“大梦杯”初中数学竞赛试题含参考答案
20XX 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 20XX 年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将
OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）
A ．(13)，
B ．(33)，
C ．(33)，
D ．(31)， 【答案】 B
【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。
依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=?。 所以，3CD =，3AD =，3OD =。
因此，点C 的坐标为(33)，
。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A
【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。
[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224
x x x a
x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）
A ．6-
B ．30-
C ．32-
D ．38- 【答案】 D 【解答】方程
22240224
x x x a
x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。
6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。
若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。
若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。
所以，符合条件的a 有6-，24-，8-，其总和为38-。
4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则
m
n
=（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74
【答案】 C 【解答】依题意，
m IC
n ID
=
。 由I 为ABC △的内心知，IC AC BC
ID AD BD
==
。 所以，由等比定理知，
73563
m IC AC BC AC BC n ID AD BD AD DB ++======+。 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）
A ．
403 B ．6415 C ．13615 D ．31
5
【答案】 C
【解答】由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。 ∵ 22254(44)(2)44xy xy x y x y =++-=+-≥-，当且仅当2x y =-
，即x =
，y =
x =
，y =时等号成立。 ∴ xy 的最小值为45-，22424u x xy y xy =++=+的最小值为125，即12
5
m =。
∵ 22234(44)4(2)4xy xy x y x y =-+-=--≤，当且仅当2x y =，
即x =
y =
x =
y =时等号成立。 ∴ xy 的最大值为43，22424u x xy y xy =++=+的最大值为203，即20
3
M =。 ∴ 20121363515
M m +=
+=。 或解：由2244x xy y -+=，得2244x y xy +=+，22424u x xy y xy =++=+。
（第4题）
A
B
C D
I
设xy t =，若0x =，则4μ=；0x ≠时，y x t =
，将t
y x
=代入2244x xy y -+=， 得2
2
244t x t x
-+=，即422(4)40x t x t -++=， ……………… ①
由22(4)160t t =+-≥△，解得44
53
t -≤≤。
将43t =
代入方程①，解得283x =
，3x =±；45t =-代入方程①，
解得285
x =
，5x =±。 ∴ xy 的最大值为
43，最小值为4
5
-。 因此，820433M =+=，812455m =-+=，2012136
3515
M m +=+=
。 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。
【答案】 1
12
k -≤≤
【解答】易得直线AB 对应的一次函数的解析式为21y x =-。
由212y x y kx =-??=+?，得(2)3k x -=- ……………… ①
依题意，方程①有12x ≤≤的解。 ∴ 20k -<，且3122k -≤≤-，解得112k -≤≤。故k 的取值范围为1
12
k -≤≤。 或通过作图求解。
7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若
25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。 【答案】 27
【解答】如图，过点C 作CG BF ∥交AD 的延长线于点G ，则
AF AE
AC AG
=。 又由CG BE ∥，知DGC DEB △∽△。
F B
C
A
D E
（第7题）
∴ 32
DG DC DE DB ==。
∴ 37
222
AG AD DG DE DE DE =+=+=。
∴
2
7
AF AE DE AC AG AG ===。 8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=，则n
的最大值是 。
【答案】 63
【解答】依题意，11x ≥，22x ≥，33x ≥，…，n x n ≥。 ∴ 123(1)
20171232
n n n x x x x n +=++++≥+++
+=
。 于是，(1)
20172
n n +≥
，63n ≤。 又当11x =，22x =，33x =，…，6262x =，6364x =时，
12362636364
1236264120172
x x x x x ?+++
++=+++
++=
+=。 ∴
所求n 的最大值为63。
9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O
⊙于E 点，若
OA
CE
=，则AE
AB
= 。 【答案】
5
【解答】由AB 为O ⊙的直径知，AE BC ⊥。设CE m =，则
OA =，AB =。
由条件易得ACE BAE △∽△， ∴
CE AE
AE
BE
=，2AE CE EB =?，即2AE mEB =。 结合222AB AE EB =
+，得22)mEB EB =+。
（或由射影定理得2BA BE BC =?，即2)()BE BE m =?+） ∴ 22200EB mEB m
+-=，解得
4EB m =或5EB m =-（舍去）。 ∴ 2AE m =，
5
AE AB ==
。 E
O
A B
C
G
F B
C
A
D
E （第9题）
10．若正整数x ，y ，z 满足方程组333237()
x y z xyz
x y z ?--=??=+??，则xyz 的最大值为 。
【答案】 84
【解答】由3333x y z xyz --=，得
333222
13()()()()02
x y z xyz x y z x y x z z y ??---=--++++-=??。 结合x ，y ，z 为正整数得，222()()()0x y x z z y ++++->，于是0x y z --=。 ∴ 27x x =，7x =，7y z +=。
∴ 当7x =，3y =，4z =或7x =，4y =，3z =时，xyz 有最大值84。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根，求a 的值。 【解答】设1x ，2x 是方程两个不相等的整数根，则123x x a +=-，122x x a =-。 ∴ 3a -，2a -均为整数。因此，a 为整数。 …………………… 5分 ∴ 222(3)4(2)1017(5)8a a a a a =---=-+=--△为完全平方数。 设22(5)8a t --=（t 为整数，且0t ≥）。
则22(5)8a t --=。于是，(5)(5)8a t a t ---+=。 …………………… 10分 由于5a t --，5a t -+奇偶性相同，且55a t a t --≤-+。
∴ 5452a t a t --=-??-+=-?或5254a t a t --=??-+=?
。
解得21a t =??=?或81a t =??=?。 …………………………… 15分
经检验2a =，8a =符合要求。
∴ 2a =或8a =。 ………………………… 20分 另解：设m ，n （m n <）是方程两个不相等的整数根。
则2
2
(3)20(3)20
m a m a n a n a ?--+-=??--+-=??①②
。
两式相减，得()()(3)()0m n m n a m n -+---=。
由m n <，得3m n a +=-，3a m n =++。 …………………… 5分 将3a m n =++代入①，得10mn m n ---=。
∴ (1)(1)2m n --=。 …………………… 10分
由于m ，n 为整数，且m n <，因此，1211m n -=-??-=-?或1112
m n -=??-=?。
∴ 10m n =-??=?或23m n =??=?。 …………………………… 15分
当10m n =-??=?时，32a m n =++=；23m n =??=?
时，38a m n =++=。
∴ 2a =或8a =。 ………………………… 20分
12．如图，H 为ABC △的垂心，圆O 为ABC △的外接圆。点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点，D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。
求证：（1）AC 垂直平分线段HE ；
（2）DE AB =。
【解答】（1）解法一： 如图，连结AH ，AE ，EC 。
由H 为ABC △的垂心知，180AHC ABC ∠+∠=?。 由A 、B 、C 、E 四点共圆，得180AEC ABC ∠+∠=?。 ∴ AEC AHC ∠=∠。 …………… 5分 又CH CE =，CEH CHE ∠=∠， ∴ AEH AHE ∠=∠，AE AH =。
∴ AC 垂直平分线段HE 。…………………… 10分 解法二：
作点H 关于直线AC 的对称点G 。连结AH ，AG ，GC 。则CG CH =，点G 在以C 为圆心、CH 长为半径的圆上。 …………………… 5分
又AGC AHC ∠=∠，H 为ABC △的垂心，
∴ 180AGC AHC ABC ∠=∠=?-∠，A 、G 、C 、B 四点共圆。因此，点G 也在圆O 上。
∴ E 、G 两点重合。
因此，E 、H 关于直线AC 对称，即AC 垂直平分线段HE 。…………… 10分 （2） 连结CF ，BH 。依题意有CE CH CF ==。结合D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点，知CD 为圆O 的直径。
∴ DA AC ⊥。
又由（1），以及H 为ABC △的垂心知，HE AC ⊥，
BH AC ⊥。因此，B 、H 、E 三点共线。
∴ BE AC ⊥。 …………………… 15分 ∴ 9090DCE CDE CBE ACB ∠=?-∠=?-∠=∠。 ∴ DAE ADB =。
∴ DE AB =。 …………………… 20分
或：通过DAE ADB △≌△，证明DE AB =。或通过证明四边形ADBE 等腰梯形，证明
DE AB =。
F
D
E
H
O B
C A
F D
(G )
H
O
B
C
A
E F D
E
H
O
B
C A
F D
E
H
O
B
C A
（第12题）
13．对于整数3n ≥，用()n ?表示所有小于n 的素数的乘积。求满足条件()2232n n ?=-的所有正整数n 。
【解答】解法一：若11n >，则11整除()n ?，但11不能整除2232n -。
因此，11n >不符合要求。故，11n ≤。 ……………………………… 10分 若711n <≤，则()2357210n ?=???=，由2102232n =-，得11n =。………… 15分 若567<≤，则()23530n ?=??=，由302232n =-，得正整数n 不存在。 若35n <≤，则()236n ?=?=，由62232n =-，得正整数n 不存在。 若3n =，则()2n ?=，由22232n =-，得正整数n 不存在。
∴ 满足条件的正整数n 只有1个，11n =。 ………………… 20分
解法二：由()2232n n ?=-，得()102422(48)n n ?-=-。
由于()n ?是偶数，但不是4的倍数，因此，48n -是奇数。 ……………… 5分 若483n -≥，则48n -含有奇数的素数因子p ，即p 为奇素数，且p 整除48n -。 由48n n -<知，p 整除()n ?。由此p 整除1024，矛盾。
故，483n -<，即49n ≤，且n 为奇数。 …………………… 10分 ∵ 49n ≤时，22322249321046n -≤?-=， ∴ ()1046n ?≤。
又2357210???=，235711*********????=?>。
∴ 11n ≤。即3n =，5，7，9，11。 ………………… 15分 将3n =，5，7，9，11分别代入()2232n n ?=-验证，
3n =时，(3)2?=，223234n -=，不符合要求。 5n =时，(5)236?=?=，223278n -=，不符合要求。 7n =时，(7)23530?=??=，2232122n -=，不符合要求。 9n =时，(9)2357210?=???=，2232166n -=，不符合要求。 11n =时，(11)2357210?=???=，2232210n -=，符合要求。
∴ 满足条件的正整数n 只有1个，11n =。 ………………… 20分
14．在一个m n ?（m 行，n 列，1m >）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是1，2，3，…，m 的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，
m 这m 个数出现且仅出现1次）
（2）每一行n 个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时，求()m n ，的所有可能取值。 【解答】依题意，每列m 个数的和为(1)
1232
m m m +++++=
，共n 列。又每行m 个数的和为34。
所以，
(1)
342
m m n m +?=，2(1)68217m n +==?。 …………………… 5分 又1m >。所以，()(671)m n =，，，(332)，，(164)，，(317)，。
当()(671)m n =，，时，每一行1个数的和互不相同，与（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。
记i j a 为第i 行，第j 列所填写的数。
当()(332)m n =，，时，令1i a i =，234i a i =-。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，…，1时，符合要求。 ……………………… 10分
当()(164)m n =，，时，令1i a i =，217i a i =-，3i a i =，417i a i =-。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，16；第2列自上而下各行所填的数依次为16，15，14，…，1；第3列同第1列；第4列同第2列时，符合要求。
……………………… 15分 当()(317)m n =，，时， 填写方式如下：
符合要求。
所以，符合题意的填数方式存在时，()m n ，的所有可能取值有3种，分别为：
()(332)m n =，，，(164)，，(317)，。 ……………………………… 20分
历年全国初中数学竞赛试题及参考答案
2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且仅有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ) (A)36(B)37(C)55 (D)90 2.已知，，且，则a的值等于( ) (A)－5(B)5(C)－9(D)9 3.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴. 若斜边上的高为h，则( ) (A)h＜1 (B)h＝1 (C)1＜h＜2 (D)h＞2 4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( ) (A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q，若QP＝QO，则 的值为( ) (A)(B) (C)(D) 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6.已知a，b，c为整数，且a＋b＝2006，c－a＝2005. 若a＜b，则a＋b＋c的最大值为___________. 7.如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于________.
2019年全国初中数学竞赛试题及答案
１ 全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． ． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不 同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35 ． 答（ ） ． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ． 方程0 12=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）25 1±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-± ． 答（ ） ． 已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1 1991)1(--n ． 答（ ） ． 若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 1 1=S
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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S
初中数学竞赛试题汇编
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C （第2 题 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题 （本卷满分120分，考试时间120 分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分． 1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够 组成等腰三角形的概率是（ ） A ．4 1 B ．31 C ．2 1 D ．1 2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D . 41 3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则y x 的值等于（ ） A ．9 5 B ．59 C ．52011- D ．9 2011 - 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带 斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接 近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6 B . 7 C ．8 D ．9 5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2 2 (2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值 b 5 8-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 6 照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2 据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5 个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） （1） （第6题
最新全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及参考答案 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ．
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全国初中数学竞赛（海南赛区） 初 赛 试 卷 （本试卷共 4 页，满分 120 分，考试时间：3 月 22 日 8:30——10:30） 题号 一 二 三 总分 （1—10） （11—18） 19 20 得分 一、选择题（本大题满分 50 分，每小题 5 分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 方程 1 - 1 x = 0 的根是2009 A. - 1 2009 B. 1 C. -2009 D. 2009 2009 2. 如果 a + b < 0 ，且b > 0 ，那么 a 2 与b 2 的关系是 A. a 2 ≥ b 2 B. a 2 ＞ b 2 C. a 2 ≤ b 2 D. a 2 ＜ b 2 3. 如图所示，图 1 是图 2 中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图 1 中的线段 AB 在图 2 中的对应线段是 A. k B ． h C ． e D ． d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° A 图 2 （第 3 题图） （第 4 题图） 5. 已知2a =3， 2b =6， 2c =12，则下列关系正确的是 A B C O B 图 1
y 2 A. 2a = b + c B. 2b = a + c C. 2c = a + b D. c = 2a + b 6. 若实数 n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2 =1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是 D.1 1 B ． 2 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是 A ．∠A＞60° B ．∠C＜60° C ．∠B＞45° D ．∠B＋∠C＜90° 8.有 2009 个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是 1，第二个数是-1，则这 2009 个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9.⊙0 的半径为 15，在⊙0 内有一点 P 到圆心 0 的距离为 9，则通过 P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，记 p = 2a + b ， q = b - a ，则下列结论正确的是 A ． p ＞ q ＞0 B ． q ＞ p ＞0 C ． p ＞0＞ q D ． q ＞0＞ p （第 10 题图） 二、填空题（本大题满分 40 分，每小题 5 分） 11. 已知 | x |=3， =2，且 x + y ＜0，则 x y = . 1 1 12. 如果实数 a , b 互为倒数，那么 1 + a 2 + 1 + b 2 = . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球 4 个， 2 绿球 6 个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为 5 ，那么，随机从中摸出一个黄球的 概率为 . 14. 如图，在直线 y = -x + 3 上取一点 P ，作 PA ⊥ x 轴， PB ⊥ y 轴，垂足分别为 A 、B ，若矩形 OAPB 的面积为 4，则这样的点 P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在 AC 、AB 上，且 AE=AF ，∠CDE=∠BAC，那么，图中长度一定与 DE 相等的线段共有 条 .
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c22 ||()|| a a b c a b c -++-++可以化简为（）． （A）2c a -（B）22 a b -（C）a -（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B2（C）2 （D）2 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121 a a b a b ++++ ，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B） 21 4 a- （C） 1 2 （D） 1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．30 ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（）． （A）2 3（B）4 （C）5 2（D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．
历年初中数学竞赛试题精选(含解答)
初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m?a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 解：选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于是x＝a+b+c+d=9。 解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为 各艇追上④号艇的时间为 对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。 解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，则 由①②得，代入③得： ∴，故n的最小整数值为23。 答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台 解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得 由①得：，即 由②得：，即 ∴原不等式组的解集为 ∴整数的值为。
答：一层有客房10间。 解：设劳动竞赛前每人一天做个零件 由题意 解得 ∵是整数∴＝16 （16＋37）÷16≈3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。 初中数学竞赛专项训练（2） （方程应用） 一、选择题： 答：D。 解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程： ，化简得，解得不合题意舍去）。应选D。 答：C。 解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为 所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。 答：C。 解：若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为， 则解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。 答：B。
初三数学竞赛试题含答案
初三数学竞赛试题(含答案) 2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）已知（），则的值为（B）． （A）（B）（C）（D） 【解】，． 又，∴.故选（B）． （2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于 2且小于3，则m的取值范围是（C）． （A）（B）（C）（D） 【解】根据题意，由根的判别式，得．设， 由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象， 当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即． 综上，.故选（C）． （3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（D）．
（A）（B）（C）（D） 【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s，此辆汽车在各路段上行驶 的时间分别为（），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为 ．故选（D）． （4）已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（A）． 【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD中， 如图①，当点P在AB边上运动时，（），∴； 如图②，当点P在BC边上运动时， ，即（），有， ∴ =； 如图③，当点P在线段CE上运动时， ，有（）， ∴． 故选（A）． （5）已知矩形ABCD中，AB=72，AD=56，若将AB边72 等分，过每个分点分别作AD的平行线；将AD边56等分，过每个分点分别作AB的平行线，则这些平行线把整个矩
2018年全国初中数学竞赛试题及答案
１ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
2020年全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案：一
2020年全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案 一 一、选择题 1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则b a b a -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3 2．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2 －ab －bc －ca 的值为【 】 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3．如图，点 E 、 F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点 G ，则ABCD AGCD S S 矩形四边形等于【 】 A 、65 B 、54 C 、43 D 、32 A B C D E F G 4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋ 3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3 π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】 A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2 ＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】
A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、11 2-＜a ＜0 6．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、 ()b a +2 1 D 、a ＋b 二、填空题 7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。 8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。 9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。 A B C P 10．如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2 。
初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛初赛试题汇编 （1998-2018） 目录 1998年全国初中数学竞赛试卷 (1) 1999年全国初中数学竞赛试卷 (6) 2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9) 2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14) 2002年全国初中数学竞赛试题 (15) 2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17) 2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25) 2005年全国初中数学竞赛试卷 (30) 2006年全国初中数学竞赛试题 (32) 2007年全国初中数学竞赛试题 (38) 2008年全国初中数学竞赛试题 (46) 2009年全国初中数学竞赛试题 (47) 2010年全国初中数学竞赛试题 (52) 2011年全国初中数学竞赛试题 (57) 2012年全国初中数学竞赛试题 (60) 2013年全国初中数学竞赛试题 (73) 2014年全国初中数学竞赛预赛 (77) 2015年全国初中数学竞赛预赛 (85) 2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94) 2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)
2018 年初中数学联赛试题 (105)
1998年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ） c b c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5 3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且 p b a c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组? ??<-≥-080 9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、 b ）共有（ ） （Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分） 6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。 7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。 9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。 三、解答题：（每小题20分，共60分） 11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点， 点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。 A B C E F
2020年全国初中数学竞赛试题及答案
初三数学竞赛试题 2009年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．已知非零实数a，b 满足，则等于（）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）． 【答】A．解：因为△BOC ∽△ABC，所以，即，所以，． 由，解得． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）． （A）（B）（C）（D） 【答】D．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为 由已知，得即或由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y 看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）． （A）10 （B）16 （C）18 （D）32
【答】B． 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16. 5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）． （A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组 【答】C．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为． 由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由≥，解得≤．于是 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有时，是完全平方数，符合要求． 当时，原方程为，此时； 当y＝－4时，原方程为，此时．
全国初中数学竞赛试题及答案(1999年)[1]
1999年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试（4月4日上午8:30--9:30） 考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。 1、计算的值是（）。 （A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。 2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。
4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P 在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。 6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无 理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。 1、已知且，则＝________。 2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。
★初中数学竞赛试题精选
1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。 A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105 ＋b ×104 ＋c ×103 ＋a ×102 ＋b ×10 ＋c ＝a ×102 （103 ＋1）＋b ×10（103 ＋1）＋c （103 ＋1）＝（a ×103 ＋b ×10＋c ）（103 ＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整 除。故选C 方法二：代入法 2、若2001 11981 11980 11 ? ?++ =S ，则S 的整数部分是____________________ 解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022 19801980 1221==? >S ，又1980、 1981……2000均小于2001，所以22219022 20012001 1221== ? < S ，从而知S 的整数 部分为90。 3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。 解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的， 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店
2017年初一数学竞赛试题(含答案)
2017年初一数学竞赛题(含答案) 一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内) 1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( )． (A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-33 2. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( ) (A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+2 1b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+2 1b)2-4(a 2＋b 2)2 3．若a 是负数，则a+|-a|( )， (A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数 4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )． (A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l 5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )． (A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离 (C)A 、B 两点到原点的距离之和 (D)A 、C 两点到原点的距离之和 6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )． (A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点 7.已知a+b ＝0，a≠b ，则化简a b (a+1)＋b a (b+1)得( )． (A)2a (B)2 b (C)+2 (D)-2 8．已知m<0，-l
初中数学竞赛试题及答案
2005年乐清市初中数学竞赛试题及答案 (注：本卷共四页，共14题，满分120分；考试时间：8:30～10:30) 一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分) 1、设M＝，其中a、b为相邻的两个整数，c＝ab，则M( ) (A) 必为偶数(B) 必为奇数 (C) 必为无理数(D) 以上三种都有可能 2、等腰△ABC中，AB＝AC＝6，P为BC上一点，且PA＝4，则PB·PC的值等于( ) (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 3、若x－1＝2 (y＋1)＝3 (z＋2)，则x2＋y2＋z2可取得的最小值为( ) (A) 6 (B) (C) (D) 4、已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别是AB，BC的中 点，AF分别交DE，DB于G，H两点，则四边形BEGH的 面积是( ) (A)(B) (C) (D) 5、如图，边长为12的正三角形ABC内接于圆，弦DE∥BC分别交AB，AC于 F，G，若AF长x，DF长y都是正整数，则y的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分) 6、己知方程x2－x－1＝0的根是方程x６－px２＋q＝0的根，则p＝________，q＝________. 7、已知：如图，凸五边形ABCDE中，S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△DEA＝S△EAB＝1， 则S五边形ABCDE＝__________. 8、如图，把10个两两互不相等的正整数，a1a2…a10写成下列图表的形式，其中两个箭头 所指的数等于这两个箭头始点两个数的和，例如表示a2＝a1＋a5，那么，满足该图表的a4的最小可能值为___________.