椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质
1．椭圆的定义
(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．
(2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2 b 2 ＝1(a >b >0) 图形 性质 范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b,0)， B 2(b,0) 焦点 F 1(－c,0) F 2(c,0) F 1(0，－c ) F 2(0，c ) 准线 l 1：x ＝－a 2c l 2：x ＝a 2 c l 1：y ＝－a 2c l 2：y ＝a 2 c 轴 长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b 焦距 F 1F 2＝2c 离心率 e ＝c a ，且e ∈(0,1) a ， b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝5 4 |PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( ) [解析] (1)错误，|PA |＋|PB |＝|AB |＝4，点P 的轨迹为线段AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1 ＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为10 5 ，则m ＝________. [解析] 由题设知a 2 ＝5，b 2 ＝m ，c 2 ＝5－m ，e 2 ＝c 2a 2＝5－m 5＝(105)2＝2 5 ，∴5－m ＝2，∴m ＝3.[答案] 3 3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____． [解析] 椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝6,2a ＝20，∴a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝64，故椭圆方程为x 264＋y 2 100＝1. [答案] x 264＋y 2 100 ＝1 4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 2 3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大 时，△FAB 的面积是________． [解析] 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8， 此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝1 2 ×2×3＝3.[答案] 3 5．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是 线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 精品-- [解析] 设A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )，则⎩⎪⎨⎪ ⎧ x 21a 2＋y 21b 2 ＝1，x 2 2 a 2 ＋y 22b 2 ＝1， ∴ x 1－x 2 x 1＋x 2 a 2 ＋ y 1－y 2 y 1＋y 2 b 2 ＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2 y 1＋y 2 . ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12 ， ∴a 2 ＝2b 2 .又∵b 2 ＝a 2 －c 2 ，∴a 2 ＝2(a 2 －c 2 )，∴a 2 ＝2c 2 ，∴c a ＝2 2 .[答案] 22 考向1 椭圆的定义与标准方程 【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率 为3 3 ，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________． [解析] (1)由条件知△AF 1B 的周长＝4a ＝43，∴a ＝ 3. ∵e ＝c a ＝33，c 2＋b 2＝a 2，∴c ＝1，b ＝ 2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2 2 ＝1. (2)∵椭圆的一条准线为x ＝－4，∴焦点在x 轴上且a 2 c ＝4，又2c ＝4，∴c ＝2，∴a 2＝8，b 2＝4， ∴该椭圆方程为x 28＋y 24＝1.[答案] (1)x 23＋y 22＝1 (2)x 28＋y 2 4＝1, 【规律方法】 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1 2， 则C 的方程是________． (2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x 2 a 2＋y 2 25 ＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦 AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________． [解析] (1)右焦点F (1,0)，则椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1. 又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)∵a ＞5，∴椭圆的焦点在x 轴上，∵|F 1F 2|＝8，∴c ＝4，∴a 2＝25＋c 2＝41，则a ＝41. 由椭圆定义，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ， ∴△ABF 2的周长为4a ＝441.[答案] (1)x 24＋y 2 3 ＝1 (2)441 考向2 椭圆的几何性质 【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)， 右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6 d 1，则椭圆C 的离心率为________． (2)(2014·扬州质检)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2 ＝30°，则椭圆的离心率为________． [解析] (1)依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc a .由已知可得b 2 c ＝6·bc a ，所以6c 2 ＝ab ，即6c 4 ＝a 2 (a 2 －c 2 )，整理可得a 2 ＝3c 2 ，所以离心率e ＝c a ＝3 3 . (2)在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π 2 ， 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，∴离心率e ＝2c 2a ＝33. [答案] (1)33 (2)3 3, 【规律方法】 1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系． 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： (1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a ； (2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． (2)(2014·徐州一中抽测)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.则椭圆离心率的范围为________． [解析] (1)如图，在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2|PF 2|，且|PF 2|＝ 3 3 |F 1F 2|， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝23a ，于是|F 1F 2|＝233a ，因此离心率e ＝c a ＝3a 3a ＝3 3 . (2)法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2 －3mn ≥4a 2 －3·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫m ＋n 22 ＝4a 2－3a 2＝a 2 (当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12. 又0 ⎪⎫ 12，1. 法二：如图所示，设O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F 1PF 2＝60°，则只需满足60°≤∠F 1AF 2即可， 又△F 1AF 2是等腰三角形，且|AF 1|＝|AF 2|，所以0°<∠F 1F 2A ≤60°，所以1 2≤cos∠F 1F 2A <1， 又e ＝cos ∠F 1F 2A ，所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. [答案] (1)33 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 12，1 课堂达标练习 一、填空题 1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为 2 2 .过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． [解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝1 2 . 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8. ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.[答案] x 216＋y 2 8 ＝1 2．(2013·四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________． [解析] 设P (－c ，y 0)代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝c a 可得离心率e . 由题意设P (－c ，y 0)，将P (－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－c 2 a 2＝ b 2·a 2－ c 2a 2＝b 4 a 2. ∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)，∴P ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac . ∵A (a,0)，B (0，b )，∴k AB ＝b －00－a ＝－b a . 又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2 ac ，∴b ＝c . ∴e ＝c a ＝ c b 2＋c 2 ＝c 2c 2 ＝2 2. [答案] 22 3．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋y 2 4＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分 别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________. [解析] 椭圆x 29＋y 2 4 ＝1中，a ＝3. 如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6. ∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. [答案] 12 4．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ → ＝2QA → ，则椭圆的离心率为________． [解析] ∵△AOP 为等腰三角形，∴OA ＝OP ，故A (－a,0)，P (0，a )，又PQ → ＝2QA → ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －2a 3，a 3，由Q 在椭圆上得49＋a 29b 2＝1，解得b 2a 2＝15. ∴e ＝ 1－b 2a 2＝1－15＝255 . [答案] 25 5 5．(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1 2，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0 的半径，则椭圆的标准方程是________． [解析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2. 又e ＝c a ＝1 2 ，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 因此椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. [答案] x 24＋y 2 3 ＝1 6．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ， B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45 ，则椭圆C 的离心率为__________． [解析] 在△ABF 中，由余弦定理得 ，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ， ∴|AF |2 ＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2 ＝|AF |2 ＋|BF |2 ，则AF ⊥BF . ∴c ＝|OF |＝ 1 2 |AB |＝5， 利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57. [答案] 5 7 7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2 的面积为9，则b ＝________. [解析] 由定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且PF 1→⊥PF 2→ ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2. ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1 2 ×2b 2＝9， 因此b ＝3. [答案] 3 8．(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________． [解析] 依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 1，32必在椭圆上， ∴1 a 2＋9 4b 2＝1.① 又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. [答案] x 24＋y 2 3＝1 二、解答题 9．(2014·镇江质检)已知椭圆C 1：x 2 4＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程； (2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB → ＝2OA → ，求直线AB 的方程． [解] (1)设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32， 故a 2－4a ＝3 2 ，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2 4 ＝1. (2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA → 及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 2 4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2 A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 2 4＝1中，得(4＋k 2 )x 2 ＝16，所以x 2 B ＝16 4＋k 2 . 又由OB →＝2OA → ，得x 2B ＝4x 2 A ， 即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB → ＝2OA → 及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 2 4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2 A ＝41＋4k 2. 由O B →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2 B ＝16k 2 1＋4k 2 . 将x 2B ，y 2B 代入y 2 16＋x 2 4＝1中，得4＋k 2 1＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2 ，解得k ＝±1. 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 10．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |. (1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝3 5 ，求椭圆E 的离心率． [解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5. (2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－6 5(2a －3k )·(2a －k )， 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0. 而a ＋k >0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝2 2. 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个叫做椭圆的焦点，两个的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1(a>b>0) 图形 性质 范围≤x≤≤y≤≤x≤≤y≤ 顶点A1( )，A2( )A1( )，A2( ) B1( )，B2( )B1( )，B2( )焦点F1( ) F2()F1( ) F2() 准线 l 1 ：x ＝－a 2c l 2：x ＝a 2 c l 1：y ＝－a 2c l 2：y ＝a 2 c 轴 长轴A 1A 2的长为 短轴B 1B 2的长为 长轴A 1A 2的长为 短轴B 1B 2的长为 焦距 F 1F 2＝ 离心率 e ＝c a ，且e ∈ a ，b ，c 的关系 c 2＝ 对称性 对称轴： 对称中心： 1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝5 4 |PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( ) 2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为10 5 ，则m ＝________. 3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____． 4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 2 3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大 时，△FAB 的面积是________． 5．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是 线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 考向1 椭圆的定义与标准方程 【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率 为3 3 ，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________． 【规律方法】 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1 2， 则C 的方程是________． (2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 2 25＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦 AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________． 考向2 椭圆的几何性质 【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)， 右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6 d 1，则椭圆C 的离心率为________． (2)(2014·扬州质检)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2 ＝30°，则椭圆的离心率为________． 【规律方法】 1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系． 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： (1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a ； (2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦 点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． (2)(2014·徐州一中抽测)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.则椭圆离心率的范围为________． 课堂达标练习 一、填空题 1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2 2 .过F 1的直线 l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． 2．(2013·四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________． 3．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋y 2 4＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分 别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________. 4．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭 圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA → ，则椭圆的离心率为________． 5．(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1 2，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0 的半径，则椭圆的标准方程是________． 6．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ， B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45 ，则椭圆C 的离心率为__________． 7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2 的面积为9，则b ＝________. 8．(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________． 二、解答题 9．(2014·镇江质检)已知椭圆C 1：x 2 4＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程； (2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB → ＝2OA → ，求直线AB 的方程． 10．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |. (1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝3 5，求椭圆E 的离心率． §8.5椭圆及其性质 学习目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) .3.掌握椭圆的简单应用． 知识梳理 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长短轴长为2b，长轴长为2a 焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c 对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率e＝c a(0 椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. (1)当P 为短轴端点时，θ最大，1 2 F PF S △最大． (2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛ ⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2 . (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2 n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 D 解析 依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 2．若椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( ) A ．3 B ．2＋ 3 C ．2 D.3＋1 答案 A 解析 由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3. 3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为1 2，则C 的方程可以为________． 答案 x 24＋y 2 3 ＝1(答案不唯一) 解析 因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，a >b >0， 椭圆与方程 【知识梳理】 1、椭圆的定义 平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。此定义为椭圆的第一定义。 2、椭圆的简单性质 3、焦半径 椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆 ()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =. 4、通径 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且 2 2b AB a =。 P 为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角 形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ ∆=. 6、过焦点三角形 直线l 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三 角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆. 7、点与椭圆的位置关系 ()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22 221(0)x y a b a b +=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若22 00221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200 221x y a b +<，则P 在椭圆内。 8、直线与椭圆的位置关系 直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ：22 221(0)x y a b a b +=>>，则 l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<. 9、焦点三角形外角平分线的性质（＊） 点(,)P x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点, M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且 椭圆的定义及其几何性质 [要点梳理] 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 椭圆的常用性质 (1)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边， a2＝b2＋c2． (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． [基础自测] 一、思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．() (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴 长，c为椭圆的半焦距)．() (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．() (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．() (5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．() (6)x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)与 y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、小题查验 1．设P是椭圆x2 25＋y2 16＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．4B．5 C．8 D．10解析：D[由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10．] 2．已知椭圆x2 25＋y2 m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝() A．2 B．3 C．4 D．9解析：B[由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．] 3．已知椭圆C：x2 a2＋y2 4＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为() 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0 1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝5 4 |PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( ) [解析] (1)错误，|P A |＋|PB |＝|AB |＝4，点P 的轨迹为线段AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为10 5 ，则m ＝________. [解析] 由题设知 a 2＝5， b 2＝m ， c 2＝5－m ，e 2＝ c 2a 2＝5－m 5＝(105)2＝2 5 ，∴5－m ＝2，∴m ＝3.[答案] 3 3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____． [解析] 椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝6,2a ＝20，∴a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝64，故椭圆方程为 x 264＋y 2 100 ＝1. [答案] x 264＋y 2 100 ＝1 4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 2 3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△F AB 的周长最大时， △F AB 的面积是________． [解析] 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8， 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). （2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于 例3 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 知识点二（知椭圆的简单几何性质） 【知识梳理】 由椭圆方程122 22=+b y a x () 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察 一致) 一、范围: 从标准方程得出122≤a x ,122 ≤b y ,即有a x a ≤≤-,b y b ≤≤-， 可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． 二、对称性: 把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称． 如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称 原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可 0>>b a 以看出它的范围，对称的截距 三、顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 在椭圆122 22=+b y a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点 )0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆122 22=+b y a x 的顶点 令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆 122 22=+b y a x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B - 加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点. 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点. 四、离心率: 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式：a c e =?2)(1a b e -= 范围：10< 椭圆的性质 1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 2．椭圆的标准方程： ①22 221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222=+a b c ． ②22 221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222=+a b c ． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22 221(0)x y a b a b +=>>）： ⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤； ⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； ⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ， ，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． ⑸椭圆的离心率：c e a = ，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆． 4．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 椭圆的定义与性质 椭圆是我们在数学中经常遇到的一个几何形状，它与圆形有着密切 的关系。本文将从椭圆的定义、特点与性质等角度进行阐述。 一、定义 椭圆可以被定义为平面上满足一定条件的点的集合。具体而言，对 于一个给定的点F（焦点）和一条给定的长度2a（长轴），满足到该 点F到椭圆上任意一点P到两条焦点的距离之和等于2a的性质（即 FP1 + FP2 = 2a）的所有点的集合就是椭圆。 二、性质 1. 椭圆的长短轴 在定义中提到了长轴，那么自然会有短轴的概念。椭圆的长轴是连 接两个焦点的线段，而短轴则是与长轴垂直，并且通过椭圆中心O的 线段。长轴的长度2a通常被称为椭圆的主轴，短轴的长度2b则被称为椭圆的副轴。 2. 椭圆的离心率 椭圆的离心率是一个重要的性质，它可以帮助我们了解椭圆的形状。离心率e定义为焦点到中心距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c 是焦距。 当离心率小于1时，我们可以得到一个完整的椭圆。当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一个圆。当离心率等于1时，我们则可以得到一个特殊的椭圆，也称之为扁平椭圆或者简称为抛物线。 3. 椭圆的焦点性质 椭圆有一个独特的性质：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即FP1 + FP2 = 2a。这一性质也可以用来定义椭圆。 4. 椭圆的几何形状 在平面上，椭圆呈现出一种特殊的形状。与圆相比，椭圆的形状更加扁平。椭圆的形状还与长轴和短轴的长度之间的比例有关。 5. 椭圆的焦平面性质 椭圆与焦平面有着特殊的关系。如果我们在椭圆上选择任意两个不同的点P和Q，并且做出焦点F1和F2到这两个点的连线，那么这两条连线所组成的平面与椭圆的法线相交于同一点。这个点就是椭圆的焦点平面上的点。 6. 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程也是我们在研究椭圆性质时常用的一种表示方法。一般而言，我们可以使用参数t或θ来表示椭圆上的点的坐标。通过参数方程，可以更加方便地描述椭圆上的点的位置。 结语： 椭圆常用结论及其推导过程 椭圆是一个非常重要的几何学概念，具有许多重要的结论和性质。在这篇文章中，我们将介绍椭圆的常用结论及其推导过程。 一、椭圆的定义及基本性质 1.椭圆的定义： 椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。 2.椭圆的基本性质： (1)椭圆是一个封闭曲线，具有对称性； (2)椭圆的两个焦点F1和F2与椭圆的中心O在一条直线上； (3)椭圆的长轴与短轴相交于中心，长度分别为2a和2b（a>b>0）； (4)椭圆的离心率e满足0 证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴的长度为2a，椭圆上的任 意一点为P。根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。将等式两边平方化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²。 根据焦点与点P连线与切线夹角为直角的性质，可以得到 (PF1)²+(PF2)²=(PM)²，其中PM为点P到椭圆的切线的距离。根据切线的 性质，可以得到(PM)²=(PA)²+(PM-A)²，其中A是椭圆上与点P相切的点。代入上式，化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²，即(PA)²+(PM-A)²+2(PA)(PM-A)=(2a)²。 经过化简，得到(PA+PM-A)²=(2a)²，即2(PA)(PM-A)=0。由于椭圆的 定义，PA不等于0，所以PM=A，即椭圆上的任意一点到焦点连线的长度 等于焦点到切线的长度，即(PF1)²+(PF2)²=(PM)²=(PA)²+(PM- A)²=(PA)²+(PF1)²。 由此可得到(PF1)²+(PF2)²=(PA)²+(PF1)²，两边消去(PF1)²后可得到(PF2)²=(PA)²。同样地，可以证明(PF1)²=(PA)²，所以 (PF1)²+(PF2)²=2(PA)²=(2a)²。 3.推论：椭圆半长轴的平方加上半短轴的平方等于焦点到定点连线的 长度平方和。 证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，半长轴的长度为a，半短轴的 长度为b。根据上面的推论，得到(PF1)²+(PF2)²=(2a)²。同时，因为焦 点到半长轴和半短轴的距离分别为a和b，所以(PF1)²=(OF1)²+(a- EP)²=a²+(a-EP)²，(PF2)²=(OF2)²+(a+EP)²=a²+(a+EP)²。将这两个等式 代入(PF1)²+(PF2)²=(2a)²中，可以得到a²+(a-EP)²+a²+(a+EP)²=4a²， 化简后可得到a²+b²=2a²。经过化简，得到a²-b²=0，即a²+b²=(2a)²-b²。 椭圆的定义与性质 椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都 有广泛的应用。本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。 一、椭圆的定义 椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。其中，a为椭圆的半长轴。 二、椭圆的性质 1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即 F1C + F2C = 2a。这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。 2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0 1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。 2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。 3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。 总结： 椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。无论是天文学中的行星轨道，还是光学中的椭圆镜，椭圆都扮演着重要的角色。通过深入研究椭圆的性质和应用，我们可以更好地掌握这一数学概念，并将其应用于实际问题的解决中。 椭圆的性质大总结 椭圆是我们常见的几何图形之一，具有独特的形状和性质。在数学和物理学中，椭圆的性质和应用非常广泛，涉及到许多重要的概念和定理。在本文中，我们将对椭圆的各种性质进行总结，并探讨其在现实世界中的一些应用。 一、椭圆的定义和基本性质 椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个特定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹。这两个特定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。椭圆还具有以下基本性质： 1. 椭圆是对称图形，具有中心对称性。即椭圆上的任意一点关于中心对称点都存在。 2. 椭圆的两个焦点和中心在同一条直线上，并且中心距离两个焦点的距离等于a，即椭圆的长轴长度。 3. 椭圆的离心率满足0 其中θ为参数，a和b为椭圆的长半轴和短半轴。这个参数方程可以将椭圆表示为以原点为焦点的平面曲线。而椭圆的极坐标方程可以表示为： r = (a * b) / √(a^2 * sin^2θ + b^2 * cos^2θ) 其中r是距离原点的距离。 三、椭圆的周长和面积 椭圆的周长可以通过积分计算得到，其公式为： C = 4a * E(e) 其中E(e)是椭圆的柯西数，满足以下积分表达式： E(e) = ∫(0 to π/2) √(1 - e^2*sin^2θ) dθ 椭圆的面积可以通过以下公式计算： S = π * a * b 四、焦准线和近心点 椭圆的焦准线是由椭圆上各点到两个焦点垂直于长轴的连线组成的直线。这些焦准线在离心率不等于0的椭圆中可以证明是相交于椭圆的坐标轴的。 椭圆的近心点是离两个焦点距离之和与椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数的点。近心点与椭圆的中心之间的距离等于离心 椭圆的性质 椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。 椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。 椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。 1、椭圆简介 在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。 椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面垂直于圆柱体轴线。 椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。 也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。 椭圆在物理，天文和工程方面很常见。 2、基本性质 2.1、范围：焦点在x轴上-a<=x<=a，-b<=y<=b；焦点在y轴上-b<=x<=b,-a<=y<=a。 2.2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。 2.3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。 2.4、离心率：e=c/a或 e=√（1-b^2/a²）。 2.5、离心率范围：0 初三数学《认识椭圆》知识点概览椭圆是初中数学中较为重要的几何概念之一，它在不同的数学问题 中有着广泛的应用。本文将就初三数学《认识椭圆》的知识点进行概览，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。 一、椭圆的定义与性质 椭圆可以从不同的角度进行定义。一种常见的定义是：椭圆是一个 平面上到两个固定点（称为焦点）的距离之和等于定值（称为椭圆的 长轴）的点的轨迹。另一种定义是：椭圆是一个到一个固定点（称为 焦点）的距离之和等于定值（称为离心率）与该点到一条直线（称为 准线）的距离之和的点的轨迹。 椭圆的性质包括以下几个方面： 1. 椭圆的离心率小于1，且等于焦点之间的距离与长轴之间的比值。 2. 椭圆的长轴是椭圆上最长的一条线段，通过焦点和两个顶点。 3. 椭圆的短轴是椭圆上最短的一条线段，与长轴垂直且通过中心点。 二、椭圆的方程 我们可以通过椭圆的焦点、长轴和离心率来确定椭圆的方程。一般 来说，椭圆的标准方程为： (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1， 其中(h, k)是椭圆的中心点，a是长轴的一半，b是短轴的一半。 当椭圆的中心点在原点时，即(h, k) = (0, 0)，椭圆的方程可以简化为： x²/a² + y²/b² = 1。 当椭圆的长轴与纵轴平行于坐标轴时，椭圆的方程可以写作： (x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1。 三、椭圆的焦点和准线 在椭圆的方程中，焦点和准线是两个重要的概念。焦点是定义椭圆的关键点，而准线则对椭圆的对称性有着重要影响。 椭圆的焦点是指离心率e倍长轴所代表的两个点，分别称为F1和F2。椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于长轴的长度。 准线是指与椭圆的离心率垂直且通过中心点的直线。准线与椭圆的交点为A1和A2，它们也具有对称性，即A1和A2关于椭圆的中心对称。 四、椭圆的应用 椭圆的应用涉及到许多数学领域和实际问题。以下是几个例子： 1. 椭圆在天体物理学中有广泛应用，例如描述行星的轨道。 2. 椭圆在工程测量和建筑设计中有应用，例如椭圆形的柱面顶面设计等。 3. 椭圆在数学建模中有应用，例如拟合数据和描述统计现象。 有关椭圆的所有知识点 1. 椭圆的定义：椭圆是一种特殊的抛物线，它是二维平面上的曲线，其中两条轴的长度不相等，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 2. 椭圆的性质： （1）椭圆的对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴； （2）椭圆的中心点是两个对称轴的交点； （3）椭圆的长轴和短轴的长度分别为a和b，椭圆的面积为S=πab； （4）椭圆的边界是一个抛物线，称为椭圆弧，可以用参数方程表示：$$x=a\cos t， y=b\sin t$$ 3. 椭圆的标准方程： （1）椭圆的标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ （2）椭圆的中心在原点时，标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ （3）椭圆的中心在(h,k)处时，标准方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y- k)^2}{b^2}=1$$ 4. 椭圆的对称性： （1）椭圆是一种具有对称性的曲线，其对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴； （2）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，y=b\sin t$$ （3）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 5. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是椭圆的一个重要参数，它可以表示椭圆的形状，它的定义是：椭圆的离心率等于椭圆的长轴与短轴之比，即：$$e=\frac{a-b}{a}$$ 椭圆的三种不同的定义方式 椭圆是数学中一种重要的几何图形，它可以通过三种不同的定义方式进行描述。本文将分别从几何、代数和焦点直线定义的角度，来介绍椭圆的基本概念和性质。 一、几何定义 椭圆的几何定义是通过一个固定点F（焦点）和一个固定直线l（准线）来确定的。对于平面上的任意点P，它到焦点F的距离与到准线l的距离之和是一个常数。这个常数称为椭圆的离心率，通常用e 表示。当离心率e小于1时，椭圆是一个封闭曲线，当e等于1时，椭圆是一个开曲线。 椭圆的形状由焦点和准线的相对位置决定。当焦点在准线的中点上方时，椭圆的形状是向上的，当焦点在准线的中点下方时，椭圆的形状是向下的。 椭圆具有许多特性，例如，椭圆的长轴和短轴是对称的，长轴的长度是焦点到准线的距离的两倍，短轴的长度是离心率与长轴长度的乘积。同时，椭圆的面积和周长也可以通过长轴和短轴计算得出。 二、代数定义 椭圆的代数定义是通过平面上的点的坐标来确定的。假设椭圆的中心位于坐标原点，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。那么，椭圆上的任意点P(x, y)满足下面的方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1， 其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。 通过代数定义，我们可以求解椭圆的焦点坐标、离心率等参数。同时，我们也可以利用椭圆的代数方程进行曲线的绘制和相关计算。 三、焦点直线定义 椭圆的焦点直线定义是通过两条相互垂直的直线和两个焦点来确定的。首先，在平面上选择两条相互垂直的直线，称为直角坐标轴。然后，在这两条直线上分别选择两个焦点F1和F2，对于平面上的任意点P，它到焦点F1的距离与到焦点F2的距离之和等于两条直线的距离。 椭圆的焦点直线定义与几何定义有相似之处，但焦点直线定义更加抽象，不涉及具体的几何图形。通过焦点直线定义，我们可以推导出椭圆的几何和代数性质。 总结： 椭圆的三种不同定义方式分别是几何定义、代数定义和焦点直线定义。几何定义通过焦点和准线来确定椭圆的形状和性质；代数定义通过椭圆的方程来描述椭圆的位置和参数；焦点直线定义是通过两条相互垂直的直线和两个焦点来定义椭圆。这三种定义方式互相补充，共同描述了椭圆的特性和性质。椭圆作为一种重要的几何图形，在数学和其他领域有着广泛的应用，例如天体运动、电子轨道等。通过深入理解椭圆的定义和性质，我们可以更好地应用和理解相关 高中数学椭圆知识点总结 第一篇：椭圆的定义及基本性质 一、椭圆的定义 椭圆是指平面内到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。两点F1和F2称为椭圆的焦点，中间的线段称为椭圆的长轴，垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。 二、椭圆的基本性质 1. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。 2. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之差等于椭圆的短轴长度2b。 3. 椭圆上与长轴平行的直线称为椭圆的次中心轴，垂直于长轴的直线称为椭圆的主中心轴。 4. 椭圆的离心率e等于焦点距离除以长轴长度，即 e=√(a²-b²)/a。 5. 椭圆的面积为πab。 6. 椭圆的周长无解析式，但可以通过积分求解。 7. 椭圆对称性：关于长轴、短轴、次中心轴和主中心轴都有对称轴。 三、椭圆的求解 椭圆的标准方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，其中a和b 分别为半长轴和半短轴的长度。椭圆的一般方程为 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C、D、E、F为常数。常用的求解方法有以下几种： 1. 椭圆的标准方程变形法。通过移项、变形等方法将一般方程转化为标准方程。 2. 半坐标轴法。通过平移和旋转椭圆，使其长轴与坐标轴平行或垂直。 3. 矩阵法。通过矩阵运算，将一般方程转化为标准方程。 四、椭圆的应用 椭圆在生活和工程中有广泛的应用。例如，在太阳系中行星的运动轨迹、卫星的轨道以及天体的椭球形等都具有椭圆的特征。此外，在建筑设计中，椭圆形的建筑物也十分常见，如伦敦的温布利球场和巴黎的凯旋门等。椭圆也广泛应用于牙轮、机械手、调速器等机械制造中。 椭圆的相关知识点 第一篇：椭圆的基本概念和性质 1.椭圆的定义 椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长 （长轴）的点的轨迹，长轴的中点为圆心，短轴为长轴的一半。 2.椭圆的方程 椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别 为长半轴和短半轴的长度。椭圆的一般方程为 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，式中 A、B、C、D、E、F 均为 常数。 3.椭圆的对称性 椭圆有四个轴线：长轴和短轴，以及两个对称轴线（分 别为横向和纵向）。椭圆具有关于两个轴线的对称性，关于 圆心对称。 4.椭圆的几何性质 椭圆的周长公式为 $l=4aE(e)$，面积公式为 $S=\pi ab$。其中，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 为椭圆的离心率，$E(e)$ 为第一类的椭圆积分（椭圆弧长度）。 椭圆的内切圆为其一条边界切线上的圆，其直径长度为 短轴的长度，而斜切和垂直切的切线则分别过长轴的端点和中点。 椭圆的离心率决定了其形状的扁瘤程度，离心率越小则 椭圆越接近于圆形，越大则越接近于扁平的形状。 5.椭圆的应用 椭圆在数学、物理、工程、生物学和地球科学等领域中有广泛的应用。例如，它们可以用于描述球形天体的轨道、电子轨道、反射镜的形状、ATM 窗口的形状、荷载分布、地球的椭球形等等。 第二篇：椭圆的参数方程、焦点坐标和切线方程 1.椭圆的参数方程 对于椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，我们可以将其表示为参数方程： $$ \begin{cases} x=a\cos\theta\\ y=b\sin\theta \end{cases} $$ 其中，$\theta$ 为参数，表示 $\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角。 2.椭圆的焦点坐标 椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴上，与圆心的距离为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别为长轴和短轴的长度。焦点的坐标为 $(\pm c, 0)$。 3.椭圆的切线方程 椭圆上一点 $P$ 的切线方程可以通过求出该点处的导数（斜率）来得到。设点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$，则其切线方程的斜率为 $k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$。将该点处的斜率代入点斜式（或解析式）即可得到该点处的切线方程。 椭圆的基本性质 椭圆是一种常见的几何图形，具有一些特定的性质。在本文中，我们将介绍椭圆的基本概念以及与它相关的一些重要性质。 1. 椭圆的定义与特点 椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。椭圆的形状可以用离心率来描述，当离心率小于1时，椭圆更加接近于一个圆形；当离心率等于1时，椭圆退化为一个特殊的圆；当离心率大于1时，椭圆的形状变得更加扁平。 2. 椭圆的中心与轴 椭圆的中心是指位于椭圆的中心点，它同时也是椭圆的两个轴（主轴和次轴）的交点。主轴是通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个焦点重合的直线段；次轴是与主轴垂直，并通过椭圆的中心的直线段。主轴的长度称为椭圆的长轴，次轴的长度称为椭圆的短轴。 3. 椭圆的焦点和准线 椭圆的焦点是椭圆上到两个固定点的距离之和等于常数的点，它们位于椭圆的主轴上，并且与椭圆的中心对称。准线是与主轴平行，并且通过椭圆的焦点的直线段。 4. 椭圆的半长轴与半短轴 椭圆的半长轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条主轴上的一个顶点的 距离，长度记为a。半短轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条次轴上的一 个顶点的距离，长度记为b。椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b之 间存在着如下关系：e = √(1 - b^2/a^2)。 5. 椭圆的周长与面积 椭圆的周长可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：C = 4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，是一个与椭圆离心率 有关的特殊函数。椭圆的面积可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公 式为：S = πab。 6. 椭圆的离心率与轨道的形状 离心率可以帮助我们描述椭圆的形状，离心率越小，椭圆越接近于 完美的圆形；离心率越大，椭圆越扁平。在天文学中，行星的轨道通 常是椭圆，其中太阳位于椭圆的一个焦点上。例如，地球的轨道就是 一个离心率接近于0.017的椭圆。 通过以上对椭圆的基本性质的介绍，我们对椭圆有了更深入的了解。椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理和工程等领域都有广泛 的应用。理解椭圆的性质有助于我们更好地理解和应用它。希望本文 能够对读者有所帮助。 椭圆的定义与性质 椭圆是一种常见的几何图形，具有特定的定义和性质。本文将对椭圆的定义以及与其相关的性质进行探讨。 一、椭圆的定义 椭圆可以用两个焦点和到两个焦点距离之和等于定值的点的集合来定义。更准确地说，椭圆是平面上满足到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合，其中a是椭圆的半长轴。椭圆还具有两个确定其形状和大小的参数：离心率e和焦点间的距离2c。 二、椭圆的特点 椭圆具有以下几个重要的性质： 1. 对称性：椭圆具有两条互相垂直的对称轴，即长轴和短轴。这两条对称轴的交点称为椭圆的中心。 2. 焦点性质：对于椭圆上的任意一点P，到焦点F1和F2的距离之和等于2a。即PF1 + PF2 = 2a。 3. 定义性质：椭圆上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这是椭圆的定义。 4. 离心率性质：椭圆的离心率e满足0 < e < 1，离心率越小，椭圆越扁平。 5. 半焦参数性质：椭圆的半焦参数c满足c = a * e，其中c表示焦点到中心的距离。 6. 弦性质：椭圆上任意一条弦的长度等于半长轴的长度。 三、椭圆与其他几何图形的关系 椭圆与圆、抛物线和双曲线都是常见的二次曲线。与圆相比，椭圆的两个焦点在中心的两侧，而圆的焦点和中心重合；与抛物线相比，椭圆是有界曲线，而抛物线则是无界曲线；与双曲线相比，椭圆是闭合曲线，而双曲线则是非闭合曲线。 四、椭圆的应用 椭圆由于其独特的几何性质，在现实生活中有着广泛的应用。以下列举几个常见的应用场景： 1. 太阳系的行星轨道：行星围绕太阳运动的轨道是个近似椭圆形，其中太阳位于椭圆的一个焦点处。 2. 圆形的近似：在一些工程设计中，可以使用椭圆作为近似圆形来进行计算和设计，便于操作和运算。 3. 电子轨道运动：根据玻尔模型，电子在原子中的运动轨迹近似为椭圆形。 总结： 椭圆是一种具有独特几何性质的几何图形，其定义和性质经过了仔细的研究与推导。我们了解到，椭圆具有对称性、焦点性质和离心率性质等重要特征，并且与其他几何图形有所区别。在实际应用中，椭 椭圆的性质及应用 一、圆锥曲线 圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线，其中的椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线，其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线，双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线，圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线，其他平面截取的则为椭圆。 圆锥曲线有一个共同的定义：即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。 二、椭圆的定义 椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1常值的点之轨迹。 椭圆的第一定义：平面内与两定点F 、F'的距离的和等于常数2a (2a>|FF'|)的动点P 的轨迹叫做椭圆。即：│PF │+│PF'│=2a ，其中两定点F 、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。若2a=|FF'|，为线段，若2a<|FF'|，不存在。 下面确定椭圆的方程 现设P 的坐标为（x,y ），F 的坐标为（C,0） 2a = 2a =-整理可得： 22222222()()a c x a y a a c -+=- 定义：222a c b -= 则椭圆的方程可表示为： 椭圆在方程上可以写为标准式 2 2221y x a b +=，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在x 轴上，焦点在X 轴时，若2 2 221y x b a +=，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在y 轴上。焦点在y 轴时。 有两条线段，a 、b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长，当a>b 时，焦点在x 轴 上，焦距为: 222a c b -= 椭圆的第二定义 由椭圆的第一定义：可到椭圆方程为：22222 22221b x a b y b y a x =+⇒=+ 将222c a b -=代入，可得：2222 2222222222x a c a c x y c a x a c a y +=++⇒-=-+ 所以：() ()2 2 22422 2 ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛±=±+⇒+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+a x a c c x y c a x a c c x y 由此可得：() ()a c c a x c x y c a x a c c x y = - -+⇒ +⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=-+2 2 2242 2 2 所以可得椭圆的第二个定义： 平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F 不在定直线上，椭圆及其性质
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