数的开方全套教案

第16章数的开方全套教案

平方根与立方根（1）

知识技能目标

1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；

2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；

3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；

4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识．

过程性目标

1.使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；

2.掌握用平方运算求某些数的平方根的方法．

教学过程

一、创设情境

问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？

问题2已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．

(学生探索，回答问题)

二、探究归纳

问题1解设正方形纸片的边长为x cm，依题意有：x2＝25，

求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．

因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．

答正方形纸片的边长为5cm．

这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．

问题2解设圆的半径为R cm，依题意有：

πR2=16π，即R2=16，

求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．

因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．

答圆的半径为4cm．

这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．

刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值．

概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．

在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5．在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个：4与－4．所以，根据平方根的意义，我

们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．

三、实践应用

例1 求100的平方根．

解 因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.

学生试一试：

(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)25

4的平方根是什么？(4)－4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？

1．平方根的性质：

问 正数的平方根是什么？

答 如果数是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数． 问 0的平方根是什么？

答 0的平方根是0，这是因为02＝0．由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身．

问 负数有平方根吗？为什么？

答 负数没有平方根．由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根． 请同学概括数的平方根的性质．

答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．

2.一个非负数a 的平方根的表示法．

当a ＞0时，a 的正的平方根用符号“2a ”表示，其中a 叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负的平方根用符号“－2a ”表示，这两个平方根合起来可以记作“2a ±”．这里，符号“2”，读作“二次根号”，“2a ”读作“二次根号a ”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”．

一般地，如果x 2＝a (a ≥0)，那么a 的平方根可以表示为x =a ±．例如，9的平方根记作9±，读作正负根号9．

3.开平方．

求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算是已知指数和幂求底数．平方与开平方互为逆运算．一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0．但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0．负数没有平方根．因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根．

例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．

分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．

解 (1)因为49)7(2=±，所以49的平方根是，7±，即749±=±．

(2) 因为69.1)3.1(2=±，所以1.69的平方根是3.1±，即3.169.1±=±．

例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．

(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．

分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0． 解 (1)因为－64是负数，所以－64没有平方根；

(2)0有一个平方根，它是0；

(3)因为016)4(2>=-，所以2)4(-有两个平方根，且416)4(2±=±=-±．

四、交流反思

1.一般地，如果x 2＝a ，那么叫x 做a 的平方根．(也叫a 的二次方根)．用a ±表示．当a ＞0时a 有两个平方根，即a ±，a 表示a 的正的平方根，-a 表示a 的负的平方根，它们互为相反数；当a ＝0时，a 有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．

2.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．

3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．

4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．

五、检测反馈

1.说出下列各数的平方根

(1)64； (2)0.25； (3)

8149． 2.求下列各数的平方根(1)

8116； (2) 0.36； (3) 324．

平方根与立方根（2）

知识技能目标

1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；

2.对于a 表示的算术平方根中的a 的条件和a 的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为a (a ＞0)的正方形的边长为a ，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；

3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中．

过程性目标

1.使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；

2.使学生体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；

3.使学生用计算器求一个非负数的算术平方根．

教学过程

一、创设情境

1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？

2.0.49的平方根记作____＝____；

3.的正的平方根记作36

131 ＝ ； 4.说出平方根的概念和性质．

二、探究归纳

1.算术平方根：

9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，39=表示的意义是什么？ 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“a 的算术平方根”． 这里应强调两点：

(1)这里的a 不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．

(2)这里a 中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即00=．从以上可知，当a 是正数或是0时，a 表示a 的算术平方根．

例1 求100的算术平方根．

解 因为102=100，

所以100的算术平方根是10．即10100=．

注意 100的平方根是±10，而100的算术平方根是10．

例2 求下列各数的平方根和算术平方根：

(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 9

71． 解 (1)因为(±6)2＝36． 所以36的平方根是±6，即636636=±=±；；

7.189.27.189.2)2(=±=±所以，因为；

3

497134916971)3(=±=±=±所以，因为． 说明 求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．

例3 求下列各式的值：

．；　；　；　；9005

136.0314120)5(432425)4(36

2324)3(25214)2(625)1(2222--+?--±-

分析 (1)、(2)、(3)题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算术平方根，第(4)、(5)题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算顺序．

解

2.用计算器求一个非负数的算术平方根．

例4 用计算器求下列各数的算术平方根：

(1) 529； (2) 1225； (3) 44.81．

分析 用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．

解 (1) 在计算器上依次键入

，

显示结果为23，所以，529的算术平方根为

529＝23．

(2) 在计算器上依次键入