亚纯函数分解理论
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数 摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等． 关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理 The Discussion of Integral Function and Meromorphic Functions Abstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ． Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphic function;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem 1 整函数的概念 定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数． 设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有 ()0 ()0.n n n f z c z z ∞ == ≤<+∞∑ 定理1 设()f z 为一整函数，则 (1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ， (2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式 ()010.m m m c c z c z c +++≠
数据库-部分函数依赖,传递函数依赖,完全函数依赖,三种范式的区别
数据库-部分函数依赖，传递函数依赖，完全函数依赖， 三种范式的区别 要讲清楚范式，就先讲讲几个名词的含义吧： 部分函数依赖：设X,Y是关系R的两个属性集合，存在X→Y，若X’是X的真子集，存在X’→Y，则称Y部分函数依赖于X。 举个例子：学生基本信息表R中（学号，身份证号，姓名）当然学号属性取值是唯一的，在R关系中，（学号，身份证号）->（姓名），（学号）->（姓名），（身份证号）->（姓名）；所以姓名部分函数依赖与（学号，身份证号）； 完全函数依赖：设X,Y是关系R的两个属性集合，X’是X的真子集，存在X→Y，但对每一个X’都有X’!→Y，则称Y完全函数依赖于X。例子：学生基本信息表R（学号，班级，姓名）假设不同的班级学号有相同的，班级内学号不能相同，在R关系中，（学号，班级）->（姓名），但是（学号）->(姓名)不成立，（班级）->(姓名)不成立，所以姓名完全函数依赖与（学号，班级）； 传递函数依赖：设X,Y,Z是关系R中互不相同的属性集合，存在X→Y(Y !→X),Y→Z，则称Z传递函数依赖于X。 例子：在关系R(学号 ,宿舍, 费用)中，(学号)->(宿舍),宿舍！=学号，(宿舍)->(费用),费用!=宿舍，所以符合传递函数的要求；
在任何一个关系数据库中，第一范式（1NF）是对关系模式的基本要求，不满足第一范式（1NF）的数据库就不是关系数据库。 所谓第一范式（1NF）是指数据库表的每一列(即每个属性)都是不可分割的基本数据项，同一列中不能有多个值，即实体中的某个属性不能有多个值或者不能有重复的属性。简而言之，第一范式就是无重复的列。 2、第二范式（2NF） 第二范式（2NF）是在第一范式（1NF）的基础上建立起来的，即满足第二范式（2NF）必须先满足第一范式（1NF）。第二范式（2NF）要求数据库表中的每个实例或行必须可以被唯一地区分。为实现区分通常需要为表加上一个列，以存储各个实例的唯一标识。员工信息表中加上了员工编号（emp_id）列，因为每个员工的员工编号是唯一的，因此每个员工可以被唯一区分。这个唯一属性列被称为主关键字或主键、主码。 第二范式（2NF）要求实体的属性完全依赖于主关键字。所谓完全依赖是指不能存在仅依赖主关键字一部分的属性，如果存在，那么这个属性和主关键字的这一部分应该分离出来形成一个新的实体，新实体与原实体之间是一对多的关系。为实现区分通常需要为表加上一个列，以存储各个实例的唯一标识。简而言之，第二范式就是非主属性依赖于主关键字。
函数依赖习题
1.设有关系模式W(C,P,S,G,T,R),其中各属性的含义是：C课程,P教师,S学生,G成绩,T时间,R 教室，根据定义有如下数据依赖集 D={C→G，(S,C)→G,(T,R)→C,(T,P)→R,(T,S)→R}关系模式W的一个关键字是__，W的规范化程度最高达到__（）。 A、(S,C),1NF B、(T,R),3NF C、(T,P),4NF D、(T,S),2NF 2.对于关系R，第三范式是R中的每个非主属性应满足（） A、与主关键字存在单值依赖关系 B、与主关键字存在多值依赖关系 C、函数传递依赖主关键字 D、非函数传递依赖主关键字 3.在一个关系R中，若每个数据项都是不可分割的，那么关系R一定属于（） A、BCNF B、1NF C、2NF D、3NF 4.根据关系数据库规范化理论，关系数据库中的关系要满足第一范式，下面“部门”关系中，因哪个属性而使它不满足第一范式（） 部门（部门号，部门名，部门成员，部门总经理） A、部门总经理 B、部门成员 C、部门名 D、部门号 5.下列关于规范化理论各项中正确的是（） A、对于一个关系模式来说，规范化越深越好 B、满足二级范式的关系模式一定满足一级范式 C、一级范式要求一非主码属性完全函数依赖关键字 D、规范化一般是通过分解各个关系模式实现的，但有时也有合并 6.规范化理论是关系数据库进行逻辑设计的理论依据。根据这个理论，关系数据库中的关系必须满足其每一属性都是（） A、互不相关的 B、不可分解的 C、长度可变的 D、互相关联的 7.在关系模式R(U，F)中，如果F是最小函数依赖集，则（） A、R∈2NF B、R∈3NF C、R∈BCNF D、R的规范化程度与F是否最小函数依赖集无关 8.在关系模式R(U，F)中，R中任何非主属性对键完全函数依赖是R∈3NF的（） A、充分必要条件 B、必要条件 C、充分条件 D、既不充分也不必要条件 9在二元关系模式R(U，F)中，X，Y都是单一属性，如果X→Y，则R最高可以达到（）A、2NF B、3NF C、BCNF D、4NF
教你如何判断无损连接和函数依赖
教你如何判断无损连接和函数依赖 无损分解和保持依赖的判断 大部分是对一个关系模式分解成两个模式的考察，分解为三个以上模式时无损分解和保持依赖的判断比较复杂，考的可能性不大，因此我们只对“一个关系模式分解成两个模式”这种类型的题的相关判断做一个总结。 以下的论述都基于这样一个前提： R是具有函数依赖集F的关系模式，（R1 ，R2）是R的一个分解。 首先我们给出一个看似无关却非常重要的概念：属性集的闭包。 令α为一属性集。我们称在函数依赖集F下由α函数确定的所有属性的集合为F下α的闭包，记为α+ 。 下面给出一个计算α+的算法，该算法的输入是函数依赖集F和属性集α，输出存储在变量result 中。 算法一： result:=α; while(result发生变化)do for each 函数依赖β→γ in F do begin if β∈result then result:=result∪γ; end 属性集闭包的计算有以下两个常用用途： ·判断α是否为超码，通过计算α+（α在F下的闭包），看α+ 是否包含了R中的所有属性。若是，则α为R的超码。 ·通过检验是否β∈α+，来验证函数依赖是否成立。也就是说，用属性闭包计算α+，看它是否包含β。 （请原谅我用∈符号来表示两个集合之间的包含关系，那个表示包含的符号我找不到，大家知道是什么意思就行了。） 看一个例子吧，2005年11月系分上午37题： ● 给定关系R(A1，A2，A3，A4)上的函数依赖集F={A1→A2，A3→A2，A2→A3，A2→A4}，R的候选关键字为________。 （37）A. A1 B. A1A3 C. A1A3A4 D. A1A2A3 首先我们按照上面的算法计算A1+ 。 result=A1， 由于A1→A2，A1∈result，所以result=result∪A2=A1A2 由于A2→A3，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3 由于A2→A4，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3A4 由于A3→A2，A3∈result，所以result=result∪A2=A1A2A3A4 通过计算我们看到，A1+ =result={A1A2A3A4}，所以A1是R的超码，理所当然是R的候选关键字。此题选A 。
关系模式的无损分解
1、已知关系模式R(ABC)，F={A→C，B→C},求F+。 可以直接通过自反律、增广律、传递律加以推广： F+={φ→φ，A→φ，B→φ，C→φ，A→C，B→C，AB→φ，AB→A，AB→B，AB→C，AB→BC，AB→AB，AB→ABC，BC→φ，BC→C，BC→B，BC→BC，AC→φ，AC→C，AC→A，AC→AC，ABC→φ，ABC→A，ABC→B，ABC→C，ABC→BC，ABC→AB，ABC→ABC} 4.6 试分析下列分解是否具有无损联接和保持函数依赖的特点： (1)设R(ABC)，F1={A→B} 在R上成立，ρ1={AB,AC}。 首先，检查是否具有无损联接特点： 第1种解法--算法4.2: (1) 构造表(2)根据A→B进行处理 结果第二行全是a行，因此分解是无损联接分解。 第2种解法:(定理4.8) 设 R1=AB，R2=AC R1∩R2=A R2- R1=B ∵A→B,∴该分解是无损联接分解。 然后，检查分解是否保持函数依赖 πR1（F1）={A→B，以及按自反率推出的一些函数依赖} πR2（F1）={按自反率推出的一些函数依赖} F1被πR1（F1）所蕴涵，∴所以该分解保持函数依赖。
2、设R(ABC)，F2={A→C，B→C}在R上成立，ρ2={AB,AC} 首先，检查是否具有无损联接特点： 第1种解法（略） 第2种解法:(定理4.8) 设 R1=AB，R2=AC R1∩R2=A R2- R1=C ∵A→C,∴该分解是无损联接分解。 然后，检查分解是否保持函数依赖 πR1（F2）={按自反率推出的一些函数依赖} πR2（F2）={A→C，以及按自反率推出的一些函数依赖} ∵F1中的B→C没有被蕴涵，所以该分解没有保持函数依赖。 3、设R(ABC)，F3={A→B},在R上成立,ρ3={AB,BC}. 首先，检查是否具有无损联接特点： 第1种解法： (1) 构造表(2)根据A→B进行处理没有一行全是a行。因此这个分解不具有无损联接特性。 第2种解法:(定理4.8) 设 R1=AB，R2=BC R1∩R2=B
第六章 函数依赖
朱彦荣 20132184 软件工程2 第六章作业 一. 简答题 1.数据依赖的分类？ 函数依赖，多值依赖，连接依赖 2.关系模式可能存在的4个问题？ 插入异常、删除异常、冗余、更新异常 3.函数依赖的分类？ 平凡函数依赖、非平凡函数依赖、完全函数依赖、部分函数依赖、传递函数依赖 4.函数依赖范畴内的4个范式？ 第一范式（1NF）、第二范式(2NF)、第三范式(3NF)、BCNF范式 5.3NF关系模式存在异常的可能原因？ 仍可能出现插入异常、删除异常、冗余和更新异常。原因是：还可能存在主属性部分函数依赖于键。 6.关系模式规范化的方法？ 首先要保证属性的原子性，即至少为1NF，然后由1NF到2NF是消除非主属性对键的部分函数依赖，2NF到3NF是消除非主属性对键的传递函数依赖。3NF到BCNF是消除主属性对键的部分函数依赖和传递函数依赖，一般来说到这里就可以了。然后，有BCNF范式到4NF范式消除非平凡且非函数依赖的多值依赖，最后由4NF到5NF是消除不是候选键所蕴含的连接依赖。 7.如果X和Y之间是1：n的联系，则X和Y之间的函数关系是谁决定谁？如果是1：1和 m:n呢？ 若X:Y=1:N,则N方决定1方，即Y->X 若X:Y=1:1,则X->Y且Y->X，即X<->Y,X和Y等价 若X:Y=M:N,则不能相互决定 二．设有关系模式：R（Sid，Sname，Cid，Cname，Score，Tid），其中：Sid、Sname、Cid、Cname、Score、Tid分别表示学号、学生姓名、课程编号、课程名、成绩、教师编号，并有如下语义要求： ●课程与教师间的联系为1:1； ●学生与课程间的联系为m:n； ●一名学生只能有一个学号，且学号唯一； ●一门课程只能有一个课程号，且课程号唯一。 请完成：
函数依赖
函数依赖 2.1、属性间的联系 实体间的联系有两类：一类是实体与实体之间的联系；另一类是实体内部各属性间的联系。 属性间的联系可分为以下三类： （1）一对一联系（1∶1） 以职工模式为例：职工（职工号，姓名，职称，部门）。如果该企业（或单位）中职工无重名，则属性职工号与姓名之间是1∶1联系。一个职工号唯一地决定一个姓名，一个姓名也可决定唯一的职工号。 设X、Y是关系R的两个属性（集）。如果对于X中的任一具体值，Y中至多有一个值与之对应，且反之亦然，则称X、Y两属性间是一对一联系。 （2）一对多联系（1∶ m） 在职工模式中，职工号和职称间是一对多联系。一个职工号只对应一种职称（如胡一民只能对应工程师），但一种职称却可对应多个职工号（如工程师可对应多名职工）。 设X、Y是关系R的两个属性（集）。如果对于X中的任一具体值，Y中至多有一个值与之对应，而Y中的一个值却可以和X中的n个值相对应，则称Y对X是一对多联系。 （3）多对多联系（m∶ m） 在职工模式中，职称和部门之间是多对多联系。一种职称可分布在多个部门中（如每一个部门中均可有工程师），而一个部门中也可有多个职称。 设X、Y是关系R的两个属性（集）。如果对于X中的任一具体值，Y中有m个值与之对应，而Y中的一个值也可以和X中的n个值相对应，则称Y对X是多对多联系。 上述属性间的三种联系实际上是属性值之间相互依赖又相互制约的反映，称为属性间的数据依赖。 数据依赖共有三种：函数依赖（FunctionalDependency，简称FD）、多值依赖 （Multiva-luedDependency，简称MVD）和连接依赖（JoinDependency，简称JD），其中最重要的是函数依赖和多值依赖。 2.2、函数依赖 函数依赖是属性之间的一种联系。假设给定一个属性的值，就可以唯一确定（查到）另一个属性的值。 定义：所谓函数依赖是指在关系R中，X、Y为R的两个属性或属性组，如果对于R的任一关系r都存在：对于X的每一个具体值，Y 都只有一个具体值与之对应，则称属性Y函数依赖于属性X。或者说，属性X函数决定属性Y，记作X->Y。其中X叫决定因素，Y叫被决定因素。当Y是X的子集时，称为平凡函数依赖。由于平凡函数依赖总是成立的，因此，若不作特殊声明，本书后面提到的函数依赖，都不包含平凡函数依赖。 此定义可简单表述为：如果属性X的值决定属性Y的值，那么属性Y函数依赖于属性X。 前面讨论的属性间的三种联系，并不是每一种联系中都存在函数依赖。
全纯函数
全纯函数 维基百科 全纯函数（holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。 解析函数（analytic function）一词经常可以和“全纯函数”互相交换使用，虽然前者有几个其他含义。 全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数（entire function）。“在一点a全纯”不仅表示在a可微，而且表示在某个中心为a 的复平面的开邻域上可微。双全纯（biholomorphic）表示一个有全纯逆函数的全纯函数。 定义 若U为C的开子集而f : U→C是一个函数，我们称f是在U中一点z0复可微(complex differentiable)，若极限 存在。 极限取所有趋向z0的复数的序列，并对所有这种序列差的商趋向同一个数 f '(z ). 直观上，如果f在z0复可微而我们从r方向趋向点z0，则函数的像会0 从f '(z0) r方向趋近点f(z0)，其中的乘积是复数乘法。 这个可微性的概念和实可微性有几个相同性质: 它是线性的，并服从乘积，商和链式法则。 若f在U中每点z0复可微，我们称f在U上全纯。我们称f在点z0全纯，如果它在z0的某个邻域全纯。 下面是一个等价的定义。一个复函数全纯当且仅当它满足柯西-黎曼方程. 例子 z的所有复系数的多项式函数在C上是全纯的。
所有z的三角函数和所有指数函数也是。 (三角函数事实上和指数函数密切相关并可以通过欧拉公式来用指数函数定义)。 对数函数的主支在集合C - {z∈R : z ≤ 0}上全纯。平方根函数可以定义为 所以任何对数ln(z)全纯的地方，它也全纯。函数1/z在 {z : z≠ 0} 上全纯。 不是全纯的函数的典型例子有复共轭（complex conjugation）和取实部。 性质 因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积和复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非0的地方全纯。 每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域U内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看证明全纯函数解析。 若把C和R2等同起来，则全纯函数和满足柯西-黎曼方程的双实变量函数相同，该方程组含有两个偏微分方程。 在非0导数的点的附近，全纯函数是共形的(或称保角的)。因为他们保持了小图形的角度和形状(但尺寸可能改变)。 柯西积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。 几个变量 多复变函数的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以(在一个多盘，也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比柯西-黎曼方程要强；事实上它可以这样表述： 一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。
数据库函数依赖
数据库函数依赖 一、函数依赖（Functional Dependency)的概念 数据依赖的一种，它反映属性或属性组之间相依存，互相制约的关系，即反映现实世界的约束关系。 二、定义 设R（U）是属性U上的一个关系模式，X和Y均为U={A1，A2，…，An}的子集，r为R的任一关系，如果对于r中的任意两个元组u，v，只要有u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记为X→Y。 例： (sno-学生ID，tno-教师ID，cno-课程ID，sname-学生姓名，tname-教师姓名，cname-课程名称，grade-成绩） 1、sno→sname, cno→cname,(sno,cno)→grade √ 2、sname→sno, tno→cno, sno→tname × 三、函数依赖是语义范畴 1、语义：数据所反映的现实世界事物本质联系 2、根据语义来确定函数依赖性的存在与否 3、函数依赖反映属性之间的一般规律，必须在关系模式下的任一个关系r中都满足约束条件。 四、属性间的联系决定函数依赖关系 设X、Y均是U的子集 1、X和Y间联系是1:1，则X→Y,Y→X。（相互依赖，可记作X←→Y） 2、X和Y间联系是M:1(M)，则X→Y。 3、X和Y间联系是M:N(M,N)，则X、Y间不存在函数依赖。 五、完全函数依赖和部分函数依赖 1、函数依赖分为完全函数依赖和部分函数依赖 2、定义： 在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何真子集X'都有X'Y'，则称Y完全依赖于X，记作X→Y；否则，如果X→Y，且X中存在一个真子集X'，使得X'→Y成立，则称Y部分依赖于X。 例： 学生ID，学生姓名，所修课程ID，课程名称，成绩 （学生ID，所修课程ID）→成绩 成绩既不能单独依赖于学生ID，也不能单独依赖于所修课程ID，因此成绩完全函数依赖于关键字。 （学生ID，所修课程ID）→学生姓名 学生ID→学生姓名 学生姓名可以依赖于关键字的一个主属性——学生ID，因此学生姓名部分函数依赖于（学生ID，所修课程ID）。 六、平凡函数依赖和非平凡函数依赖 设X，Y均为某关系上的属性集，且X→Y 1)若Y包含于X，则称X→Y为：平凡函数依赖；(Sno, Cno) →Sno (Sno, Cno) →Cno 2)若Y不包含于X，则称X→Y为：非平凡函数依赖。(Sno, Cno) →Grade Y包含于X内，W于X相交，与Y无直接交集。 则：X→Y为平凡函数依赖
关于无损分解和保持依赖的判断
关于无损分解和保持依赖的判断，是系分和数工考试中每年基本上都会考的题，而且绝大部分是对一个关系模式分解成两个模式的考察，分解为三个以上模式时无损分解和保持依赖的判断比较复杂，考的可能性不大，因此我们只对“一个关系模式分解成两个模式”这种类型的题的相关判断做一个总结。 以下的论述都基于这样一个前提： R是具有函数依赖集F的关系模式，（R1 ，R2）是R的一个分解。 首先我们给出一个看似无关却非常重要的概念：属性集的闭包。 令α为一属性集。我们称在函数依赖集F下由α函数确定的所有属性的集合为F下α的闭包，记为α+ 。 下面给出一个计算α+的算法，该算法的输入是函数依赖集F和属性集α，输出存储在变量result中。 算法一： result:=α; while(result发生变化)do for each 函数依赖β→γ in F do begin if β∈result then result:=result∪γ; end 属性集闭包的计算有以下两个常用用途： ·判断α是否为超码，通过计算α+（α在F下的闭包），看α+ 是否包含了R中的所有属性。若是，则α为R的超码。 ·通过检验是否β∈α+，来验证函数依赖是否成立。也就是说，用属性闭包计算α+，看它是否包含β。 （请原谅我用∈符号来表示两个集合之间的包含关系，那个表示包含的符号我找不到，大家知道是什么意思就行了。） 看一个例子吧，2005年11月系分上午37题： ● 给定关系R(A1，A2，A3，A4)上的函数依赖集F={A1→A2，A3→A2，A2→A3，A2→A4}，R的候选关键字为________。 （37）A. A1 B. A1A3 C. A1A3A4 D. A1A2A3 首先我们按照上面的算法计算A1+ 。 result=A1， 由于A1→A2，A1∈result，所以result=result∪A2=A1A2 由于A2→A3，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3 由于A2→A4，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3A4 由于A3→A2，A3∈result，所以result=result∪A2=A1A2A3A4 通过计算我们看到，A1+ =result={A1A2A3A4}，所以A1是R的超码，理所当然是R的候
函数依赖(理论及举例)
函数依赖（理论及举例） 教你如何理解函数依赖 一、函数依赖的概念 函数依赖：函数依赖就是讨论一个数据表（关系）中属性值之间所存在的函数关系。函数是一种数学中的概念，被引入到数据库中对数据的联系进行分析。 在一个关系中，属性相当于数学上的变量，属性的域相当于变量的取值范围，属性在一个元组上的取值相当于属性变量的当前值。 例如：在下面的这个职工关系中，职工号、姓名、性别、年龄、职务等属性都相当于变量；职工号属性的域，即四位十进制数字，就是取值范围，性别属性的域：{男、女}，就是性别属性的取值范围。此关系中包含有6个元组，如第2个元组为{3051、刘平、男、48、副处}，其中的每个属性值都是对应属性在该元组上的当前值。 单值函数和多值函数：元组中一个属性或一些属性值对另一个属性值的影响相当于自变量值对函数值的影响。当给定一个自变量值能求出唯一的一个函数值时，称此为单值函数或单映射函数，否则为多值函数。在单值函数中由自变量的一个值确定函数的一个值，但不同的自变量值允许具有相同的函数值。如f(x)=2x, f(n)=(-1)^n, f(x)=x^3+1等都是单值函数，由自变量x或n的值能够唯一确定f(x)或f(n)的值。
属性的单值函数决定（依赖）：在一个关系中，若一个或一组属性的值对另一个或一组属性值起到决定性的作用，则称为单值函数决定（依赖）。如上表中职工号的值就能够函数决定其余每个属性的值，也就是说，当职工号给定后，其他每个属性的值就跟着唯一地确定了。如假定职工号为3074，则他的姓名必定是王海，性别必定为男，年龄必定为32岁，职务必定为正科。这就叫做职工号能够分别单值函数决定姓名、性别和年龄属性，反过来，可以说姓名、性别和年龄等属性单值函数依赖于职工号属性。 二、函数依赖的定义 定义：设一个关系为R(U)，X和Y为属性集U上的子集，若对于X上的每个值都有Y上的一个唯一值与之对应，则称X和Y具有函数依赖关系，并称X 函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记作X→Y，称X为决定因素。 例如：设一个职工关系为（职工号，姓名，性别，年龄，职务），职工号用来标识每个职工，选作为该关系的主码。对于该关系中每个职工的职工号，都对应着姓名属性中的唯一值，即该职工的姓名，或者说一个职工的姓名由其职工号唯一确定，所以称职工号函数决定姓名，或称姓名函数依赖于职工号，记作“职工号→姓名”，职工号为该函数依赖的决定因素。同理，当一名职工的职工号被确定之后，它所对应的性别、年龄、职务等属性值就被唯一确定下来了，所以职工号函数决定性别、年龄、职务等描述职工特征的每个属性，可以分别记作为“职工号→性别”、“职工号→年龄”、“职工号→职务”。 在该关系中除职工号外，其他属性都不能成为决定因素形成函数依赖，因为对于它们的每个属性值，都可能对应另一属性的多个不同的取值。如对于性别属性的一个取值“男”就会对应多个而不是一个职工号，此不是单值函数依赖，而是多值函数依赖，所以不能由性别来决定职工号。 相互函数依赖：在这个职工关系中，若规定不允许职工有重名，则姓名也能够唯一标识一个元组，这样姓名也能够函数确定其他每个属性，此时职工号和姓名在取值上一一对应，相互成为决定因素，即构成相互函数依赖，记作为“职工号←→姓名”。但通常是允许职工重名的，因为不应该让已经重名的职工重新起名，这样姓名就不能成为关系的候选码，就不能函数决定其他任何属性。 若一个关系中的属性子集X不能函数决定另一个属性子集Y，则记作X Y，读作X不能函数决定Y，或Y不能函数依赖于X。
半纯函数的无穷级数展开
亚纯函数的无穷级数展开 我们知道，如果?()z 在0z 的邻域内全纯，则?()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞ =；如果z 。是?(z)的一孤立奇点， 它可以在z 。的去心邻域展成Laurent 级数()n n n z z a ∑+∞ -∞ =-0。 亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。 设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即 ) () ()(z g Z h z f = . 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下 ()()...)(21z z z z a z g --= 由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式， ()()∑ ∞ -=k n k k k z z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数) 即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行
深入讨论。下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。由于tgz ＝ctg （2 π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法 即可。 我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。 因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得 ()()???+???---?=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 3 2121sin cos sin (1) 若12+=n m 是奇数，用公式()k k x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数 的偶次幂后，得 ()()x P x x n 2sin sin 12sin ?=+ （2） 其中()u P 为一个n 次幂整多项式。 如果用n u u u ,...,,21表这多项式的根,则此多项式可以用如下方法分解因式 ()()()()???? ??-???? ??-???? ? ?-=---=n n u u u u u u A u u u u u u a u P 1...11 (2121) 从（2）容易定出根n u u u ,...,,21,如果x 使()012sin =+x m ,但0sin ≠x ,则x 2sin 就一定是()u P 的根。1 2,...,1 22,12+++=n n n n x πππ介于0与2 π之间， 且为递增序列，从而 .1 2sin ,...,122sin ,1 2sin 22 22 1+=+=+=n n u n u n u n π ππ
数据库函数依赖和范式总结
数据库函数依赖和范式总结 1 函数依赖 1.1 定义： 一个集合R(U,F)，U为属性全集，F为函数依赖集合。F中存在着{Xi->Yi...};对于每个X都存在着一个Y与之唯一对应。 意思就是相当于X为主键，Y由主键决定。比如一个学生他的学号相当于X，而他的姓名与年龄这些其他信息相当于Y。但是X有时候并不是一个值，比如一个学生他的成绩需要有两个属性才能知道他的成绩，学号+课程号->成绩 1.2 平凡函数依赖与非平凡函数依赖 平时我们主要讨论的是非平凡函数依赖。 平凡函数依赖概念：Y集合属性属于X集合属性的子集 非平凡函数则相反 1.3 逻辑蕴涵(为后面求闭包做好基础) X,Y为属性集合U的子集，且X->Y不存在于F中。即我们需要通过F 中的函数依赖推出X->Y称为函数依赖。而所有函数依赖的集合则称为闭包 1.4 函数依赖的推理规则(就是求函数依赖的逻辑蕴涵) 1.4.1 几个公理 1.4.1.1 公理一(自反律):Y属于X的子集，则X->Y 数学公式描述 Y?X?U 1.4.1.2 公理二(增广律):X->Y成立，Z?U也成立，则 XZ?YZ 1.4.1.3 公理三(传递律):X->Y成立，Y->Z成立，则 X->Z 1.4.2 公理的推广 1.4. 2.1 推广一(合并律):X->Y,X->Z,则X->YZ 1.4. 2.2 推广二(伪传递律):X->Y,YW->Z,则XW->Z(证明只需要在XY两边*W) 1.4. 2.3 推广三(分解律):X->Y成立，Z?Y，则 X->Z
1.4. 2.4 推广四(复合律):X->Y,W->Z,则XW->YZ 1.5 完全函数依赖与部分函数依赖(范式中基础知识) X->Y的集合中，若X的任一真子集x都能 x->Y则为部分函数依赖，若不能则的完全函数依赖，如果X没有真子集则也称为完全函数依赖。例如学号可以决定姓名，年龄等，因为学号集合没有真子集，则此为完全函数依赖。而当姓名没有重名的情况下，学号和姓名都可以作为X集合子集，而此时姓名也可以决定年龄，所以此函数为部分函数依赖 1.6 传递函数依赖(范式中基础知识) X->Y，且Y!->X，Y->Z, 则X->Z称为传递函数依赖 简单理解就是X通过Y再Y通过Z，最后X可以决定Z，但是如果Y->X的话，那么X<->Y直接相等就相当于没意义经过传递而只是简单的替换了而已，所以并不能叫做传递函数依赖 1.7 (重要)属性集的闭包和算法 1.7.1 定义：从F集合中所有的函数依赖 F->A 1.7.2 X->Y的充分必要条件Y?X* 1.7.3 计算闭包算法 设属性集U，F是R上的依赖函数集，X是U的子集，求属性X相当于函数依赖集F的闭包X* result = x; do{ if(F中有某个函数依赖集合Y->Z满足Y?result){ result = result ∪ Z ; } }while(result 有所改变); 例题：属性集合U={X,Y,Z,W}, 函数依赖集合F={X->Y,Y->Z,W->Y},求闭包 X* = XYZ ,(XW)* = XYZW ,(YW)*=YZW 1.8 (重要)候选键的求解和算法 1.8.1 定义：X是U的一个子集，若X->U(即X->U在F中)那么称X为超键，但是如果X->U成立，但是X的真子集x->U不成立(即x->U不在F中)则称为候选键 1.8.2 快速求解候选键的充分条件 (1) L类：仅仅出现在F中的函数依赖左部的属性
基本函数依赖(练习)
1、要建立关于系、学生、班级、研究会等信息的一个关系数据库。规定：一个系有若干专业、每个专业每年只招一个班，每个班有若干学生，一个系的学生住在同一个宿舍区，一个系只有一个系名，一个系名也只给一个系用。每个学生可参加若干研究会，每个研究会有若干学生。 描述学生的属性有：学号、姓名、出生年月、系名、班号、宿舍区。 描述班级的属性有：班号、专业名、系名、人数、入校年份。 描述系的属性有：系号、系名、系办公室地点、人数。 描述研究会的属性有：研究会名、成立年份、地点、人数。 学生参加某研究会，有一个入会年份。 试给出上述数据库的关系模式；写出每个关系的最小依赖集（即基本的函数依赖集，不是导出的函数依赖）；指出是否存在传递函数依赖；对于函数依赖左部是多属性的情况，讨论其函数依赖是完全函数依赖还是部分函数依赖，指出各关系的候选键、外部关系键。（课本P176） 参考答案： 关系模式： 学生（学号，姓名，出生年月，系名，班号，宿舍区） 班级（班号，专业名，系名，人数，入校年份） 系（系号，系名，系办公室地点，人数） 研究会（研究会名，成立年份，地点，人数） 入会（学号，研究会名，入会年份） 关系的最小函数依赖集： 学生：{学号→姓名，学号→出生年月，学号→班号，班号→系名，系名→宿舍区}
候选键：学号；外键：班号，系名 不存在部分函数依赖，但存在传递函数依赖：学号→系名，所以该关系最高属于2NF。 班级：{班号→专业名，专业名→系名，班号→人数，班号→入校年份，{专业名，入校年份}→班号}候选键：班号，{专业名，入校年份}；外键：系名 存在部分函数依赖：班号→系名，所以该关系最高属于1NF。 系：{系号→系名，系号→系办公室地点，系号→人数} 候选键：系号；外键：无 不存在部分函数依赖，也不存在传递函数依赖，所以该关系最高属于 3NF。 研究会：{研究会名→成立年份，研究会名→地点，研究会名→人数} 候选键：研究会名；外键：无 不存在部分函数依赖，也不存在传递函数依赖，所以该关系最高属于 3NF。 入会：{{学号，研究会名}→入会年份} 候选键：{学号，研究会名}；外键：学号 不存在部分函数依赖，也不存在传递函数依赖，所以该关系最高属于 3NF。 （注：对于本数据库可以设计更为合理的关系模式，如下所示） 学生（学号，姓名，出生年月，班号） 班级（班号，专业名，系名，人数，入校年份） 系（系号，系名，系办公室地点，人数，宿舍区）
有理函数
有理函数就是通过多项式的加减乘除得到的函数。一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g，这里 f 和g 都是多项式函数。有理函数是特殊的亚纯函数，它的零点和极点个数有限。 有理函数全体构成所谓的有理函数域。 在实数范围内，无限不循环的小数叫做无理数，一般通过开平方得到。但有两个例外，他们分别是π和 e 。在二次函数里面，如y=a*x^2+b*x+c，如果△≥0，那么y=0 有实数解；如果△<0，那么y=0 没有实数解，但有虚数解。 有理函数是可以表示为以下形式的函数： ，不全为0。 有理数式是多项式除法的商，有时称为代数分数。 渐近线 ?不失一般性可假设分子、分母互质。若存在，使得是分母的因子，则有理函数存在垂直渐近 线。 ?若，有水平渐近线。 ?若，有水平渐近线。 ?若，有斜渐近线。 [编辑] 泰勒级数 有理函数的泰勒级数的系数满足一个线性递归关系。反之，若一个泰勒级数的系数满足一个线性递归关系，它对应的函数是有理函数。 [编辑] 部分分式 部分分式，又称部分分数、分项分式，是将有理数式分拆成数个有理数式的技巧。 有理数式可分为真分式、假分式和带分式，这和一般分数中的真分数、假分数和带分数的概念相近。真分式分子的次数少于分母的。 若有理数式的分母可分解为数个多项式的积，其部分分数便是，其中是的因子，是次数不大于Q(x)/h_n(x)的多项式。 [编辑] 例子 1分拆 分子的次数是3，分母的是2，所以先将它转成真分式和多项式的和（即带分式）：
因为，所以 其中A和B是常数。两边乘以，得 即 比较系数，得 解得。 故： 也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有 当x=-7时，我们有 [编辑] 应用 ?伸缩和 ?复分析 ?拉普拉斯变换 [编辑] 积分 [编辑] 部分分数 在计算有理数式的积分时，部分分数的方法很有用，因为分母的1和2次多项式的有理数式的积分都有固定的方法计算。 ?分母为1次多项式：求。 设： 原式变为
关系模式的分解与函数依赖关系的判断
关系模式的分解与函数依赖关系的判断 （在读此文章时须认真细心读懂每一行每一个细节） 关于无损分解和保持依赖的判断，是系分和数工考试中每年基本上都会考的题，而且绝大部分是对一个关系模式分解成两个模式的考察，分解为三个以上模式时无损分解和保持依赖的判断比较复杂，考的可能性不大，因此我们只对“一个关系模式分解成两个模式”这种类型的题的相关判断做一个总结。 以下的论述都基于这样一个前提： R是具有函数依赖集F的关系模式，（R1 ，R2）是R的一个分解。 首先我们给出一个看似无关却非常重要的概念：属性集的闭包。 令α为一属性集。我们称在函数依赖集F下由α函数确定的所有属性的集合为F下α的闭包，记为α+ 。下面给出一个计算α+的算法，该算法的输入是函数依赖集F和属性集α，输出存储在变量result中。 算法一： result=α; while(result发生变化)do for each 函数依赖β→γ in F do begin if β∈result then result=(result∪γ); end (此算法是要算出α属性所能决定的所有属性是那些，包括传递依赖的属性，如主键所能决定的是整个表的所有属性。例如α→β、β→γ、β→δ、δ→θ，此算法能算出属性为：{α、β、γ、β、δ、θ}) 属性集闭包的计算有以下两个常用用途： ·判断α是否为超码: 通过计算α+（α在F下的闭包），看α+ 是否包含了R中的所有属性。若是，则α为R的超码。 ·通过检验是否β∈α+，来验证函数依赖是否成立。也就是说，用属性闭包计算α+，看它是否包含β。 （请原谅我用∈符号来表示两个集合之间的包含关系，那个表示包含的符号我找不到，大家知道是什么意思就行了。） 看一个例子吧，2005年11月系分上午37题： ● 给定关系R(A1，A2，A3，A4)上的函数依赖集F={A1→A2，A3→A2，A2→A3，A2→A4}，R的候选关键字为________。 （37）A. A1 B. A1A3 C. A1A3A4 D. A1A2A3 首先我们按照上面的算法计算A1+ 。 result=A1， 由于A1→A2，A1∈result，所以result=result∪A2=A1A2 由于A2→A3，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3
函数依赖
5.2 函 数 依 赖 在数据依赖现象的讨论中，函数依赖是最为常见和最为基本的情形。本节将较为详细地讨论函数依赖及其相关问题。
数据库理论及应用基础 33 5.2.1 函数依赖基本概念 1. 函数依赖 设R(U)是属性集U 上的关系模式，X 、Y 是U 的一个子集。r 是R(U)中任意给定的一个关系。若对于r 中任意两个元组s 和t ，当s[X] = t[X]时，就有s[Y] = t[Y]，则称属性子集X 函数决定属性子集Y 或者称Y 函数依赖于X(Functional Dependence)，否则就称X 不函数决定Y 或者称Y 不函数依赖于X 。 当Y 函数依赖于X 时，则记其为X →Y 。如果X →Y ，则称X 为决定因素(Determinant)，称Y 为依赖因素(Dependent)。当Y 不函数依赖于X ，则记为X ／→Y 。 如果X →Y ，且Y →X ，则记其为X ←→Y 特别需要注意的是，函数依赖不是指关系模式R 中某个或某些关系满足的约束条件，而是指R 的一切关系均要满足的约束条件。 函数依赖概念实际上是候选键概念的推广。事实上，每个关系模式R 都存在候选键，每个候选键K 都是一个属性子集，由候选键定义，对于R 的任何一个属性子集Y ，在R 上都有函数依赖K →Y 成立。一般而言，给定R 的一个属性子集X ，在R 另取一个属性子集Y ，不一定有X →Y 成立，但是对于R 中候选键K ，R 的任何一个属性子集都与K 有函数依赖关系，K 是R 中任意属性子集的决定因素。 2. 函数依赖的3种基本情形 函数依赖可以分为3种基本情形。 (1) 平凡与非平凡函数依赖 如果X →Y ，但Y 不是X 的子集，则称X →Y 是非平凡函数依赖(Nontrivial Functional Dependence)，否则称为平凡函数依赖(Trivial Functional Dependence)。 按照函数依赖的定义，当Y 是X 的子集时，Y 自然是函数依赖于X 的，这里“依赖”不反映任何新的语义。通常意义下的函数依赖一般都是指非平凡依赖。 (2) 部分与完全函数依赖 如果X →Y ，但对于X 中的任意一个真子集X'，都有Y 不依赖于X'，则称Y 完全依赖(Full Functionalal Dependency)于X ，否则称为Y 不完全依赖于X 。当Y 完全依赖于X 时， 记为X Y 。如果X →Y ，但Y 不完全函数依赖于X ，则称Y 对X 部分函数依赖(Partial Functional Dependency)，记为 X Y 。 ?→? F ?→? P 如果Y 对X 部分函数依赖，X 中的“部分”就可以确定对Y 的关联，从数据依赖的观点来看，X 中存在“冗余”属性。 (3) 传递与直接函数依赖 设有两个非平凡函数依赖X →Y 和Y →Z ，而且X 不函数依赖于Y ，则称Z 传递函数(Transitive Functional Dependency)依赖于X 。 在上述定义中，X 不函数依赖于Y 意味着X 与Y 不是一一对应；否则Z 就是直接函数依赖于X ，而不是传递函数依赖于X 了。 按照函数依赖的定义，可以知道，如果Z 传递依赖于X ，则Z 必然函数依赖于X 。