 与P ，Q ，R 三点按如图6所示的顺序构成平行四
边形PRQF ，求点R 的轨迹方程。
（2） 设P ，Q 两点只在第一象限进行运动，点E （0,8）在与线段PQ 中点
的连线交于x 轴的点N ，当点N 在点A 右侧时，求直线PQ 的斜率k 的取值围。
解：（1）设P （42
1y ，1y ），Q （42
2y ，2y ），R （x,y ）则AP=（42
1y +1，1y ）
AQ=（422y +1，2y ）EP=（421y -1，1y ）QR=（x-4
22
y ，y-2y ）
由A,P,Q 三点共线知AP 平行AQ ，
（421y +1）2y =1y （4
22y +1）
即
4
2
1y y （1y -2y ）=1y -2y 又1y ≠2y 所以1y 2y =4
由于四边形PFQR 为平行四边形，可以知道PF=QR
故（421y -1，1y ）=（x-4
22
y ，y-2y ）
即x=42
2
21y y + - 1 y=1y +2y
故 2
y =4x+12
因为x=42
221y y + - 1>4
221y
y -1=1
点R 的轨迹方程为2
y =4x+12 （x>1）
(2)设N （a ，0）（a>-1）P , Q 中点为G （82
221y y +，2
2
1y y +）
即G （82y -1，2y ） EG=（82y -1，2
y
-8） EN=(a ，-8)
由E ，G ，N 三点共线知 EG 平行EN
故 -8（82y -1）=a （2y
-8）
得 a=162162
--y y （a>-1）
所以 2
1
又有 P ，Q 两点在第一象限 所以4 1,1) 4、向量法在中学代数中的应用 在中学数学的很多解题里面都可以应用向量法来进行求解，如采用向量法对相关代数问题进行求解，通过灵活的应用向量法来进行求解，不但使复杂问题简单化，而且还极易拓展学生解题的思路等。这主要是在于向量法不但融合了代数形式，而且还融合了几何形式，这使得它具有双重身份，是融形、数为 一体的平面向量。因此，把向量法引入到中学数学代数问题求解的过程中，不但使复杂的代数求解问题简单化，而且极易拓展学生的思维能力及解题方法，在一定程度上面还能够更好的帮助学生进行创新，所以向量法被应用到许多数学问题当中去进行研究。通过合理、有效的利用平面向量这一解题工具，能够处理很多相关的代数问题，下面将对向量法在中学代数中的应用进行简单介绍。 4.1 求函数的最值 通过合理的利用向量模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→ ?≤,可以对一些比较复杂，但是采用常规方法又非常麻烦的最值（值域）问题进行求解。 例7： 求函数()32f x x =++ 对上述函数进行分析：通过对其结构特征进行观察，由3x +易就会联想到向量的数量积的坐标表示． 令(3,4),(p q x →→ ==，则()2f x p q →→=?+，且5,2p q →→ ==．故 ()212f x p q →→ ≤+=，当且仅当p →与q → 同向，即 30x =>时取等号， 很显然，采用向量法使问题非常容易的就得到解决． 4.2 求参变数围 对于求参变数围的代数问题，它在中学数学中是一个难点，要对其进行求解是很难的，经常需要进行讨论。假如采用向量法来进行求解，就会把复杂问题简单化，解题方法也变得非常多，因此，采用向量法来对参变数围进行求解，通常会收到意想不到的效果。 例8：设,,,a b c d R ∈，且2 2 2 2 2 (0),3 k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试 讨论,,,a b c d 的围． 分析：由2222a b c d +++很容易就会联想到向量的模，令 高中数学空间向量之--平面法向量得求法及其应用 一、平面得法向量 １、定义:如果,那么向量叫做平面得法向量。平面得法向量共有两大类(从方向上分),无数条。 2、平面法向量得求法 方法一(内积法):在给定得空间直角坐标系中,设平面得法向量[或,或］,在平面内任找两个不共线得向量。由, 得且,由此得到关于得方程组,解此方程组即可得到。 方法二:任何一个得一次次方程得图形就是平面;反之,任何一个平面得方程就是得一次方程。,称为平面得一般 方程。其法向量;若平面与3个坐标轴得交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面得截距式方程,把它化 为一般式即可求出它得法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行得非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与, 皆垂直得向量。通常我们采取「右手定则」,也就就是右手四指由得方向转为得方向时,大拇指所指得方向规 定为得方向,。 (注:1、二阶行列式: ;２、适合右手定则、) 例1、Array试求 Ｋey: ( 例2、 求平面A 二、 1、 (1) A 图2-１ 图2—1 (2) (图 (图２ 两个平 得平面 平面而言向内;在图2—3中,得方向对平面而言向内,得方向对平面而言向内。我们只要用两个向量得向量积(简称“外积”,满足“右手定则")使得两个半平面得法向量一个向内一个向外,则这两个半平面得法向量得夹角即为二面角得平面角。 2、 求空间距离 (1)、异面直线之间距离: 方法指导:如图2－4,①作直线a 、b 得方向向量、, 求a 、b 得法向量,即此异面直线a 、b 得公垂线得方向向量; ②在直线a 、b 上各取一点A 、Ｂ,作向量; ③求向量在上得射影ｄ,则异面直线a 、b 间得距离为 ,其中 (2)、点到平面得距离: 方法指导:如图2－5,若点B 为平面α外一点,点A 为平面α内任一点,平面得法向量为,则点P 到 平面α得距离公式为 (3)、直线与平面间得距离: 方法指导:如图2-6,直线与平面之间得距离: ,其中。就是平面得法向量 (４)、平面与平面间得距离: 方法指导:如图2－7,两平行平面之间得距离: ,其中。就是平面、得法向量。 3、 证明 (1)、证明线面垂直:在图2-8中,向就是平面得法向量, a 得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量共线()。 (2)、证明线面平行:在图2—9中,向就是平面得法向量,线ａ得方向向量 ,证明平面得法向量与直线所在向量垂直()。 (3)、证明面面垂直:在图２—10中,就是平面得法向量,面得法向量,证明两平面得法向量垂直() (4)、证明面面平行:在图2—11中, 向就是平面得法向量,量,证明两平面得法向量共线()。 三、高考真题新解 经典习题平面法向量求法及应用 平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量 (,,1) n x y =r [或 (,1,) n x z =v ，或 (1,,) n y z =r ]，在平面α内任找两个不共线的向量 ,a b r r 。由 n α ⊥r ，得 n a ?=r r 且 n b ?=r r ，由此得到 关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n r 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax ) 0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ; 若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(3 2 1 c P b P a P ,如图所 示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ →?b a 为一长 度等于θsin ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规 定为→ → ?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ →2 1y y b a ,2 1z z 2 1x x - ,21 z z 2 1 x x ??? ?21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。） C 1A 1 D 1 z B E 状元堂一对一个性化辅导教案 教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日 学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解 难度星级★★★★ 教学内容 上堂课知识回顾（教师安排）： 1.平面向量的基本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法 本堂课教学重点： 1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题 得分： 平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.| |||arccos 2,2 →→→ →→ →??->= <-= AB n AB n AB n π π θ 图2-1-2:2| |||arccos 2,π π θ-??=->=<→ →→ → → → AB n AB n AB n (2)、求面面角:设向量→ m ，→ n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为： θ β α → m 图2-2 → n θ → m α 图2-3 → n β | ,cos |sin ><=→ →AB n θA B α 图2-1-2 θ C → n 图2-1-1 α θ B → n A C 高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。 对法向量的透彻理解与灵活运用 一、法向量概念理解 如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组0 =?? =?n a n b ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ== |||| l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12 法向量的快速求法 在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。 新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 12 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面 α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照 右边“草稿纸上演算过程”. a ＝(1，2， b ＝(4，5，交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是 ∴n ＝(－3，6 高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量 精心整理 高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或 (1,, n y z =，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关 于,x y 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y ,的一次方程。Ax ),C B ;若平面与31=c z ,称此方法三( 为空间中两个不平行的非零向量，其外积θsin |||→ b ，（θ为皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→ →?-a b 。 (1设x a =→ （注：1例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key:(1))5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -求平面AEF 的一个法向量n 。 ) 2,2,1(:=?=→ → → AE AF n key 法向量 二、 1、 (1)、AB 图图(2),→= 平面法向量的求法及其应用 引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y = [或(,1,)n x z = ，或(1,,)n y z = ]，在平 面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥ ，得0n a ?= 且0n b ?= ，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐标轴的 交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=+ + c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化 为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→?b a 为一长度等于θsin ||||→ →b a ，（θ 为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,21 z z 21x x - ,21z z 21x x ??? ?21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ → ?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→→→AE AF n key 法向量 带你走进法向量 一、法向量概念理解 如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则g n m 0=； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组00=??=? g g n a n b ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ==|||| g l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12 法向量的应用 概念：与平面垂直的向量就称为平面的法向量。 主要应用：证线面平行，证面面平行，证线面垂直，证面面垂直， 求线面角，二面角，求点到平面的距离，异面直线的距离等等。 一．证线面平行 方法：证直线上的一条方向向量与平面的一条法向量 垂直。 例题：如图（2），已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面 互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上， 且BM= 31BD ，AN=3 1 AE ， 求证：M N ∥平面CDE 证明：以A 为原点建立如图所示的空间直角 坐标系A-xyz,且设AB=3a,AD=3b,AF=3c,B （3a,0,0）,D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c) 所以 =（-3a,3b,0）,=(0,-3b,-3c) BM 31==(-a,b,0), 31 ==(0,-b,-c) 所以 ), 0,2(c a -=++=, 又平面CDE 的一个法向量是AD =（0，3b ，0）, 由AD NM ?=（2a,0,-c ）（0，3b ，0）=0,所以AD NM ⊥ 又MN 不在平面CDE 内，所以M N ∥平面CDE 二．证面面平行 方法：证两个平面的法向量平行。 例题：如图，正方体1111C B A O OABC -中， 11,,,F E F E 是中点， 求证：平面1EFB ∥平面11F OE 证明：设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是 平面1EFB ，平面11F OE 的一条法向量，设正方体的棱长是2 则E （2，1，0），F （1，2，0），1B （2，2，2），1E （1，0，2） 1F （0，1，2），所以 )2,0,1(1=OE ，)2,1 ,0(1=OF y x 平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =r [或 (,1,)n x z =v ，或(1,,)n y z =r ]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b r r 。由n α⊥r ，得 0n a ?=r r 且0n b ?=r r ，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n r 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长 度等于θsin ||||→ →b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 图1-1 C 1 C B y F A D x A 1 D 1 z B 1 E 平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 1、定义：如果a ，那么向量a 叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类 (从方向上分) ，无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法): 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n (x,y,1)[或n (x,1,z) ，或n (1,y,z)] ，在平面内任找两个不共线的向量a,b。由n ，得n a 0且n b 0 ，由此得到关于x, y的方程组，解此方程组即可得到n。 方法二：任何一个x, y, z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x, y,z 的一次方程。Ax By Cz D 0 (A,B,C不同时为 0) ，称为平面的一般方程。其法向量n (A, B,C) ;若平面与 3个坐标轴的交点为 P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示 , 则平面方程为 : x y z 1, 称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它abc 的法向量。 设a (x1,y1,z1),b (x2,y2,z2),则: a b ab (注： 1、二阶行列式 : M ad cb ； cd 例1、已知，a (2,1,0),b ( 1,2,1) ，试求( 1)：a b;(2)：b a. Key: (1) a b (1, 2,5); (2)b a y1 y 2 2、适合右手定 则。 图 1-1 C1 z1 z 2 )D1 方法三 (外积法 ): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长 度等于 |a||b |sin ，(θ 为, 两者交角，且0 )，而与, 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方大拇指所指的方向规定为a b 的方向 向时， 例 2、如图 1-1, 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中， 用好法向量-巧解高考题 用好法向量，巧解高考题 为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够，特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概 念：如果非零向量，那么叫做平面的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。 （一）直线的方向向量和平面的法向量分别为，则直线和平面所成的角等于向量所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角） 的余角，即。 (2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心， （Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点到平面的距离。 （Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 设，则，，， ，，， ∴ ,， ∴，， 由得，， ∴，，，设平面的法向量为，则，，由，得， ，令得，， ∴平面的一个法向量为， ∴ 与的夹角的余弦值是， ∴ 与平面所成角为。 当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。 （二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。 （2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， ,，，点在上，且 ， （I）证明：； （II）求以为棱，与为面的二面角的大小； （Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。 叶超（四川省华蓥中学） 原创作品，严禁转载！ 第1/3页 平面法向量的 求法及其应用 四川省华蓥中学 叶超 本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。 1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。 (1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量?与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直?两向量的内积 为0”确定待定参数。 例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝ 90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝2 1AB ＝1，M 是PB 的中点。求面AMC 的一个法向量。 析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2） 列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2） 待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ） 于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终 点的向量，是图中的1n 。 说明：这种方法虽能求解，但是： ①要根据“两向量垂直?两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。 综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！ 这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看—— A B P M C D y ＝－x z ＝2x ?02 1=+=?z y AM n 0=+=?y x AC n 数学人教B 选修2-1第三章3.2.2 平面的法向量与平 面的向量表示 1．理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． 3．会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角． 4．理解并会应用三垂线定理及其逆定理． 1．用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)直线的方向向量． 给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP ＝t a ，这时点P 的位置被t 的值完全________，当t 在实数集R 中取遍所有值时，点P 的轨迹是通过点A 且________向量a 的一条________，向量a 称为该直线的________． 一条直线有无数个方向向量． (2)空间直线的向量参数方程． 点A 为直线l 上的一个定点，a 为直线l 的一个方向向量，点P 为直线l 上任一点，t 为一个任意实数，以A 为起点作向量AP ＝t a .① 对空间任一个确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP ＝OA ＋t a .② 如果在l 上取AB ＝a ，则②式可化为OP ＝OA ＋t AB ＝OA ＋t (OB －OA )，即OP ＝(1－t )OA ＋t OB .③ 以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程． (3)线段AB 的中点M 的向量表达式 设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则OM ＝__________. 【做一做1】若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1) 空间三点P ，A ，B 满足OP ＝m OA ＋n OB ，且m ＋n ＝1，则P ，A ，B 三点共线． 2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 (1)直线与直线平行 设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合?__________. (2)直线与平面平行 已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α或l 在α内?存在两个实数x ，y ，使__________． (3)平面与平面平行 已知两个不共线的向量v 1，v 2与平面α共面，则α∥β或α与β重合?__________. 【做一做2】l 1的方向向量v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝__________. 3．用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角 (1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ__________； (2)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，直线l 1与l 2的夹角为θ，则 平面法向量的求法及其应用 引言：本节课介绍平面法向量的三种求法，并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积 法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性，特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高 考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。 一、平面的法向量 1、定义：如果±a，那么向量a叫做平面a的法向量。平面a的法向量共有两大类(从方向上分) ，无数条。 2、平面法向量的求法 万法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中，设平面a的法向量n= (x, y,1)[或n = (x,1, z),或n = (1, y, z)],在平 ■I 4, ■ * ■叫 面o(内任找两个不共线的向量a,b。由n^ot，得na=0且n b = 0，由此得到关于x, y的方程组，解此方程组即可 得到n。 方法二：任何一个x, y, z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x, y,z的一次方程。 Ax+By+Cz+D=0 (A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量*=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的 x y z ................ 父点为R(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c)，如图所示，则平面方程为：一?义-=1,称此方程为平面的截距式方程，把它化a b c 为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设为空间中两个不平行的非零向量，其外积家b为一长度等丁|W||：|sin e , ( 0 为两者交角，且0 <6<冗)，而与& S皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手 四指由讥的方向转为g的方向时，大拇指所指的方向规定为a^ b的方向，a^ b = - b^ a 设a =(x〔，火，砧)，b =(x2, y2,z2),则：a>< b = I ，—, V2 z2 x2 z2 x2 (注：1、二阶行列式：M = a巳=ad—cb ；2、适合右手定则。) c d 例1、已知，a=(2,1,0),b=(—1,2,1), T T T T 试求(1)： a^b； (2)： b^a. Key: (1) ^ b=(1,-2,5);(2)b ； = (-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD—ABC1D1中， 小……皿A、…n T T T 求平面AEF的一个法向量n。key:法向量n =AF 乂AE = (1,2,2) 二、平面法向量的应用 1、求空间角 T (1) 、求线面角：如图2-1,设n是平面口的法向量， 平面法向量的求法（教师用） 教学目的：掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务； 教学重点：熟练应用速算方法求出法向量 教学难点：平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量 教学过程： 【引言】近几年高考立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求异面直线所成角、直线与平面的所成角、二面角的大小以及点到平面的距离时，向量方法都有标准的公式，这些公式对学生的空间想象能力要求相对不高，因此，逐渐重视空间向量方法的应用，但是，在完成解答的过程中，正确求出法向量的坐标是关键，今天我们来探究一下法向量的速算。 1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 2、法向量坐标的求法 （1）方程法 例1：（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243 AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF ?翻折成EF A '?，使平面'A EF BEF ⊥平面. （Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值； 【评析】利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数、两个方程，要设定一个变量的值才能求解。 （2）含0速算法 如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。 例2、（08陕西卷理科第19题）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC ，1A A = AB =，2AC =，111AC =． （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 【评析】这是两个0分别出现在两个向量的坐标的情况，对齐坐标写，第一步可以看成数字调换、变号，第二步属简单数字计算，熟练后一目了然。 由于考题中出现“双0”的的情形比较多，这一方法受到学生的广泛欢迎。 【探究】已知的一个法向量为则面ABC c C b B a A ),,0,0(),0,,0(),0,0,( 法向量求法及应用方法 平面法向量的求法及其应用 一、平面的法向量 1、定义：如果al：，那么向量a叫做平面：的法 向量。平面:-的法向量共有两大类（从方向上 分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面:的法向量；=（X, y,1）［或*=（x,1,z），或： = （1,y,z）］，在平面:内任找两个不共线的向量a,b。由二，，得n a=o 且nb=o，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。 方法二：任何一个X,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax By Cz 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般方程。其法 向量n> = （AB,C）；若平面与3个坐标轴的交点为R （a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平面方程为:{ b 亍1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三（外积法）：设必&为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长度等于|a||b|si n =，（9为.,两者交角，且0":::二），而与, 皆垂直的向 量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由…的方向转为 ■的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b a。 、 J -1 |t T T J X 1 乙 X 1 y 1 设a ugyszjb 二凶卩乙),则 a 汉 b = | y 2 Z 2 J — X 2 Z 2 J X 2 y 2 (注：1、二阶行列式：M=a : =ad_cb ； 2、适合右 c d ‘ 手定则。) 例 1、 已知，a'(21,0),bl( — 1,2,1), 试求(i ): ( 2): b 爲. Key:⑴ a 汉 b=(1,—2,5) ； (2)b3=(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD —ABCP 中， 求平面 AEF 的一y 个法量向二AF AE =(1,2,2) 量n 。 二、平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1, 设n 是平面:'的法向量， AB 是平面:的一条斜线， A - ，则AB 与平面: 所成的角 为： n t t n n, AB arccos 2 2 |n||AB| T T n AB J -< n, AB arccos 、 2 |n| | 平面角为： T T m n 图 2-1- 1: >4 --- /sin 日=| cos c n, AB 纠 AB| 2 求面面角：设向量m ， n 分别是平面.的法 量，则二 的 T T m n 6高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
经典习题平面法向量求法及应用
法向量的求法及其空间几何题的解答
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
对法向量的透彻理解与灵活运用
整理法向量的快速求法
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
重点高中数学--空间向量之法向量求法及应用办法
法向量的求法和其应用
高一数学 带你走进法向量(法向量的理解与运用)
法向量的应用
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法
用好法向量-巧解高考题
平面法向量的求法及其应用
《平面的法向量与平面的向量表示》知识讲解
【2019年整理】法向量的求法和其应用
平面法向量的求法(师)
法向量求法及应用方法