广义预测控制原理-江苏科技大学

广义预测控制理论

1 引言

预测控制思想主要是在70年代形成的，进人80年代后，随着模型算法控制（MAC)的问世，相继出现了动态矩阵控制(DMC)、扩展时域预测自适应控制(EPSAC)等结构各异的预测控制算法，这些算法分别基于有限脉冲响应和有限阶跃响应模型，算法简单，容易实现，1984年，Clarke 及其合作者在上述算法的基础上，提出了广义预测控制（GPC ）思想及基本方法，GPC 基于参数模型，引入了不相等的预测水平和控制水平，使系统设计更灵活。由于广义预测控制具有预测模型、滚动优化和反馈校正三个基本特征，因而具有优良的控制性能和鲁棒性，被认为是具有代表性的预测控制算法之一并被广泛应用于过程工业中。近年来，广义预测控制吸引了众多学者对其进行研究国际上，各大控制会议和杂志对它也非常关注，近10年来的美国控制会议(ACC)、IEEE 决策与控制会议（CDC)和国际自动控制联合会(IFAC)世界大会几乎每年都有关于预侧控制的专题分组及以预侧控制为主题的工作讨论会，1995年在韩国又召开了关于预测控制的国际讨论会，在广义预测控制方面也发表了不少综述文献和著作。

2 广义预测控制

2.1 广义预测控制的基本算法

GPC 采用如下CARIMA 模型来描述系统

?+-=---/)()z ()1()z ()()z (111t C t u B t y A ξ )1.1.2(

其中)z (),()(111---C z B z A ，分别是阶数位的c b a n n ,,n 的1z -的多项式，

)z (1-A 和

)z (1-C 是首一多项式，}t {)}({)}({u ）（，，ξt y t 分别表示系统的输入、输出和白噪声序列，1

z 1--=?。广义预测控制使用如下的二次目标函数

})]1([)]()([{12k 2

21∑∑==-+?++-+=M N k N N k t u k t k t y E J λω )2.1.2( 其中，21,N N 分别为最小、最大预测长度，M N 为控制长度，满足关系221,1N N N N M ≤<≤且当k>2N 时看，假定0)1(=-+?k t u ，λ为控制加权序列，

)t k +（ω是经柔化后的参考值，在GPC 中，不要求对象输出直接跟踪设定值ω，只要求y(t)沿着参考轨迹到达设定值ω。

极小化目标函数J ，并根据滚动优化的原则，得控制律为

)()1()(u .

f g t u t T -+-=-ω )3.1.2( 其中T -g 为一行向量,.

ω为一参考序列向量,f 为由已知输入和输出组成的数据向量。

GPC 控制方法的具体推导应合理选择GPC 中的M N N N ,,21以及λ，可使GPC 取得较好的控制性能，其它的一些预测控制的方法可以认为是GPC 的特殊情况，例如：当0,121====λN N N N M ，时，相当于Richalet 提出的IDCOM ，当1,21==M N N N 时相当于性能指标中不加权的GMV 控制算法。

2.2 广义预测控制的预测模型 在GPC 中，采用最小方差控制中所用的受控自回归积分滑动平均模型（CARIMA )来描述受到随机干扰的对象：

?+=----)()()()()()(111k q C k u q q B k y q A d

ξ )1.2.2( 其中：a a n n q a q a q A ---+++=Λ1111)(

b b n n q b q b b q B +++=--Λ1101)(

c c n n q c q c c q C +++=--Λ1101)(

1-q 是后移算子；)1()(1-=-k y q k y ；11--=?q 为差分算子；)(k ξ是一个独立的

随机噪声序列，为研究方便，如若假设1=d ，则模型可简化为：

?+-=---)()()1()()()(11

1k q C k u q B k y q A ξ )2.2.2( 则j k +时刻系统模型为：

?++-+=+---)()()1()()()(11

1j k q C j k u q B j k y q A ξ )3.2.2(

因为)(j k y +中含有未知信息，因此引入Diophantine 方程获得系统在j k +时刻的输出预测值。Diophantine 方程：

)()()(1111----+?=q F q q E q A j j j )4.2.2( 其中：)1(1,11,0,1)(-----+++=j j j j j j q e q e e q E Λ

a a n n j j j j q f q f f q F ---+++=,11,0,1)(Λ

j E 和j F 由)(1-q A 和预测长度j 唯一确定，由)3.1.3.1(、)4.1.3.1(可化简得到如下方程： )()()1()(j k E k y F j k u BE j k y j j j +++-+?=+ξ，从而得到GPC 预测模型为：

)()1()(k y F j k u G j k y j j M +-+?=+ )5.2.2( 其中

)1(1,11,0,)

1(-+--+--+++=?-==j n j n j j j j j j j b b q g q g g A F q B BE G Λ )6.2.2(

因此，对于未来j k +时刻的输出估计只使用k 时刻之前的输出以及我们根据最优性能指标确定的输入来确定即可。

式)2.2.2(可简化为：

)()()1()()()(111k q C k u q B k y q A ξ---+-?= )7.2.2( 其中 a a n n q a q a q q A q A -----+++=-=Λ111111)1)(()(

a i i i n n a a n i a a a a a a n n a a ≤≤-=-==+=-1,,,1,110，则k 时刻对j k +时刻的误差可记为：

1),()()(~≥+-+=+j k j k y j k y k j k y )8.2.2( 使预测误差的方差：})(~{2k j k y E J += )9.2.2( 最小的j 步最优预测)(*k j k y +由下列差分方程给出：

)1()()()()()(11*1-+?+=+---j k u q G k y q F k j k y q C j j )10.2.2( 此时最优预测误差表示为：)()()(~1*j k q E k j k y j +=+-ξ )11.2.2(

假设1)(1=-q C 此时式)10.2.2(可简化为：

211

01*

),1()()()(N j N j k u q g j k y k j k y j i i i ≤≤-+?++=+∑-=- )12.2.2( 其中，)]1()()([)()()(10111-+?-+=+∑-=---j k u q g q G k y q F j k y j i i i

j j

式)12.2.2(中的)(1j k y +由过去的控制输入和输出决定，而)

1()(1

-+?∑-=-j k u q g j i i i 由现在和未来的控制输入决定。式)12.2.2(用向量和矩阵的形式表示是： u G y y ?+=1* )13.2.2( 其中，T k N k y k N k y k N k y y )](),1(),([2*1*1**++++=Λ

T N k y N k y N k y y )](),1(),([2111111++++=Λ

T u N k u k u k u u )]1(),1(),([-+?+??=?Λ

u

u N N N N N N N N N N N g g g g g g g g g g ?+-------??????????????=)1(210010*********

11000ΛΛM M M O ΛΛΛΛΛG 其中21,N N 分别称为最小和最大预测步长，u N 为控制步程)(2N N u <，G 中参数均为被控对象开环阶跃响应系数。

根据最优预报可知：

)()()()(1*j k q E k j k y j k y +++=+-ξ )14.2.2( )()}({*k j k y j k y E +=+ )15.2.2( 在GPC 中，为了将输出值)(k y 按一定响应速度平滑地过渡到由参数轨迹确定的期望值w ，参考轨迹通常可取为如下的一阶滞后（一阶平滑）模型： )()(k y k y r = )16.2.2( 2,,2,1)1()1()(N j w j k y j k y r r Λ=-+-+=+αα )17.2.2(

其中，]1,0[∈α为输出柔化系数。

2.3 滚动优化

GPC 采用的是对输出误差和控制增量加权的二次型性能指标：

})(){(u u y y y y E J T r T r ??+--=λ )1.3.2(

其中，

T r r r r N k y N k y N k y y )](),1(),([211++++=Λ )2.3.2( T N k y N k y N k y y )](),1(),([211++++=Λ )3.3.2( λ为控制增量加权系数，将式)1.2.3.1(对u ?求极值，可得最优控制律为： )()(11y y G I G G u r T T -+=?-λ )4.3.2( 则当前的控制作用为：

)()](0,,0,1[)1()(11y y G I G G k u k u r T T -++-=-λΛ )5.3.2(

2.4 在线辨识与反馈校正

GPC 控制算法只使用一个控制模型，通过在线反馈校正来保证其准确的预测。将对象)7.2.2(改写为：

)()1()()()(~)(111k k u q B k y q A k y ξ+-?+-=-- )1.4.2( 其中，1)()(111-=--q A q A 则有，

)()()(k k k y T ξθ?+= )2.4.2( 其中，T b a n k u k u n k y k y k )]1()1()()1([)(--?-?----=ΛM

Λ? T n n b a b b a a ][01ΛM Λ=θ

可用带遗忘因子的递推最小二乘法（RLS ）来估计模型参数θ值：

)]1(?)()()[()1(?)(?--+-=k k k y k K k k θ?θθ

τ )3.4.2( 1])()()()[()1()(-+-=μ???τk k P k k k P k K )4.4.2(

)1()]()([1

)(--=k P k k K I k P τ?μ )5.4.2( 其中，10≤<μ是遗忘因子，一般可取195.0≤<μ；)(k K 是权因子，)(k P 为正定协方差阵。控制启动时需要设置参数向量θ和协方差阵P 的初值，通常设定方法为：

???

??==为充分小的实向量

，为充分大的实数εεθαα)0(?,)0(2I P )6.4.2( 总结GPC 算法计算机实现步骤如下：

1）根据被控对象及其控制要求给出αλ和,,,,,21u b a N N N n n ；

2）设置初值）（和0?)0(θP ，输入初始数据；

3）读取)(k y ，用带遗忘因子的RLS 递推估计θ

?； 4）用辨识得到的参数代替式)7.2.2(中的B A 和，递推求解Diophantine 方程得到j G F j 和；

5）构造向量G y y r 和矩阵1,，并计算1)(-+I G G T λ；

6）计算T T G I G G 1)(-+λ的第一行；

7）按式)5.3.2(计算并施加控制)(k u ；

8）返回3）继续循环。