一种适合橡胶类材料的非线性粘弹性本构模型 (1)

第!"卷第#期应用力学学报$%&’!"(%’#

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一种适合橡胶类材料的非线性粘弹性本构模型"

安群力危银涛杨挺青

（华中科技大学武汉#0**1#）

摘要

借助非线性流变模型建立大变形情况非线性粘弹材料的本构关系，考虑到大多数橡胶类材料具有的几乎不可压缩性，以及体积响应和剪切响应的流变性能不同，将

变形梯度乘法分解为等容部分和体积变形部分，给出了一种适合橡胶类材料的非线

性粘弹性本构模型，并模拟了粘滞效应。对于极快或极慢的过程，该模型退化为橡胶

弹性理论；在小变形情况下退化为经典的广义3456,&&粘弹性材料。模型与热力学

第二定律相容，适合于大规模数值分析。

关键词：橡胶；粘弹性；有限变形；本构关系

中图分类号：70#2；8900文献标识码：:

!引言

在橡胶结构的设计与分析中因橡胶类材料力学性能的复杂性使得数值方法起着越来越重要的作用［!］。目前，应用数值方法时缺乏适于大规模计算用的本构关系，本构模型成为解决问题的关键［);!*］。构造粘弹材料的本构模型，一种方法是从连续介质力学本构理论的基本原理出发，经过简化而得到［!*;!)］。另外一种常用的方法是基于内变量理论，借助于连续介质热力学和流变模型来确定材料的本构模型［#;/，!0;!<］。在通常的内变量理论中，自由能的构造、内变量的选取及演化方程的确定有一定的困难。

本文利用非线性流变模型，认为总应力等于弹性应力与非弹性应力的和，通过平衡应变能函数表述其演化方程，绕过了通常内变量理论的困难，在参考位形内建立了以=>%&4.?>@-AA%BB 应力和C@,,D应变表示的大变形非线性粘弹性本构关系，给出了一种适合橡胶类材料的非线性粘弹性本构模型，物理意义简明。在一定条件下模型可以退化为相应的弹性或线粘弹性模型，讨论了材料的粘滞现象。

"基金项目：国家自然科学基金资助项目（!/<0)*0*）来稿日期：)***.*#.*0修回日期：)***.!!.!1

万方数据

第一作者简介：安群力，男，!/<"年生，博士，华中科技大学力学系；研究方向：粘弹塑性理论及其应用E

!

非线性粘弹模型

!"#

模型的普通形式

在线性粘弹性理论中，对一维广义"#$%&’’体，设总应变为!!，平衡应变能为"()

*+!#(!!!，

第$个"#$%&’’单元的松驰时间为"$

（文中用上标$表示与第$个"#$%&’’单元相关的量），初始应变能为"$，其应力%$!满足

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!,%$!+"$)-［-"$（!!）+-!!］

+-’，（$)*，!，…，(），（*）

对非线性情况，./0123&42&4利用应变能函数建立了一种非线性粘弹性本构关系

［*5］

。因此可以认为（*）式在形式上仍然成立，而"$为右.#67/89:0&&4变形张量的函数，令"$)#$+#("()#$"(。非平衡应力)$!的演化方程为［;］

&)$!,)$!+"$)-［-"$（!!）+-!!］+-’，（$)*，!，…，(），)$

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总应力由平衡应力和各内部应力的加和得到，即

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其中松驰函数写为

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（’）)*,"(

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｛#-.［>’+"$］#$

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并采用A31&’3B &2卷积缩写形式，将（@）式改写成,（’）)!/（’）!*"(

（*（=））,/（’）$［!!*"(（*（’））］（C ）

此即本构关系的一般表达，它符合本构公理。平衡应变能函数的不同选择可以得到不同

的粘弹性应力公式。!"!

适合于橡胶类材料的模型

橡胶材料在体积变形和剪切变形时表现出完全不同的性质。一般表现出几乎不可压缩性，但却能表现出很大的剪切变形，而一般认为橡胶的体积变形是非耗散的。所以应对体积变形和剪切变形单独加以考虑。为此，本文采用乘法分解将变形梯度分解成等容部分与体积部分，相

应地将应变能加法地分解成畸变能和体积能

［!］

"!)0!（1$

*，1$!）

,".!（D ）

其中1$*)$12%*12)2>!@1*，1$!)*!（$12

$+3%*12%*+3>$12$+3%*1+%*23）)2>;@1!，%*12)2>!@*12，1*1!为*的第一、第二不变量。由上节的理论，考虑到解耦的体积及剪切变形，设其相应的非平衡

体积应力和剪切应力分别为：｛%4!，4)*，!，…5｝和｛)$!，$)*，!，…(｝，则总的E1F’#9G107//FHH 应力为

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类似（!）

，等容非平衡应力)$的演化方程为I

@应用力学学报第*I 卷

万方数据

!!!"!""!!!!!"#""!$%%#［&$%&（%%""#’$（#"））］，!!!"’"#(#!!!

(（!#"，&，…，(）（)）其中"!!和""!

$定义了与材料等容响应相应的(个松驰过程的特征时间和存储应变能系数。

同样对体积非平衡应力#)有

$#!"!"!

!#!"#"!$!%%#［%%*+（*）］，#!"’"#(##!(（!#"，&，…，,）（*）其中!!和"!$定义了与材料体积响应相应的,个松驰过程的特征时间和存储应变能系数。定义如下的相应于等容响应和体积响应的正则化松驰函数

$-（#）#"!%(

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｛%./［+#,"!!］""!

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得到解耦的-./0123.4566/77应力表达式为：

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（*（

#））］!*2&

8

$%&［&&0#’$（"（(））$-（#）!$-（#）’

（&&0#’$（"（#）））］（"&）

至此得到了粘弹性材料的体积变形和等容相应的本构关系，可以看出在极快和极慢情况

下（"&）式退化到橡胶弹性理论。

8连续介质热力学方面的一点说明

将自由能分解成平衡部分和非平衡部分。非平衡部分为存储在91:;<00链中弹簧的能量

’#’（"，$）#’$

（"）!%（"，$）

（"8）其中!&和$为非平衡应力和相应的对偶变量，

且有!&##+&$

%（"#，$&）（"=）

>01?@.?@2A?6

’(

1(’#’(（2#+"21+2’）+3!11，!((（"C ）在等温情况下为’(（2#+2’）((（"D ）进一步可以将上式写为（%+&)’)"）E "&$"+)%)$

E 2$

&((（"F ）得到%#&)0’（"，$&

）

（")）和耗散不等式

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%［+)$&%（"，$&）］E 2$&#%

!4E 2$&((（"*）

2$&代表内部应变率，关于!4和$&的关系以及%（"#，$&）

的构造本文不讨论，可参阅文［=，F ，)］。由（")）

和（"*）式得到%#&&0)$

（"（#））!%(!#"

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（&(）

!!

#+)$&%（"，$

）#&)0%（"，$）可以看出上式与（"&）式一致。

*

8第=期安群力，等：一种适合橡胶类材料的非线性粘弹性本构模型

万方数据

!

数值算例

本节运用上述模型模拟材料的粘滞响应。!"取为#$%&’型应变能函数

［(，))］

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"

*

!"

#*)

$#!#［"#)+"#,+"#

(-(］（,)）其中$#和!#为材料参数，"%为主伸长率。算例所用的材料参数列于表)，耗散参数列于表,。另外认为材料的体积响应为纯弹性的，即无耗散，剪切变形是粘弹性耗散的。

表)

#$%&’材料参数

&$#.)/-)012

!#))3)),3(4,/3///4563/((

/36(

)3,5

表,

本构模型中的耗散参数

’#($(

"

)/34/3(,/3,4/3)(

/3),4

/3)

由（),）式，得不可压缩情况下单轴压轴向7289:;应力为

%))

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"-!(

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］｝%+（,,）

其中"为轴向的拉伸比，为模拟交变载荷下材料的滞后性能，令

"*"/+!&<=’’)

（,(）在给定的材料参数情况下，变化预拉伸值"/和应变幅!&，对材料在各种变形情况下的粘弹滞后行为进行了模拟。图)>图!给出了工程应力和拉伸比表示的#$%&’材料的大变形滞

后行为。可以看出在大变形非线性情况下滞后圈已不再是椭圆形，滞后圈的中心线代表材料的弹性行为，

这与该模型在弹性情况下退化到橡胶弹性理论相适应。

图)平均伸长比为)?/时的应力循环，动态振幅/?

(图,平均伸长比为)?!时的应力循环，动态振幅/?(

4结语

本文结合非线性流变模型，给出了一种适合橡胶类材料的大变形粘弹性本构模型。总应力

/

!应用力学学报第)5卷

万方数据

图!平均伸长比为"#$时的应力循环，动态振幅%#

!图&不同平均伸长比（从"#%至"#$）下应力循环，动态振幅%#!

可以分解成平衡部分和非平衡部分。非平衡应力的演化由一组储能函数和偏微分方程确定。该模型可以认为是流变模型从一维线性至三维非线性的推广。因而可以退化到经典的线性粘弹性理论和橡胶弹性理论。模型具有简洁和物理意义明确的优点，分析和数值算例表明了该模型的合理性。

参

考文献

"’()*)+,-./（危银涛），-).+01(+,23)（田振辉）.+4536)+78(+（杜星文）9:)+);((<(=(+;=/4(/<<)+7(4)A.;)/+.+4:>.A;3>(.+.>.4).<;)>(?C -)>(?A)(+A(.+4;(A1+/

（&）E 危银涛，杨挺青，杜星文#橡胶类材料大变形本构关系及其有限元方法#固体力学学报#"DDD ，E%（&）：EFE G ED%!*(/1H2C H+;1(/74(+?;>.)+,(+(>7B :3+A;)/+C I3JJ(>A1(=)?;>B .+4;(A1+/

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!D"G &"%"!杨挺青#粘弹性力学#武汉：华中理工大学出版社，"DD%

"&邓伟，杨挺青#基于内变量理论的一种广义粘弹性本构方程#固体力学学报#"DD$，"F （"）：""G "Q "K 杨挺青#粘弹塑性本构理论及其应用#力学进展#"DDE ，EE

（"）："%G "D "Q 范镜泓#内蕴时间塑性理论及其新进展（续）#力学进展#"DFK ，"K （&）：&&!G &K$"$N1>)?;(+?(+IV C -1(/>B /:O)?A/(<.?;)A);B C _(8*/>^：9A.4(=)A @>(??C "DFE

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