数字谜题的所有解上

●数学活动课程讲座●

数字谜题的所有解(上)

罗增儒

(陕西师范大学数学与信息科学学院,710062)

收稿日期:2007-11-15

(本讲适合初中)

我国古代称数字谜为“虫食算”,指的是这样一类计算问题:算式里运算数字或运算符号不全(好像被虫子吃掉了),要求根据式子给定的数量关系,把所缺的运算数字或运算符号确定出来.

此处考虑一类特殊的数字谜———九个数码全出现.比如,

□□□□×□□□□□ 1738

×

4

6952□□□×□□ 297

×185346

在这两个乘法算式中,非零数码1、2、3、

4、5、6、7、8、9恰好各出现一次.

又如,找出由这九个数码恰好出现一次组成的九位数中的平方数

□□□□□□□□□=(□□□□□

)2,有　139854276=118262

(最小的平方数),

923187456=303842

(最大的平方数).再如,算式

32547891×6=195287346,

左右两边都是“九个数码恰好出现一次”,它是数字谜题

□□□□□□□□×□=□□□□□□□□□的一个解,而

51249876×3=153749628,16583742×9=149253678,

也是题目的解.

本文介绍如何求出此类问题的所有解.1　要点提示

求解此类问题要特别注意:

(1)认真理解题意.

弄清数字有什么要求、运算有什么要求.(2)观察与分析.

观察运算式的结构特征,分析主要难点,找出各种数量关系(有时就是多元方程组),特别是要找出首位、末位中的等量关系或不等关系,运算中的进位关系等.

(3)计算与推理相结合.

由结构特征与数量关系,通过计算与推理确定数码的位置特征或位置的数码特征.

(4)选择突破口.

从上面的分析中,选择信息量最大的数字或位置作为解题的突破口,从首位、末位、进位出发是常见的选择.

(5)筛选与淘汰相结合.

分类穷举,或正面肯定某数码属于某数,或反面否定某数码属于某数(反证法),边筛选边淘汰,确定各个数字或各个数位中的数码.

(6)分类穷举,找出所有的数字.(7)检验.

首先是确保逻辑上不重不漏,运算没有笔误;其次是梳理解法,精简过程.2　问题选讲

例1　将1、2、3、4、5、6、7、8、9各用一次组成两个数,使其中一个数是另一个数的两

2中等数学

倍.求出所有满足条件的解.

讲解:因为九个数码组成两个数,故一个为五位数,另一个为四位数.

用M =ABCDE 表示五位数,N =FGHI 表示四位数.于是,原问题即M =2N ,

或

F G H I

+F G H I A B C D E

.

结论1　A =1,E 为偶数.

观察运算式的首位、末位可见,2×F 有进位,A =1,F ≥5.又E ≡2I (m od 10),故E 为偶数.

结论2　5在M 的B 、C 、D 中,F ≥6.用反证法.

若5在N 中,由5×2=10知,B 、C 、D 、

E 中会出现0或1.但由A =1知B 、C 、D 、E

不小于2.这一矛盾说明,5只能在M 中,进而,F ≥6.又E 为偶数,故B 、C 、D 中必有5.

结论3　9在N 中,8在M 中且在与9.

若不然,9在M 中,则

N =FGHI <9000,M =2×FGHI <18000.

于是,M 中的B ≠9.

又E 为偶数,故等于9的只能是C 或D .

(1)若D =9,则H =412×H 没有进位,有C ≡2G (m od 10),得C 为偶数.再由B 、C 、D 中必有5知B =5.

从而,F =7.此时,

M =15C 9E ,N =7G 4I ,M =2N .由于2×G ,2×I 都有进位,故G 、I 只能是2、3、6、8中的6、8.

又2×7648=15296,2×7846=15692,都是“6重复两次,3没有出现”,不合题意.

故D ≠9.

(2)若C =9,则G =412×G 没有进位,

有AB =2×F ,得B 为偶数.再由B 、C 、D 中必有5知D =5.

从而,H =7.此时,

M =1B 95E ,N =F 47I ,M =2N .

由于2×F ,2×I 都有进位,故F 、I 只能

是2、3、6、8中的6、8.

又2×6478=12956,2×8476=16952,

都是“6重复两次,3没有出现”,不合题意.

故C ≠9.

综上,9不能在M 中,只有9在N 中.又由2×9=18及数码不重复知,8在M 中且在与9相应的位置上.

结论4　7在N 中.

若不然,7在M 中,则M 中有1、5、7、8且E 为偶数,N 中有9.

(1)若B =7,则F =

17-1

2

=8,与数码不重复矛盾.故B ≠7.

(2)若C =7,由G ≠8知G =

7-1

2

=3.一方面,由2×G +1=7知,2×H 应有进位;

另一方面,AB =2×F ,B 为偶数,而E 为偶数,必有D =5,进而推出H =2或7.

但C =7,故H =2,2×H 又不应有进位,这一矛盾说明C ≠7.

(3)若D =7,由H ≠8知H =

7-1

2

=3.由2×H 没有进位知C 为偶数,而E 为偶数,必有B =5.

由AB =15=2×F +1,知F =15-1

2

=7,与数码不重复矛盾.故D ≠7.

综上可知,7在N 中.

结论5　M 、N 均为3的倍数,M 中有1、3、4、5、8,N 中有2、6、7、9;或者M 中有1、4、

3

2008年第3期

6、5、8,N 中有2、3、

7、9.

由F G H I

+F G H I A B C D E

知 2(

F ×103

+G ×102

+H ×10+I )

=A ×104

+B ×103

+C ×102

+D ×10+E ,

得　3(F ×103+G ×102+H ×10+I )

=(A +B +C +D +E +F +G +H +I )+　9[A ×1111+(B +F )×111+

(C +G )×11+(D +H )]=45+9T .

从而,N =15+3T .

可见,N 是3的倍数.由M =2N 知M 是6的倍数.据此,由于M 中有1、5、8(和为14),N 中有9、7(和为16)知,剩下的2、3、4、6,或者3、4在M 中,2、6在N 中;或者4、6

在M 中,2、3在N 中.

结论6　找出所有解共12个.

由F ≥6知,当N 中有9、7、6、2时,F 可取6、7、9,穷举18种情况:

6279×2=12558(舍去),6297×2=12594(舍去),

6729×2=13458(所求),6792×2=13584(所求),6927×2=13854(所求),6972×2=13944(舍去),7269×2=14538(所求),7296×2=14592(舍去),7629×2=15258(舍去),7692×2=15384(所求),7926×2=15852(舍去),

7962×2=15924(舍去),9267×2=18534(所求),9276×2=18552(舍去),9627×2=19254(舍去),9672×2=19344(舍去),9726×2=19452(舍去),9762×2=19524(舍去).

当N 中有9、7、2,3时,由F ≥6知,F 可取7、9,穷举12种情况:

7923×2=15846(所求),7932×2=15864(所求),7329×2=14658(所求),7392×2=14784(舍去),7239×2=14478(舍去),7293×2=14586(所求),9723×2=19446(舍去),9732×2=19464(舍去),9327×2=18654(所求),9372×2=18744(舍去),9237×2=18474(舍去),9273×2=18546(所求).

共得所有解12个:

6729×2=13458,　6792×2=13584,6927×2=13854,　7269×2=14538,7692×2=15384,　9267×2=18534,7923×2=15846,　7932×2=15864,7329×2=14658,　7293×2=14586,9327×2=18654,　9273×2=18546.

类似地,可以解M =kN (2

(未完待续)

欢迎读者为数学活动课程讲座、命题与解题、巧思妙解、赛题新解、课外训练、数学奥林匹克问题、数海拾贝、缤纷广角镜等栏目撰稿。特别欢迎撰写适合初中生阅读且内容充实的专题讲座和解题指导性的文章。

本刊编辑部

4中等数学