上海市2017高一数学上学期期末考试!

2016学年度第一学期高一数学学科期末考试卷

（考试时间：90分钟 满分：100分 ）

一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格

填对得3分，否则一律得零分.

1.已知幂函数()y f x =

的图像过点12? ??

，则2log (2)f =__________。

2.设A 、B 是非空集合，定义{}*|,A B x x A B x A B =∈?且 ，{

}

22x x y x A -=

=，

??

?

???????==-41

x y y B ，则=*B A ________________。

3.关于x 的不等式

2201

a x

x a ->--（1a ≠）的解集为_____________。 4.函数)01(31

2

<≤-=-x y x

的反函数是 。

5.已知集合{}

2,A x x x R =>∈，{}

1,B x x x R =≥-∈，那么命题p “若实数2x >，则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ?”。则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为_______________________。

6.已知关于x 的方程a

x

-=??? ??1121有一个正根，则实数a 的取值范围是______________。

7.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 也是减函数，且2

(1)(1)0f t f t -++<，则实数t 的取值范围为________。

8.若偶函数()f x 在(]0-，∞单调递减，则满足1

(21)()3

f x f -<的x 取值范围是____________。

9.作为对数运算法则：lg()lg lg a b a b +=+（0,0a b >>）是不正确的。但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg 2lg 2+=+。那么，对于所有使lg()lg lg a b a b +=+（0,0a b >>）成立的b a 、应满足函数()a

f b =的表达式为_______________________。

10.已知函数1y x =

的图像与函数()1x

y a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B

两点，若AB =，则实数a 为____________。

11.若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_____________。

12.求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设函数34()()()55

x x

f x =+，则函数()f x 在R 上单调

递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =。类比上述解题思路，方程623(23)23x x x x +=+++的解集为____________。

二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上

将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.

13.设P 和Q 是两个集合，定义集合{}Q x P x x Q P ?∈=-且，如果{

}1log 2<=x

x P ，

{

}12<-=x x Q ，那么=-Q P （ ） (A))1,0( (B) ]1,0( (C))2,1[ (D))3,2[ 14.已知关于x 的不等式

21

<++a

x x 的解集为P ，若P ?1，则实数a 的取值范围为 （ ） (A)),0[]1,(+∞--∞ (B)]0,1(- (C)]0,1[- (D)),0()1,(+∞--∞

15.已知函数)(x f y =的定义域为[]b a ,，(){}(){}0|,),(|,=≤≤=x y x b x a x f y y x 只有一个子集，则 （ ）

(A) 0>ab (B)0≥ab (C)0

16.已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点。则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的 （ ） (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步

骤.

17.（本题满分8分）已知函数()2

21f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，求

实数t 的值。 解：

18．（本题满分8分，每小题满分各4分）已知集合{}

0)1(2

>--+=a x a x x A ，{}

0))((>++=b x a x x B ，

其中b a ≠，全集=U R 。 （1）若1->>b a ，求B A ； （2）若∈+4

1

2

a A C U ，求实数a 的取值范围。 解：

19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）（3）小题各满分3分）

已知()()f x g x =

=()()()H x f x g x =?。

（1）写出()H x 的解析式与定义域； （2）画出函数(1)2y H x =-+的图像； （3）试讨论方程(1)2H x m -+=的根的个数。 解：

20．（本题满分12分，每小题满分各6分）

某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液

中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足???????≥+?<<+=--)

1(1

42)

10(1

11

2x a x x ax

y x x ，其对应曲线（如图所示）

过点16

(2,

)5

。 （1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值时对应的x 值）；

（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持

多长的有效时间？（精确到0.01小时） 解：

21．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）（3）小题各满分5分）

已知2()21

x x a

f x -=+（R a ∈）的图像关于坐标原点对称。

（1）求a 的值，并求出函数11

24

2)()(-+-+=x x

x f x F 的零点； （2）若函数()()221

x

x b

h x f x =+-

+在[0,1]内存在零点，求实数b 的取值范围； （3）设4

()l o g 1k x g x

x +=-，若不等式1()()f x g x -≤在12

[,]23

x ∈上恒成立，求满足条件的最小整数k 的值。 解：

金山中学2016学年度第一学期高一数学学科期末考试卷参考答案 （考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：陈繁球 审核人：龚伟杰）

一、填空题（本大题共12小题，满分36分）

1.已知幂函数()y f x =

的图像过点1,22? ??

，则2log (2)f =1

2。 2.设A 、B 是非空集合，定义{}*|,A B x x A B x A B =∈?且 ，{

}

22x x y x A -=

=，

??

?

???????==-41

x y y B ，则=*B A {}0(2,)+∞ 。

3.关于x 的不等式2

201

a x

x a ->--（1a ≠）的解集为()22,1a a +。 4.函数)01(31

2

<≤-=-x y x

的反函数是??

?

??∈+-=1,311log 3x x y 。

5.已知集合{}

2,A x x x R =>∈，{}

1,B x x x R =≥-∈，那么命题p “若实数2x >，则1x ≥-”可以用集合语言表述为“A B ?”。则命题p 的逆否命题可以用关于,A B 的集合语言表述为R R

B A ?

痧。

6.已知关于x 的方程a x

-=??

? ??1121有一个正根，则实数a 的取值范围是()0,∞-。

7.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 也是减函数，且2(1)(1)0f t f t -++<，则实数t 的取值范围为(1,0)-。 8.若偶函数()f x 在(]0-，∞单调递减，则满足1

(21)()3

f x f -<的x 取值范围是

3

231<>）是不正确的。但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg 2lg 2+=+。那么，对于所有使lg()lg lg a b a b +=+ （0,0a b >>）成立的b a 、应满足函数()a

f b =的表达式为(1)1

b

a b b =

>-。 10.已知函数1y x =

的图像与函数()1x

y a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B

两点，若AB =，则实数a 为4。

11.若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为),3(+∞。

12.求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设函数34()()()55

x x

f x =+，则函数()f x

在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =。类比上述解题思路，方程

623(23)23x x x x +=+++的解集为{1,3}-。 二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）

13.设P 和Q 是两个集合，定义集合{}Q x P x x Q P ?∈=-且，如果{

}1log 2<=x

x P ，

{

}12<-=x x Q ，那么=-Q P （ B ） (A))1,0( (B) ]1,0( (C))2,1[ (D))3,2[ 14.已知关于x 的不等式

21

<++a

x x 的解集为P ，若P ?1，则实数a 的取值范围为 （ C ） (A)),0[]1,(+∞--∞ (B)]0,1(- (C)]0,1[- (D)),0()1,(+∞--∞

15.已知函数)(x f y =的定义域为[]b a ,，(){}(){}0|,),(|,=≤≤=x y x b x a x f y y x 只有一个子集，则 （ A ）

(A) 0>ab (B)0≥ab (C)0

16.已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点。则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的 （ B ） (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

三、解答题（本大题共5题，满分52分）

17.（本题满分8分）已知函数()2

21f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，求

实数t 的值。

解：函数()2

21f x x tx =-+的对称轴为x t =，所以2t ≤或5t ≥。

若2t ≤，在[]2,5上单调递增，()()max 5251018f x f t ==-+=，得9

5t =，符合； 若5t ≥，在[]2,5上单调递减，()()max 24418f x f t ==-+=，得3

4

t =-，舍。

综上，95

t =。

18．（本题满分8分，每小题满分各4分）已知集合{}

0)1(2

>--+=a x a x x A ，{}

0))((>++=b x a x x B ，

其中b a ≠，全集=U R 。 （1）若1->>b a ，求B A ；

（2）若∈+

41

2

a U

A e，求实数a 的取值范围。 解：（1）因为1->>b a ，所以1<-<-b a ，故=A {}|1x x a x <->或，

{}b x a x x B ->-<=或，因此{}

1>-<=x a x x B A 或 。

（2）U A e＝{x (x －1)(x ＋a )≤0}，由a 2

＋

41∈U A e 得(a 2－43)( a 2

＋4

1＋a )≤0， 解得21

-=a 或2323≤≤-a ，所以a 的取值范围是??

????????≤≤-2323a a 。

19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）（3）小题各满分3分）

已知(

)()f x g x =

=()()()H x f x g x =?。

（1）写出()H x 的解析式与定义域； （2）画出函数(1)2y H x =-+的图像； （3）试讨论方程(1)2H x m -+=的根的个数。

解：（1）()H x 的定义域为{}2x x >-，()

()2

2

2

20()2220x x x H x x x x x

x ?+≥?=+=?--<

（2）(1)2y H x =-+=()()()22

21112124511x x x x x x x ?+≥?-+-+=?-+-<

图像略。 （3）{}[)∞+∈，102 m 时，方程有一解；

()10,2∈m 时，方程有两解；()2,∞-∈m 时，方程无解。

20．（本题满分12分，每小题满分各6分）

某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液

中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足???????≥+?<<+=--)

1(1

42)

10(1

11

2x a x x ax

y x x ，其对应曲线（如图所示）

过点16

(2,

)5

。 （1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值时对应的x 值）；

（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持

多长的有效时间？（精确到0.01小时）

解：8a =，2218,011

()2,141

x x x

x x f x x +-?<

（1）当(0,1)x ∈时，288

()1

1x f x x x x

=

=

++ ∵1

2x x

+

>，∴0()4f x <<。 当[1,)x ∈+∞时，221242424

()1142412114244

x x x x x x x x f x +-??====

+?+++， ∵22x

≥，∴

11

2142

x x ?+≥，∴0()4f x <≤， ∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f ==。

（2）∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4，

∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解。

当(0,1)x ∈时，2

8()11

x

f x x =

=+，解得4x =-

当[1,)x ∈+∞时，2

12()141

x x f x +-==+，解得2log (8x =+。

∴当2[4(8x ∈+时，为有效时间区间。

∴有效的持续时间为2log (8(4 3.85+-≈小时。

21．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）（3）小题各满分5分）

已知2()21

x x a f x -=+（R a ∈）的图像关于坐标原点对称。

（1）求a 的值，并求出函数11

24

2)()(-+-+=x x

x f x F 的零点； （2）若函数()()221

x

x

b

h x f x =+-

+在[0,1]内存在零点，求实数b 的取值范围； （3）设4

()l o g 1k x g x

x +=-，若不等式1

()()f x g x -≤在12[,]23

x ∈上恒成立, 求满足条件的最小整数k 的值。 解：（1）由题意知()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，得1a =。

21()21x x f x -=+，)(x F ＝2121

x x -+＋42121x

x --+＝2(2)2621x x x +-+， 由2(2)26x x +-＝0，可得2x ＝2，所以，1x =，即)(x F 的零点为1x =。

（2）2121(2)21()2212121

x x x x x x x

b b

h x +-+--=+-=+++， 有题设知()0h x =在[0,1]内有解，即方程2

1

(2)210x x b ++--=在[0,1]内有解。

2

1

2(2)2

1(21)2x x x b +=+-=+-在[0,1]内递增，得27b ≤≤。

所以当27b ≤≤时，函数()()221

x

x b

h x f x =+-+在[0,1]内存在零点。 （3）由1

()()f

x g x -≤，得2

41log log 11x k x

x x

++≤--，

2(1)1x k x x ++≥-，显然12[,]23x ∈时0k x +>，即22+1

1x x k x

+≥-。

设1211

1,[,]

m [,]2332

m x x =-∈∈由于所以，

于是222+1254423

25[4,]13

x x m m m x m m +-+==+-∈-，所以23k 3≥。

满足条件的最小整数k 的值是8k =。