高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高考模拟考试数学理科

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高考模拟考试数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座

位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，按要求交回试卷和答题卡．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2. 已知集合{}|11M x x =-<<

，{|N x y ==，则M

N =

A. {}|01x x <<

B. {}|01x x ≤<

C. {}|0x x ≥

D. {}|10x x -<≤ 3．设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 若,a b 方向相反, 则实数x 的值是

A ．0

B ．2±

C ．2

D ．2- 4．一算法的程序框图如图1，若输出的12

y =， 则输入的x 的值可能为

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．5

5.将函数sin 26y x π?

?=+ ??

?的图象向左平移6π个单位，再向上

平移1个单位，所得图象的函数解析式是

A ．22cos y x =

B ．2

2sin y x =

C ．1sin 23y x π?

?

=++

??

?

D ．cos 2y x =

6. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是 A ．① ② B ．② ③ C ．① ④ D ．② ④ 图1

7. 已知双曲线2

2:13

x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相

D

C

交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PF Q 的周长为

A ．

3

B ．

．3

D ．

8.

已知映射():(,)0,0f P m n P m n '→≥≥.设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，:f M M '→.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点

M '所经过的路线长度为 A ．12πB ．6π C ． 4π D ． 3

π

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9. 不等式212x x ->+的解集是.

10. 已知数列{}n a 是等差数列，且34512a a a ++=，则1237a a a a +++

+的值为.

11. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,

02

x y -≤≤??≤≤?所表示的平面区域是W ，从区域

W 中随

机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是.

12. 由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝

对值等于7的四位数的个数是. 13. 已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ??

??????++++ ? ? ? ?????????

的

值为.

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）

如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，

AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）图2

在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为.

图3

日销售量/个

a a a a a 图4

E

F

D

C

B

A

P

三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，

4

π

是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,

2πβ??

∈ ??

?

，且45f πα??

+

= ?

?

?

，345f πβ?

?+

= ???

，求()sin αβ+的值. 17.（本小题满分12分）

广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表1）和频

率分布直方图（如图3）．

表1

将日销售量在各组的频率作为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求1a ，3a 的值.

（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50

个的概率；

（3）用X 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．

18.（本小题满分14分）

如图4，四边形ABCD 是正方形，△PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点. （1）求证：AF EF ⊥；

（2）求二面角A PC B --的平面角的正弦值.

19.（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11

n n a

S a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=

-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1

3

n T <．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>

，且经过点()0,1．圆2222

1:C x y a b +=+.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，

问AM BM +=0是否成立？请说明理由．

21.（本小题满分14分） 已知函数()2ln a

f x x x x

=-

-，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;

（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围; （3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A

B =

（A ）{1}（B ）{1

2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）(31)

-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，

（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8

（4）圆

22

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-

（B ）3

4-

（C ）3（D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π

（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π

12 (k ∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，

若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3

5，则sin 2α=

（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7

25

（10）从区间[]

0,1随机抽取2n 个数

1x ,

2

x ，…，

n

x ，

1

y ，

2

y ，…，

n

y ，构成n 个数对()11,x y ，

()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有

m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率

π的近似值为

（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n

（11）已知F1，F2是双曲线E 22

221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，

sin 211

3

MF F ∠=

,则E 的离心率为

（A

B ）

3

2

（C

D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x

+=与()

y f x =图像的交点为

1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则1

()m

i i i x y =+=∑

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=

45，cos C=5

13

，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.

（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[][]0.9=0lg99=1，.

（I ）求111101b b b ，，；

（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

1 2 3 4 ≥5 保费

0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数

1 2 3 4 ≥5

概率

0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

0. 05

（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5

4，

EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；

(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集. （I ）求M ；

（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。