集合常见错误分析

集合问题中常见错误分析

朝阳区丁益祥特级教师工作室 周明芝

解集合问题时，若对集合的基本概念理解不透彻，或思考不全面，常常致错，为此，本文对集合解题时提出几点注意，希望引起重视．

1. 注意集合中元素的含义

集合中元素是有一定意义的，对此，稍有疏忽就会导致解题失误．

例 1. 设{}A x y x y x y N =+=∈(,)|,*46，，{}

B x y x y x y N =+=∈(,)|,,*327，则A B =___________．

错解：由方程组46,327x y x y +=??+=? 解得：1,2.

x y =??=? 故{}A B =12，． 错因分析：导致错误的原因是没有正确理解集合元素的含义，A 、B 中的元素是有序数对，即表示平面直角坐标系中的点，故{}

A B =()12，．

2. 注意集合中元素的互异性

集合中任何两个元素都是不同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素，因此集合中元素是没有重复的，忽视互异性会引出错解．

例2．已知集合A a ={}13，，，集合B a a =-+{}112，，如果B A ?，求a 的值． 错解：若a a 213-+=，即a a 220--=，则a =-1或a =2；

若a a a 21-+=，即a a 2

210-+=，则a =1．

综上，所求a 的值为-1，1，2．

错因分析：当a =1时，A 中有两个相同的元素1，与集合元素的互异性矛盾，因此a =1应舍去，所以满足题意的a 值为-1，2．

3. 注意?的特殊性 ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，与任何集合的并集等于集合本身，忽视它的特殊性，同样会造成解题错误．

例 3. 已知集合{}{}

A x ax

B x x x =+==--=||105602，，若A B ?，求由实数a 组成的集合

C ．

错解：因为{}

A a

B A B =-????

??=-?178，，，， 所以-=--=1718a a 或，即a a ==-1718或，所以C =-??????17

18，． 错因分析：导致错误的原因是漏掉A =?的情形，当a =0时，A =?亦满足条件，可得

C =-???

???01718，，． 4. 注意取等的可能性

例 4. 已知{}{}A x x B y y x a x A =-<<==+∈|,|12，，{}

C z z x x A ==∈|,2，且B C C =，求实数a 的取值范围．

分析：由已知得：{}|12B y a y a =-<<+，{}|04C z z =≤<，

由B C C = 得B C ?，又12a a -<+，知B ≠?，

故有10,2 4.

a a -≥??+≤? 解得12a ≤≤． 注：不要忽略a +=24的情况．

5. 注意参数范围的等价性

当参数包含于多个元素的表达式时，运算过程中容易扩大参数的取值范围，应注意检验，否则会发生错解．

例5. 已知集合{}{}

A a a

B a a a =-+=-+-31312122，，，，，，且A B ={}-3，求实数a 的值．

错解：由{}A B =-3，知33213a a -=--=-或，即01a a ==-或．

错因分析：当a =0时，{}{}A B =-=--301311，，，，，，

此时{}A B =-31，，与A B {}=-3矛盾，应舍去．

6. 注意分类讨论的重要性

例 6. 已知集合{}{}

A B x x ax b =-=-+=11202，，|，若B ≠?，且A B A = ，求

实数a 和b 的值．

分析：因为A B A =，故B A ?，又B ≠?，故B 中含一个或两个元素，通过讨论，可求出：

0,1,1,11 1.a a a b b b ===-??????=-==???

或或 7. 注意条件隐含性

例7. 全集{}

22,3,23S a a =+-，{}|21|2A a =-，，{}5S A =e，求实数a 的值． 错解：因为{}5S A =e，所以55∈?S A 且，从而a a 2

235+-=． 解得：a a ==-24或．

错因分析：导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为S 是全集，所以A S ?． 当a a S =-=∈2213时，||，符合题意；

当a =-4时，||219a S -=?，不符合题意，故a =2．

注：在解有关含参数的集合题时，需要进行验证结果是否满足题中的条件（包含隐含条件）．

高考集合问题常见类型解析

湖南省 黄爱民 赵长春

集合是高中数学中最基本的概念，也是历年高考的必考点.本文结合近年高考集合题， 对其常见类型加以分类解析，供参考。

一、概念运算型

例1、（2005年全国卷Ⅰ）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，

且I S S S =??321，则下面论断正确的是( ) （A ）Φ=??）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ?

?（）

（C ）123I I I C S C S C S ??=Φ （D ）123I I S C S C S ??（）

解析：只要作出如图一所示的韦恩图，不难发现正确答案为C 。

例2、（2005年上海卷）已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，??????∈≥+=Z x x x P ,115|

，则P M 等于 （）

A ．{}Z x x x ∈≤<,30|

B {}Z x x x ∈≤≤,30|

C {}Z x x x ∈≤≤-,01|

D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 解析：通过解不等式化简集合{}|13M x x =-≤≤，{}|14,P x x x Z =-<≤∈，从而易知正确答案为B 。

评析：集合概念关系题主要考查集合的基本概念和基本运算，常用解法是定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等。

二、知识结合型

例 3、（2000 年全国高考题）设集合 A 和 B 都是自然数 N ，映射 f ：A →B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n + n ，则在映射 f 下，象 20 的原象是（ ）

(A)2 (B)3 (C) 4 (D) 5

解析：本题是映射与集合的综合题，由题意知是求关于 n 的方程 2n + n =20 的解，由选 支的数字较小，可试算： 24＋4=20，故有n = 4，而选(C).

例4、（2002上海春，3）若全集I =R ，f （x ）、g （x ）均为x 的二次函数，P ={x |f （x ）＜0}，Q ={x |g （x ）≥0}，则不等式???<<0

)(0)(x g x f 的解集可用P 、Q 表示为_____.

解析：本题考查用集合语言表示不等式组的解集。()0()0()0()0f x f x g x g x

评析：这类题型主要是将集合与不等式、三角函数、解析几何等知识结合，形成多知识点的 综合问题，解题的关键在于灵活运用有关知识.

三、组合计数型

例 5（2000年广东，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ）

A.15

B.16

C.3

D.4

解析： (公式法)当集合内含 n 个元素时，它有 2n 用寿命 -1个子集，故有 24-1=15，选 A .

例 6、 (1999 年全国高考题)已知映射 f ：A →B ，其中集合 A ＝{－3，－2，－1，1，2， 3，4 }，集合 B 的元素都是 A 中元素在 f 下的象，且对任意的 a ∈A ，在 B 中和它对应的元 素是│a │，则集合 B 中元素的个数是( )(A) 4 (B) 3 (C) 6 (D) 7

解析： 本题题意叙述虽长,但转换成图表语言, 则易得 4 个，知选(A).

评析：这类题型是指以集合为背景，求子集的个数、集合中元素的个数等 .常用解法是（真）子集的个数公式法、图表法、组合数公式法等。

四、定义创新题

例7、（2005年湖北卷）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（）

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

解：由P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈的定义，分别从P 、Q 中任取一个元素各有3种方法，但

“0+6=1+5” 考虑到集合元素的互异性。故P+Q 中元素的个数为：3318?-=。从而选B 。 评析：抓住定义、揭示定义本质是解决这类问题的关键。

五、结论开放型

例8、（2000上海春，12）设I 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q I .若含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集?，则这个运算表达式可以是

（只要写出一个表达式）

解析：如图三所示。阴影部分为R C Q 显然，所求表达式为

R C Q P φ= ，或()R C Q Q P φ= 或()R C Q Q P φ= 。 评析：本题考查集合的关系及运算。已知集合的运算结果，写出集合运算的可能表达式，这类题往往具有一定的开放性。

六、综合运用型

例 9 (2000 年上海春季高考题)“a =1”是“函数 y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期 为π ”的( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C)充要条件 (D)不充分也不必要条件

解：析 ：由函数 y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax 的最小正周期为π ，可得a =1. 设 M ={a │a =1}={ 1 }，N ={a │a =±1}={ 1，－1 }，有所以应选(A).

评析：有些高考题表面上看不一定是考查集合知识，但若灵活运用集合知识，则能突破解题难点，优化解题思路，甚至能避免分类讨论. 如用集合法解决充要条件问题、用补集法解题等. 当所判断的命题与方程的根、不等式、集合相关时，可利用集合间包含关系进行判定。设条件 A 、B 对应的非空集合分别为 A 、B ，则

① 若

B A ≠?(或B A ≠?，则 A 是 B 的充分不必要条件，B 是 A 的必要不充分条件； ② 若A B ≠?(或A B ≠

?，则

A 是

B 的必要不充分条件，B 是 A 的充分不必要条件； ③ 若()A B B A ??或，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件；

④ 若()A B B A ??或，则 A 是 B 的必要条件，B 是 A 的充分条件；

⑤ 若 A ＝B ，则 A 是 B 的充要条件；

⑥ 若 A 、B 无包含或相等关系，则 A 是 B 的 既不充分条件也不必要条件。