(完整版)数列求和专题训练(可编辑修改word版)

1 一、错位相减法

设数列{a n }的等比数列，数列{b n }是等差数列，则数列{a n b n }的前n 项和 S n 求解，均

可用错位相减法。

例 1;设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且 a 1 = b 1 = 1 ， a 3 + b 5 = 21，

a 5 +

b 3 = 13

（Ⅰ）求{a n }，{b n }的通项公式；

? a n ?

（Ⅱ）求数列? b

? 的前 n 项和 S n ．

? n ?

例 2;在数列{a } 中， a = 2， a

= a + n +1 + (2 -)2n (n ∈ N * ) ，其中> 0 ．

n

1 n +1

n

（Ⅰ）求数列{a n } 的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n } 的前n 项和 S n ；

二、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1） a n =

1 n (n + 1) = 1 - n 1 n + 1

(2n )2 （2） a n =

(2n -1)(2n +1)

= 1+

1 ( 1 -

2 2n -1 1 )

2n +1

（3） a n = n (n -1)(n + 2) = 1 [

1 2 n (n +1) - 1 ] 等。 (n +1)(n + 2)

1

1

例 3:； 求数列 ,

,? ? ?, 1

,? ? ? 的前 n 项和. n + n + 1

1 +

2 2 + 3

n 数列求和（错位相减、裂项相消法）专题训练

1、求数列{n ? 2n }前n 项和.

2、已知等差数列{a n } 满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 . {a n } 的前 n 项和为 S n .

（Ⅰ）求 a n 及 S n ；

（Ⅱ）令b =

1

（ n ∈ N + ）,求数列{b } 的前 n 项和T .

n

a 2

-1 n n

3、已知等差数列{a n }的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b = (4 - a )q n -1(q ≠ 0, n ∈ N *) ，求数列{b }的前 n 项和 S

n

n

n

n

4、已知等差数列{a n } 满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 ，{a n } 的前 n 项和为 S n ．

（Ⅰ）求 a 及 S ；（Ⅱ）令 b =

1

(n ∈N *)，求数列{b } 的前 n 项和T ．

n

n

n

a 2 -1

n n

n

n n n

n n n

5、已知二次函数y =f (x) 的图像经过坐标原点，其导函数为f ' (x) = 6x - 2 ，数列{a }的前 n 项和为S ，点(n, S )(n ∈N * ) 均在函数y =

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

f (x) 的图像上。

（Ⅱ）设b =

1

，T是数列{b }的前n 项和，求使得T <

m

对所有n ∈N *都成立的a

n

a

n+1

n

20

最小正整数 m；

6、（本小题满分12 分）等比数列{ a }的前n 项和为S ，已知对任意的n ∈N +，点(n, S ) ，均在函数y =b x+r(b > 0 且b ≠ 1, b, r 均为常数)的图像上.

（1）求r 的值；

（2）当b=2 时，记b n =

n +1

4a

n

(n ∈N +) 求数列{b

n

}的前n 项和T

n

n n n

n

数列求和专项练习

1、求数列{(2n -1)? 3n }前n 项和.

2、求数列

1 3 5 7 , ??? , 2n -1

的前n 项和.

, , , 2 4 8 16 2n

1

1

1

1

3、求数列

，

，

，…，

，…的前 n 项和 S

1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n (n + 2)

4、已知数列{a n }的通项公式为 a n =

求它的前 n 项的和.

5、已知数列{ a n

}满足： a 1 + 3a 2 + + (2n - 1)a n = (2n - 3) ? 2n +1, 数列{b }的前 n 项和

S n = 2n 2 + n - 2.求数列{a n ? b n }的前n 项和W n .

n + 1 + n

1

2S 2

? 1 ?

6、在数列{a n }中， a 1 = 1 , a n

= n (n ≥ 2). 证明数列? ? 是等差数列，

并求出 S n

的表达式.

2S n -1 ? s n ?

7、已知等差数列{a n } 满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 . {a n } 的前 n 项和为 S n .

（1） 求 a n 及 S n ；

（2）

令b = 1

（ n ∈ N + ）,求数列{b } 的前 n 项和T .

n

a 2

-1 n n

8、已知数列{a n } 中， a 1 = 1，且当 n ≥ 2 时， S n = a n (S n - （1） 求 S n ， a n

（2）

求{S n } 的前 n 项和T n 1

) ；

2

n

n 9、已知在数列{ a } 中， a = 1， a = ?

1+

1 ?

a

+ n +1

n

1

n +1

n ?

n 2n ? ?

（1） 设b =

a n

，求数列{b } 的通项公式

n

n

n

（2） 求数列{a n } 的前 n 项和 S n

10、已知等差数列{a n }的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。

（1） 求数列{a n }的通项公式；

（2） 设b = (4 - a )q n -1(q ≠ 0, n ∈ N *) ，求数列{b }的前 n 项和 S

n

n

n

n

11、已知等差数列{a n } 满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 ，{a n } 的前 n 项和为 S n ．

（1） 求 a n 及 S n ；

1 （2） 令 b =

(n ∈N *)，求数列{b } 的前 n 项和T ．

n a 2 -1

n n

n

n n +

12、已知二次函数 y = f (x ) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f ' (x ) = 6x - 2

，数列{a }

的前 n 项和为 S ，点(n , S )(n ∈ N *

) 均在函数 y =

（1） 求数列{a n }的通项公式；

f (x ) 的图像上。

（2） 设b =

1

， T 是数列{b }的前 n 项和，求使得T <

m

对所有 n ∈ N * 都成立的

a n a n +1

n

20

最小正整数 m ；

13、已知数列{a n

}的各项为正数，其前 n 项和 S n 满足S n

= (

a n + 1)2 ，

2

（I ） 求 a n 与a n -1 (n ≥ 2) 之间的关系式，并求{a n }的通项公式；

1

1

（II ） 求证 S 1 S 2 + + 1

S n

< 2. n

n

n

n n n 1 1 14、本小题满分 12 分）等比数列{ a }的前

n 项和为 S ， 已知对任意的 n ∈ N + ，点

(n , S ) ，均在函数 y = b x + r (b > 0 且b ≠ 1, b , r 均为常数)的图像上.

（1） 求 r 的值；

（2） 当 b=2 时，记

b n =

n +1

4a n

(n ∈ N + )

求数列{b n }的前 n 项和T n

15、数列{ a n }的前 n 项和为 S n ，且满足 a 1 = 1,2S n = (n + 1)a n ,

（I ） 求 a n 与 a n -1 的关系式，并求{ a n }的通项公式；

1 （II ） 求和W n =

a 2

- + 2 + + .

2 1 a

3 - 1 a n +1 -

1

16、（1）设 a 1 , a 2 , , a n 是各项均不为零的 n （ n ≥ 4 ）项等差数列，且公差 d ≠ 0 ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．

（i ） 当 n = 4 时，求

a 1 的数值；

d

（ii ） 求 n 的所有可能值．

（2）求证：对于给定的正整数 n ( n ≥ 4 )，存在一个各项及公差均不为零的等差数列

b 1，b 2 b n ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．

2

17、已知函数f(x)＝m·2x＋t 的图象经过点A(1,1)、B(2,3)及C(n，S n)，S n为数列{a n}的前n 项和，n∈N*.

(1)求S n及a n；

(2)若数列{c n}满足c n＝6na n－n，求数列{c n}的前n 项和T n.

18、将n2 个数排成n 行n 列的一个数阵：

a11 a12 a13 (1)

a21 a22 a23 (2)

a31 a32 a33 (3)

……………

a n1 a n2 a n3 …a nn

已知a11＝2，a13＝a61＋1，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，其中m 为正实数．

(1)求第i 行第j 列的数a ij；

(2)求这n2 个数的和．