立体几何大题练习(文科)

立体几何大题练习（文科）：

1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．

（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．

【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；

（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，

可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，

由余弦定理可得AD==a，

则BD⊥AD，

由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，

又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；

（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，

由AD=SD=a，

在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a，

△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a，

由SH⊥平面BCD，可得

×a××a2=，

解得a=1，

由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD，

SB===2a，

又AB=2a，

在等腰三角形SBA中，

边SA上的高为=a，

则△SAB的面积为×SA×a=a=．

【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题．

2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；

（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．

【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，

所以AB∥EF，

又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，

所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；

（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，

因为BC⊥BD，FG∥BC，

所以FG⊥BD，

又因为平面ABD⊥平面BCD，

所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，

又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，

所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，

故AD⊥AC．

【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．

3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N 分别是B1C1和BC的中点．

（1）求证：MB∥平面AC1N；

（2）求证：AC⊥MB．

【分析】（1）证明MC1NB为平行四边形，所以C1N∥MB，即可证明MB∥平面AC1N；

（2）证明AC⊥平面BCC1B1，即可证明AC⊥MB．

【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC的中点，

所以C1M∥BN，C1M=BN．

所以MC1NB为平行四边形．