练习题二——扭转
第三章 扭转练习题
一 选择题
1、等截面圆轴上装有四个皮带轮， 如何安排合理，有四种答案（ ） A 、 将C 轮与D 轮对调 B 、 将B 轮与D 轮对调 C 、 将B 轮与A 轮对调
D 、 将B 轮与D 轮对调，然后再将B 轮与C 轮对调 2、一内外径之比为d
D
α=
的空心圆轴，当两端承受扭转力偶矩时，横截面上的最大切应力为τ，则内圆轴处的切应力为（ ）
A 、 τ
B 、 ατ
C 、 ()31ατ-
D 、 ()41ατ- 3、轴扭转切应力公式p
T I ρρ
τ=
适用于如下哪种截面轴就，正确的答案是（ ） A 、矩形截面轴； B 、椭圆截面轴； C 、圆形截面轴； D 、 各种形状截面轴 4、公式p
T I ρρ
τ= 对图示四种截面杆受扭时，适用的截面正确的是 （ ）
5、左端固定的直杆受扭转力偶作用，如图所示。在截面1-1和2-2处扭矩为 。 A 、 T 1-1=12.5kN.m ，T 2-2= -3kN.m
B 、 T 1-1=-2.5kN.m ，T 2-2= -3kN.m
C 、 T 1-1= -2.5kN.m ，T 2-2=3kN.m
D 、 T 1-1=2.5kN.m ， T 2-2= -3kN.m
6、空心圆轴受扭转力偶作用，横截面上的扭矩为T n ，下列四种（横截面上）沿径向的应力分布图中哪个是正确的。 （ ）
7、图（1）、（2）所示两圆轴的材料、 长度均相同，扭转时两轴表面上 一点处的切应变相等γ1=γ2，
则M e1与M e2的关系正确的是（ ）
A 、 21e e M M =
B 、 212e e M M =
C 、 214e e M M =
D 、 218e e M M = 8、一内、外直径分布为d 、D 的空心圆轴，其抗扭截面系数正确的是（ ） A 、 3
3
16
16
t D d W ππ=
-
； B 、3
3
32
32
t D d W ππ=
-
C 、 ()4
4
16t W D
d
D
π
=
- ； D 、 4
4
32
32
t
D d W
ππ=
-
9、受扭圆轴，当横截面上的扭矩T 不变，而直径减小一半时，该横截面的最大切应力与原来的最大切应力之比正确的是（ ）
A 、 2倍
B 、 4倍
C 、 6倍
D 、 8倍 二、填空题
1、当轴传递的功率一定时，轴的转速愈小，则轴受到的外力偶矩愈 ，当外力偶矩一定时，传递的功率愈大，则轴的转速愈 。
2、求图示圆截面轴指定截面上的扭矩： T 1= ； T 2=
(B)
(C)
(D)
3、剪切胡克定理可表示为 ； 该定律的应用条件是 。
4、一受扭圆轴，横截面上的 最大切应力max 40MPa τ=，
则横截面上a 点的切应力a τ= 5、图示两根圆轴横截面上的最大切应力相同， 则两轴的直径比
1
2
d d =
6、阶梯轴尺寸及受力如图所示， AB 段的最大切应力max1τ与BC 段的 最大切应力max 2τ之比
max1
max 2
ττ= 7、图示阶梯形圆轴的最大切应力 发生在 段 点处。
8、阶梯形圆轴，其最大切应力等于
9、切应力互等定理可表述为
10、外直径为125mm ，内直径为25mm 的空心圆轴，已知其最外缘的切应力为100MPa ，则最内缘的切应力为
11、直径为d ，受扭矩T 作用的圆轴，沿水平直径剖开，纵截面上a 点至轴线的垂直距离为4
d ，则a 点的切应力a τ= 12、图中12
e e e M M M ==， 试问当22e e M M =，1e e M M =时， 扭转角AC ?为原来的
13、一直径为D 的实心轴，另一内外直径之比
2
2
0.8d D =的空心轴，两轴的长度、材料、扭矩和单位长度扭转角分别相同，则空心轴与实心轴的重量之比2
1
W W
=
14、图示圆轴受扭，若使两端面间 相对扭转角为零，则
1
2
l l = 15、图示圆轴受扭，其A 、C 两截面间的 相对扭转角AC
?=
三、计算题
1、相同材料的一根实心圆轴和一根空心圆轴，按传递相同的扭矩和具有相同的最大切应力来进行设计，已知空心圆轴的
0.8d
D
=， 求⑴空心圆轴与实心圆轴的重量比；⑵空心圆轴的外径与实心圆轴的直径比
2、图示圆轴，已知2
5
eA eB M M =
，400l mm =， 80G GPa =，20d mm =，40D mm =，
34.7810AB rad ?-=?，轴的[]50MPa τ=。 ⑴ 画出扭矩图； ⑵校核轴的强度。
第三章 扭转练习题参考答案
一 选择题
1、A
2、B
3、C
4、A
5、D
6、C
7、D
8、C
9、D 二、填空题
1、大 高
2、800N.m -600N.m
3、G τγ= 切应力不超过材料的剪切比例极限，即：p ττ≤
4、33.3MPa
5、1.442
6、3/8
7、BC 段横截面外缘各点处或BC 段圆轴表面上各点处
8、
9、
10、20MPa 11、
3
8T
d
π 12、4/3 13、0.47 14、2/3 15、0 三、计算题 1、
2、
第六章 圆轴扭转练习带答案
第六章圆轴的扭转 一、填空题 1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。 2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。 3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的_______。 4、圆轴扭转时，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成___________。 5、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。 6、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其切应力必然_________。 7、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。 8、圆轴扭转时，横截面上切应力的大小沿半径呈______规律分布。 10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的切应力应垂直于_________。 11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的切应力大小是_______的。 12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。 13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。 16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是________同的，扭转角是_______同的。 17、产生扭转变形的实心圆轴，若使直径增大一倍，而其他条件不改变，则扭转角将变为原来的_________。 18、两材料、重量及长度均相同的实心轴和空心轴，从利于提高抗扭刚度的角度考虑，以采用_________轴更为合理些。 二、判断题 1、只要在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反的外力偶，杆件就会发生扭转变形。（） 2、一转动圆轴，所受外力偶的方向不一定与轴的转向一致。（） 3、传递一定功率的传动轴的转速越高，其横截面上所受的扭矩也就越大。（）
DS第二章-课后习题答案
第二章线性表 2.1 填空题 (1)一半插入或删除的位置 (2)静态动态 (3)一定不一定 (4)头指针头结点的next 前一个元素的next 2.2 选择题 (1)A (2) DA GKHDA EL IAF IFA(IDA) (3)D (4)D (5) D 2.3 头指针：在带头结点的链表中，头指针存储头结点的地址；在不带头结点的链表中，头指针存放第一个元素结点的地址； 头结点：为了操作方便，在第一个元素结点前申请一个结点，其指针域存放第一个元素结点的地址，数据域可以什么都不放； 首元素结点：第一个元素的结点。 2.4已知顺序表L递增有序，写一算法，将X插入到线性表的适当位置上，以保持线性表的有序性。 void InserList(SeqList *L,ElemType x) { int i=L->last; if(L->last>=MAXSIZE-1) return FALSE; //顺序表已满 while(i>=0 && L->elem[i]>x) { L->elem[i+1]=L->elem[i]; i--; } L->elem[i+1]=x; L->last++; } 2.5 删除顺序表中从i开始的k个元素 int DelList(SeqList *L,int i,int k) { int j,l; if(i<=0||i>L->last) {printf("The Initial Position is Error!"); return 0;} if(k<=0) return 1; /*No Need to Delete*/ if(i+k-2>=L->last) L->last=L->last-k; /*modify the length*/
扭转习题解答
第7章圆轴扭转 主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图； （2）圆轴扭转时的应力和强度计算； （3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。 圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图 1.已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。 解：截面上与T对应的切应力分布图如下： 2.用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。 图7-2 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-311。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+?-+-T m kN ）（，可得m kN T ?=-322。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?=-133。 b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。 取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-511。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+?+-T m kN ）（ ，可得m kN T ?-=-1022。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+?+-T m kN ）（ ，可得m kN T ?-=-633。 3. 作下图各杆的扭矩图。 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?=-411。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-222。作出扭矩图。 a) b) 图7-3 b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算 扭矩（见图7-3b ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。作出扭矩图。 圆轴扭转时的应力和强度计算 4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小； （2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。 解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩： m N m N n P T ?=??==716100 5.795509550 （1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：
工程力学A-参考习题之扭转解题指导
剪切和扭转 1一直径mm 40=d 的螺栓受拉力kN 100P =F 。已知许用剪切应力MPa 60][=τ，求螺栓头 所需的高度h 。 解题思路： （1）剪切面是直径为d ，高为h 的圆柱面； （2）应用剪切实用计算的强度条件（8-4）求螺栓头所需的高度h 。 答案：mm 3.13≥h 2在测定材料剪切强度的剪切器内装一圆试件。试件的直径mm 15=d ，当压力kN 5.31=F 时，试件被剪断。试求材料的名义剪切强度极限。若取许用剪切应力MPa 80][=τ，试问安全系数等于多大？ 解题思路： （1）材料的名义剪切强度极限是指试件被剪断时剪切面上的平均切应力； （2）圆试件有2个剪切面； （3）安全系数等于名义剪切强度极限除以许用切应力。 答案：MPa 2.89b =τ，1.1=n 3用两块盖板和铆钉把两块主板对接起来，已知kN 300P =F ，主板厚mm 10=t ，每块盖板 厚度m m 61=t ，材料的许用剪切应力MPa 100][=τ，许用挤压应力MPa 280][bs =σ。若铆钉的直径mm 17=d ，求每边所需的铆钉数。
解题思路： （1）每个铆钉受力相等； （2）每个铆钉都有2个剪切面，由剪切实用计算的强度条件（8-4）求每边所需的铆钉数； （3）分别写出主板和盖板的挤压力和计算挤压面面积，由挤压强度条件（8-6）对主板和盖 板进行挤压强度计算，求每边所需的铆钉数； （4）综合剪切实用计算和挤压强度的结果，确定每边所需的铆钉数。 答案：7=n 4图示的铆接件中，已知铆钉直径mm 19=d ，钢板宽度mm 127=b ，厚度mm 7.12=δ， 铆钉的许用剪切应力MPa 137][=τ，许用挤压应力MPa 314][bs =σ；钢板的拉伸许用应力MPa 98][=σ，许用挤压应力MPa 196][bs =σ。假设四个铆钉所受的剪力相等，试求此联接件的许可载荷。 解题思路： （1）四个铆钉所受的剪力相等； （2）由剪切实用计算的强度条件（8-4）求许可荷载； （3）由挤压强度条件（8-6）求许可荷载； （4）分析上板或下板的轴力变化及各横截面面积的情况，确定拉伸可能危险截面，由拉伸 强度条件（7-14）求许可荷载； （5）综合以上的结果，确定许可荷载。 答案：kN 134][P =F 5实心圆轴的直径mm 100=d ，长m 1=l ，两端受扭转外力偶矩m kN 14e ?=M 作用，设材 料的切变模量GPa 80=G ，试求： （1）最大切应力max τ 及两端截面间的扭转角； （2）图示截面上A ，B ，C 三点处切应力的数值及方向；
第二章课后习题与答案要点
第2章人工智能与知识工程初步 1. 设有如下语句，请用相应的谓词公式分别把他们表示出来：s (1)有的人喜欢梅花，有的人喜欢菊花，有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。 解：定义谓词d P(x)：x是人 L(x,y)：x喜欢y 其中，y的个体域是{梅花，菊花}。 将知识用谓词表示为： (?x )(P(x)→L(x, 梅花)∨L(x, 菊花)∨L(x, 梅花)∧L(x, 菊花)) (2) 有人每天下午都去打篮球。 解：定义谓词 P(x)：x是人 B(x)：x打篮球 A(y)：y是下午 将知识用谓词表示为：a (?x )(?y) (A(y)→B(x)∧P(x)) (3)新型计算机速度又快，存储容量又大。 解：定义谓词 NC(x)：x是新型计算机 F(x)：x速度快 B(x)：x容量大 将知识用谓词表示为： (?x) (NC(x)→F(x)∧B(x)) (4) 不是每个计算机系的学生都喜欢在计算机上编程序。 解：定义谓词 S(x)：x是计算机系学生 L(x, pragramming)：x喜欢编程序 U(x,computer)：x使用计算机 将知识用谓词表示为： ?(?x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer)) (5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。 解：定义谓词 P(x)：x是人 L(x, y)：x喜欢y 将知识用谓词表示为： (?x) (P(x)∧L(x,pragramming)→L(x, computer))
2 请对下列命题分别写出它们的语义网络： (1) 每个学生都有一台计算机。 解： (2) 高老师从3月到7月给计算机系学生讲《计算机网络》课。 解： (3) 学习班的学员有男、有女、有研究生、有本科生。 解：参例2.14 (4) 创新公司在科海大街56号，刘洋是该公司的经理，他32岁、硕士学位。 解：参例2.10 (5) 红队与蓝队进行足球比赛，最后以3：2的比分结束。 解：
扭转习题解答
扭转习题解答 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第7章 圆轴扭转 主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图； （2）圆轴扭转时的应力和强度计算； （3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。 圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图 1. 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的切应力分布图。 解：截面上与T 对应的切应力分布图如下： 2. 用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。 图7-2 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a ）。 取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-311。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程 062122=+?-+-T m kN ）（，可得m kN T ?=-322。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?=-133。 b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。 取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-511。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程 05522=+?+-T m kN ）（，可得m kN T ?-=-1022。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程 03333=+?+-T m kN ）（，可得m kN T ?-=-633。 3. 作下图各杆的扭矩图。 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?=-411。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-222。作出扭矩图。 a) b) 图7-3 b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算扭矩（见图7-3b ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。作出扭矩图。 圆轴扭转时的应力和强度计算 4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小； （2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。 解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩： （1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式： 解得 mm m T d 0.4510 40716][36163161=??=?≥ππτ （2）采用内外径比值α=1/2的空心轴时，外径D 2的大小应满足下式：
工程热力学思考题答案,第二章
第二章热力学第一定律 1.热力学能就是热量吗? 答：不是，热是能量的一种，而热力学能包括内位能，内动能，化学能，原子能，电磁能，热力学能是状态参数，与过程无关，热与过程有关。 2.若在研究飞机发动机中工质的能量转换规律时把参考坐标建在飞 机上，工质的总能中是否包括外部储能？在以氢氧为燃料的电池系统中系统的热力学能是否包括氢氧的化学能？ 答：不包括，相对飞机坐标系，外部储能为0； 以氢氧为燃料的电池系统的热力学能要包括化学能，因为系统中有化学反应 3.能否由基本能量方程得出功、热量和热力学能是相同性质的参数 结论？ 答：不会，Q U W ?为热力学能的差值，非热力学能，热=?+可知，公式中的U 力学能为状态参数，与过程无关。 4.刚性绝热容器中间用隔板分为两部分，A 中存有高压空气，B 中保持真空，如图2-1 所示。若将隔板抽去，分析容器中空气的热力学能如何变化？若隔板上有一小孔，气体泄漏入 B 中，分析A、B 两部分压力相同时A、B 两部分气体的热力学能如何变化？ 答：将隔板抽去，根据热力学第一定律q u w w=所以容 =?+其中0 q=0 器中空气的热力学能不变。若有一小孔，以B 为热力系进行分析
2 1 2 2 222111()()22f f cv j C C Q dE h gz m h gz m W δδδδ=+++-+++ 只有流体的流入没有流出，0,0j Q W δδ==忽略动能、势能c v l l d E h m δ=l l dU h m δ=l l U h m δ?=。B 部分气体的热力学能增量为U ? ，A 部分气体的热力学能减少量为U ? 5.热力学第一定律能量方程式是否可以写成下列两种形式： 212121()()q q u u w w -=-+-，q u w =?+的形式，为什么？ 答:热力学第一定律能量方程式不可以写成题中所述的形式。对于 q u w =?+只有在特殊情况下，功w 可以写成pv 。热力学第一定律是一个针对任何情况的定律，不具有w =pv 这样一个必需条件。对于公式212121()()q q u u w w -=-+-，功和热量不是状态参数所以不能写成该式的形式。 6.热力学第一定律解析式有时写成下列两种形式： q u w =?+ 2 1 q u pdV =?+? 分别讨论上述两式的适用范围. 答： q u w =?+适用于任何过程，任何工质。 2 1 q u pdV =?+? 可逆过程，任何工质 7.为什么推动功出现在开口系能量方程式中，而不出现在闭口系能量
第三章扭转(习题解答)
3-1ab 作图求各杆的扭矩图 解：（1）轴的扭矩图分成二段，整个轴上无均布荷载扭矩图为间断水平线。 左段：m kN ?=6左T （背正） 右段： m kN ?-=-=4106右T （指负背正），或m kN ?-=4右T （指负） （2）画扭矩图如图题3-1(a)所示。从左至右，扭矩图的突变与外力偶矩转向一至，突变之值为外力偶的大小（从前往后看） m 10kN 4kN m T (b ) (a 题3-1（a ） (b) T 图 （kN m ）4 + 题3-1（b ） 2m 2m 解：（1）轴的扭矩图分成二段，轴上的右段有均布荷载，该段扭矩图向下倾斜线段。左段无均布荷载，扭矩图为水平线段。 左段：m kN ?=?=422AB T 右段： 0422=?=?=C B T T m kN （2）画扭矩图如图题3-1(b)所示。扭矩图集中力偶处发生突变，而有均布力偶段扭矩图呈线性。显而易见，A 端有大小为m kN ?4，力偶矩矢向左的外力偶。 3-2图示钢质圆轴，m kN m m l mm D ?===15,2.1,100。试求：（1）n-n 截面上A 、B 、C 三点的剪应力数值及其方向（保留n-n 截面左段）；（2）最大剪应力m ax τ；（3）两端截面的相对扭转角。 解：（1）圆轴受力偶作用面与轴线垂直的一对外力偶作用，发生扭转变形。由于扭矩在整个轴内无变化，可不画扭矩图。 （2）扭转圆轴上各点的剪应力应在各自的横截面内，垂直于所在的“半径”，与扭矩的转向一致，如图3-2(c)所示。 由求扭转剪应力的公式知： MPa Pa D D T I T P B A 43.7621 .032 1 .014.310152324 34=???=?=?==πρττ MPa Pa D D T I T P C 21.384 1 .032 1.014.31014432434=???=?=?=πρτ
材料力学习题02扭转.doc
扭转 基本概念题 一、选择题(如果题目有 5 个备选答案，选出2～5 个正确答案，有 4 个备选答案选出一个正确答案。) 1. 图示传动轴，主动轮 A 的输入功率为P A = 50 kW ，从动轮B，C，D，E 的输出功率分别为P B = 20 kW ，P C = 5 kW ，P D = 10 kW ，P E = 15 kW 。则轴上最大扭矩T出现在 max ( )。 A．BA 段B．AC 段C．CD 段D．DE 段 题1 图 2. 图示单元体的应力状态中属正确的纯剪切状态的是（）。 题2 图 3. 上题图示单元体的应力状态中属正确的是（）。 4. 下列关于剪应力互等定理的论述中正确的是（）。 A．剪应力互等定理是由平衡 B．剪应力互等定理仅适用于纯剪切的情况 C．剪应力互等定理适用于各种受力杆件 D．剪应力互等定理仅适用于弹性范围 E．剪应力互等定理与材料的性能无关 5. 图示受扭圆轴，其横截面上的剪应力分布图正确的是( )。 - 1 -
题5 图 6. 实心圆轴，两端受扭转外力偶作用。直径为 D 时，设轴内的最大剪应力为，若轴的直径改为D 2，其它条件不变，则轴内的最大剪应力变为( )。 A．8 B．8 C．16 D．16 7. 受扭空心圆轴（ d D ），在横截面积相等的条件下，下列承载能力最大的轴是 ( )。 A．0 （实心轴）B．0.5 C．0.6 D．0.8 8. 扭转应力公式T I p 的适用范围是（）。 A．各种等截面直杆B．实心或空心圆截面直杆 C．矩形截面直杆D．弹性变形E．弹性非弹性范围 9. 直径为 D 的实心圆轴，最大的容许扭矩为T，若将轴的横截面积增加一倍，则 其最大容许扭矩为（）。 A．2T B．2T C．2 2T D．4T 10. 材料相同的两根圆轴，一根为实心，直径为D；另一根为空心，内径为d2 ，外径 1 为 d 2 D ， 2 D 2 。若两轴横截面上的扭矩T，和最大剪应力 max 均相同，则两轴外径之比 D 1 D 2 为( )。 A． 3 1 B． 4 1 C． (1 D． 3 ) 3 ) 1 3 (1 4 )1 3 11. 阶梯圆轴及其受力如图所示，其中AB 段的最大剪应力max1与BC 段的最大剪应力max 的关系是( )。 2 3 A．max 1 max 2 B．max 1max 2 2 1 C．max 1 max 2 4 3 D．max 1max 2 8
第二章课后习题答案
1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Q =50-5P ，供给函数为Qs=-10+5p。（1）求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。 （2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd=60-5P。求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs=-5+5p。 求出相应的均衡价格Pe 和均衡数量Qe ，并作出几何图形。 （4）利用（1）（2 ）（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。（5）利用（1）（2 ）（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响. 解答: (1)将需求函数Qd = 50-5P和供给函数Qs =-10+5P 代入均衡条件Qd = Qs ,有: 50- 5P= -10+5P 得: Pe=6 以均衡价格Pe =6 代入需求函数Qd =50-5p ,得: Qe=20 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =6 , Qe=20 (图略) (2)将由于消费者收入提高而产生的需求函数Qd=60-5p 和原供给函数 Qs=-10+5P, 代入均衡条件Q d= Qs ,有: 60-5P=-10+5P 得Pe=7 以均衡价格Pe=7代入Qd方程，得Qe=25 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe =7 , Qe=25 (图略) (3) 将原需求函数Qd =50-5p和由于技术水平提高而产生的供给函数Q =-5+5p , 代入均衡条件Qd =Qe ,有: 50-5P=-5+5P得Pe= 5.5 以均衡价格Pe= 5.5 代入Qd =50-5p ,得22.5 所以,均衡价格和均衡数量分别为Pe=5.5 Qe=22.5 (4)所谓静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征.也可以说,静态分析是在一个经济模型中根据所给的外生变量来求内生变量的一种分析方法.以(1)为例,在图中,均衡点 E 就是一个体现了静态分析特征的点.它是在给定的供求力量的相互作用下所达到的一个均衡点.在此,给定的供求力量分别用给定的供给函数Q=-10+5P 和需求函数Q=50-5P表示，均衡点具有的特征是:均衡价格P=6 且当P =6 时,有Q= Q d= Qe =20 ，同时,
第三章扭转习题
第三章 扭转习题 一、单项选择题 1、横截面都为圆的两个杆，直径分别为d 和D ，并且d=。两杆横截面上扭矩相等两 杆横截面上的最大切应力之比maxD maxd ττ为 A 、2倍， B 、4倍， C 、8倍， D 、16倍。 二、1、扭转变形时，公式p Tl GI τ= 中的 表示单位长度的扭转角，公式中的T 表示横截面上的 ；G 表示杆材料的 弹性模量；I P 表示杆横截面对形心的 ；GI P 表示杆的抗扭 。 2、截面为圆的杆扭转变形时，所受外力偶的作用面与杆的轴线 . 3、实心圆轴扭转时，横截面上的切应力分布是否均匀，横截面上离圆心愈远的点处切应力 ,圆心处的切应力为 ，圆周上切应力 4、两根实心圆轴的直径d 和长度L 都相同，而材料不同，在相同扭矩作用下，它们横截面上的最大切应力是否相同 ，单位长度的扭转角是否相同 。 5、剪切虎克定律的表达式 G τ γ=，式中的G 表示材料的 模量，式中的 γ称为 。 6、根据切应力互等定理，单元体两互相垂直截面上在其相交处的切应力成对存在， 且 相等，而 现反。 三、 1、如图所示圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径D=100mm ，所受的外力偶矩 M 1=6kN ?m, M 2=4kN ?m 。试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。 答：圆轴横截面上的最大扭矩为 kN ?m ； 圆轴横截面上的最大切应力为 Mpa 。 2、如图所示阶梯形圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径分别为50mm 和75mm ，所受的外力偶矩
M C =1200 N ?m ，M B =1800 N ?m 。 试求BC 段横截面上的扭矩和该阶梯轴的最 大切应力。 答：BC 段横截面上的扭矩为 N ?m ； 该阶梯轴的最大切应力为 Mpa 。 3、如图所示圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径d=100mm ，所受的外力偶矩M 1=7000 N ?m M 2=5000 N ?m 。试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。 答：最大扭矩为 N ?m 。 最大切应力为 Mpa 。 4、某传动轴为实心圆轴，轴内的最大扭矩 =1.5kN m T ，许用切应力[]=50MPa τ，试确定该轴的横截面直径。 5、圆轴AB 传递的功率为P = ，转速n = 360r/min 。轴的AC 段为实心圆截面，CB 段为空心圆截面，如图所示。已知D= 30mm 。试计算AC 段横截面边缘处的切应力。 6、已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T=1650N ?m ，传动轴用外径D =90mm ，壁厚 t = 2.5mm 的钢管做成。材料为20钢，其许用切应力 []=70MPa τ。校核此轴的强度。 图3.3.2 图 3.3.3 图3.3.5
水力学第二章课后习题答案
2.12 密闭容器，测压管液面高于容器内液面h=1.8m ,液体的密度为850kg/m 3,求液面 压强。 解：P o = P a ，gh = P a 850 9.807 1.8 相对压强为：15.00kPa。 绝对压强为：116.33kPa。 答：液面相对压强为15.00kPa，绝对压强为116.33kPa。 2.13 密闭容器，压力表的示值为4900N/m 2,压力表中心比A点高0.4m , A点在水下 1.5m，，求水面压强。 P0 1.5m 1 0.4m A
解: P0 = P a P -1.1 'g 二P a 4900 -1.1 1000 9.807 二p a「5.888 （kPa） 相对压强为：_5.888kPa。 绝对压强为：95.437kPa。 答: 水面相对压强为-5.888kPa,绝对压强为95.437kPa。 3m 解：（1）总压力：Pz=A p=4「g 3 3 = 353.052 （kN） （2）支反力：R 二W总二W K W箱二W箱;?g 1 1 1 3 3 3 =W箱 9807 28 =274.596 kN W箱 不同之原因：总压力位底面水压力与面积的乘积，为压力体Qg。而支座反力与水体重量及箱体重力相平衡，而水体重量为水的实际体积Eg。 答：水箱底面上总压力是353.052kN，4个支座的支座反力是274.596kN。 2.14 盛满水的容器，顶口装有活塞A，直径d =0.4m，容器底的直径D=1.0m，高h
=1.8m ,如活塞上加力2520N （包括活塞自重），求容器底的压强和总压力 解: （1）容器底的压强： P D =P A'gh =252°9807 1.8 =37.706（kPa）（相对压强） /-d2 4 （2）容器底的总压力： P D二Ap D D2 p D12 37.706 10 = 29.614（kN） 4 4 答：容器底的压强为37.706kPa，总压力为29.614kN 。 2.6用多管水银测压计测压，图中标高的单位为m，试求水面的压强P0。
材料力学第3章 扭转 习题解
第三章 扭转 习题解 [习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速min /200r n =，轴上装有五个轮子，主动轮II 输入的功率为60kW ，从动轮，I ，III ，IV ，V 依次输出18kW ，12kW ，22kW 和8kW 。试作轴的扭图。 解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩） N T k e 55 .9= (2) 作扭矩图 [习题3-2] 一钻探机的功率为10kW ，转速min /180r n =。钻杆钻入土层的深度m l 40=。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m ，并作钻杆的扭矩图。 解：（1m )(5305.0180 10 549.9549 .9m kN n N M k e ?=?== 设钻杆轴为x 轴，则： 0=∑x M e M ml = )/(0133.040 5305 .0m kN l M m e === （2）作钻杆的扭矩图 x x l M mx x T e 0133.0)(-=- =-=。]40,0[∈x 0)0(=T ； )(5305.0)40(m kN M T e ?-== 扭矩图如图所示。
[习题3-3] 圆轴的直径mm d 50=，转速为120r/min 。若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa ，试问所传递的功率为多大？ 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量： )(245445014159.316 1 161333mm d W p =??== π （2）计算扭矩 2max /60mm N W T p == τ )(473.1147264024544/6032m kN mm N mm mm N T ?=?=?= （3）计算所传递的功率 )(473.1549 .9m kN n N M T k e ?=== )(5.18549.9/120473.1kW N k =?= [习题3-4] 空心钢轴的外径mm D 100=，内径mm d 50=。已知间距为m l 7.2=的两横截面的相对扭转角o 8.1=?，材料的切变模量GPa G 80=。试求： （1）轴内的最大切应力； （2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力 )(9203877)5.01(10014159.3321 )1(32144444mm D I p =-???=-= απ。 )(184078)5.01(10014159.3161 )1(16134343mm D W p =-???=-=απ 式中，D d /=α。 p GI l T ?= ?， mm mm mm N l GI T p 27009203877/80000180/14159.38.142???= = ? mm N ?=45.8563014 )(563.8m kN ?= MPa mm mm N W T p 518.4618407845.85630143 max =?== τ （2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率
理论力学课后习题第二章思考题答案
理论力学课后习题第二章思考题解答 2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。 2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。 2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以 n3 预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。 若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力，每一质点的合内力不一定等于零，故不能保持静止或匀速直线运动状态。这表明，内力不改变质点组整体的运动，但可改变组内质点间的运动。 2.4.答：把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞内力远大于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。 2.5.答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。 2.6.答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系统的总动量，但碰撞内力很大，
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第7章 圆轴扭转 主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图； （2）圆轴扭转时的应力和强度计算； （3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。 圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图 1. 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的切应力分布图。 解：截面上与T 对应的切应力分布图如下： 2. 用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。 图7-2 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a ）。 取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-311。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程 062122=+?-+-T m kN ）（，可得m kN T ?=-322。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?=-133。 b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-511。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+?+-T m kN ）（，可得m kN T ?-=-1022。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+?+-T m kN ）（，可得m kN T ?-=-633。 3. 作下图各杆的扭矩图。 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得 m kN T ?=-411。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-222。作出扭矩图。 a) b) 图7-3 b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算扭矩（见图7-3b ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。作出扭矩图。 圆轴扭转时的应力和强度计算 4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；
第2章 复习思考题答案
第2章复习思考题答案 1.Q235钢的应力—应变曲线可以分为哪4个阶段，可得到哪些强度指标？ （1）弹性阶段。 钢材在此阶段，当荷载降为零时（完全卸载），变形也降为零（回到原点）。Q235钢的比例极限f p≈200N/mm2,对应的应变εp≈0.1%。 （2）弹塑性和屈服阶段。 当应力超过弹性极限后，应力与应变不再成正比，应变增大加快，材料进入弹塑性阶段。随后，应力呈锯齿状波动，甚至出现应力不增加而应变仍在继续发展的现象，卸载后试件不能完全恢复原来的长度，这个阶段称之为屈服阶段。Q235钢的屈服点f y≈235N/mm2,对应的应变εp≈0.15%，流幅ε≈0.15%～2.5%。 （3）强化阶段。 屈服阶段之后，曲线再度上升，但应变的增加快于应力的增加，塑性特征明显，这个阶段称为强化阶段。对应于最高点的应力为抗拉强度或极限强度fu。 （4）颈缩阶段。 到达极限强度后，试件出现局部截面横向收缩，塑性变形迅速增大，即颈缩现象。此时，只要荷载不断降低，变形能继续发展，直至试件断裂。 2.什么叫屈强比，它对结构设计有何意义？ 钢材的屈服强度（屈服点）f y与抗拉强度fu的比值，称为屈强比。屈强比是衡量钢材强度储备的一个系数。屈强比越低，结构零件的可靠性越高，一般碳素钢屈强比为0.6-0.65，低合金结构钢为0.65-0.75，合金结构钢为0.84-0.86。屈强比愈低钢材的安全储备愈大，但屈强比过小时，钢材强度的利用率太低，不够经济；屈强比过大时，安全储备太小，且构件变形能力小。 3.什么叫塑性破坏和脆性破坏？各有什么特征？ 钢材在静力单向均匀拉伸下，试件破坏前有很大的塑性应变，这种破坏称为塑性破坏。钢结构中的钢材因受各种因素的影响还会发生另一种破坏，即脆性破坏，两者的破坏特征有明显的区别。 塑性破坏是指构件产生明显的变形、应力达到材料的极限强度后而发生的破坏，破坏断口呈纤维状，色泽发暗，破坏前有较大的塑性变形，且变形持续时间长，容易及时发现并采取有效补救措施，通常不会引起严重后果。 脆性破坏是在塑性变形很小，甚至没有塑性变形的情况下突然发生的，破坏时构件的计算应力可能小于钢材的屈服点fy，破坏的断口平齐并呈有光泽的晶粒状。由于脆性破坏前没有明显的征兆，不能及时觉察和补救，破坏后果严重。 4.钢结构对钢材有哪些要求？ 为了保证结构的安全，钢结构所用的钢材应满足以下要求： （1）强度钢材的强度指标主要有屈服强度(屈服点)fy和抗拉强度fu，可通过钢材的静力单向拉伸试验获得。屈服强度fy和抗拉强度fu是承重结构所用钢材应具有的基本保证项目，对一般非承重结构构件所用钢材只要保证抗拉强度即可。 （2）塑性塑性是指钢材在应力超过屈服点后，能产生显著的残余变形(塑性变形)而不立即断裂的性质。衡量钢材塑性好坏的主要指标是伸长率δ和截面收缩率ψ，它由钢材的静力单向拉伸试验得到。承重结构用的钢材，不论在静力荷载或动力荷载作用下，以及在加
数据库第二章课后习题解答
第3部分 习题及其解答 第一章的两道题 设计 N 开始时间 结束时间 版权 专利号 月薪
3-2 习题2 分别把习题、习题的ER 图转换成关系模型数据结构。 【参考答案】 1．习题的ER 图可转换成如下的关系模型数据结构。 ① 程序员(编号，姓名，性别，年龄，单位，职称)，其中编号是关键字； ② 程序(程序名称，版权，专利号，价格)，其中程序名称是关键字； ③ 设计(编号，程序名称，开始时间，结束时间)，其中(编号，程序名称)是关键字。 2．习题的ER 图可转换成如下的关系模型数据结构。 ① 工厂(工厂名称，厂址，联系电话)，其中工厂名称是关键字； ② 产品(产品号，产品名，规格，单价)，其中产品号是关键字； ③ 工人(工人编号，姓名，性别，职称，工厂名称，雇用期，月薪)，其中工人编号是关键字，工厂名称是外关键字，雇用期和月薪是联系属性； ④ 生产(工厂名称，产品号，月产量)，其中(工厂名称，产品号)是关键字,生产关系是表示联系的。 判断下列情况，分别指出它们具体遵循那一类完整性约束规则 生产 月产量 雇用 雇用期
1．用户写一条语句明确指定月份数据在1～12之间有效。 2．关系数据库中不允许主键值为空的元组存在。 3．从A 关系的外键出发去找B 关系中的记录，必须能找到。 【解答】 1．用户用语句指定月份数据在1～12之间有效，遵循用户定义的完整性约束规则。 2．关系数据库中不允许主键值为空的元组存在，遵循实体完整性约束规则； 3．从A 关系的外键出发去找B 关系的记录,必须能找到，遵循引用完整性约束规则。 判断下列情况，分别指出他们是用DML 还是用DDL 来完成下列操作 1．创建“学生”表结构。 2．对“学生”表中的学号属性，其数据类型由“整型”修改为“字符型”。 3．把“学生”表中学号“021”修改为“025”。 【解答】 1．创建“学生”表结构，即定义一个关系模式，用DDL 完成。 2．修改“学生”表中学号属性的数据类型,即修改关系模式的定义，用DDL 完成。 3．修改“学生”表中学号属性的数据值,即对表中的数据进行操作，用DML 完成。 给出两个学生选修课程关系A 和B ，属性为姓名、课程名、成绩。分别写出后列各关系代数运算的结果关系。 1．A 和B 的并、交、差、乘积、自然联接。 2．> '' (A )； 2= ''∧<'' (B )； ,(A )； (B )。 3． 关系A 姓名 课程名 成绩 李红 数学 89 罗杰明 英语 78 关系B 姓名 课程名 成绩 黄边晴 C++语言 86 李红 数学 89
第2章思考题与习题答案
思考题与习题 1．一台直流测速发电机，已知电枢回路总电阻R a =180Ω，电枢转速n=3000r/min ，负载电阻R L =2000Ω，负载时的输出电压U a =50V ，则常数e K =__________，斜率C=___________。 2．直流测速发电机的输出特性，在什么条件下是线性特性？产生误差的原因和改进的方法是什么？ 3．若直流测速发电机的电刷没有放在几何中性线的位置上，试问此时电机正、反转时的输出特性是否一样？为什么？ 4. 根据上题1中已知条件，求该转速下的输出电流I a 和空载输出电压U a0。 5．测速发电机要求其输出电压与_________成严格的线性关系。 6．测速发电机转速为零时，实际输出电压不为零，此时的输出电压称为____________。 7．与交流异步测速发电机相比，直流测速发电机有何优点？ 8. 用作阻尼组件的交流测速发电机，要求其输出斜率_________，而对线性度等精度指针的要求是次要的。 9.为了减小由于磁路和转子电的不对称性对性能的影响，杯形转子交流异步测速发电机通常是（ ） A.二极电机 B.四极电机 C.六极电机 D.八极电机 10．为什么异步测速发电机的转子都用非磁性空心杯结构，而不用鼠笼式结构？ 11.异步测速发电机在理想的情况下，输出电压与转子转速的关系是：（） A.成反比； B.非线性同方向变化； C.成正比； D.非线性反方向变化 答案 1、．一直流测速发电机，已知电枢回路总电阻R a =180Ω，电枢转速n=3000r/min ，负载电阻R L =2000Ω，负载时的输出电压U a =50V ，则常数e K =_0.1817_，斜率C=_____0.1667_____。 Cn n R R U L a a =+=1Ke =50 C=50/3000=0.1667 e K =C(L a R R +1)=0.1667 X (1+180/2000)=0.181703 2、直流测速发电机的输出特性，在什么条件下是线性特性？产生误差的原因和改进的方法是什么？ 答：直流测速发电机，当不考虑电枢反应，且认为励磁磁通?、R a 和R L 都能保持为常数时可认为其特性是线性的。
材料力学专项习题练习扭转
扭 转 1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22d D α=的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比12/A A 有四种答案： (A) 2 1α-； (B) (C) ； (D) 。 2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立 3. 一内外径之比为/d D α=的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案： (A) τ ； (B) ατ； (C) 3(1)ατ-； (D) 4(1)ατ-。 4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭转角?有四种答案：
7. 图示圆轴料的切变模量 (A) 43π128d G a ?(C) 43π32d G a ? 8. 一直径为D 重量比21W W 9. 想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。 10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。 1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. C 7. B 8. 0.47 9. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；4/3 10. 横截面翘曲 11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。 证：截面切应力 41 03s R R ρρττρ?? =-≤≤ ??? 截面扭矩 0 4d 12 πd 03R s s A T A R ρρτρτρρ?? ==-?= ????? 证毕。 12. 图示直径为d 的实心圆轴,两端受扭转力偶e M 用1/m C τγ=表示，式中C ，m 为由实验测定的已知常数，试证明该轴的扭转切应力计算公式为： 1/e (31)/2π()2 3m 1m m m M m d ρρ τ+= + s /3