离散连续详解

matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散!

1.连续系统vs离散系统

连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的，从数学建模的角度来看，可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。其实在simpowersystem 的库中基本所有模型都属于连续系统，因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。

离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上，而且往往是随机的，比如说某一路口一天的人流量，对离散模型的计算机仿真没有实际意义，只有统计学上的意义，所以在simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。但是在选取模型，以及仿真算法的选择时，常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的离散到底是指什么呢？其实它是指时间上的离散，也就是指离散时间模型。

下文中提到的连续就是指时间上的连续，连续模型就是指连续时间模型。离散就是指时间上的离散，离散模型就是指离散时间模型，而在物理世界中他们都同属于连续系统。为什么要将一个连续模型离散化呢？主要是是从系统的数学模型来考虑的，前者是用微分方程来建模的，而后者是用差分方程来建模的，并且差分方程更适合计算机计算，并且前者的仿真算法（simulationsolver）用的是数值积分的方法，而后者则是采用差分方程的状态更新离散算法。

在simpowersystem库中，对某些物理器件，既给出的它的连续模型，也给出了它的离散模型，例如：

离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime，如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化，后面会有介绍。在simpowersystem中常用

powergui这个工具来将系统中的连续模型离散以便采用discrete算法便于计算

机计算。

2.连续模型的数学建模vs离散模型的数学建模

Note：这里的连续和离散都是指时间上的连续和离散，无关乎现实世界的连续系统和离散系统。所谓数学建模就是用什么样的数学语言来描述模型，

连续系统的数学模型通常可以用以下几种形式表示：微分方程、传递函数、状态空间表达式，这三中形式是可以相互转换的，其中又以状态空间表达式最有利于计算机计算。

①微分方程：

一个连续系统可以表示成高阶微分方程，即

②传递函数

上式两边取拉普拉斯变换，假设y 及u 的各阶导数(包括零阶)的初值均为零，则有

于是便得微分方程的传递函数描述形式如下：

③状态空间表达式

线性定常系统的状态空间表达式包括下列两个矩阵方程：

（7-1）

（7-2）

式（7-1）由n 个一阶微分方程组成，称为状态方程；式（7-2）由l个线性代方程组称为输出方程因此获得如下的状态方程与输出方程（令a0=1 ）:

离散模型假定一个系统的输入量、输出量及其内部状态量是时间的离散函数，即为一个时间序列：

，其中T为离散时间间隔，其实T也就是上文中的sample time。Note：再强调一次，这里的离散模型是指离散时间模型，与现实世界中的离散事件模型没有任何关系，在simpowersystem中所讲的离散都是指时间上的离散，与我们在信号中学的那个离散概念没有关系。

离散时间模型有差分方程、离散传递函数、权序列、离散状态空间模型等形式。

①差分方程

差分方程的一般表达式为：

同样差分方程可以转换成后面那些表达形式。

3.连续模型的离散化

正如7.1.连续系统vs离散系统中截图所示的那样，如何由一个连续模型得到它的离散模型，

（RMS?discrete RMS value），以及powergui是通过什么方法将连续模型离散化的，即simulator 是如何将微分方程转换成差分方程的。

假设连续系统的状态方程为

现在人为地在系统的输入及输出端加上采样开关，同时为了使输入信号复员为原来的信号，在输入端还要加一个保持器，如图所示。现假定它为零阶保持器，即假定输入向量的所有分量在任意两个依次相连的采样瞬时为常值，比如，对第n个采样周期u(t)=u(nt)，其中T为采样间隔。

由采样定理可知，当采样频率w s和信号最大频率w max满足w s>2w max的条件时，可由采样后的信号唯一地确定原始信号。把采样后的离散信号通过一个低通滤波

器，即可实现信号的重构。值得注意的是，图所示的采样器和保持器实际上是

不存在的，而是为了将式离散化而虚构的。

下面对上式进行求解，对方程式两边进行拉普拉斯变换，得

即

通过一系列的拉斯反变换和卷积，最终得到其差分方程（具体过程不用关心）

统称为系统的离散系数矩阵。

在转换过程中引入了一个重要参数T，即采样间隔，也就是采样时间，不管是powergui还是其他离散模型，只要涉及到离散，都必然会涉及到sample time，如下图

那么sample time 一般取多大呢，一直满足采样定理即可，即信号的采样频率

大于信号本身最大频率的2倍即可。

4. simulator连续模型的仿真算法（simulatesolver，也可译成仿真解算器）和步长的概念。

连续系统的计算机仿真算法是数值积分法，即计算机用数值积分来解微分方程，从而得到其近似解。具体方法如下

①欧拉法和改进的欧拉法：

现有微分方程如下：

上式右端的积分，计算机是无法求出的，其几何意义为曲线f（t,y）在区间(t i ,t i+1)上的面积。当(t i ,t i+1)充分小时，可用矩形面积来近似代替：

其中h即为积分步长。

Note:在simulator仿真计算时，h实际为仿真时间间隔。

因此可得下式：

因此只要知道当前状态和步长，便可得到下一状态。其几何意义如下：

分析其误差特性：

由泰勒展式可得：

可知其截断误差是和步长h2成正比的，因此计算机在计算时，若要使近似积分精度更高，就要减小步长，但会增加截断误差。

②改进的欧拉法（预测—校正法）

对积分公式(3.1.2)式利用梯形面积公式计算其右端积分，得到

将上式写成递推差分格式为：

从上式可以看出，在计算 y n+1中，需要知道f n+1，而f n+1=f(t n+1,f n+1)又依赖于y n+1本身。因此要首先利用欧拉法计算每一个预估的y p n+1，以此值代入原方程式计算f p n+1，最后利用下式求修正后的y p n+1。所以改进的欧拉法可描述为

③龙格—库塔法（rung-kuta）

欧拉法是将经泰勒级数展开并截去h2以后各

项得到的一阶一步法，所以精度较低。如果将展开式多取几项以后截断，就得到精度较高的高阶数值解，但直接使用泰勒级数展开式要计算函数的高阶导数较难。龙格—库塔法是采用间接利用泰勒级数

展开式的思路，即用在n个点上的函数值f的线性组合来代替f的导数，然后按泰勒级数展开式确定

其中的系数，以提高算法的阶数。这样既能避免计算函数的导数，同时又保证了计算精度。由于龙格—库塔法具有许多优点，故在许多仿真程序包中，它是一个最基本的算法之一。

④线性多步法

以上所述的数值解法均为单步法。在计算中只要知道。也

就是说，根据初始条件可以递推计算出相继各时刻的y值，所以这种方法都可以自启动。下面要介

绍的是另一类算法，即多步法。

用这类算法求解时，可能需要各时刻的值。显然多步法计算公式不能自启动，并且在计算过程中占用的内存较大，但可以提高计算精度和速度。例如：亚当斯—贝希霍斯显式多步法

⑤刚性（stiff）系统解法

所谓刚性系统，就是用来描叙这类系统的微分方程的解，往往是由多个时间常数共同作用的，其中某些小时间常数对解的影响往往是微乎其微但的确不可或缺的。例如下式是一个简单刚性系统微分方程的解：

当时间较大时特征解-1000几乎对方程不起任何作用，但开始时有不能忽略e-1000t的影响，因此若前面介绍的计算机数值解法，为了保证解的稳定性在选取步长h时，必须保证1000h较小，也就是说步长h必须十分的小，这必然会增大计算次数，增大计算时间，而又因为在t一定大时，e-1000t几乎不起作用，因此这种增大次数又不会对计算精度有多大改善，就是说常规解法计算刚性系统是在做无用功。

到目前为止，已提出不少解刚性方程的数值方法，基本上分为：显式公式，隐式公式和预测校正型。显示公式常用雷纳尔法

隐式方程都是稳定的，故都适合于解描述刚性系统的方程组，如隐式的龙格—库塔法。但这种方法每计算一步都需要进行迭代，故计算量大，在工程上使用有一定困难。因此在解刚性方程时，常采用Rosenbrock提出的半隐式龙格—库塔法。

预测—校正型中常用的解刚性方程的方法是Gear算法

5. simulator离散模型的仿真算法和步长的概念。

离散模型的数学建模一般采用差分方程的方式，在matlab中其仿真算法是采用discrete算法，就是根据simulation step 定时对离散模块进行更新（就是定时计算差分方程的意思）

至于其步长的概念和连续模型中h的概念差不多，但是它的大小选择和sample time 有着密切关系，下面会给予说明。

6.simulink中仿真参数（simulation/configurationparameters）

有了上面知识的铺垫，可以介绍simulink仿真参数的设置

上图中solver（仿真解算器）就是上面介绍的各种算法用计算机语言编程的实现。

continuous solver就是数值积分法，discrete solver就是离散解法。

步长有variable step（变步长）和fixed step（固定步长之分）。continuous solver中的步长就是h，就是积分时间间隔，对于discrete solver的步长是和要仿真的模型中的sample time有密切关系的，是不可以随便取的。

①variable step（变步长）

就是说变步长会根据模型状态的变化的快慢适当调节步长，也就是相邻仿真计算的时间间隔，这样在保证了一定精度的同时又减少了仿真的次数，从而减小了仿真时间。

对于continuous solver而言，可以人为设定max step size 和min step size，然后计算机自动选择积分步长h进行数值积分。以下是它的仿真solver（ODE表示常微分方法）

②fixed step（固定步长）

就是仿真从头到尾用同一个步长。Note：对于continuous solver而言固定步长可以认为任取；而对于dicretesolver而言固定步长可以auto（即仿真帮你取），若人为取必选要遵守和sample time之间的一定关系，下面会有介绍。

Note: 关于simulink中搭建一些DSP，fpga等外设模块，仿真通过后自动生成代码，可在实际器件上运行时，此时simulation step一定要用fixed step（固定步长）。具体说明见下图：

③discretesolver

solver就是discrete算法，就是不断更新discrete block在各离散点的状态，步长的大小是与模型中的sampletime 有密切关系的，

由上面阐述的差分方程可知，差分方程中T采样时间是固定的，对于discrete solver而言不管是variable step 还是fixed step，simulation step（仿真步）必须要有出现在sample time所有的整数倍上，即simulation step的设置必须使simulator在1T、2T、3T要对模型进行计算仿真，以免错过主要状态的转化。

若一个离散仿真模型中具有多个sample time，那么要保证每个模型在其采用时间的1T、2T、3T都能进行仿真，那么最小步长只能取各个仿真时间的公约数，其中最大公约数又称为fundamental sample time，例子如下

假设仿真的离散模型中有两个采样时间T1=2e-6，T2=4e-6那么其公约数为1e-6和2e-6，而fundamental sample time=2e-6

若采用fixed step步长，为了不错过模型在每个采样时刻状态的变化，要求simulator的仿真时间必须要包含每一个采样时刻的整数倍，因此其固定步长必须取各个sampletime 的公约数，可以是1e-6或2e-6，若写auto则为fundamental sample time=2e-6，若写出其他步长，则simulation会提示错误。

上述仿真过程如下：

箭头表示simulation step，就是simulator在每一个箭头处都会仿真计算一次；圆圈处表示模型采样时刻（sample time）处，其实只有在这一刻离散模型的状态才有可能发生改变，即差分方程的解才有可能发生改变；由上图可见这样设置步长保证了在每个sample time处simulator都进行了仿真。若采用variable step步长，simulator会根据模型中的各个sample time自动调整步长，以使得仿真时间时刻等于sample time。

此时又有一个max step size的限制，若如上图写的是auto，那么上述仿真过程如下：

可见simulator只在sample time处才进行仿真计算，这样减少了仿真次数，节约了时间。

若max step size=0.7e-6，那么仿真过程又该如何？如下图：

可见variable step时，即使有人为maxstep size的限制，simulator总会跟踪sampletime。一般选择auto即可。

⑥关于powergui的作用

powergui基本上在simpowersystem的仿真中有两个作用：

ⅰ：离散化系统中的一些连续模型，以便simulator采用discrete算法计算，注意：对本来就已经存在的离散模型不起任何作用，如下图：

powergui的离散sample time为2e-6，而系统中还有离散模块的sample time为4e-6，powergui的离散作用对它没有影响。

ⅱ：提供各种graphical userinterface tools用于分析仿真过程中的信号以及数据（尤其是FFT分析）。