(公开课) 圆的标准方程教学设计

4.1.1《圆的标准方程（第1课时）》教学设计

教材分析：

圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。

学情分析：

圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。再者，经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。通过五种直线方程的学习，对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。

教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.启发学生思考问题，理解问题，解决问题。

教学目标：

1．知识与技能

（1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;

（2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;

2．过程与方法

进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

3．情感态度与价值观

通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。

教学重点与难点：

1.重点:圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

2.难点： (1)由已知条件求圆的标准方程

(2)判定点和圆的位置关系

教学过程

（一） 创设情景，引入新课

用多媒体播放实际生活中圆的模型，引导学生从中抽象出圆的几何图形 “ 圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式。我问同学们一个问题：车轮为何设计为圆形，而不是其他的形状？” 学生回答问题（若是方形，走起来颠簸，不舒服；不是圆形，转不起来） 老师回答：正是圆，可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等，才保证了轮子转起来而不颠簸。

由此复习圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆

（二） 探究新知，讲解新课： 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M

r = ①

化简可得：222()()x a y b r -+-= ②

引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的标准方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

方程特征：（1）二元二次方程，x,y 的系数均为1；

（2）含有a,b,r 三个参数；

（3）圆心（a ，b ），半径为r

x

（三） 例1讲解，巩固新知 例1、求下列圆的圆心和半径：（学生观察，回答）

(1)(x+1)2+(y-1)2=1；

(2)x 2+(y+4)2=7；

(3)(x+1)2+(y+2)2 =m 2

练习1、写出下列各圆的方程（学生提问演板）

（1）圆心在原点，半径是3；

（2）经过点

P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

(3)以O （0，0

）,A(6,8)为直径的圆

（四） 例2讲解，探究深入

例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

222211122222A 2-35

(2)(3)25

(5,7)(2)(3)25(1)(2)(3)25x y M x y M M M x y M M -++=--++=--++=解：圆心是（，），半径长等于的圆的标准方程是把点的坐标代入方程，左右两边相等，

点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上。

把点的坐标代入方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上。

深入探究：那么点2M 在哪里？（提问学生）

引导学生深入思考点在圆内，还是在圆外？回归圆的定义，通过判定点到圆心的距离与圆半径的大小关系来判断点和圆的位置关系

点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：

00M ,)=x y ???设点（到圆心（a,b)的距离为d.

1.d>r 点在圆外

2.d r 点在圆上

3.d

练习2：

0,06,8M 6,9N 3,3Q 5,3A OA 已知两点O （），（），求以线段为直径的圆的方程，并判断点（），（），（）在圆上、在圆内，还是在圆外？ 课下思考题：

M ，N ，Q 哪个点到圆上点的距离最小？最小距离是多少？

（五） 课堂小结

1．理解圆的标准方程222()()x a y b r -+-=的推导过程

2．正确写出圆的标准方程以及指出点(a ，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径；

3．掌握判断点和圆的位置关系的方法

00M ,)=x y ???设点（到圆心（a,b)的距离为d.

1.d>r 点在圆外

2.d r 点在圆上

3.d

（六） 布置作业: 课本第120页练习第1、2、3题

第124页习题4.1A 组第1、2题