(江苏专用)2021高考数学二轮复习 课时达标训练(八) “立体几何”专题提能课
课时达标训练(八) “立体几何”专题提能课
A 组——易错清零练
1．设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的____________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．
解析：由l ⊥m ，m ?α，可得l ?α，l ∥α或l 与α相交，推不出l ⊥α；由l ⊥α，
m ?α，结合线面垂直的定义可得l ⊥m .故“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2020-2021·南京盐城二模)已知正四棱锥P -ABCD 的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________．
解析：设正四棱锥P -ABCD 的棱长为2x ，则斜高为3x ，所以(2)2
＋x 2
＝(3x )2
，得x ＝1，所以该正四棱锥的棱长为2，表面积S ＝4＋4×1
2
×2×2sin 60°＝43＋4.
答案：43＋4
3.(2020-2021·苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为________．
解析：如图，记挖去的正三棱锥为正三棱锥P -ABC ，则该正三棱锥的底面三角形ABC 内接于半球底面的大圆，顶点P 在半球面上．设BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，交AD 于点O ，则AO ＝PO ＝2，
AD ＝3，AB ＝BC ＝23，所以S △ABC ＝1
2
×23×3＝33，所以挖去的正三棱
锥的体积V ＝13S △ABC ×PO ＝1
3
×33×2＝2 3.
答案：2 3
4．(2020-2021·常州期末)已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面圆为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________．
解析：设圆锥SO 的底面圆的半径为r ，高为h ，则圆柱PO 的底面圆的半
径为12r ，高为1
2
h ，故圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为
π? ????12r 2
×12h 13
πr 2h ＝3
8
. 答案：38
B 组——方法技巧练
1．(2020-2021·山东联考)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为4的正方体，P -QRH 是棱长为4的正四面体，底面ABCD ，QRH 在同一个平面内，BC ∥QH ，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是________．
解析：设截面与A 1B 1，D 1C 1分别相交于点E ，F ，则EF ∥AD .过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O ，则O 是△QRH 的中心．设OR ∩HQ ＝G ，则∠EAB ＝∠PGO .由RG ＝23得RO ＝2OG ＝
43
3
，
PO ＝
42
－? ??
??4332＝463，所以sin ∠EAB ＝sin ∠PGO ＝PO PG ＝46323＝223，即4EA ＝223，则EA ＝32，所以四边形AEFD 的面积S ＝4×32＝12 2.
答案：12 2
2．在空间中，用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号为________．
解析：根据公理知平行于同一条直线的两条直线互相平行，①正确；根据线面垂直性质定理知“同垂直一个平面的两条直线平行”，知④正确；②③均不恒成立．故选①④.
答案：①④
3．(2020-2021·宿迁模拟)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA 1，BB 1，CC 1分别交于三点M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为________．
解析：如图，不妨设N 在B 处，设AM ＝h ，CQ ＝m ， 则MB 2
＝h 2
＋4，BQ 2
＝m 2
＋4，MQ 2
＝(h －m )2
＋4，
由MB 2
＝BQ 2
＋MQ 2
，得m 2
－hm ＋2＝0.Δ＝h 2
－8≥0?h 2
≥8，该直角三角形斜边MB ＝ 4＋h 2
≥4＋8＝23，
故该直角三角形斜边长的最小值为2 3. 答案：2 3
4．(2020-2021·如皋中学模拟)如图，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．
(1)求证：MN ∥平面AA ′C ′C ；
(2)设AB ＝λ AA ′，当λ为何值时，CN ⊥平面A ′MN ，试证明你的结论． 解：(1)证明：如图，取A ′B ′ 的中点E ，连接ME ，NE .
因为M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点，所以NE ∥A ′C ′，ME ∥AA ′.
又A ′C ′?平面AA ′C ′C ，AA ′?平面AA ′C ′C ，NE ?平面 AA ′C ′C ，ME ?平面AA ′C ′C ， 所以ME ∥平面AA ′C ′C ，NE ∥平面AA ′C ′C ， 又因为ME ∩NE ＝E ，所以平面MNE ∥平面AA ′C ′C ， 因为MN ?平面MNE ，所以MN ∥平面AA ′C ′C . (2)连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ， 由题意知BC ＝2λa ，CN ＝BN ＝
a 2＋1
2
λ2a 2，
因为三棱柱ABC -A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面， 所以平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C . 因为AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点，
所以A ′B ′＝A ′C ′，A ′N ⊥B ′C ′，所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ， 又CN ?平面BB ′C ′C ，所以CN ⊥A ′N ， 要使CN ⊥平面A ′MN ，只需CN ⊥BN 即可，
所以CN 2＋BN 2＝BC 2，即2? ??
??a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2
，
解得λ＝2，故当λ＝ 2 时，CN ⊥平面A ′MN .
5.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC . (1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；
(2)点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求 BF BE
的值． 解：(1)证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC .
因为平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ?平面ABCD ，所以AB ⊥平面
BCE .
因为EC ?平面BCE ，所以EC ⊥AB .
因为EC ⊥BE ，AB ?平面ABE ，BE ?平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以EC ⊥平面ABE . 因为EC ?平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE . (2) 连结BD 交AC 于点O ，连结OF .
因为DE ∥平面ACF ，DE ?平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，所以DE ∥OF .
又因为矩形ABCD 中，O 为BD 的中点，所以F 为BE 的中点，即BF
BE
＝12
. C 组——创新应用练
1．下列命题：
①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b ?α，则a ∥α；
④若直线a ∥b ，b ?α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为________．
解析：对于①，∵直线l 虽与平面α内的无数条直线平行，但l 有可能在平面α内，∴l 不一定平行于α，∴①是假命题；
对于②，∵直线a 在平面α外，包括两种情况：a ∥α和a 与α相交，∴②是假命题； 对于③，∵a ∥b ，直线b ?α，则只能说明a 和b 无公共点，但a 可能在平面α内，∴
a 不一定平行于α，∴③是假命题；
对于④，∵a ∥b ，b ?α，那么a ?α或a ∥α，∴a 与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题.
答案：1
2.如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆上一动点，PA ⊥圆O 所在的平面，且PA ＝AB ＝2，过点A 作平面α⊥PB ，分别交PB ，PC 于E ，F ，当三棱锥P -AEF 的体积最大时，tan ∠BAC ＝________．
解析：∵PB ⊥平面AEF ，∴AF ⊥PB .
又AC ⊥BC ，AP ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC ，∴AF ⊥BC ，∴AF ⊥平面PBC ，
∴∠AFE ＝90°.
设∠BAC ＝θ，在Rt△PAC 中，
AF ＝AP ·AC PC ＝2×2cos θ21＋cos 2 θ＝2cos θ1＋cos 2
θ
， 在Rt△PAB 中，AE ＝PE ＝2，∴EF ＝AE 2
－AF 2
， ∴V P -AEF ＝16AF ·EF ·PE ＝16AF ·2－AF 2
· 2
＝
26·2AF 2－AF 4＝26·－（AF 2－1）2
＋1≤26，∴当AF ＝1时，V P -AEF 取得最大值26
，此时AF ＝
2cos θ
1＋cos 2
θ
＝1，∴cos θ＝
13
，sin θ＝
2
3
，∴tan θ＝ 2. 答案： 2
3.如图所示，等腰△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于点B ，D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P -ACFE 的体积，则V (x )的最大值为________．
解析：因为PE ⊥EF ，PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ， 所以PE ⊥平面ABC . 因为CD ⊥AB ，FE ⊥AB ， 所以EF ∥CD ，所以EF CD ＝BE BD
， 即EF 3＝x
36，所以EF ＝x
6， 所以S △ABC ＝1
2
×66×3＝96，
S △BEF ＝12
×x ×
x
6
＝
612
x 2
， 所以V (x )＝13×? ????
96－612x 2x ＝63x ? ????9－112x 2(0＜x ＜36)．
因为V ′(x )＝
63? ??
??
9－14x 2， 所以当x ∈(0，6)时，V ′(x )＞0，V (x )单调递增； 当6＜x ＜36时，V ′(x )＜0，V (x )单调递减， 因此当x ＝6时，V (x )取得最大值12 6. 答案：12 6
4. 如图①所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图②所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结
AB ，设点F 是AB 的中点．
(1)求证：DE ⊥平面BCD ；
(2)若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B -DEG 的体积． 解：(1)证明：在题图①中，
因为AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，所以∠ACB ＝60°.
因为CD 为∠ACB 的平分线，所以∠BCD ＝∠ACD ＝30°，所以CD ＝2 3. 又因为CE ＝4，∠DCE ＝30°，所以DE ＝2. 则CD 2
＋DE 2
＝CE 2
，所以∠CDE ＝90°，即DE ⊥CD .
在题图②中，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE ?平面ACD ，所以
DE ⊥平面BCD .
(2)在题图②中，因为EF ∥平面BDG ，EF ?平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ，所以EF ∥BG . 因为点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点， 所以AE ＝EG ＝CG ＝2. 过点B 作BH ⊥CD 交于点H .
因为平面BCD ⊥平面ACD ，BH ?平面BCD ， 所以BH ⊥平面ACD . 由条件得BH ＝32
.
又S △DEG ＝13S △ACD ＝13×1
2
AC ·CD ·sin 30°＝3，
所以三棱锥B -DEG 的体积为V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝3
2.
5．(2020-2021·南昌模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．
(1)求证：平面CMN ∥平面PAB ； (2)求三棱锥P -ABM 的体积．
解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥PA ，又MN ?平面PAB ，PA ?平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .
在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ?平面PAB ，AC ?平面PAB ， ∴CN ∥平面PAB .
又CN ∩MN ＝N ，∴平面CMN ∥平面PAB . (2)由(1)知，平面CMN ∥平面PAB ，
∴点M 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3， ∴三棱锥P -ABM 的体积V ＝V M -PAB ＝V C -PAB ＝V P -ABC ＝13×12×1×3×2＝33
. 6．(2020-2021·南通等七市二模)图1是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶由四坡屋面构成，其中前、后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左、右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为
H ，M .已知HM ＝5 m ，BC ＝10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH ＝θ?
??
??
0<θ<π4
.
(1)求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；
(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k (k 为正常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k .现欲造一栋上、下总高度为6 m 的新农村别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？
解：(1)由题意知，FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 由HM ?平面ABCD ，得FH ⊥HM . 在Rt △FHM 中，HM ＝5，∠FMH ＝θ， 所以FM ＝5
cos θ
.
因此S △FBC ＝12×10×5cos θ＝25
cos θ.
从而屋顶面积S ＝2S △FBC ＋2S 梯形ABFE ＝2×
25cos θ＋2×25cos θ×2.2＝160
cos θ
，
所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式为S ＝160cos θ? ?
???0＜θ＜π4.
(2)在Rt △FHM 中，FH ＝5tan θ，所以下部主体高度h ＝6－5tan θ. 所以别墅总造价y ＝S ·k ＋h ·16k ＝160
cos θ
·k ＋(6－5tan θ)·16k ＝
160cos θ k －80sin θ
cos θ
k ＋96k ＝80k ·?
??
?
?2－sin θcos θ＋96k ，
记f (θ)＝2－sin θcos θ，0＜θ＜π
4，
则f ′(θ)＝2sin θ－1
cos 2
θ
， 令f ′(θ)＝0，得sin θ＝12，又0＜θ＜π4，所以θ＝π
6.
当θ变化时，f ′(θ)，f (θ)的变化情况如下表所示，
θ ? ??
??0，π6 π
6 ? ??
??π6，π4 f ′(θ) －
0 ＋
f (θ)
3
所以当θ＝π
6时，f (θ)取得最小值．
即当θ为π
6
时该别墅总造价最低．
江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)
计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1.
2003年江苏省高考物理试卷
2003年江苏省高考物理试卷 一、本题共10小题；每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题由多个选项正确．全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分． 1．(★★★★)下列说法中正确的是（） A．质子与中子的质量不等，但质量数相等 B．两个质子间，不管距离如何，核力总是大于库仑力 C．同一种元素的原子核有相同的质量数，但中子数可以不同 D．除万有引力外，两个中子之间不存在其它相互作用力 2．(★★★★)用某种单色光照射某种金属表面，发生光电效应，现将该单色光的光强减弱，则（） A．光电子的最大初动能不变 B．光电子的最大初动能减少 C．单位时间内产生的光电子数减少 D．可能不发生光电效应 3．(★★★★)如图，甲分子固定在坐标原点O，乙分子位于x轴上，甲分子 对乙分子的作用力与两分子间距离的关系如图中曲线所示，F＞0为斥力，F＜0为引力．a、b、c、d为x轴上四个特定的位置．现把乙分子从a处由静止释放，则（） A．乙分子从a到b做加速运动，由b到c做减速运动 B．乙分子由a到c做加速运动，到达c时速度最大 C．乙分子由a到b的过程中，两分子间的分子势能一直减少
D．乙分子由b到d的过程中，两分子间的分子势能一直增加 4．(★★★★)铀裂变的产物之一氪90（）是不稳定的，它经过一系列衰变最终成为稳 定的锆90（），这些衰变是（） A．1次α衰变，6次β衰变B．2次α衰变，2次β衰变 C．2次α衰变D．4次β衰变 5．(★★★)两块大小、形状完全相同的金属平板平行放置，构成以平行板电容器，与它相连接的电路如图所示，接通开关K，电源即给电容器充电（） A．保持K接通，减小两极板间的距离，则两极板间电场的电场强度减小 B．保持K接通，在两极板间插入一块介质，则极板上的电量增大 C．断开K，减小两极板间的距离，则两极板间的电势差减小 D．断开K，在两极板间插入一块介质，则极板上的电势差增大 6．(★★★★)一定质量的理想气体（） A．先等压膨胀，再等容降温，其温度必低于初始温度 B．先等温膨胀，再等压压缩，其体积必小于初始体积 C．先等容升温，再等压压缩，其温度有可能等于初始温度 D．先等容加热，再等压压缩，其压强必大于初始压强
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2003年高考.江苏卷.数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学（理工农医类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2 y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区 域（不包含边界）为（ ） （2）抛物线2 ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ） （A ） 8 1 （B ）－ 81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知== -∈x tg x x 2,5 4 cos ),0,2 (则π （ ） （A ） 24 7 （B ）－ 24 7 （C ） 7 24 （D ）－ 7 24 （4）设函数0021 ,1)(0 ,, 0,12)(x x f x x x x f x 则若>?????>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞ （C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞） （5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 [)( ),0,,AB AC OP OA P AB AC λλ=++ ∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的 （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心 （6）函数1 ln ,(1,)1 x y x x +=∈+∞ -的反函数为（ ） a (A) (B) (C) (D)
（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1 ,(0,)1x x e y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1 ,(,0)1 x x e y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） （A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）3 12 a （8）设2 0,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0, ,4P π?? ???? 则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ?????? （B ）10,2a ?? ???? （C ）0,2b a ?????? （D ）10,2b a ?-????? （9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为4 1的的等差数列， 则=-||n m （ ） （A ）1 （B ）4 3 （C ）21 （D ）83 （10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3 2 - ，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14 32 2=-y x （B ） 13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）1522 2 =-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和 AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214< 4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB＝OC，又∵∠ABC＝ π 4 ， ππ ∴∠OCB＝，∴∠BOC＝. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC， OC?平面ABC，∴PO⊥OC. 又∵PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O， ∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD， ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ? →·n ? 则 sin θ＝? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD ＝? ?＝ 02＋（－1）2＋（－1）2× 12＋12＋32 ? 11 1×0＋1×（－1）＋3×（－1） 设 OA ＝1，则 PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则 C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴→＝(0，－1，－1)，→＝(2，－2，0)，→＝(0，－3，1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z)， ??n·→＝0， ?2x －2y ＝0， ∴? ∴? ??n·→＝0， ?－3y ＋z ＝0， 令 y ＝1，则 x ＝1，z ＝3，∴n＝(1，1，3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ， ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示，在多面体 A B D DCBA 中，四边形 AA B B ，ADD A ，ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形，E 为 B D 的中点，过 A ，D ，E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明：EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC，且 A B ＝AB ＝DC ，所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1 2014江苏高考数学试题及参考答案 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1．已知集合{2,1,3,4}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =______． 【解析】{1,3}- 2．已知复数2(52i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的实部为______． 【解析】21 2 254i 20i 2120i z =+-=- 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是______． 【解析】5 4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______． 【解析】1 3 当且仅当两数为1,6或2,3时乘积为6，有2种情况， 从这4个数中任取两个数有24C 6=种，故概率为 1 3 5．已知函数cos y x =与sin(2)y x ?=+(0π)?≤<，它们的图象有一个横坐标为π 3 的交点，则? 的值是________． 【解析】π 6 由题意，ππ1sin(2)cos 332?? +==，∵0π?≤<，∴2π2π5π 333?≤+< 当且仅当2π5π36?+= ，π 6 ?=时等式成立 6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的 底部周长小于100cm ． (第6题) /cm (第3题) 【解析】24 ∵60(0.150.25)24?+= 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____． 【解析】4 设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得26 6622a a q a q =+，解得22q =，故4624a a q == 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且 1294 S S =， 则 1 2 V V 的值是________． 【解析】 32 设两圆柱底面半径为12,r r ，两圆柱的高为12,h h 则1232r r =，∵两圆柱侧面积相等，∴11222π12πr h r h =，1223h h =，则11122232 V S h V S h == 9．在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为_______． ∵圆心(2,1)-到直线230x y +-= 的距离d = = ∴直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++= 截得的弦长为 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范 围是_______． 【解析】?? ? ??? 若0m ≥，对称轴02m x =-≤，2(1)230f m m m +=+<，解得3 02 m -<<，舍去； 当0m <时，2 m m <- ，()f x 在[,1]x m m ∈+上的最大值只可能在x m =和1x m =+处取到 因此2 2 ()210 (1)230 f m m f m m m ?=- 年高考数学试题知识分类大全立体几何 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 2007年高考数学试题汇编 立体几何 一、选择题 1．（全国Ⅰ?理7题）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中， AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ D ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．5 4 2．（全国Ⅱ?理7题）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ A ） A ． 6 B ． 10 C ． 2 2 D ． 3 3．（北京理3题）平面α∥平面β的一个充分条件是（ D ） A ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ?，，∥ C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥ D ．存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥ 4．（安徽理2题）设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l α⊥”是l m ⊥且“l n ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也 不必要条件 5．（安徽理8题）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ） A ．)33arccos(- B ．)36arccos(- C ．)31arccos(- D ．)4 1arccos(- 6．（福建理8题）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ） A ．,,//,////m n m n ααββαβ??? B ． //,,//m n m n αβαβ??? C ．,//m m n n αα⊥⊥? D ． //,m n n m αα⊥?⊥ 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的 乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),它们的图象 有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图 所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别 为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆 4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x , 都有0)( 微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的． 1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值． 2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 （ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是 2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ； (2)若15360AC BC A AB ==∠=?，，,求二面角11B A C C --的余弦值. 2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面 平面，点为的中点． （1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小. 4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值. 5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点. （1）求证： //EF 平面PCD ； （2）若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值. 6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值. 2014年江苏省高考数学试题)答案解析 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析 数 学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． ． 1、已知集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,则B A = ▲ ． 【答案】}3,1{- 【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{- 【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。属于基础题，难度系数较小。 2、已知复数2 )25(i z -=(i 为虚数单位），则z 的实部 为 ▲ ． 【答案】21 【解析】根据复数的乘法运算公式， i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+??-=-=，实部为21，虚部为 -20。 漏”的列举出来：（1，2），（1，3）（1，6），（2，3），（2，6），（3，6），共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是（1，6）和（2，3），则概率为3 1。 【点评】本题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。本题属于容易题，但同时也易在列举时粗心、遗漏，需要引起考生的注意。 5、已知函数x y cos =与)0)(2sin(π??≤≤+=x y ，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则?的值是 ▲ ． 【答案】6 π 【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐 标为3π的交点，所以将3 π分别代入两个函数，得到 )3 2sin(213 cos ?π π +== ，通过正弦值为 2 1 ，解出 )(,26 32Z k k ∈+=+ππ ?π或)(,26 532Z k k ∈+=+ππ ?π，化简解得 ) (,22 Z k k ∈+- =ππ ?或)(,26 Z k k ∈+=ππ?，结合题目中],0[π?∈的 江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10. 答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 05 立体几何 （三）立体几何初步 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ? 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A．90πB．63π C．42πD．36π 【答案】B 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规 则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 考向二 球的组合体 样题4 （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4 【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示： 由题意可得：， 结合勾股定理，底面半径， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B. 【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 样题5 （2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12 O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则 1 2 V V 的值是 . 2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是． 9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 江苏南通市2018届高三数学第二次调研 试卷（含答案） 南通市2018届高三第二次调研测试 数学Ⅰ 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，则▲． 2．已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲． 4．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲． 5．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32cm2的概率为▲． 6．在中，已知，则的长为▲． 7．在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的 渐近线，且经过点 ，则双曲线的焦距为▲． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 ，，则的值为▲． 9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为▲． 10．已知均为正数，且，则的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等 式组表示的平面区域 内，则面积最大的圆的标准方程为▲． 12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 的取值范围是▲． 13．在平面四边形中，已知，则的值为▲． 14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值； （一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27- （二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1， DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .2018届高考数学(理)热点题型：立体几何(含答案解析)
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