电子皮带秤在散装物料场的应用设计

目录

第1章概论 (3)

1.1 皮带秤的国内外发展状况及趋势 (3)

1.1.1 皮带秤的国内外发展状况 (3)

1.1.2 皮带秤的发展趋势 (3)

1.2 课题的来源及意义 (4)

1.2.1 课题的来源及意义 (4)

1.2.2 本文主要研究内容 (5)

第2章电子皮带秤的总体方案设计 (6)

2.1 电子皮带秤的应用设计条件 (6)

2.2 电子皮带秤的方案选择 (7)

2.2.1 皮带秤的发展阶段 (7)

2.2.2 皮带秤的分类方法 (8)

2.2.3 皮带秤的方案选择 (10)

第3章皮带秤的测量原理及装置设计 (18)

3.1 皮带秤的测量原理 (18)

3.2 皮带秤的装置设计 (19)

3.2.1 皮带秤的秤架设计 (19)

3.2.2 称重传感器的称重原理及选型 (20)

3.2.3 速度传感器的分类及选型 (24)

第4章皮带秤的电路设计 (32)

4.1皮带秤的数学原理 (32)

4.1.1 皮带秤的基本原理 (32)

4.1.2 速度传感器的频率确定 (33)

4.1.3 称重传感器的频率确定 (34)

4.1.4 液晶显示器显示示数的确定 (34)

4.2 皮带秤的硬件设计 (36)

4.2.1 硬件结构及工作原理 (36)

4.2.2 V/F型模数转换 (37)

4.2.3 键盘输入及数据显示电路 (40)

第5章皮带秤的软件设计 (42)

5.1 非线性拟合程序 (44)

5.2 数字滤波程序 (45)

总结 (47)

参考文献 (48)

附录: (50)

英文原文 (59)

中文译文 (69)

致谢 (75)

第1章概论

1.1 皮带秤的国内外发展状况及趋势

1.1.1 皮带秤的国内外发展状况

电子皮带秤是皮带输送机输送固体散状物料过程中对物料进行连续自动称重的一种计量设备，它可以在不中断物料流的情况下测量出皮带输送机上通过物料的瞬时流量和累积流量.

1908年，美国一个年轻人赫尔伯特2梅里克(Herbert2Merrick)发明了一种皮带输送机使用的称重设备，据称那是世界上第一台根据皮带速度和重量用机械方法进行计算的动态称重设备，这一发明完全改变了原有测量固体物料流量的方法.这种根据重力测量固体物料流量的设备后来被称为梅里克型机械式皮带秤.赫尔伯特2梅里克用这项发明成立了梅里克(Merrick)公司，开始生产皮带秤.我们在德国申克(SCHENCK)公司的历史回顾资料中，曾看到"1902年，皮带秤"这一段产品编年史，表明该公司1902年就有皮带秤产品，但未看到更详细的叙述.

国外从上世纪五十年代开始使用电子皮带秤，国内则从1965年开始研制生产电子皮带秤.时至今日，虽然核子皮带秤，固体质量流量计，冲量式流量计，失重式秤，转子秤等多种固体物料连续计量设备也有一定规模的应用，但他们仍无法与电子皮带秤抗衡，也无法撼动电子皮带秤作为固体物料连续自动称重主流计量设备的地位.

1.1.2 皮带秤的发展趋势

随着传感器技术、电子仪表技术的发展，可以输出电信号的速度传感器及称重传感器迅速取代了机械式皮带秤的相应机构，而对速度、重量信号进行放大处理及实现各种运算都可以放在电子仪表中完成，称量精确度提高了，秤架结构简化了，因此电子皮带秤迅速全面地取代了机械式皮带秤。但机械式皮带秤在其长达六十年左右的发展过程中也为皮带秤的使用积累了丰富的应用经验，没有机械式皮带秤的昨天，就没有电子皮带秤的今天。

回顾已经走过的一百年历史，我们看到皮带秤的应用已经越来越广泛，并且在各类涉及动态称重系统的衡器中占据主导地位。展望未来，皮带秤的发展应该集中体现在以下几个方面：

高精确度、高可靠性的新型速度传感器及称重传感器的应用；

类似倾角传感器、位置传感器等新检测内容的传感器将加入到皮带秤的应用中；

二次仪表的智能化、总线化、无线传输化；

皮带秤的检定方式的开发和实际应用；

皮带秤称重理论的深入研究。

1.2 课题的来源及意义

1.2.1 课题的来源及意义

电子皮带秤是在皮带传送装置中安装的自动称重装置，它不但能称出某一瞬间传送带所输送的物料的重量，而且可以称出某段时间内输送物料的总和，广泛应用于矿山、矿井、码头及料场等。电子皮带秤集合了力学、电机学、电子技术、传感技术等各领域的先进技术。电子皮带

秤作为一种用于动态检测物料重量的称量设备，广泛用于冶金、矿山、化工、建材等领域，有着广大市场。随着科技的进步，对皮带秤的要求也越来越高。影响其精度的主要因素有)个方面：机械结构、传感器（一次仪表）和显示仪器（二次仪表）。由于材料结构强度和刚度的限制，使得在力的传送过程中出现误差，而传感器输出特性存在的非线性，加之信号放大、模数转换等环节的一系列非线性，使整个系统的非线性误差变得不可忽视。因此在高精度的称重场合，就需要皮带秤能在线自动校，正非线性。传统的电子皮带秤是由称重传感器、测速传感器、乘法器、积分器、积算器等部分组成，本文对传统的电子皮带秤的电路部分加以改进，省去了乘法器、积分器、积算器等部分，使设计更为简单、实用，是一种新型的电子皮带秤电子电路。

电子皮带秤一般安装在输煤栈桥的皮带输煤机上．其运行环境较差。振动、粉尘、噪声、电机启动电场和磁场干扰、环境湿度、原煤含水量变化、人为清洁冲洗等各种因素都对电子皮带秤的称重精度有很大影响。通过电子皮带秤生产厂家和用户的共同努力，近年来电子皮带秤的精度和使用情况有了一定的改善，但仍然存在运行维护量较大，精度校核工作繁重、程序多等问题，远未能达到如静态电子衡器所能达到的使用精度和使用效果。

1.2.2 本文主要研究内容

（1）了解国内外发展状况及趋势

（2）由已知条件确定方案选择；

（3）分析测量原理及装置设计；掌握各种电子皮带秤优点和缺点；（4）进行电路设计。

第2章电子皮带秤的总体方案设计

2.1 电子皮带秤的应用设计条件

本设计采用定量带式输送机作为应用设计条件。该输送机是通用型系列产品，可广泛用于冶金、矿山、煤炭、港口、电站、建材、石油等各个行业。其具体参数如下所示：

多托辊皮带秤精度：+/-0.5%

系统精度：±0.125%

称量范围：0-1278t/h

上托辊间距： 1.2 m

下托辊间距： 3 m

皮带宽度：1000 mm

上托辊槽角：35°

下托辊槽角：0°

皮带速度：3.15 m/s

远传传输：1000m

皮带输送机倾角：0～10°

工作条件和安装条件：

环境温度：机械：-20℃～+50℃仪表：0℃～40℃

电源电压：220V（+10﹪、-15﹪）50Hz±2﹪

以上参数由《运输机械设计选用手册》确定。

2.2 电子皮带秤的方案选择

2.2.1 皮带秤的发展阶段

皮带秤起源于19世纪末、西方工业发展时期。它的称重原理最早来源于斗式输送机对散料连续自动称重的装置。这种装置于1880年获得了计量许可。1908年在英国公布了第一个皮带秤的专利。1970年由英国制订了一个自动秤的检定规程。

二次大战后，尤其是近三十年来，由于传感器制造工艺和电子技术的飞速发展，给整个称重技术注入了新的血液，激发了活力，为提高皮带秤的计量性能创造了有利条件。皮带秤的发展大致经过了以下四个阶段:

最初的产品是纯机械式皮带秤，一般采用增量式编码器，机械式或光电式扫描码盘等，使皮带秤的机械杠杆具有平衡条件，识别记数和启动功能。这是第一代。

第二代是传感器电子仪表皮带秤，检测部分一般有光电脉冲或磁脉冲变送器测速，二次仪表用模拟积分放大电路或数字系统积分电路来实现动态称重过程的平衡、识别和累积计算功能。

这两代皮带秤只能测量、累积计算，对运行中计量性能的变化不能控制，因此动态计量准确度较低，稳定性差在用户中信誉不佳，逐渐被第三代、第四代皮带秤取代。

第三代、第四代是传感器微机式皮带秤和微机智能化的皮带秤。微处理机引入皮带秤使电子元器件结构、内容和集成化程度大大提高。生产厂家可以根据现场使用条件去满足用户的愿望。

2.2.2 皮带秤的分类方法

皮带秤的结构形式、种类较多，分类的方法多种多样，至今仍不统一。

（1）以称重传感器的工作原理进行分类的有:电阻应变式皮带秤;差动变压器式皮带秤;压磁式皮带秤:核子式皮带秤和陀螺式皮带秤等。其中以电阻应变式的产品最多。

（2）以秤架结构形式进行分类的有:单托辊式皮带秤;多托辊式皮带秤;平行板簧式皮带秤和悬臂式皮带秤等。

（3）对放置在皮带上并随皮带连续通过的松散物料进行自动称量的衡器。主要有机械式（常见的为滚轮皮带秤）和电子式两大类。

滚轮皮带秤

由重力传递系统、滚轮、计数器和速度盘组成。速度盘转速正比于皮带速度。滚轮滚动的角速度正比于皮带上通过的物料量。滚轮在速度盘上滚动的位置由物料的重力大小来调整。当皮带上没有物料时，滚轮靠近速度盘中心，转速为零，计数器不累计；当皮带上有物料时，滚轮随着重力变大向周边移动，并带动计数器记下皮带上通过的物料总量。

图2?1 滚轮皮带秤

使用最广泛的皮带秤。电子皮带秤，由秤架，测速传感器，高精度测重传感器，电子皮带秤控制显示仪表等组成，能对固体物料进行连续动态计量。称重时，承重装置将皮带上物料的重力传递到称重传感器上，称重传感器即输出正比于物料重力的电压（mV）信号，经放大器放大后送模/数转换器变成数字量A，送到运算器；物料速度输入速度传感器后，速度传感器即输出脉冲数B，也送到运算器；运算器对A、B 进行运算后，即得到这一测量周期的物料量。对每一测量周期进行累计，即可得到皮带上连续通过的物料总量。

图2?2电子皮带秤

（4）按皮带秤所配输送机的设计带速可分为：单速皮带秤、多速皮带秤和变速皮带秤。其中，多速皮带秤可以在预定的几种快慢不同的带速中换档，而变速皮带秤则能在一定的速度范围内无级变换。以上皮带秤若在使用中只用其中一种固定的设计带速，又称为恒速秤；若在使用中会需改变料流量而在其设计带速范围内调节

的，又称为调速秤。

（5）按皮带秤的主要用途可分为：计量皮带秤和定量皮带秤。前者，以获得所称物料的连续累计重量为主要目的；后者，又称配料秤，以控制所称物料的重量流量为主要目的。

注：同样的用途可采用不同的结构，同样的结构也可担当不同的用途。计量秤常为嵌装型的，但整机型也能承担；配料秤多数是整机型的，但嵌装型也并非绝对不能用。一台衡器在制造装配时也许还未知其预期的用途，但不能不先了解其机械结构。因而不宜用“计量秤”来称呼嵌装型秤，或用“配料秤”来称呼整机型秤，以避免造成沟通双方理解上的不一致。

皮带秤分类的方式还有许多种，但不管如何分，须注意首先明确分类的依据，并按同一依据分类，否则就易造成概念上的交叉或混乱。

2.2.3 皮带秤的方案选择

（1）几种常见的称重装置（秤架）分析

皮带秤的称重装置是指皮带秤的负荷承受部分，简称为秤架。秤架装在皮带输送机上，对皮带上通过的物料重量由称重传感器和测速传感器进行迅号转换。在转换过程中，由于“皮带效应”对称重结果的影响甚大，为了减轻这种影响，人们研制、设计了各种各样的秤架。几种典型秤架的结构形式介绍如下。

单托辊秤架是指皮带输送机上只有一组托辊对物料重量进行力电转换，我们称这组托辊为称重托辊。我们已有多种单托辊秤架的皮带秤。与它相邻的前后一组固定的托辊称为过渡托辊。其具体结构有直接支承

式和杠杆式两种类型。在杠杆式中又分带配置平衡重物和不配平衡重物两种。

单托辊秤架的受力状况如图2?3 的箭头线所示。

皮带

图2?3 单托辊秤架的受力

称重托辊的运行状态所受的力F ，可分解成垂直分力N 和水平分力H 。e 是杠杆支点到称重托辊中心的距离。称重传感器上的压力P 可由力矩方程式导出。即:

21P l N l H e ?=?+? 11P k N k H =?+? ( 2?1 ) 式中，力 H 是“皮带效应”引起的对称重结果有害的水平力。要想提高这种秤架的计量性能，唯一的出路应使秤架杠杆支点与称重托辊在设计上还可以做到，对三节槽形托辊就很难消除这种影响。这是单托辊皮带秤计量准确度不高、稳定性差的主要原因。

由两组或两组以上称重托辊组成的秤架叫多托辊秤架，具体结构又分为双杠杆和悬浮式两种类型。与单托辊秤架一样，这两种类型的多托辊秤架，每一类型都有配置平衡重物和不配置平衡重物的两种型式。

双杠杆式秤架

我们成功的设计和生产出双杠杆式秤架的电子皮带秤，获得实用新型专利，售全国几十家烟厂共200多台。

图2?4 是两组对称杠杆分别支承一组到四组称重托辊的结构

图2?4 双杠杆秤架实物和示意图

这种秤架的两组对称杠杆一般装在输送机纵梁的内侧。两杠杆的终端用簧片支点支承在输送机纵梁上，起始端通过吊挂系统与称重传感器一端连在一起。秤架中间，有一个和机架连在一起的龙门框架，框架上配置有平衡机构，与传感器另一端连接。或者有一根横向装在输送机纵梁上的支撑梁和传感器另一端连接，使对称杠杆机构(通过称重托辊)把承受物料的重力传递给称重传感器这两面三刀组杠杆与输送机组装

时，不必截断输送机原有纵梁，称重传感器装。在输送机上方，维护方便。

双杠杆多托辊秤架受力分析

双杠杆多托辊秤架，同样因“皮带效应”产生水平分力而影响称重结果。但由于这两组杠杆对称，可以使水平分力H 对称重结果的影响大小减小。理论分析如下:

在图2?4 中，设 N1=N2=N3=N4=N(均匀分布的载荷)

则 H1=H2=H3=H4=H

现分别对簧片支点O1和O2取矩则 1332.5lN He p l

-= ( 2?2 ) 1262.5lN p p l

+= ( 2?3 ) 2332.5lN He p l

-= ( 2?4 ) 式 中 N — 称重托辊的正压力;

H — 称重托辊上的水平分力:

e- 簧片支点中心到H 力作用线的距离:

1— 称重托辊间距 ;

P-— 传感器所受的拉力 ;

从受力图 2?4 可知:

当水平力H 作用线与簧片支点中心在一条水平线上时，e=0。即使秤架两边负荷不均匀，水平力矩H.e=O ，对称重结果没有影响。

当秤架两边载荷均匀分布，称重托辊组装对称，水平力H 作用线与簧片支点中心不在一条水平线上，e ≠0。秤架左、右力矩也相等，且方向相反，合力矩仍然等于零。对称重结果没有影响。

当称架两边载荷不均匀分布，称重托辊组装不对称，水平力H 作用

线与簧片支点中心不在一条水平线上。在这种情况下，虽然秤架两边左、右矩不相等，但方向仍相反，大部分有害称重结果的力矩被抵消，对称重结果的影响大大减小。

这是多托辊双杠杆秤架结构的计量性能优于单托辊秤架结构的理论依据。

悬浮式秤架

我们成功的设计和生产出样机。悬浮式秤架与非自动平台秤相类似，称重平台由称重传感器支承，称重托辊装在平台上。悬浮式科也有配置平衡重物和不配置平衡重物两种结构(见图2?5).

1.平衡重物

2.平衡杠

杆支撑点

3.称重传

感器

4.称重

平台

图 2?5 配置平衡重物悬浮式秤架示意图

在图 2?5 中去掉平衡杠杆，把称重传感器直接支承在悬浮平台的两端，就成了不带平衡重物的悬浮式秤架结构。

一般簧片支点高度选在略高于水平托辊中心线的位置较好。

③秤架结构优越性对比

单托辊秤架有结构简单、造价低的优点，但计量准确度较低，运行稳定性较差。一般只适于准确度要求不高的配料控制计量。

多托辊秤架是高准确度皮带秤采用最多的一类结构，目前应用这种秤架，配合先进的主控机，使皮带秤的计量检定最大允许误差优于

p0.25%。主要优点有:

计量性能稳定可靠，由于多托辊秤架使称重有效长度增长，称重托辊的组数增多，秤架的整体性能比单托辊秤架大大改善。皮带在运行过程中零点和示值的稳定性增强，置信度增高。

抗干扰能力强。通过试验，多托辊秤架物料流量变化的干扰、皮带跑偏干扰、物料块度大小不均的干扰等能力都比单托辊秤架要好。

这种秤架的缺点是设计结构比较复杂，造价较高。由于准确度高，现场日常维护检测要求较严。

电子皮带秤承重装置的秤架结构主要有双杠杆多托辊式、单托辊式、悬臂式和悬浮式 4种。双杠杆多托辊式和悬浮式秤架的电子皮带秤计量段较长，一般为2～8组托辊，计量准确度高，适用于流量较大、计量准确度要求高的地方。单托辊式和悬臂式秤架的电子皮带秤的皮带速度可由制造厂确定，适用于流量较小的地方或控制流量配料用的地方。

总之，依秤架结构分析，本文设计选择多托辊式秤架结构。

（2）几种称重传感器安装的分析

传感器的联接装置，在皮带秤整个称重系统中占有相当重要的地位。在皮带秤动态计量时，如何克服振动，偏载等多种因素的影响，将重力准确地传递到传感器是一个不可忽视的环节。如果没有合理地安装称重传感器以及没有性能良好的联接装置，即使皮带秤秤架设计得最好，传感器准确度再高，也不能得到很高的系统准确度及其长期稳定性。对于同一个称重传感器，由于采用不同的联接器，其效果是大不一致的。甚至于采用同一种类型传感器而仅仅是联接器的加工和安装的准确度不一致时，可使准确度从0.01%-0.02%降为0.05%--0.1%。理论和实验表明，联接装置必须能将重力准确地传递到称重传感器上，其作用力必

须通过传感器的轴心(如图2?6所示)。图2?7显示了在FV未通过传感器的轴心，所产生的分力时情况，分力F造成了系统准确度的降低。

对于皮带秤的传感器联接装置不仅在理论上需要有消除测向力的结构设计，而且在传感器联接器的加工和安装也要保证一定的精度。这是因为皮带秤是动态计量器具，在计量时，图2?7中的倾角是不断地抖一动，变大或变小，重力的作

2?6 力通过轴心 2?7 力未通过轴心

用点在传感器轴线的四周一定的范围内游移，其分布规律呈正态分而特性。正常工作时，如果重力的作用点能在传感器轴线周围和某点周围自如地游移，并不影响皮带秤的准确度。但假若重力作用点产生了偏移，从某一点偏移到另一点而不能自如地游移，即正态分布的均值发生了变化X0平均值≠X1平均值，那么就造成了系统的误差。

所以，如何保证联接装置的加工和安装精度也是一个关键点，特别对于小量程的皮带秤来说，皮带秤的振动常使作用点产生偏移，在皮带

秤动态计量过程中，从某点偏移到另一点，造成了系统误差。通常要求传感器的连接有如下要求:

①能有效地消除测向力的影响;

②在动态过程中，重力作用点不允许产生偏移只允许围绕某点产生呈正态分布规律的游移。

③于安装、维修;

④准化、系列化和整体性好;

⑤本低、加工简单。

方法一，安装四个称重传感器，取平均值；电路设计时需四路输入值；

方法二，安装二个称重传感器，取二倍值；电路设计时需一路输入值；

方法三，安装一个称重传感器，取二倍值。电路设计时需一路输入值。

综上，方法三最简单。

图2 8 承重结构示意图

第3章皮带秤的测量原理及装置设计

3.1 皮带秤的测量原理

一般人们在不同的场合均可以见到各种形式的计量装置，就是人们通常讲的秤。而最古老最简单的就是现在国家已经废止取消的，但日常又常见的杆秤。它是利用杠杆的原理，来实现一指抬千斤的目的。而我们见到的各种秤，磅均是分别将物体放在秤的承载装置上，然后再进行计量的，若需要继续计量，则需要将物体移开后才能重新计量。所以，常规的计量装置属于间断计量装置。而对于需要连续计量时，这些计量装置就难以实现，特别是对散装物料的连续计量更是无法实现。

皮带秤就是专门针对散装物料的连续计量而设计的。它也是根据杠杆原理，在连续运行的皮带下面安装杠杆装置，杠杆的承载面则是几个滚筒装置，用来满足皮带在上面走过时减小皮带与承载面的磨擦而造成的计量误差。同时计量部分也甩掉了传统的秤砣装置，而采用利用应变电阻制造的称重传感器来进行计量。皮带上面的物料通过杠杆装置的承载面时，会对承载面产生一定的压力，通过杠杆装置将该压力传送到称重传感器，而控制装置将称重传感器感应的重量压力信号进行放大处理后，以数字的方式进行显示。同时可以对显示的数字信号进行外部人为控制，使计量皮带秤按人们实际要求的喂料量自动改变皮带的速度快慢，对给定喂料量进行跟踪，从而形成皮带上料多时，速度变慢，料少时速度变快，无料时速度最快，而超载时最慢甚至会停下来的控制特性。但皮带上面无料时速度最快也不是无限制的快速，皮带电机也不能直接带动皮带运转。所以，不同的物料喂料量，会采用不同的减速机构来控制皮带的最快速度，改变变速比也就改变了不同物料计量皮带秤的满量

程的范围。

电子皮带秤，由秤架，测速传感器，高精度测重传感器，电子皮带秤控制显示仪表等组成，能对固体物料进行连续动态计量。称重时，承重装置将皮带上物料的重力传递到称重传感器上，称重传感器即输出正比于物料重力的电压（mV）信号，经放大器放大后送模／数转换器变成数字量A，送到运算器；物料速度输入速度传感器后，速度传感器即输出脉冲数B，也送到运算器；运算器对A、B进行运算后，即得到这一测量周期的物料量。对每一测量周期进行累计，即可得到皮带上连续通过的物料总量。

3.2 皮带秤的装置设计

电子皮带秤，由秤架，称重传感器，速度传感器，电子皮带秤控制显示仪表等组成，能对固体物料进行连续动态计量。

3.2.1 皮带秤的秤架设计

皮带秤的称重装置是指皮带秤的负荷承受部分，简称为秤架。秤架装在皮带输送机上，对皮带上通过的物料重量由称重传感器和测速传感器进行迅号转换。在转换过程中，由于“皮带效应”对称重结果的影响甚大，为了减轻这种影响，人们研制、设计了各种各样的秤架。

单托辊秤架有结构简单、造价低的优点，但计量准确度较低，运行稳定性较差。一般只适于准确度要求不高的配料控制计量。

多托辊秤架是高准确度皮带秤采用最多的一类结构，目前应用这种秤架，配合先进的主控机，使皮带秤的计量检定最大允许误差优于

p0.25%。主要优点有:

计量性能稳定可靠，由于多托辊秤架使称重有效长度增长，称重托辊的组数增多，秤架的整体性能比单托辊秤架大大改善。皮带在运行过程中零点和示值的稳定性增强，置信度增高。

抗干扰能力强。通过试验，多托辊秤架物料流量变化的干扰、皮带跑偏干扰、物料块度大小不均的干扰等能力都比单托辊秤架要好。

这种秤架的缺点是设计结构比较复杂，造价较高。由于准确度高，现场日常维护检测要求较严。

电子皮带秤承重装置的秤架结构主要有双杠杆多托辊式、单托辊式、悬臂式和悬浮式 4种。双杠杆多托辊式和悬浮式秤架的电子皮带秤计量段较长，一般为2～8组托辊，计量准确度高，适用于流量较大、计量准确度要求高的地方。单托辊式和悬臂式秤架的电子皮带秤的皮带速度可由制造厂确定，适用于流量较小的地方或控制流量配料用的地方。

总之，依秤架结构分析，本文设计选择多托辊式秤架结构。

3.2.2 称重传感器的称重原理及选型

（1）称重原理

皮带秤是对散状物料自动地连续、累计称量的计量器具。连续、自动称重是皮带秤的主要特点。

为了测行运动皮带上单位长度的瞬时流量，某一段距离的物料重量，或一段时间和一段距离的累积重量。这些量在理论上的计算，可用积分法和累加法两种数学模式来演算。

①积分法