图论与组合数学期末复习试题含答案

组合数学部分

第1章 排列与组合

例1：

1)、求小于10000的含1的正整数的个数；

2、)求小于10000的含0的正整数的个数；

解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个

2)、“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有()

()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。

例2：

从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？

解：将[1,300]分成3类：

A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},

B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},

C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.

要满足条件，有四种解法：

1)、3个数同属于A;

2)、3个数同属于B ；

3)、3个数同属于C;

4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。

例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ）

1）、写出右图所对应的序列；

2）、写出序列22314所对应的序列；

解：

1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子

节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个内点值则记入序列。如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。

2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：112223344567。我们再将给出序列22314写在第一行，插入后的递增序列写在第二行。如下图第一行所示：

??→????? ??--②⑤67112223344522314??→????

? ??--②⑥11223344672314

??→????? ??--③②11233447314??→????

? ??--①③11344714

?

?→

?

??

?

?

?

?

-

-④

①

1447

4

??

?

?

?

?

47

。我们每次去掉第一行第一个数，并在第二行寻找第一个无重复的元素5并将它取出，

将⑤与②连接起来，并在第二行去掉第一行的第一个元素②，剩下的序列为1122334467，依次执行下去。最终剩下的两个元素（47）连在一起。则形成了以下的树。

例4：（圆排列问题：从n个字符中取r个不同的字符构成圆排列的个数为()()

n

r

r

r

n

P

≤

≤

,

。）

5对夫妇出席一宴会，围一圆桌坐下有多少种方案？要求每对夫妇相邻而坐，方案有多少种？

解：1）、此问便是考查圆排列的公式定义，由()

()()

n

r

r

r

n

P

r

n

Q≤

≤

=0

,

,可得，排列方式有()

()

!9

10

!

10

10

10

,

10

10

,

10=

=

=

P

Q种。

2）、同样，先将5个丈夫进行圆排列则有24

5

!5

=种，再将5个妻子插到丈夫的空隙之中，每个妻子只有两种选择，要么在丈夫的左边，要么在右边。因此由52种插入的方法，所以一共有52

!4?种。有错误！

例5：（允许重复的排列）

已知重集{}d

c

b

a

S3,

4,

5,

6

=，做重集S的全排列，问有多少中排列方案？

解：设可重复{}k

k

a

n

a

n

a

n

S?

?

?

=,

,

,

2

2

1

1

Λ，其中，

k

a

a

a,

,

,

2

1

Λ为S中k个不同元

素，则S的个数为

k

n

n

n

n+

+

+

=Λ

2

1

，S的全排列为：

!

!

!

!

2

1k

n

n

n

n

Λ

则据题意可得：方案数为

!3!4!5!6

!

18

?

?

?

。

列6：（允许重复的组合）

试问()4z

y

x+

+有多少项？

解：由于()()z

y

x

z

y

x+

+

=

+

+4()z

y

x+

+()z

y

x+

+()z

y

x+

+，相当于从右边每

个括号里取一个元素相乘，而元素可以对应相同（如4个括号我都取x ）或者不同。这就相当于将4个无区别的球放进3个有区别的盒子，由于在n 个不同元素中取r 个进行组合，允许重复，则组合数为()r r n C ,1-+。（或者说r 个无区别的球放进n 个有区别的盒子里，每个盒子球数不限，则共有()r r n C ,1-+种）。问题等价于从3个元素中取4个做允许重复的组合，15230!2!4!6464134===???

? ??=???? ??-+项。

例6：（线性方程的整数解个数问题）

已知线性方程b x x x n =+++Λ21，n 和b 都是整数，1≥n ，求此方程非负整数解的个数？

解：方程的非负整数解{

}n ξξξ,,,21Λ对应一个将b 个无区别的球放进n 个有区别的盒子()n x x x ,,,21Λ的情况，允许一盒多球，故原式可以等价转化为将将1到n 的正整数取b 个作为允许重复的组合，其组合数为???

?

??-+b b n 1个。 例7：（不相邻的组合） 从{

}7,6,5,4,3,2,1=A 中取三个元素做不相邻的组合，有多少种方式？ 解：由于从{

}n A ,,2,1Λ=中，取r 个作不相邻的组合，其组合数为()r r n c ,1+-，因此在此题中3,7==r n ，组合数种类有1012120!2!3!5353137===???

? ??=???? ??+-种。

例8：（全排列的三种生成算法）

（1）、已知4000=m ，!74000!6<<，求m 对应的序列。

（2）、利用字典序法求求839746521的下一个排列。

解：（1）、由于0到1!-n 中的任何整数m 都可以唯一表示为()()!1!2!2!11221?+?++-+-=--a a n a n a m n n Λ其中i a i ≤≤0，11-≤≤n i ，可以证明从0到1!-n 的!n 个整数与()1221,,,,a a a a n n Λ--一一对应，我们要得到这些值就得每次除以与其相对应的数值，就可以得到与i a 相对应的余数值i r 。因为!74000!6<<，所以：

,!2!3!4!5!640001234561a a a a a a n +?+?+?+?+?==

,0,2!32!42!52!62000240002112345612r a a a a a a n n ==+?+?+?+?==??

????=??????=

,2,!3!4!3!5!3!666632000322345623r a a a a a n n ==+?+?+?==??

????=??????= ,2,!4!5!4!6166466643345634r a a a a n n ==+?+?==?????

?=??????= ,1,!5!63351665445645r a a a n n ==+?==??

????=??????= ,3,5633655656r a a n n ====??

????=??????= ,5,06566667r a n n ===??

????=??????=所以：!22!32!41!53!654000?+?+?+?+?=。 把n-1个元素的序列()1221,,,,a a a a n n Λ--和n 个元素的排列建立一一对应关系，从而得到一种生成排列的算法——序数法。将()1221,,,,a a a a n n Λ--与给出序列相对应，例如给出4213，那么对应()123,,a a a ，由大到小的计算当前数值位置右边比此位置数值大的数值的个数，例如最大的数为4，4这个数右边有3个数比它小，所以33=a ，同理，第二个大的数为3，在3这个数右边有0个比它小的数，所以02=a ，同理对应2这个数右边有一个数比他小，所以11=a 。综上所述，对应序列为()301。

同时，由()301也可以推出最大数4的右边有3个比它小的数，为：

第二个大的数3右边比他小的数的个数为0，因此，为： 第三个大的数2右边比他小的数有1个，而1的位置也

可以确定了因此为 （2）、字典序法首先从序列()n p p p ,,,21Λ后向前找出第一组i i p p <-1，记下此式1-i p 的值，然后有从后向前找第一个比1-i p 的值大的数k p ，并将1-i p 和k p 调换位置，然后再将原来1-i p （现在k p ）位置以后的全部序列倒序即可以了。如题中所示的序列839746521中，首先找出从右向左第一组i i p p <-1的1-i p ，此处为4，然后找到k p 为5，将它们两调换得到839756421，然后将5后面的数逆序得到839751246。

例9：（格路模型）

一场电影的票价是50元，排队买票的顾客中有n 位是持有50元的钞票，m 位是持有

100元的钞票。售票处没有准备50元的零钱。试问有多少种排队的方法方法使得购票能顺利进行，不出现超不出零钱的状况。假设每位顾客只限买一张票，而且m n ≥。

解：在格路模型中，从()()n m ,0,0→的路径选择有()()m n m c m n m n m n m ,!!!+=???

? ??+=+种。因为这个问题可以看成是由m 个向右和n 个向上组成，就是一个可重复的全排列问题。当然，将这一模型推广以后就可以应用于此题了，我们将问题简化就可以得到卖票者从没有钱到把所有票都卖完，在这个期间他必须实现每次卖票成功（即有足够的零钱找给顾客）。在格路模型中，我们把x 轴看成是m 个100元，y 轴看成是n 个

50元，最重要实现将这m 个100元和n 个50元收入囊中，而

且要满足不出现找不出50元钞票的情况。问题等价于从()

0,0到()n m ,的路径中，找出y>x 且不穿越（但可以接触）y=x 线

上点的路径。然而不允许接触的情况是从()1,0点出发到()

n m ,的所有路径减去从()1,0点出发经过y=x 的路径，如右图所示，由对称性以及m n ≥可以知道，从()1,0出发经过y=x 的路径等于由()0,1出发到达()n m ,的路径，因为由()0,1出发到达()n m ,必须经过

y=x 。所以，原问题可以转化为：路径数=()()

1,1,1--+--+m n m c m n m c =()()()()!!1!

1!1!!1n m n m n m n m --+---+=()()()??? ??----+n m n m n m 11!1!1!1=

()()()??

? ??----+n m n m n m 11!1!1!1。然而，此处是可以接触y=x 的，因此我们可以将纵坐标向下移动一个单位如右图所示：即可以接

触y=x 但是不可以穿过y=x-1。此时相当于从)0,0(到()n m ,点减去从)0,0(经过y=x-1到()n m ,点的路径，而这一路径与从()1,1-到()n m ,的路径数相等，所以路径数=()()1,,-+-+m n m C m n m C =()()!

!1!

n m m m n n m ++-+。 例10：（若干等式及其组合意义）

分别解释下列组式子的组合意义。 1）、()()r n n C r n C -=,,即???

? ??-=???? ??r n n r n ；

2）、())1,1(),1(,--+-=r n C r n C r n C 即???

? ??--+????

??-=???? ??111r n r n r n ；

3）、)0,()1,1()1,1(),(),1(n C n C r r n C r r n C r r n C ++++--+++=++Λ；

4）、)(),,(),(),(),(r l r l r n C r n C r l C l n C ≥--=即???

?

??--???? ??=???? ?????? ??r l r n r n r l l n ; 5）、0,2),()2,()1,()0,(≤=++++m m m C m C m C m C m Λ；

6）、0),()2,()1,()0,(=±-+-n n C n C n C n C Λ； 7）、???

? ?????? ??++???? ??-???? ??+???? ?????? ??=????

??+0110n r m r n m r n m r n m Λ； 解： 1）、()()r n n C r n C -=,,即???

? ??-=???? ??r n n r n 这个式子可以被看作是格路模型的应用，从

()0,0到达()r n r -,在n 个格子上面先走r 个格子，剩下再走r n -个格子，这个和先走r n -个格子，再走r 个格子是一样的。

2）、())1,1(),1(,--+-=r n C r n C r n C 即???

? ??--+???? ??-=???? ??111r n r n r n ，这个式子组合意

义之一便是格路模型中的意义，从()0,0到()r n r -,的路径数可以被看成是???

?

??r n ，从()0,0到()r r n ,1--的路径数可以被看成是???

? ??-r n 1，从()0,0到()1,--r r n 路径数可以被看成是

???

? ??-1r n 。就是说我们从()0,0出发都是必须先经过()r r n ,1--或()1,--r r n 再到达()r n r -,的。还有一种模型便是从含有1a 的n 个数中取出r 个数有几种取法的问题，首先我们将取得的数分为两类：一类是取得的数中含有1a ，一类是不含有1a ，因此，含有1a 的有)1,1(--r n C 种取法（先将1a 取出，再从剩余的1-n 个数中取1-r 个）。不含有1a 的有),1(r n C -种取法。因此())1,1(),1(,--+-=r n C r n C r n C 。

3）、)0,()1,1()1,1(),(),1(n C n C r r n C r r n C r r n C ++++--+++=++Λ，运用上题中的模型即可。

4）、)(),,(),(),(),(r l r l r n C r n C r l C l n C ≥--=即????

??--???? ??=???? ?????? ??r l r n r n r l l n ，左边相当