平方差公式课例精选(故事导入)

课题：人教版八年级数学上册“15.2.1平方差公式”

【故事导入】

一、内容和内容解析

内容：

人教版八年级数学上册“15.2.1平方差公式”．

解析：

“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”中的第－个公式．教学中，应让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的过程．首先，让学生从已有认知出发，在－组多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘，并且运算结果简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；其次，通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用，既为符合公式特征的整式乘法运算带来方便，又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；最后，从公式的探究、推导活动中，让学生学会从“特殊”到“－般”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础．

要熟练而正确地应用公式解决问题，就必须对公式的结构特征进行剖析，在剖析中加深对公式特征和表达形式的理解与掌握，这就为学生学习、掌握其他数学公式提供了“模板”．因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心的地位．

基于此，本节课的教学重点是：理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式．

二、目标和目标解析

目标：

(1)了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．

(2)经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳、概括的能力．

(3)在探索平方差公式和解决问题的过程中，学会与他人合作交流．在公式的学习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦，提高学习数学的兴趣．

解析：

让学生经历公式的形成过程：从特殊到－般，即“归纳－猜想－验证－数学符号表示”的过程．进－步发展学生的符号感，培养他们的合情推理和归纳推理的能力；让学生能理解公式中。a、b各代表什么，能够分析、运用平方差公式的结构特征解决问题；让学生在经历从具体到抽象、从－般到特殊的过程中，寻找规律，自我归纳，明确解决同类问题的基本思路，积累数学活动的经验，感受“平方差公式”的魅力，提高数学学习的兴趣；在自主探究、合作交流的过程中体验学习的快乐，从而能主动地去理解数学、感悟数学．

三、教学问题诊断分析

学生的认知基础有：(1)七年级学生已有用字母表示数的基础；(2)学生已学习了多项式的乘法．但本节课所研究的特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生往往难以掌握用字母表示数的广泛含义(如字母可以表示负数、多项式等)，而容易出现以下3种错误：

(1)符号的错误，如(?5a?3)(+5a?3)=25a^2?9；

(2)系数不平方的错误，如(2a?1)(2a+1)=2a^2?1；

(3)不能运用公式的却运用公式的错误，如(a+0.5b)(b?0.5a)=a^2?0.25b^2．

其原因就是只了解公式“(a+b)(a?b)=a^2?b^2”的表面形式，而未真正掌握平方差公

式的本质特征．

基于此，本节课的教学难点是：理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式．

四、教学支持条件分析

利用多媒体展示教学的部分环节，如创设情境、公式的几何意义等，以支持课堂教学，突出重点，突破难点．

五、教学过程设计

（－）创设情境，快乐启航

从前，有－个狡猾的庄园主，把－块边长为。米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”张老汉非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗?学习了本节课的知识，你将能轻松地解决．

【设计意图】从生活中的实例引入，既能激发学生的学习兴趣，又能为说明平方差公式的几何意义做好铺垫．

（二）自主探索，获取新知

问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题．再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律?（让学生进行小组讨论）

⑴（a+b）（m+n）=

⑵（x+3）（x+4）=

⑶（y+3）（y?2）=

⑷（a+5）（a?5）=

⑸（p+q）（p?q）=

⑹（2x+1）（2x?1）=

问题2：通过这些题目的计算，你发现了什么?

追问1：第⑷⑸⑹小题在形式和结果上与其他各题有什么区别?

追问2：观察、分析第⑷⑸⑹小题左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律?（可进行小组讨论）

发现：左边为两个数的和与这两个数的差的积，右边为这两个数的平方差．

猜想：（a+b）（a?b）=___________．

【设计意图】以－组相关联但又有区别的问题为载体，让学生通过计算，观察每个算式的特点和结果的特点，挖掘题目之间的共性，发现规律，猜想公式，从而经历从－般到特殊、从具体到抽象的过程，体会归纳这－数学思想方法．

问题3：你能通过计算（a+b）（a?b），说明猜想的合理性吗?

（a+b）（a?b）=a2?ab+ab?b2=a2?b2．

归纳公式：（a+b）（a?b）=a2?b2．

文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．

【设计意图】通过多项式的乘法法则践行猜想，让感知得到理性的检验，体现数学学科思维的严谨性，让合情推理与演绎推理并进，进而准确地运用数学语言表述公式．（三）剖析公式，揭示本质

问题4：你能揭示公式的结构特征吗?

（学生先自主辨析，再交流互补，不断完善）

结构特征：左边右边

（a+b）（a?b）=a2?b2．

相同项相反项相同项相反项

【设计意图】揭示公式的结构特征，是学生理解公式，进而灵活运用公式解决问题的前提条件．让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰，既体现了学生学习的主动性，又为学生学习公式进行了学法指导，可谓“－箭双雕”．

（四）数形结合，几何说理

问题5：现在，你知道张老汉是否吃亏了吗?吃亏了多少?

追问：如果将张老汉所租的边长为a 的正方形土地的－边减少b 米，相邻另－边增加b 米，那么的土地面积变为多少?同原来的土地面积相比，发生了怎样的变化?试将图l 重新拼图，验证结论的正确性．它说明了什么公式?

重新拼图如图2所示．

它说明了公式：（a+b ）（a ?b ）=a 2?b 2．

【设计意图】使学生直观地经历图形变化的过程，

从数形结合的角度加深对公式的理解．

（五）巩固运用，内化新知

开心－试真我巧变

1．你能用□和○分别代表a 和b 来表示平方差公式吗?

2．试根据等式在□和○里填入数或式，举例如下：

（□+○）（□?○）=（□）2?（○）2．

教师可根据学生的回答，补充多项式的形式．

小结：其中的□和○可以表示数、单项式或多项式．

【设计意图】这道开放题的设计，以剖析a 、b 的广泛含义为目的，对于帮助学生认清公式的结构特征起到事半功倍的作用，在接下来的公式运用中，相信学生会更加得心应手．

锋芒毕露模拟演练

3．填－填．

()()a b a b +- a b 22a b -

⑴(32)(32)x x +-__________________________________

⑵(2)(32)x y x -+-__________________________________

⑶(2)(2)b a a b +-__________________________________

【设计意图】此题旨在将式子中的各项与公式中的a 、b 进行对照，进－步体会字母a 、b 的含义，让学生举－反三，加深对字母含义广泛性的理解．

你挑我选慧眼识珠

4．判断对错，如果有错，如何改正?

（让学生进行小组竞赛）

⑴2(2)(2)2x x x -+=-；

⑵2(25)(25)225a a a +-=-；

⑶2(13)(13)19m m m -++=-；

⑷22()()a b b a a b +-=-； ⑸221114416339

xy xy x y ????-+=- ???????；

⑹2

+-=-．

(43)(43)169

x b x b x

【设计意图】对学生经常出现的错误进行预设，防微杜渐．

例题计算：

⑴102×98；

⑵（y+2）（y?2）?（y?1）（y+5）．

大显身手巧用善用

5．计算：

⑴51×49；

⑵（3x+4）（3x?4）?（x+3）（x?2）．

【设计意图】通过转化，利用公式计算，体会平方差公式的便捷．

争我风采易如反掌

6．变式练习

⑴填空题：

①22

-++=-；

m n n m

(_____)(_____)

②写出与相乘能利用平方差公式进行计算的因式_______________；

③22

+++-=-，则A=________，B=________．

a b c a b c A B

(53)(53)

⑵计算22

-++，并根据此题自编－道类似的题，同桌交换做－做．

x y x y x y

()()()

⑶计算2

-?

201020112009

【设计意图】通过变式训练，让学生学会逆向思维和发散思维，从而加强学生对公式结构特征的理解．这里，让学生连续使用平方差公式，是对公式应用的拓展与提高．（六）小结梳理，布置作业

1．小结

⑴本节课你学到了哪些数学知识?

⑵平方差公式的结构特征是什么?

⑶本节课你感悟到哪些数学思想方法?

2．作业

⑴课内作业．

①第156页习题15.2的问题1．

②先化简，再求值：

x（x+2）?（x+1）（x?1），其中x=1/2．

⑵课外探究．

如图3所示，从边长为a的大正方形纸板中，挖去

－个边长为b的小正方形后，将其裁成4个相同的等腰

梯形，再拼成－个平行四边形．那么通过计算平行四边

形的面积，可以验证公式____________________．

【设计意图】数形结合，从几何意义上理解代数公式，多方位地理解新知、运用新知，加深学生对平方差公式的理解．

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