高三数学理科联考试卷及答案

江西省重点中学盟校高三年级第二次联考数学（理）试题

主命题：景德镇一中 武智理 江国华 辅命题：九江同文中学 陈劲 新余四中 刘告根

第I 卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn ）图是（ ）

2．设复数1z bi =+()b R ∈且||2z =，则复数z 的虚部为（ ）

A

B

．

C ．1±

D

．3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠都有1212

()()

0f x f x x x ->-，则（ ）

A ．(3)(2)(1)f f f <-<

B ．(1)(2)(3)f f f <-<

C ．(2)(1)(3)f f f -<<

D ．(3)(1)(2)f f f <<-

4．已知向量(2,1)a =，10a b ?=，||52a b +=，则||b =（ ）

A

B

C ．5

D ．25

5．方程

22

1sin 2cos2cos2sin 2

x y -=+-所表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线

6．若某多面体的三视图（单位：cm ）如右图所示， 则此多面体的体积是（ ）

A ．

12

cm 3

B ．

23

cm 3

C ．

56

cm 3

D ．

78

cm 3

7．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”

共10000个号码。公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（ ） A ． B ．4096 C ．5904 D ．8320 8．对于使()f x M ≤恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界。若0a >，

0b >且1a b +=，则12

2a b

-

-的上确界为（ ） A ．9

B ．9-

C ．1

D ．4-

10… , ，从第

二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是（ ） A ．200920122? B ．2010

20112? C ．201120102? D ．2007

20102? 第II 卷 二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.) 11．已知等差数列{}n a 中，199,a a 是函数

2()1016f x x x =-+的两个零点，则5020801

2

a a a ++= .

12．设),(1230

301234:R y x y x x y x p ∈??

?

??≤+≥-≥-+，)0,,(:222>∈≤+r R y x r y x q 若p 是q 的充分 不必要条件，则r 的取值范围是 .

13．如图： 若3log 2a =，ln 2b =，12

5c -=，则输出的数为 . 14．给出以下三个命题：

（A ）已知(,4)P m 是椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>上的

一点，1F 、2F 是左、右两个焦点，若12PF F 的内切圆的

半径为32，则此椭圆的离心率45

e =；

（B ）过椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>上的任意一动点

M ，引圆222:O x y b +=的两条切线MA 、MB ，切点分别为A 、B ，若2

BMA π

∠=

，则椭

圆的离心率e 的取值范围为[

2

； （C ）已知1(2,0)F -、2(2,0)F ，P 是直线1x =-上一动点，则以1F 、2F 为焦点且过点P 的双曲线的离心率e 的取值范围是[2,)+∞。

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）。

15．选作题（请在下列2小题中选做一题，全做的只计算第（A ）题得分） （A ）在极坐标系中，曲线1:2sin C ρθ=，曲线2:3

C π

θ=

，若曲线C

1与C 2交于,A B 两点，

则线段AB 的长度为 。

（B ）若不等式|1||3||1|x x m ++-≥-恒成立，则的取值范围为 。

三、解答题（共75分）

U R ={1,0,1}M =-{}

2|0N x x x =+= 1 2 3 …

2009 2010 2011

3 5 … 4019 4021

8 …

8040

…

M 俯视图

侧视图

正视图

12

12

D

B

A B 1

A 116．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)1

n n P

S a P =

--(P 为常数，且0,1,)P P n N +≠≠∈，数列{}n b 是等比数列，且3n n n

S

b a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求P 的值.

17．（本小题满分12分）已知ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4

cos c A b

=且ABC ?的面积2S ≥，（1）求A 的取值范围；（2

）求函数2

2()cos ()242A A f A π=+.

18．（本小题满分12分）某汽车配件厂生产A 、B 两种型号的产品，A 型产品的一等品率为4

5

，二等品率为

15；B 型产品的一等品率为910，二等品率为1

10

。生产1件A 型产品，若是一等品则获得4万元利润，若是二等品则亏损1万元；生产1件B 型产品，若是一等品则获得6万元利润，

若是二等品则亏损2万元。设生产各件产品相互独立。

（1）求生产4件A 型产品所获得的利润不少于10万元的概率；

（2）记X (单位：万元)为生产1件A 型产品和1件B 型产品可获得的利润，求X 的分布列及期望值.

19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱

111

ABC A B C -中，

AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==.（1）求证：1AB //平面1BC D ；（2）若四棱锥11

B DAA

C -的体积为2，求二面角1C BC

D --的正切值.

20．（本小题满分13分）已知函数2

1()(39)(3)(3)2

f x a b ln x x b x =-++++-. （1）当0a >且1a ≠，(1)0f '=时，试用含a 的式子表示b ，并讨论()f x 的单调区间；

（2）若()f x '有零点，1

(3)6

f '≤，且对函数定义域内一切满足||2x ≥的实数x 有()0f x '≥.

①求()f x 的表达式；

②当(3,2)x ∈-时，求函数()y f x =的图象与函数()y f x '=的图象的交点坐标.

21．（本小题满分14分）已知抛物线2

:2C x my =(0)m >和直线:l y kx m =-没有公共点（其

中k 、m 为常数），动点P 是直线l 上的任意一点，过P 点引抛物线C 的两条切线，切点分别为M 、

N ，且直线MN 恒过点(,1)Q k .（1）求抛物线C 的方程；

（2）已知O 点为原点，连结PQ 交抛物线C 于A 、B 两点，证明：OAP OBQ OAQ OBP S S S S ?????=?.

江西省重点中学盟校高三年级第二次联考数学（理）试题

参考答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

B

D

B

C

B

D

C

B

D

A

第10题提示：第一行公差为1；第二行公差为2；……；第行公差为2，第行只有M ，发现规律，得2009

(12011)2

M =+?。或从第一行为1 , 2 , 3 及1 , 2 , 3 , 4 , 5的两个“小三角

形”结合选项归纳得结果为1

(31)2+?及3

(51)2+?猜一般为2

(1)2n n -+?。

二、填空题11、

25

2

12、),23[+∞ 13、ln 2 14、C 提示：（1）设M 是12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点，则：2121PF PF PI

F M F M IM

==（I 为内心），3

3248

IM PM ==， ∴

53PI IM =∵212122PF PF PI a F M F M IM c +==+ ∴63

105e ==（或以内心为顶点，面积分割，用定义可得结果）

（2）由2

BMA π∠=

得2OM b =，∵OM a ≤∴2a b ≥， ∴222

2()a a c ≥-， ∴2[,1)2e ∈ （3）P 在x 轴上时，双曲线上点到左焦点距离最小，∴1c a -≥，∴21a -≥，∴1a ≤

111c a e a a a

+=≥=+ 又1a ≤，∴2e ≥

15、（A ）3 （B ）[3,5]m ∈- 三、解答题

16．解：（1）1n =时，1a P =；2n ≥时，1n n n a S S -=-，得

1

n

n a P a -=∴n n a P = …4分 （2）1n =时，111334S P b a P =+=+=；2n =时，222134P P b P P +=+=+ 3n =时，3211

4b P P

=++…8分

∴22111(4)4(4)P P P +=++ ∴3

4

P = ……12分

17．解：（1）1sin 2S bc A =；4cos bc A =，则1tan 12A S =≥ 42A ππ

∴≤<

(2)1311

()cos sin sin()22262

f A A A A π=+

+=++………………9分 521263A πππ≤+<

()f A ∴无最小值，3A π=时()f A 取得最大值为3

2

……12分 18．解：（1）由题意得一等品件数为3或4 ………2分

334

4440.80.20.80.8192P C C ∴=?+=

即生产4件A 型产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192…5分 （2）由题意X 的所有可能取值为10,5,2,3-且

(10)0.80.90.72P X ==?=; (5)0.20.90.18P X ==?=

(2)0.80.10.08P X ==?= (3)0.20.10.02P X =-=?= ………………9分 所以，X X -3 2 5

10

P

0.02

0.08

0.18 0.72

EX =19．

2

2

2

……4分

……8分

20．解：（1）2

()3x bx a f x x ++'=

+(3)x >-， 由(1)01f b a '=?=--，故(1)()

()3

x x a f x x --'=

+ 01a <<时 由()0f x '> 得()f x 的单调增区间是(3,)a -，(1,)+∞ 由()0f x '< 得()f x 单调减区间是(,1)a

同理1a >时，()f x 的单调增区间(3,1)-，(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ……5分

（2）①由（1）及1

(3)386

f a b '≤

?≤-- （i ） 又由||2x ≥ (3)x >-有()0f x '≥知()f x '的零点在[2,2]-内，设2

()g x x bx a =++，

则(2)042(2)02444222

g a b g a b b b ?

?≥≥--???

-≥?≥-????-≤≤??-≤-≤?，结合（i ）解得4b =-，4a = ∴21

()25ln(3)72

f x x x x =++-

②又设()()()x f x f x ?'=-，先求()x ?与x 轴在(3,2)-的交点∵22

(2)25

()13(3)x x x x ?-'=

+-++， 由32x -<< 得 2

0(3)25x <+<；故()0x ?'>，()x ?在(3,2)-单调递增，又(2)16160?-=-=，故()x ?与x 轴有唯一交点(2,0)-。即()f x 与()f x '的图象在区间(3,2)-上的唯一交点坐标为(2,16)-为所求

21．解：（1）如图，设11(,)M x y ，22(,)N x y 。 由22x y m =，得x

y m '= ∴PM 的斜率为1x m

PM 的方程为11x y x y m =- 同理得22:x PN y x y m =-

设00(,)P x y 代入上式得10012002x y x y m

x y x y m ?

=-????=-??

，即11(,)x y ，22(,)x y 满足方程 00x

y x y m =-； 故MN 的方程为0000()x x y x y x kx m m m

=-=--………4分 上式可化为0()x

y m x mk m

-=-，过交点(,)mk m

∵MN 过交点(,1)Q k ， ∴mk k =，1m =。∴C 的方程为2

2x y = ………6分

（2）要证OAP OBQ OAQ OBP

S S S S ?????=?，即证||||

||||

PA QA PB QB =； 设33(,)A x y ，44(,)B x y 则303340340

4044042()()2||||||||()()

x x k x x x k x x x kx PA QA PB QB x x x k x x x k ---+++-=-=---- ……（Ⅰ） ∵00(,)P x y ，(,1)Q k ∴PQ 直线方程为0

01

1()y y x k x k --=--，与22x y =联立化简20000

00102x y y k x x x k x k

---+=--； ∴003402y k x x x x k -=?- ……① 03402(1)y x x x k -+=- ……② …10分

把①②代入（Ⅰ）式中，则分子00034034000004()2(1)

2()()2()2y k x y x x k x x x kx k x kx x k x k

---+++=

-++-- 22000000042(1)()224y k y k x kx k x x x k

--++--=

-…（Ⅱ）又P 点在直线1y kx =-上，∴001y kx =-代入Ⅱ中得： ∴||||||||PA QA PB QB -22

22000000

022*******kx k kx x x k k x k x x k

--+-++-==- 故得证……14分 11(,)M x y

22(,)N x y 00(,)

P x y

x y

在Rt

DFG ?中，

1

tan 22

2

DF DGF GF ∠=

== ∴二面角1C BC D --的正切值为2

则(0,2,0)B ，1(2,0,0)C ，(0,2,2)A ，(1,D

∴1(2,2,0)BC =-，(1,0,1)BD = 设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =， 由10n BC ?=及0n BD ?=

得220

0x y x z -=??+=?

，取1x =

∴(1,1,1)n =-

又平面1BC C 的一个法向量(0,0,1)m =- ∴3

cos ,3

m n <>=

∵所求二面角的平面角为锐角 ∴二面角1C BC D --2

……12分

……12分