应用回归分析(第三版)何晓群 刘文卿 课后习题答案 完整版
第二章 一元线性回归分析
思考与练习参考答案
2.1 一元线性回归有哪些基本假定?
答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量；
假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=σ2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n
假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n
假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n
误差εi （i=1,2, …,n ）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计 解：
211
1
2)?()?(i n
i i n i i
i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-
=
得：
2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
证明：∑∑+-=-=n
i
i i n
i X Y Y Y Q 1
21021
))??(()?(ββ
其中：
即： ∑e i =0 ，∑e i X i =0
2.4回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在
什么条件下等价?给出证明。
答：由于εi ~N(0, σ2 ) i=1,2, …,n
所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , σ2 ) 最大似然函数：
使得Ln （L ）最大的0
?β，1?β就是β0，β1的最大似然估计值。 01????i i
i i i
Y X e Y Y ββ=+=
-
1
00??Q
Q
β
β
??==?
?
同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小，
∑∑+-=-=n
i
i i n
i X Y Y Y Q 1
2102
1
))??(()?(ββ
上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi ~N (0, σ2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。
所以在εi ~N(0, σ2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。
2.5 证明0
?β是β0的无偏估计。 证明：)1[)?()?(1110∑∑==--=-=n
i i xx
i n
i i Y L X X X Y n E X Y E E ββ
)] )(1
([])1([1011i i xx
i n i i xx i n
i X L X X X n E Y L X X X n E εββ++--=--=∑∑==
1010)()1
(])1([βεβεβ=--+=--+=∑∑==i xx
i n
i i xx i n
i E L X X X n L X X X n E 2.6 证明 证明：
)] ()1([])1([)?(102110i i xx
i n
i i xx i n i X Var L X X X n Y L X X X n Var Var εβββ++--=--=∑∑==
2
2221
2]1[])(2)1[(σσxx xx i xx i n
i L X n L X X X nL X X X n +=-+--=∑=
2.7 证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR
()
)
1()1()?(2
2
2
1
2
2
xx n
i i
L X n X X
X n
Var +=-+=∑=σσβ
证明：
2.8 验证三种检验的关系，即验证：
（1）2
1)2(r r n t --=
；（2）22
2
1
??)2/(1/t L n SSE SSR F xx ==-=σ
β 证明：（1）
?t ======
（2）
2
2222011111
1
1
1
??????()()(())(())n
n
n
n
i i i
i xx i i i i SSR y y x y y x x y x x L βββββ=====-=+-=+--=-=∑∑∑∑2212?/1
?/(2)xx L SSR F t SSE n βσ
∴===-
2.9 验证（2.63）式：2
211σ)L )x x (n ()e (Var xx i i ---=
证明：
11
222
2
222
???var()var()var()var()2cov(,)???var()var()2cov(,())()()11[]2[]()1[1]i i i i i i i i
i
i
i
i i xx xx
i xx
e y y
y y y y y x y y x x x x x x n L n L x x n L β
ββσσσσ
=-=+-=++-+---=++-+-=--
()()
∑∑==-+-=-=n
i i
i i n i i Y Y Y Y Y Y SST 1
212
]?()?[()
(
)
()
∑∑
∑
===-+--+-=n
i i
i n
i i i i n
i i
Y Y Y Y Y Y Y Y 1
2
112
)??)(?2?(
)
()
SSE
SSR )Y ?Y Y Y ?n
1
i 2
i
i n 1
i 2
i +=-+-=∑∑==
其中：2
22221
111))(1()(1)
)(,()()1,())(?,(),())(?,(σσσββxx
i xx i n
i i xx i i i n
i i i i
i i i i L x x n L x x n y L x x y Cov x x y n y Cov x x y Cov y y Cov x x y y Cov -+=-+=--+=-+=-+∑∑==
2.10 用第9题证明2?22
-=
∑n e
i
σ
是σ2的无偏估计量
证明：
2
2
211
221122
11??()()()22()111var()[1]221
(2)2
n n i i i i n n i i i i xx E E y y E e n n x x e n n n L n n σσσσ=====-=---==----=
-=-∑∑∑∑ 2.11 验证决定系数与F 值之间的关系式
2
2-+=
n F F
r
证明：
21
1/1
2
1/(/(2))1221SSR SSR r SST SSR SSE SSE SSR
n SSR SSE n F n F n F =
==
++=-+
-==
-+-+
2.14 为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y （万元）和广告费用x （万元），数据见表2.6，要求用手工计算： 表2.6
（2） X 与Y 是否大致呈线性关系？ 答：从散点图看，X 与Y 大致呈线性关系。 （3） 用最小二乘法估计求出回归方程。
计算表
（4） 求回归标准误差
先求SSR （Q e ）见计算表。 所以
（5）
给出 的置信度为95%的区间估计； 由于(1-α)的置信度下， 的置信区间是 查表可得 915.110
667
.36?2?1
==
=
xx
L S σβ 所以 的95%
的区间估计为：（7—3.182*1.915，7+3.182*1.915），即（0.906,13.094）。
351.6)10
25
51(667.36)1(?22
?
=+=+=xx L X n S σβ 所以 的95%的区间估计为：（-1-3.182*6.351，-1+3.182*6.351）， 即（-21.211, 19.211）。^
0β的置信区间包含0，表示^
0β不显著。
（6） 计算x 和y 的决定系数
说明回归方程的拟合优度高。 （7） 对回归方程作方差分析
方差分析表
10?,?ββ2
2
????(,)i
i
i i t s t s ααββ
ββ-?+?i
β?182
.3)3()2(025.02/==-t n t α1
?β0
?β
F 值=13.364>F 0.05(1,3)=10.13(当n 1=1,n 2=8时，α=0.05查表得对应的值为10.13),所以拒绝原假设，说明回归方程显著。
（8）做回归系数β1的显著性检验H0: β1=0
656.3915.1/7/?1
?1===β
βS t t 值=3.656>t 0.05/2(3)=3.182,所以拒绝原假设，说明x 对Y 有显著的影响。
（8） 做相关系数R 的显著性检验
R 值=0.904>R 0.05(3)=0.878,所以接受原假设，说明x 和Y 有显著的线性关系。
（9） 对回归方程作残差图并作相应的分析
残差图(略) .从残差图上看出，残差是围绕e=0在一个固定的带子里
随机波动，基本满足模型的假设e i ~N(0, σ2 ), 但由于样本量太少, 所
以误差较大. （10）
求广告费用为4.2万元时,销售收入将达到多少?并给出置信度为
95%的置信区间. 解: 当X 0=4.2时,
所以广告费用为4.2万元时, 销售收入将达到28.4万元. 由于置信度为1-α时，Y 0估计值的置信区间为:
02
2
?000
?0??Y
Y Y Y S t Y Y S t Y --?+<
)10
44.1511(667.36)(11(?202
?0
++=-++=-xx Y
Y L X X n S σ
所以求得Y 0的95%的置信区间为: [6.05932 ,50.74068] 预测误差较大.
2.15 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的制度，决定认真调查一下现状。经过十周时间，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目，x 为每周新签发的保单数目，y 为每周加班工作时间（小时）。见表2.7。
表2..7
1、画散点图
4.282.471???0
100=?+-=+=X Y ββ
2、由散点图可以看出， x 与y 之间大致呈线性关系。
3、用最小二乘法求出回归系数
由表可知：118.0β
= 00359.0β1
= 回归方程为： x 00359.0118.0y ?
+=
4、求回归标准误差σ
? 由方差分析表可以得到:SSE=1.843
故回归标准误差2
^2
SSE
n σ=-，^σ=0.48。
5、给出回归系数的置信度为95%的区间估计
由回归系数显著性检验表可以看出，当置信度为95%时：
^0β的预测区间为[-0.701,0.937], ^
1β的预测区间为[0.003,0.005]. ^
0β的置信区间包含0，表示^
0β不拒绝为零的假设。
6、决定系数
由模型概要表得到决定系数为0.9接近于1，说明模型的拟合优度高。
由方差分析表可知：
F值=72.396>5.32(当n
1=1,n
2
=8时，查表得对应的值为5.32)
P值≈0，所以拒绝原假设，说明回归方程显著。
8、对^
1
β的显著性检验
从上面回归系数显著性检验表可以得到^
1
β的t统计量为t=8.509，所对应的p值近似为0，通过t检验。说明每周签发的新保单数目x对
每周加班工作时间y有显著的影响。
9.做相关系数显著性检验
相关系数达到0.949，说明x与y显著线性相关。
10、对回归方程作残
差图并作相应分析
从残差图上看出，残
差是围绕e=0随即波
动，满足模型的基本
假设。
11、该公司预计下一
周签发新保单X0=1000张,需要的加班时间是多少?
当x 0=1000张时，7032.31000*00359.0118.0y =+=小时 12、给出Y 0的置信水平为95%的预测区间
通过SPSS 运算得到Y 0的置信水平为95%的预测区间为： （2.5195，4.8870）。
13 给出E （Y 0）的置信水平为95%的预测区间
通过SPSS 运算得到Y 0的置信水平为95%的预测区间为：（3.284，4.123）。
2.16 表是1985年美国50个州和哥伦比亚特区公立学校中教师的人均年工资y(美元)和学生的人均经费投入x(美元).
解答：（
由上图可以看出y与x的散点分布大致呈直线趋势。（2）建立y对x的线性回归。
利用SPSS进行y和x的线性回归，输出结果如下：
表1 模型概要
残差平方和
2.645E8 49 5397517.938
总平方和
8.734E8 50
1) 由表1可知，x 与y 决定系数为697.02=r ，说明模型的拟合效果一般。
x 与y 线性相关系数R=0.835，说明x 与y 有较显著的线性关系。 2) 由表2（方差分析表中）看到，F=112.811，显著性Sig.p 000.0≈,说明
回归方程显著。
3) 由表3 可见对1β的显著性t 检验P 值近似为零，故1β显著不为0，说明
x 对y 有显著的线性影响。
4) 综上，模型通过检验，可以用于预测和控制。
x 与y 的线性回归方程为：
x y
*314.3629.12112?+=
（3）绘制标准残差的直方图和正态概率图
图1 标准残差的直方图
图2 标准残差的正态概率P-P 图
观测值概率 理论正 态概率
由图1可见标准化后残差近似服从正态分布，由图2可见正态概率图中的各个散点都分布在45°线附近，所以没有证据证明误差项服从同方差的正态分布的假定是不真实的，即残差通过正态性检验，满足模型基本假设。
第3章 多元线性回归
思考与练习参考答案
3.2 讨论样本容量n 与自变量个数p 的关系，它们对模型的参数估计有何影响？
答：在多元线性回归模型中，样本容量n 与自变量个数p 的关系是：n>>p 。如果n<=p 对模型的参数估计会带来很严重的影响。因为： 1. 在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。
2. 解释变量X 是确定性变量，要求()1rank p n =+ ()1rank p <+X ，则解释变量之间线性相关，1()X X -'是奇异阵，则 β的估计不稳定。 3.3证明 随机误差项ε的方差σ2 的无偏估计。 证明: 2 212 2 2 2 21 1 1 1 1 2 22 1 111 ?(),111()()(1)(1)()(1)1 ?()()1n i i n n n n n i i ii ii ii i i i i i n i i SSE e e e n p n p n p E e D e h h n h n p E E e n p σσσ σ σσσ======='===------∴==-=-=-=--∴==--∑∑∑∑∑∑∑ 3.4 一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R 2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？ ()1?2--=p n SSE σ 答：不能断定这个回归方程理想。因为： 1. 在样本容量较少，变量个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F 检验或者关于回归系数的t 检验，所建立的回归方程都没能通过。 2. 样本决定系数和复相关系数接近于1只能说明Y 与自变量X1,X2,…,Xp 整体上的线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量是显著的，还需进行F 检验和t 检验。 3. 在应用过程中发现，在样本容量一定的情况下，如果在模型中增加解释变量必定使得自由度减少，使得 R 2往往增大，因此增加解释变量（尤其是不显著的解释变量）个数引起的R 2的增大与拟合好坏无关。 3.7 验证 证明：多元线性回归方程模型的一般形式为： 01122p p y x x x ββββε =+++++ 其经验回归方程式为 01122?????p p y x x x ββββ=++++， 又01122????p p y x x x ββββ=----， 故111222????()()()p p p y y x x x x x x βββ=+-+-++-， 中心化后，则有111222????()()()i p p p y y x x x x x x βββ-=-+-++-， = 令21 (),1,2,,n jj ij j i L x x i n ==-=∑，1,2,,j p = 12 ()???? p x x y x x βββ-=++ 2 1 ??*,1,2,...,)n jj j i j p L X β ====-∑ j j i j 其中: (X 样本数据标准化的公式为 1,2,, ij i x x y x y i n ** - ===，1,2,, j p = 则上式可以记为 1122 1122 ??? ??? i i i p ip i i p ip L y x x x L x x x βββ βββ **** ****** =+++ =?+?++? 则有 ??,1,2,, j j j p β*== 3.10 验证决定系数R2与F值之间的关系式： p p n F F R /)1 ( 2 - - + = 证明： 2 / , /(1) 1 1 1(1)/ 1 SSR p F SSE n p F SSE SSR p n p F SSE p SSR SSR F p F n p R F SSE SST SSR SSE F p n p F n p p p SSE n p = -- ? ∴=? -- ? ? ? -- ∴===== ? +?+--+-- ?+ -- 3.11 研究货运总量y（万吨）与工业总产值x1（亿元）、农业总产值x2（亿元）、居民非商品支出x3（亿元）的关系。数据见表3.9（略）。 （1）计算出y，x1，x2，x3的相关系数矩阵。 SPSS输出如下： 则相关系数矩阵为： 1.0000.5560.7310.7240.556 1.0000.1130.3980.731 0.113 1.0000.5470.7240.3980.547 1.000r ????? ?=???? ?? （2）求出y 与x1，x2，x3的三元回归方程。 对数据利用SPSS 做线性回归，得到回归方程为 123?348.38 3.7547.10112.447y x x x =-+++ （3）对所求的方程作拟合优度检验。 《数据分析实务与案例实验报告》 曲线估计 学号：2013111104000614 班级：2013 应用统计 姓名： 日期： 2 0 1 4 – 12 – 7 数学与统计学学院 一、实验目的 1. 准确理解曲线回归分析的方法原理。 2. 了解如何将本质线性关系模型转化为线性关系模型进行回归分析。 3. 熟练掌握曲线估计的SPSS 操作。 4. 掌握建立合适曲线模型的判断依据。 5. 掌握如何利用曲线回归方程进行预测。 6. 培养运用多曲线估计解决身边实际问题的能力。 二、准备知识 1. 非线性模型的基本内容 变量之间的非线性关系可以划分为 本质线性关系和本质非线性关系。所谓本质线性关系是指变量关系形式上虽然呈非线性关系，但可以通过变量转化为线性关系，并可最终进行线性回归分析，建立线性模型。本质非线性关系是指变量之间不仅形式上呈现非线性关系，而且也无法通过变量转化为线性关系，最终无法进行线性回归分析，建立线性模型。本实验针对本质线性模型进行。 下面介绍本次实验涉及到的可线性化的非线性模型，所用的变换既有自变量的变换，也有因变量的变换。 乘法模型： 123y x x x βγδαε= 其中α，β，γ，δ 都是未知参数，ε是乘积随机误差。对上式两边取自然对数得到 123ln ln ln ln ln ln y x x x αβγδε=++++ 上式具有一般线性回归方程的形式，因而用多元线性回归的方法来处理。然而，必须强调指出的是，在求置信区间和做有关试验时，必须是2ln (0,)n N I εδ: ， 而不是2n N I εδ:（0，） ,因此检验之前，要先检验ln ε 是否满足这个假设。 三、实验内容 已有很多学者验证了能源消费与经济增长的因果关系，证明了能源消费是促进经济增长的原因之一。也有众多学者利用C-D 生产函数验证了劳动和资本对经济增长的影响机理。所有这些研究都极少将劳动、资本、和能源建立在一个模型中来研究三个因素对经济增长的作用方向和作用大小。 现从我国能源消费、全社会固定资产投资和就业人员的实际出发，假定生产技术水平在短期能不会发生较大变化，经济增长、全社会固定资产投资、就业人员、能源消费可以分别采用国内生产总值、全社会固定资产投资总量、就业总人数、能源消费总量进行衡量，并假定经济增长与能源消费、资本和劳动力的关系均满足C-D 生产函数。 问题中的C-D 生产函数为： Y AK L E αβγ= 式中：Y 为GDP ，衡量总产出；K 为全社会固定资产投资，衡量资本投入量；L 为就业人数，衡量劳动投入量；E 为能源消费总量，衡量能源投入量；A,α，β， γ 为未知参数。根据C-D 函数的假定，一般情形α，β，γ均在0和1之间，但当α，β，γ中有负数时，说明这种投入量的增长，反而会引起GDP 的下降，当α，β，γ中出现大于1的值时，说明这种投入量的增加会引起GDP 成倍增加，这在经济学现象中都是存在的。 以我国1985—2004年的有关数据建立了SPSS 数据集，参见 中级经济师基础知识 第 1题：单选题(本题1分) 某公司产品当产量为1000单位时，其总成本为4000元；当产量为2000单位时，其总成本为5000，则设产量为x，总成本为y，正确的一元回归方程表达式应该是（ ）。 A、y = 3000 + x B、y = 4000 + 4x C、y = 4000 + x D、y = 3000 + 4x 【正确答案】：A 【答案解析】： 本题可列方程组：设该方程为y = a + bx，则由题意可得：4000 = a + 1000b5000 = a + 2000b 解该方程，得b=1，a=3000，所以方程为y = 3000 + x 第 2题：单选题(本题1分) 在回归分析中，估计回归系数的最小二乘法的原理是（ ）。 A、使得因变量观测值与均值之间的离差平方和最小 B、使得因变量估计值与均值之间的离差平方和最小 C、使得观测值与估计值之间的乘积和最小 D、使得因变量观测值与估计值之间的离差平方和最小 【正确答案】：D 【答案解析】： 较偏较难的一道题目。最小二乘法就是使得因变量的观测值与估计值之间的离差平方和最小来估计参数的一种方法 第 3题：多选题(本题2分) 关于相关分析和回归分析的说法，正确的的有（） A、相关分析可以从一个变量的变化来推测另一个变量的变化 B、相关分析研究变量间相关的方向和相关的程度 C、相关分析中需要明确自变量和因变量 D、回归分析研究变量间相互关系的具体形式 E、相关分析和回归分析在研究方法和研究目的有明显区别 【正确答案】：BDE 【答案解析】： 相关分析与回归分析在研究目的和方法上具有明显的区别。 （1）、相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度，无法从一个变量的变化来推测另一变量的变化情况。 （2）、回归分析是研究变量之间相关关系的具体形式 泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定 回归分析基本分析： 将毕业生人数移入因变量，其他解释变量移入自变量。在统计量中选择估计和模型拟合度，得到如图 注解：模型的拟合优度检验： 第二列：两变量（被解释变量和解释变量）的复相关系数R=0.999。 第三列：被解释向量（毕业人数）和解释向量的判定系数R2=0.998。 第四列：被解释向量（毕业人数）和解释向量的调整判定系数R2=0.971。在多个解释变量的时候，需要参考调整的判定系数，越接近１，说明回归方程对样本数据的拟合优度越高，被解释向量可以被模型解释的部分越多。 第五列：回归方程的估计标准误差＝9.822 回归方程的显著性检验-回归分析的方差分析表 F检验统计量的值=776.216，对应的概率p值=0.000，小于显著性水平0.05，应拒绝回归方程显著性检验原假设（回归系数与0不存在显著性差异），认为：回归系数不为0，被解释变量(毕业生人数)和解释变量的线性关系显著，可以建立线性模型。 注解：回归系数的显著性检验以及回归方程的偏回归系数和常数项的估计值第二列：常数项估计值=-544.366；其余是偏回归系数估计值。 第三列：偏回归系数的标准误差。 第四列：标准化偏回归系数。 第五列：偏回归系数T检验的t统计量。 第六列：t统计量对应的概率p值；小于显著性水平0.05，拒接原假设（回归系数与0不存在显著性差异），认为回归系数部位0，被解释变量与解释变量的线性关系是显著的；大于显著性水平0.05，接受原假设（回归系数与0不存在显著性差异），认为回归系数为0被解释变量与解释变量的线性关系不显著的。 于是，多元线性回归方程为： y=-544.366+0.032x1+0.009x2+0.001x3-0.1x5+3.046x6 回归分析的进一步分析： 1.多重共线性检验 从容差和方差膨胀因子来看，在校学生数和教职工总数与其他解释变量的多重共线性很严重。在重新建模中可以考虑剔除该变量 第8章 非线性回归 思考与练习参考答案 8.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？ 答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。如： (1) 乘性误差项，模型形式为 e y AK L αβε =， (2) 加性误差项，模型形式为y AK L αβ ε = + 对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。 8.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表8.15所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表8.15 生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%） 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0 解：先画出散点图如下图： 5000.00 4000.003000.002000.001000.00x 12.00 10.00 8.006.00 y 从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 （1）二次曲线 SPSS 输出结果如下： Model Summ ary .981 .962 .942 .651 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the Estimate The independent variable is x. ANOVA 42.571221.28650.160.001 1.6974.424 44.269 6 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig.The independent variable is x. Coe fficients -.001.001-.449-.891.4234.47E -007.000 1.417 2.812.0485.843 1.324 4.414.012 x x ** 2 (Constant) B Std. E rror Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. 从上表可以得到回归方程为：72? 5.8430.087 4.4710y x x -=-+? 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05，得到x 2的系数通过了显著性检验。 （2）指数曲线 Model Summ ary .970 .941 .929 .085 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the Estimate The independent variable is x. 泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。 第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+- 4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则 实验五:残差分析 【实验目的】 （1）通过残差检验，掌握残差分析的方法 （2）异常值检验 【仪器设备】 计算机、spss软件、何晓群《实用回归分析》表和表的数据 【实验内容、步骤和结果】 对何晓群《实用回归分析》表的数据进行残差分析 原始数据如表1，其中y表示货运总量（亿吨）x1表示工业总产值（亿元）x2表示农业总产值（亿元）x3表示居民非商业支出（亿元） 表1. 对表1数据用spss软件进行分析得以下各表 由上表可知复相关系数R=，决定系数R方=，由决定系数看出回归方程的显著性不高，接下来看方差分析表3 由表3知F值为较小，说明x1、x2、x3整体上对y的影响不太显著。 表4系数 模型非标准化系数标准系数 t Sig. B标准误差试用版 1(常量).096 x1.385.100 x2.535.049 x3.277.284 表4系数 模型 非标准化系数 标准系数 t Sig. B 标准 误差 试用版 1 (常量) .096 x1 .385 .100 x2 .535 .049 x3 .277 .284 回归方程为 123348.280 3.7547.10112.447y x x x =-+++ 图1.学生化残差 差 残差: 对数据用spss进行分析得 表6异常值的诊断分析 数据不存在异常值.绝对值最大的删除学生化残差为SDR=,因而根据学生化删除残差诊断认为第6个数据为异常值.其中中心化杠杆值,cook距离为位于第一大.因此第6个数据为异常值. 对何晓群《实用回归分析》表的数据进行残差分析 原始数据为 : 表个啤酒品牌的广告费用和销售量 1 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据： 求：(1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。 (2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3)求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 (4)计算判定系数，并解释其意义。 α=)。 (5)检验回归方程线性关系的显著性(0.05 (6)如果某地区的人均GDP为5000元，预测其人均消费水平。 (7)求人均GDP为5000元时，人均消费水平95％的置信区间和预测区间。 解：（1） 可能存在线性关系。 （2）相关系数： 系数a 模型非标准化系数标准系数 t Sig. 相关性 B标准误差试用版零阶偏部分 1(常量).003 人均GDP.309.008.998.000.998.998.998 a. 因变量: 人均消费水平 有很强的线性关系。 （3）回归方程：734.6930.309 y x =+ 系数a 模型非标准化系数标准系数t Sig.相关性 回归系数的含义：人均GDP没增加1元，人均消费增加元。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规范排版。 系数(a) 模型非标准化系数标准化系数 t显著性B标准误Beta 1（常量） 人均GDP（元） %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%（4） 模型汇总 模型R R 方调整 R 方标准估计的误 差 1.998a.996.996 a. 预测变量: (常量), 人均GDP。 人均GDP对人均消费的影响达到%。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规范排版。 模型摘要 模型R R 方调整的 R 方估计的标准差 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此 实验报告 实验课程：[信息分析] 专业：[信息管理与信息系统] 班级：[ ] 学生姓名：[ ] 指导教师：[请输入姓名] 完成时间：2013年6月28日 一．实验目的 多元线性回归简单地说是涉及多个自变量的回归分析，主要功能是处理两个变量之间的线性关系，建立线性数学模型并进行评价预测。本实验要求掌握附带残差分析的多元线性回归理论与方法。 二．实验环境 实验室308教室 三．实验步骤与内容 1打开应用统计学实验指导书，新建excel表 2．打开SPSS，将数据输入。 3．调用SPSS主菜单的分析——>回归——>线性命令，打开线性回归对话框，指定因变量（工业GDP比重）和自变量（工业劳动者比重、固定资产比重、定额资金流动比重），以及回归方式；逐步回归（图1） 图1 线性对话框 4.在统计栏中，选择估计以输出回归系数B的估计值、t统计量等，选择Duribin-watson以进行DW检验；选择模型拟合度输出拟合优度统计量值，如R^2、F统计量值等（图2）。 图2 统计量栏 5．在线性回归栏中选择直方图和正态概率图以绘制标准化残差的直方图和残差分析与正态概率比较图，以标准化预测值为纵坐标，标准化残差值为横坐标，绘制残差与Y的预测值的散点图，检验误差变量的方差是否为常数（图3）。 图3 绘制栏 6.提交分析，并在输出窗口中查看结果，以及对结果进行分析。 系统在进行逐步分析的过程中产生了两个回归模型，模型1先将与因变量（销售收入）线性关系的自变量地区人口引入模型，建立他们之间的一元线性关系。而后逐步引入其他变量，表1中模型2表明将自变量人均收入引入，建立二元线性回归模型，可见地区人口和人均收入对销售收入的影响同等重要。 多元线性回归模型 一、单项选择题 1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定 系数为，则调整后的多重决定系数为（ D ） A. B. C. 下列样本模型中，哪一个模型通常是无效 的（B ） A. i C （消费）=500+i I （收入） B. d i Q （商品需求）=10+i I （收入）+i P （价格） C. s i Q （商品供给）=20+i P （价格） D. i Y （产出量）=0.6i L （劳动）0.4i K （资本） 3.用一组有30个观测值的样本估计模型01122t t t t y b b x b x u =+++后，在的显著性水平上对 1b 的显著性作t 检验，则1b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ C ） A. )30(05.0t B. )28(025.0t C. )27(025.0t D. )28,1(025.0F 4.模型 t t t u x b b y ++=ln ln ln 10中，1b 的实际含义是（ B ） A.x 关于y 的弹性 B. y 关于x 的弹性 C. x 关于y 的边际倾向 D. y 关于x 的边际倾向 5、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于１，则表明 模型中存在（ C ） A.异方差性 B.序列相关 C.多重共线性 D.高拟合优度 6.线性回归模型01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验0:0(0,1,2,...) t H b i k ==时，所用的统计量 服从( C ) (n-k+1) (n-k-2) (n-k-1) (n-k+2) 7. 调整的判定系数 与多重判定系数 之间有如下关系( D ) A.2 211n R R n k -=-- B. 22111 n R R n k -=--- C. 2211(1)1n R R n k -=-+-- D. 2211(1)1n R R n k -=---- 8．关于经济计量模型进行预测出现误差的原因，正确的说法是（ C ）。 A.只有随机因素 B.只有系统因素 C.既有随机因素，又有系统因素 、B 、C 都不对 9．在多元线性回归模型中对样本容量的基本要求是(k 为解释变量个数)：（ C ） A n ≥k+1 B n 1.1回归分析的基本思想及其初步应用 一、选择题 1. 某同学由x 与y 之间的一组数据求得两个变量间的线性回归方程为y bx a =+，已知：数据x 的平 均值为2，数据 y 的平均值为3，则 ( ) A ．回归直线必过点（2，3） B ．回归直线一定不过点（2，3） C ．点（2，3）在回归直线上方 D ．点（2，3）在回归直线下方 2. 在一次试验中，测得(x,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5)，则Y 与X 之间的回归直线方程为（ ）A ． y x 1=+ B ． y x 2=+ C ． y 2x 1=+ Ｄ． y x 1=-3. 在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释； ②收集数据(i x 、i y ） ，1,2i =，…，n ； ③求线性回归方程； ④求未知参数； ⑤根据所搜集的数据绘制散点图 如果根据可行性要求能够作出变量,x y 具有线性相关结论，则在下列操作中正确的是（ ） A ．①②⑤③④ B ．③②④⑤① C ．②④③①⑤ D ．②⑤④③① 4. 下列说法中正确的是（ ） A ．任何两个变量都具有相关关系 B ．人的知识与其年龄具有相关关系 C ．散点图中的各点是分散的没有规律 D ．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的 5. 给出下列结论： （1）在回归分析中，可用指数系数2 R 的值判断模型的拟合效果，2 R 越大，模型的拟合效果越好； （2）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； （3）在回归分析中，可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越小，模型的拟合效果越好； （4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，正确的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 已知直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A.y 平均增加1.5个单位 B.y 平均增加2个单位 C.y 平均减少1.5个单位 D. y 平均减少2个单位 7. 下面的各图中，散点图与相关系数r 不符合的是（ ） 泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 1 下面是7个地区2000年的人均国生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据：地区人均GDP/元人均消费水平/元 北京上海 22460 11226 34547 4851 5444 2662 4549 7326 4490 11546 2396 2208 1608 2035 求：(1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。 (2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3)求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 (4)计算判定系数，并解释其意义。 (5)检验回归方程线性关系的显著性(0.05 α=)。 (6)如果某地区的人均GDP为5000元，预测其人均消费水平。 (7)求人均GDP为5000元时，人均消费水平95％的置信区间和预测区间。 解：（1） 可能存在线性关系。 （2）相关系数： （3）回归方程：734.6930.309 y x =+ 回归系数的含义：人均GDP没增加1元，人均消费增加0.309元。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规排版。 系数(a) 模型非标准化系数标准化系数 t 显著性B 标准误Beta 1 （常量）734.693 .540 5.265 0.003 人均GDP（元）0.309 0.008 0.998 36.492 0.000 a. 因变量: 人均消费水平（元）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% （4） 模型汇总 模型R R 方调整 R 方标准估计的误 差 1 .998a.996 .996 247.303 a. 预测变量: (常量), 人均GDP。 人均GDP对人均消费的影响达到99.6%。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规排版。 模型摘要 模型R R 方调整的 R 方估计的标准差 1 .998(a) 0.996 0.996 247.303 a. 预测变量:(常量), 人均GDP（元）。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 求：(1)人均GDP 乍自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系 形态。 (2) 计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3) 求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 (4) 计算判定系数，并解释其意义。 (5) 检验回归方程线性关系的显著性 ( 0.05)。 (6) 如果某地区的人均 GDP 为5000元，预测其人均消费水平。 (7) 求人均GDP 为5000元时，人均消费水平 95%的置信区间与预测区间。 解: (1) 可能存在线性关系。 12000- 1DOOQ - 6000- 6000- 4QD0- 2000- 0- D 10000 20000 人均GDP 30000 4MOO (2) 相关系数： a.因变量人均消费水平 有很强的线性关系。 （3）回归方程： y 734.693 0.309x a.因变量人均消费水平 回归系数的含义：人均 GDP 没增加1元，人均消费增加 0.309元。 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规排版。 系数（a ） a.因变量人均消费水平（元） %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% （4） 模型汇总 a.预测变量常量）,人均GDP 人均GDP 寸人均消费的影响达到 99.6%。 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规排版。 a.预测变量:（常量人均GDP （元）。 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)． 1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞SPSS实验报告_线性回归_曲线估计
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