江苏省南通市海门中学2020-2021学年高三上学期阶段检测(二)数学试题

江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测

高三数学试题

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）.

1.设集合{}2|log 2M x x =<，集合1|82x

N x ????

??=

，则（ ）

A.M N =?

B.M N ?

C.{|34}M

N x x =-<<

D.N M ?

2.已知复数1z i

=-，则z =（ ）

A.1

D.2

3.设x R ∈，则“3

8x >”是“2x >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体.由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种.如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体.古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）.现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体.设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为（ ）

A. B. C. D.

5.现代健康生活的理念，每天锻炼1小时，健康工作50年，幸福生活一辈子.我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动.在某校举行的秋季运动会中，来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了4100?米接力赛，则甲乙互不接棒的概率为（ ） A.

1

6

B.

13

C.

12

D.

23

6.已知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，点M 是圆上的一动点，则MA MB ?的取值范围是（ ） A.[]1,0-

B.[]1,3-

C.[]0,3

D.[]1,4-

7.“白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼”，古诗《登鹳雀楼》是一首登高的名作，诗人王之涣描绘了一幅美妙的山水画，从此也令鹳雀楼名声大作，世人也能领略鹳雀楼之美.鹳雀楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说有鹳雀在此停留.下面是复建的鹳雀楼的示意图，游客（视为一质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则鹳雀

楼的高AB 约为（ ） 1.73≈）

A.65米

B.74米

C.83米

D.92米

8.已知实数a ，b ，c R ∈，满足ln(2)ln ln 0a b c

a b c

==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c b a >>

B.c a b >>

C.b c a >>

D.b a c >>

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知双曲线22

2212x y k k

-=，对于k R ?∈且0k ≠，则下列四个选项中因k 改变而变化的是（ ）

A.焦距

B.离心率

C.顶点坐标

D.渐近线方程

10.已知函数1()sin 233f x x π??

=

+ ???

，则下列说法中正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期为π

B.()f x 在7,1212ππ??

?

??

?上单调递增 C.5,06π??

???

是()f x 的一个对称中心 D.当0,

6x π??

∈????

时，()f x 的最大值为1 11.设x ，(0,)y ∈+∞，S x y =+，P xy =，以下四个命题中正确的是（ ） A.若1P =，则S 有最小值2 B.若2S P =，则S 有最小值4 C.若2

1S P P

=+

，则2

S 有最小值2 D.若3S P +=，则P 有最大值1

12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列说法中正确的是（ ）

A.平面11A D P ⊥平面1A AP

B.多面体1CDPD 的体积为定值

C.1APD △恒为锐角三角形

D.直线1D P 与BC 所成的角可能为

6

π

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上）

13.已知数列{}n a 满足0n a >，且11a =，2

2

112n n n n a a a a ++-=（*n N ∈），则n a =___________.

14.某校科学社团研究一种卫星接收天线，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈

近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为1m ，则该抛物线的焦点到定点的距离为__________m.

15.将函数2

()2sin sin 21f x x x =+-图像先向左平移一个单位，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若1()2g α=

，,44ππα??

∈- ???

，则cos α=___________. 16.已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面11B CD 截球O 的截面面积为______. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）

请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决问题

①ABC △的面积为2

6AB AB BC +?=-

在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，A 为钝角，sin 4

A =__________. （1）求边a 的长；（2）求sin 2C 的值. 18.（本题满分12分）

已知数列{}n a 是等差数列，且23a =，47a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1

12

n n S b =-（*n N ∈）. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）记n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：2n T <. 19.（本题满分12分）

如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，G 、P 是线段AB 、SD 的中点.

（1）证明：//GP 平面SBC ；

（2）若3

BAD π

∠=

，2AB SA SB ===，SD =SBC 与平面SGD 所成锐二面角的余弦值.

20.（本题满分12分）

苏果超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本为每瓶4元，售价每瓶6元.未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为350瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为420（单位：瓶）时，求Y 的期望值. 21.（本题满分12分）

已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点坐标为()1,0F ，其左右顶点分别为A ，B ，点31,2M ?? ?

??

在椭圆E 上.

（1）求椭圆E 的标准方程；

（2）若过点()4,0P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，AC ，BD 交于点T ，求AP AT ?的值. 22.（本题满分12分）

已知函数()ln f x x =，函数2

ln ()(1)x x

g x x e

=+.

（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；

（2）当(0,)x ∈+∞时，证明：当2m ≤时，(1)()mf x g x +≤.

江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测

高三数学试题

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

解：设AC x =，则2BC x =

在Rt ABE △中，2BC BE x ==，∴279BD x =+

3tan 30279x x ?=

=+

∴24.7x =

≈

∴374AB x =≈，选B. 8.【答案】A

解：令ln ()x f x x =

，2

1ln ()0x

f x x -'==，x e =

()f x 在(0,)e ，(,)

e +∞

∴max 1

()()f x f e e

==

ln 0c c -

<，∴ln 0c

c

>，∴1c > ln(2)ln 0a b

a b

=< ∴01b <<，1

02

a <<

()f x 在(0,1)

ln 2ln ln 2ln ln 2

()()a a f b f a a a a a

+=

=+=+ ∴()()f b f a >，∴b a > 综上c b a >>，选A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.【答案】AC 10.【答案】AC 11.【答案】AD 解：1P =，即1xy =

2S x y =+≥=，当且仅当1x y ==时取“=”

，A 正确

2S P =，即2x y xy +=，即

11122x y

+=

1111()12222222

x y S x y x y x y y x ??=+=++=+++≥+= ?

?? 当且仅当

22x y

y x

=，即1x y ==时取“=”，最小值为2，B 错 21S P P

=+

若2

1()2x y xy xy +=+

≥，当且仅当1

xy xy =即1xy =即1y x

=时取“=” 此时2

2

1()4x y x x ??+=+≥ ??

?矛盾，C 错

∴2

S 最小值不能是2.

3

2x y xy xy xy ++=≥+，∴230xy xy +-≤

1)0≤，∴1xy ≤

即max 1xy =，当且仅当1x y ==时取“=”，D 正确 选AD

12.【答案】ABD

解：对于A ，∵11A D ⊥平面1A AP ，11A D ?平面11A D P ∴平面11A D P ⊥平面1A AP ，A 正确

对于B ，11C DPD P CDD V V --=，∵1CDD S △，P 到平面1CDD 的锤子数学距离均为定值 故1C DPD V -为定值，B 正确 对于C ，设1A P x =，∴AP =

1PD =1AD =此时1AD 最长，考察222111

1122cos 022x x x APD AP PD AP PD +++-∠===??

当02x <<

时，1cos 0APD ∠<，1APD ∠为锐角，当2

x =时，1APD ∠为直角，C 错

对于D ，即求1D P 与11A D 所成角11A D P ∠

1111tan 1A P A D P A P ∠=

=∈，3∈，∴11A D P ∠可能为6

π

，D 正确 选：ABD.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上） 13.【答案】12n - 14.【答案】1.44

15.

解：1()2(1cos 2)sin 211cos 2sin 21224f x x x x x x π?

?=?

-+-=-+-=- ??

?

()f x 向左平移

4π244x ππ????+- ????

???24x π?

?+ ???

再将每一点的横坐标变为原来锤子数学的2倍，变为()4g x x π?

?=

+ ??

?

∴1()2g α=

142πα?

?+= ??

?

∴sin 44

πα?

?

+

= ?

?

? ∵,44ππα??

∈-

???

，则0,42ππα??+∈ ???

cos 04πα??+= ???，∴cos 4πα?

?+= ??

?

∴1cos cos cos cos sin sin 4

4444442424π

πππππαααα??

???

?=+

-

=+++=+= ? ? ?

?

?????

. 16.【答案】

6

π

解：连接1AC ，则1AC 经过点O 且1AC ⊥平面11B CD 由1C 到平面11B CD

1OC = 知O 到平面1B CD

，且圆O 半径为12

∴221266

S ππ????????=?= ? ? ?????????

截面

. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解：选① （1

）

1242bc bc == 2b c -=，∴(2)24b b -=，6b =，4c =

∵A

为钝角，∴1

cos 4

A ==- 在ABC △

中由锤子数学余弦定理得8a ==. （2）在ABC △

中由正弦定理得

4sin sin sin sin a c C A C C =?=?=

∴7

cos 8

C =

，7sin 22sin cos 28C C C ===. 18.解：（1）∵{}n a 为等差数列，设公差为d

∴42

22

a a d -=

=，∴32(2)21n a n n =+-=- ∵1

12

n n S b =-

① 2n ≥时，111

12

n n S b --=-②

∴11111

223

n n n n n b b b b b ---?=

-?=①② 在①式中令1n =得12

3

b =

∴{}n b 为等比数列，且首项为23公比为13，∴1

212

333n n n

b -??

=?=

?

??

（2）242(21)33

n n n n c n -=-?

= ∴123

12610

4642

33333

n n n n n T ---=

++++

+① 231

11264104642

333333

n n n n n n n T -+---=+++

++② -①②得1

2311

411932244

44224213333

333313

n n n n n n n T -++??

??

-?? ???--????=+++

+-=+

--

11424244433333

n n n n n ++-+=

--=- ∴22

23

n n

n T +=-

. 19.解：（1）证明：取SC 的中点E ，连接PE ，BE

∵G ，P 分别为AB ，SD 的中点，底面ABCD 是菱形 ∴//

12BG CD ，//1

2

PE CD ，//BG PE ∴四边形PGBE 为平行四边形

∴//GP BE ，∵GP ?平面SBC ，BE ?平面SBC ∴//GP 平面SBC . （2）∵3

BAD π

∠=

，AB AD =，∴ABD △为等边三角形，

又∵SAB △为等边三角形，G 为AB 中点 ∴AB SG ⊥，AB DG ⊥，∵2AB =

，∴SG =

DG =

∴2

2

2

6SG DG SD +==

∴SG DG ⊥，∴SG ⊥底面ABCD

分别以图中GB ，GD ，GS 所在的直线为x ，y ，z 轴建立锤子数学空间直角坐标系 ∴(1,0,0)B

，C

，S

，∴(1,0,SB =

，SC = 设平面SBC 的一个法向量()1000,,n x y z =，平面SGD 的一个法向量2(1,0,0)n =

∴00110000

0020

x n SB n SC x ??=?=??????=+=????

令0x =得01z =，01y =-，∴1(3,1,1)n =-

设平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角为θ，1n ，2n 所成角为?， ∴121215

cos |cos |5

n n n n θ??==

=?

20.解：（1）最高气温锤子数学低于20的概率为

216181

90905

+== 最高气温位于区间[)20,25的概率为

362

905

= 最高气温不低于25的概率为

25742

905

++=

X 的所有可能取值为200，350，500

1(200)5P X ==

，2(350)5P X ==，2

(500)5

P X == 六月份X 的分布列如下：

（2）①当这天锤子数学最高气温低于20时，利润20062202420440Y =?+?-?=- 此时1(40)5

P Y =-=

②当这天最高气温位于[)20,25时，利润35067024204560Y =?+?-?= ∴2(560)5

P Y ==

③当这天最高气温不低于25时，利润42064204840Y =?-?=

2(840)5

P Y ==

Y 的分布列如下

∴Y 的期望值122

()40560840552555

E Y =-?

+?+?=

21.解：（1

）由题意知22222

192141c a a b b a b c =???=???+=???=???=+???

∴椭圆E 的标准方程为22

143

x y +=. （2）设直线l 的锤子数学方程为(4)y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ，(2,0)A -，(2,0)B

()22222

(4)

34816123412

y k x x k x x x y =-??+-+=?+=? ()

2

222

343264120k x k x k +-+-=，21222

1223234641234k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

直线AC 方程为11(2)2y y x x =

++，BD 方程为2

2(2)2

y y x x =-- 联立两直线方程锤子数学得

2121

22

22T T x y x x x y ++=?-- 而22

22

143

x y +=，∴22222324y x x y +=?--

∴

()()()()()()1212

12221212

122224233

24444416T T x x x x x x x x k x x k x x x x ++++++=-?=-?----++???? 22

222222222

6412644331443434344366412128163434k k k k k k k k k k k -++++=-?=-?=-???-?-+??++??

∴1T x =，∵(6,0)AP =，()3,T AT y =，∴18AP AT ?=

.

22.解：（1）1

()f x x

'=

，1k =，切点(1,0) ∴()f x 在1x =处的锤子数学切线方程为1y x =-. （2）即证：当2m ≤时，2sin ln(1)(1)x

m x x e +≤+

而2

2sin 2sin (1)(1)ln(1)(1)2ln(1)2ln(1)x

x

x x e

m x x e

x x e

++-+≥+-+≥-+

令2

(1)()2ln(1)x g x x e +=-+，2(1)2()1

x g x e x +'=-+，令()0g x '=

得1x =，且当01x <<

时，()0g x '<，()g x ；当1x >时，()0g x '>，()

g x

∴()1)12ln 0g x g ≥=-= 故2sin (1)ln(1)x

x e m x +≥+，证毕！