高数_大一_上学期知识要点

总复习(上)

一、求极限的方法：

1、利用运算法则与基本初等函数的极限；

①、定理 若lim

(),lim ()f x A g x B ==, 则

(加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+

(乘法运算) lim

()()f x g x AB =

(除法运算) ()0,lim ()f x A

B g x B

≠=若 推论1: lim

(),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数)

推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =

②结论m n a x b x --+

++++11结论2:

()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则

0lim ()()x

x

f x f x →=

2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；

①定义1: 若0

lim ()0x x

f x →=或（lim ()0x f x →∞

=）

则称

()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小.

定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:

若lim 1β

α

=, 则称α与β是等价无穷小, 记为

αβ.

②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理2(等价无穷小替换定理) 设ααββ'',

且lim

βα''

存在, 则

(因式替换原则)

常用等价无穷小:

sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x

()()2

12

1cos ~,1~,11~,ln 1~,x

x x e x x x x x μ

μ--+-+

1~ln ,x a x a -()0→x

3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；

①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件:

(1)(,,,)n

n n y x z n ≤≤=123;

(2)lim lim n n

n n y z a →∞

→∞

==,

则数列n x 的极限存在, 且lim n

n x

a →∞

=.

②准则II: 单调有界数列必有极限.

4、利用两个重要极限。

0sin lim 1x x x →= 1

0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x

→∞+= 5、利用洛必达法则。

未定式为0,,,0,00∞

∞∞-∞?∞∞

类型. ①定理(x a →时的0

型): 设

(1)lim ()lim ()0x a

x a

f x F x →→==;

(2) 在某(,)U a δ内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;

()(3)lim ()

x a f x F x →'存在(或为无穷大)

二、求导数和微分： 1.定义

①导数：函数

()y f x =在0x x =处的导数：

0000000()()()()

()lim lim .x x x f x f x f x x f x f x x x x

→?→-+?-'==-?

函数()y f x =在区间I 上的导函数：

0()()()lim .x f x x f x dy

f x x dx

?→+?-==?

②函数的微分：().dy f x dx '=

2.导数运算法则（须记住P140导数公式）

① 函数和差积商求导法则：函数()u x 、()v x 可导，则：

(()())()()u x v x u x v x αβαβ'''+=+

(()())()()()().u x v x u x v x u x v x '''=+

(

)2

(()0)u u v uv v x v v

''-''=≠

②反函数求导法则：若()x y =的导数存在且()0y ?≠，

则反函数

()y f x =的导数也存在且为

1().()

f x y ?'=

'

③复合函数求导法则(链式法则)：()u x ?=可导，()y f u =可导，

则

(())y f x ?=可导，且

.dy dy du dx du dx

= ④隐函数求导法则:

⑤参数方程求导法则:

(),()x t y t ?ψ=??=?

若()0t ?'≠则()

()dy t dx t ψ?'='. 2

2

()()()1()t dy d d d y t dx dx dx dx dt

dt

ψ?''==?

3.微分运算法则

三、求积分：

1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。

1

()lim ()n

b

i i a

i f x dx f x λξ→∞

==?∑?

性质1：()0,()()a a b

a

b a

f x dx f x dx f x dx =-=???

性质2：[()()]()()b b b

a

a a

f x

g x dx f x dx g x dx +=+??? 性质3：()(),().b b

a a

kf x dx k f x dx k =??是常数

性质4：

()()()c

c

b

b

a

a

f x dx f x dx f x dx =+?

?? (去绝对值, 分段函

数积分)

性质5：b

a dx

b a =-?

2.计算公式： P186基本积分表； P203常用积分公式；

①第一换元法(凑微分)：

()

()(())()(())()()u x u x f x x dx f x d x f u du ??????==??'==???

??

2

1

arcsin arccos,

11

(),2

dx d x d x

dx d dx

x x

==-

=-=

②第二换元法：

()

2.()(())()

x t

f x dx f t t dt

?

??

=

'

=

??

③分部积分法：

3.()()()()()()u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-??

udv uv vdu

=-??)(反对幂指三”，前,后u v '

④有理函数积分：

循环解出; 递推公式 分部化简 ;

混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数

⑤牛顿莱布尼茨公式：

4.()()()[()](()())b

b a

a

f x dx F b F a F x F x f x '=-==?其中 ⑥定积分换元法：

5.()(())()(())b a

f x dx f t t dt

a b β

α

???α?β'=??＝()=

（换元换限，配元(凑微)不换限） ⑦定积分分部积分法：[]6.()()()()()()b

b

b

a a a

u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-?

?

⑧结论(偶倍奇零)：

① 若函数()f x 为偶函数，则0

()2()a

a

a

f x dx f x dx -=?

?。

②若函数()f x 为奇函数，则()0a

a

f x dx -=?

注意:

1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；

2. 定积分几何意义求一些特殊的积分(

如2

4

a a π=

?)

⑨ 变限积分求导

四、微分和积分的应用

1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形

① 判断单调性：

第一步：找使

()0f x '=的点和不可导点。

第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论

()f x '的正

负，()0,f x '>函数递增，

()0,f x '<

函数递减。

② 判断凹凸性：

第一步：找使

()0f x ''=的点和不可导点。

第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论

()f x ''的正负，

()0f x ''>，是凹区间，()0f x ''<，是凸区间。（拐点：左右两边

()f x ''的符号相反）

③ 判断函数极值：

第一步：找使

()0f x '=的点和不可导点。

第二步：判断这些点两边()f x '的正负，若左正右负极大值点

左负右正极小值点。

2.1 定积分的几何应用---求面积，体积和弧长

所求图形的面积为：[()()]b

a

S

f x f

x dx =-?下

上

所求图形的面积为：[()()]d

c

S y y dy ??=-?右左

旋转体：由连续曲线 y =f (x )、直线 x =a 、x =b 及 x 轴所围成的曲边梯 形绕 x 轴旋转一周而成的立体。

y + y

旋转体：由连续曲线 ()x y ?= 、 直线 y =c 、y =d 及 y 轴所围曲边梯 形绕 y 轴旋转一周而成的立体

2[()]d

c

V y dy π?=?

?b

a [f (x )]2

π dx =π?b

a [f (x )]2dx 。

2.3 定积分的物理应用

变力沿直线做功；水(侧)压力；引力

思路: 建立坐标系，选取积分变量(如x )，在[x, x+d x ]上给出微元

第六 空间解析几何 1. 向量x y z a

a i a j a k

=++在坐标轴上的投影分别为：

,,x y z a a a ；在坐标轴上

的分量分别为：

,,x y z a i a j a k 。

||a →

=，(cos ,cos ,cos )||

a a

e a αβγ== 2. 利用坐标作向量的线性运算

(,,),x y z a a a a = (,,),x y z b b b b =

a b ±= (,,)x x y y z z a b a b a b ±±±，

a λ= (,,)x y z a a a λλλ，

数量积(数):

||||cos(,)x x y y z z a b a b a b a b a b a b ∧

?=++=

向量积(向量)

x y z x y z

i j k

a b a a a b b b ?=

a b a ?⊥，a b b ?⊥，且 a b ?，,a b

构成右手系，

||||||sin (,)a b a b a b ∧

?= (几何意义: 平行四边形的面积)

3．向量之间的关系 a b ⊥?0x x y y z z a b a b a b a b ??++=

//00y x z

x

y z x y z

x

y

z

i

j k

a a a a

b a b a a a b b b b b b ?==??=?=（）

4．平面图形及其方程

平面的法向量：和平面垂直的非零向量。

①点法式方程：

设平面过点0000(,,)M x y z 法向量(,,)n A B C =(其中,,A B C 不全为0),

则平面的方程为

000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=

②一般方程：

0Ax By Cz D +++=

[ 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0表示平行于 x 轴的平面; Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 轴的平面; Ax+By+D = 0 表示平行于 z 轴的平面 Cz + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; Ax + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面；

By + D =0 表示平行于 zox 面 的平面]

设平面∏1的法向量为1111(,,)n A B C =，

平面∏2的法向量为2

222(,,)n A B C =，

则两平面夹角θ 的余弦为：

1212

cos n n n n θ?=

。

平面外一点()000,,P

x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离：

d =

5．空间直线及其方程

① 一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为：

1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?

方向向量: 12s n n =?

②点向式方程

方向向量:

(,,)s m n p =

③参数方程 (求交点)

p z z n y y m x x 0

00-=-=-??

???+=+=+=t

p z z t n y y t m x x 000