金融数学论文

从华尔街革命到金融数学

摘要金融数学是在两次华尔街革命的基础上迅速发展起来的一门数学与金融学相交叉的前沿学科。其核心内容就是研究不确定随机环境下的投资组合的最优选择理论和资产的定价理论。套利、最优与均衡是金融数学的基本经济思想和三大基本概念。本文以两次华尔街数学革命为出发点，结合近代金融学发展，简要阐述了数学工具的广泛应用及其对金融市场和社会经济的推动作用，以及金融数学界现在面临的问题。

关键词金融金融危机金融数学证券组合选择理论期权定价理论

数学模型金融预测回归分析随机最优控制理论信息技术

看完了纪录片《华尔街》，我对现代金融市场有了初步的了解。影片以华尔街金融危机为契机，以证券市场为中心，梳理了两百多年来，现代金融的来龙去脉，探寻、发现资本市场兴衰与经济起伏的规律。在金融市场上，没有退路、不允许犹豫，甚至没有反悔的余地。对数字有着天生敏感的人或许更适合在这片沃土生长，发挥自己的实力，挖掘自己的潜力。然而，作为一个与华尔街相隔地球半径距离生长于中国的我来说，在《华尔街》中的一个个镜头里，我看到的满是不安和慌乱。自华尔街开始的一场席卷全球的金融风暴肆虐后，得到教训的同时，我们也开始思考问题的所在。

首先华尔街在美国经济崛起过程中，或者大国的竞争中，扮演非常举足轻重的作用。在美国经济的发展过程中，从运河的兴起，铁路的兴起，到重工业化，到后来的高科技产业，甚至它的南北战争，无论是和平时期还是战争时期，它都起到了非常重要的作用。可见，虚拟经济和实体经济是相互相乘的，我们在大力发展实体经济的同时也应该注重虚拟经济体的发展，并规范化。

其次我们可以看到华尔街的发展并不是一帆风顺的，在美国历史上，它经过两次重大的调整，一次就是说它意识到上市公司没有真实的信息披露，市场是要出现崩溃的，不可能长期发展，于是进行革命，修正了这一点。后来它发现，一个缺乏政府监管的市场，也是非常不稳定的，随后就是进行了大量的金融改革，在这个过程中，美国是付出了沉重的社会代价。所以我们要善于从历史中总结经验，教训，积极修正经济发展过程中的错误。

从上个世纪末开始，华尔街出现了这样的一种状况，那就是金融证券业界纷纷竞相雇佣或资助专业数学家研究金融问题。这类研究课题已形成一门新学科，即所谓金融数学。这一状况的出现被许多报刊成为“华尔街的革命”。

现代金融数学是在两次华尔街革命的背景中成长发展起来的。华尔街的两次数学革命是指1952年马科维茨的证券组合选择理论和1973年布莱克－肖尔斯的期权定价理论。

马科维茨所解决的是如何给出最优的证券组合①问题。我们知道，在证券市场中进行任何一种证券交易都会因为其未来的不确定性而有风险。投资者如果把他所有的资金都对一种证券投资，那么就像把所有鸡蛋装在一个篮子里一样，一旦这种证券出现不测，投资者就会全赔在这种证券上。因此，为分散风险，投资者应该同时对多种证券进行交易。于是就有这样的问题：这些证券应该如何搭配为好。马科维茨是这样来考虑的：对于每种证券，他用根据历史数据所计算的证券的隔天价格差的平均值来衡量证券的收益率（可正可负）；又根据历史数据计算每天的证券价格差对平均收益率的偏离的平均值来衡量证券的风险。而一组证券的收益率和风险也同样可根据历史数据来估计。把证券间的搭配比例（可正可负，表示有的是买入，有的是卖出）作为变量，就可提出一个在怎样的搭配比例下，对于固定的收益率使其风险最小的问题。马科维茨由此提出一个所谓有效证券组合前沿的概念。这是一些特殊

的证券组合，其中有一个是风险最小的证券组合，但其收益率也是所有有效证券组合中最小的；有效证券组合前沿中的其他证券组合，其风险比最小者要大，但其收益率也较大，而在有同样收益率的证券组合全体中，证券组合前沿中的那个组合的风险又最小。这样，投资者就可根据计算得到的有效证券组合前沿，在收益与风险之间进行权衡，决定他的投资组合。尽管马科维茨的研究在今天已被认为是金融经济学理论前驱工作而获得1990年的诺贝尔经济学奖，但在当年他刚提出他的理论时，计算机才问世不久，从而使他的理论成为纸上谈兵，根本无法实际计算，而今天的计算技术自然早已使马科维茨的思想得到完全的实现。

布莱克和肖尔斯讨论的则是如何为期权定价。期权是一种可交易的证券，它有自己的价格。布莱克和肖尔斯在假设股票价格的相对变动为不可预测的所谓布朗运动的条件下，导出了一个与实际非常吻合的期权定价公式。金融经济学界经过几年的讨论，终于承认这是一项极为重要的研究。布莱克和肖尔斯的观念并不复杂。他们认为，既然卖出股票的风险与买入期权的风险可以“对冲”，那么，它们的按一定比例的随时间变化的组合就相当于一种无风险的证券，即有固定利率的债券。由此就可导出期权价格与股票价格之间的关系，其中依赖的参数是股票的报酬率、债券的利率、期权的执行价格以及时间。

布莱克--肖尔斯公式问世后立即引起大量的后继研究。在数学中，由于他们在公式推导中用到了随机分析、偏微分方程等现代数学工具，这促使许多数学家投身到衍生证券的研究中来，并且逐渐形成一个新学科－－金融数学。在金融经济学中，他们实际上提出了一种比马科维茨更进一步的思想。马科维茨只是认为不同的证券经过适当的组合可以减少风险，而布莱克和肖尔斯则认为，如果随时间不断改变这种组合（即所谓执行一种投资策略），那么在一定条件下，几种证券的组合可以用来模拟另一种证券。就像股票与期权的适当组合能相当于债券一样，股票与债券的适当组合自然也可模拟期权。这种根据各种不同需要，把风险打散、重组，并形成各种金融产品的技术就是所谓金融工程。在今天的金融市场中，它已经处于举足轻重的地位。

数学模型的建立需用非数学方法进行建模分析。非数学方法又可分为调控监管方法和技术分析方法。调控监管方法是通过法律、行政和经济手段对金融交易活动进行监督管理,以保证金融市场有序运作和稳健发展,从而达到防范风险的目的。进行调控监管的主体是国家的金融监管机构,金融行业自律机构和金融机构本身。这类方法主要用来防范类似巴林银行倒闭和上海万国期货事件等机构风险。当然也起了保护广大中小交易者权益的作用。

最早的技术分析方法始于19世纪末,由美国人查理斯.道创立,随后又由他人发展完善成为道氏理论。道氏理论认为股票市场的运动可以分解成为主要趋势、次要变动和日常变动。股市的变化有一定的周期和内在规律,必然多头市场转为空头市场或从空头市场转为多头市场。经济的周期波动、投资者的模仿心理和股市信息传播的时差应是股市运动的动力。技术分析经常应用于股市价格的短期变动和中长期走势的分析和预测。

金融预测中的回归分析,也是不确定的数学方法。金融预测是研究金融现象的未来发展方向和发展程度之间的依赖关系的一种科学。目前,在西方国家广泛地利用预测技术来研究未来时期金融的发展状况,利用数学方法可以帮助我们从数量上预测未来时期的经济、金融现象的发展状况,经济预测中利用的数学方法很多,回归分析是经常利用的一种。回归分析是研究度量和变量之间的依赖关系的一种数学方法。在自然界和人类社会中,往往可以看到很多变量之间存在着一定的关系例如, 气温与降雨量,粮食产量与化肥施用量,工女业总产值与财政收入的数量,职工平均收入与储蓄金额,企业销售收入与企业流动资金数量等等。线形回归分析是判断变量之间是否有线形相关关系,研究其线形相关的密切程度以及如何确定变量之间的线形表达式的一种分析方法。以下用线性回归分析的方法根据企业销售收入预测企业资金贷款数量。

金融市场的实际环境是并不符合稳态假设，当出现异常波动时证券价格并不符合几何布朗运动，此时用随机动态模型研究投资组合问题不论从方法上还是从实际上来说都存在着很大的偏差，运用微分对策理论不仅可以放宽对市场稳态的这一假设，还可以把不确定性扰动是做敌对方，针对最差的一方加以优化，从而得到“鲁棒性’很强的决策。同时求解微分对策的布尔曼方程是一阶偏微分方程，比求解随机最优控制下的二阶偏微分方程简单。可见运用微分对策理论研究金融问题前景很广阔，不仅如此而且研究重复对策，随机对策，多人对策理论在投资决策问题中更是值得重视的研究课题。

信息技术迅速发展为金融数学的研究也带来了新的方法。遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络、小波分析等计算方法和金融学传统方法结合起来在风险控制和投资决策领域均取得了很好的成果，国内的研究比如谭华,谢赤等。总的来说这一领域起步比较晚，相信今后还会有更多更好的结果问世。

总的来说历史上对金融经济描述的模型主要有两类。一类是牛顿的决定论模型，即给定初始条件或状态时金融经济的运行行为完全确定。一类是布朗的随机游走模型。这两种模型的金融状态可以说是相互对立，尤其是近30 年来金融学界分成两派，一派是技术分析型学者，相信市场是遵循某种规律而循环。另一派是定量分析型学者，认为市场不存在周期性循环。最近学者们运用从物理学中开发出来的方法分析非线性系统，认识到真实的情况应该是二者兼而有之。这样金融数学界现在至少面临四个问题亟待解决。

第一，对金融经济的变与动的直觉三性，即随机性、模糊性、混沌性进行综合分析，来确定从彼到此的过渡条件、转换机制、演变过程、本质特征、产生结果以及人们所采用的相应经济对策，尤其是货币政策。

第二，对以货币信用为核心的货币需求量、货币供给量、金融资金流向流量进行综合分析，给货币均衡和非均衡的合理界定和合理模型，为改善社会总量平衡关系对财政、金融、物质、外汇的四大平衡提供依据。

第三，对支撑现代金融发展的三大支柱利率、汇率、保率甚至税率和物价综合指数进行综合分析，为制定合理的三率体系提供符合实际的模型。

第四，对生产力要素的选择或部门资源配置，综合金融经济指标为研究对象的三观（微观、中观、宏观）进行综合分析，以便将其成果更充分更广泛地运用于金融经济领域.

最近十几年来金融数学越来越受到金融学界甚至政界人士的高度关注，1996 年由一些著名金融数学家发起成立的“Bachelier 金融学会”通过国际交流来推动随机过程、统计学以及其他数理理论在金融学上的运用；上世纪90 年代一些新的数理金融学刊相继创刊，比如“Mathematics Finance”, “Finance Stochastics”等。我国已把“金融数学、金融工程和金敲管理”列为重大科研项目,受到各方面的极大关注。在现代金融学的理论研究与金融实践中,数学起着关键的作用.一大批从事数学和物理研究的有识之士转向金融学的研究，给金融学的研究带来了巨大的活力，同时金融学的发展也为数学的发挥和发展提供了很好的平台。由此可见，数学家和金融学家的通力合作才是金融数学发展的必由之路。

注①证券组合：portfolio，原意为“文件包”，是指一组不同的证券。

参考文献

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[2]孙宗歧.刘宣会.金融数学概述及其展望.中国科技论文在线

[3]杨健等.经济数学模型化过程分析.中国人民大学出版社.2007